变指数中心Morrey空间上的分数次积分多线性交换子

Multilinear Commutators of Fractional Integral Operator on Central Morrey Spaces with Variable Exponent

摘要: 该文借助分数次积分在变指数Lebesgue空间的有界性，通过应用函数的分层分解和实变技巧，得到了由分数次积分和λ-中心BMO函数生成的多线性交换子在变指数中心Morrey空间上的有界性。

Abstract: With the help of the boundedness of the fractionalintegral operator on Lebesgue space with variable exponent, by applying hierarchical decomposition of function and real variable techniques, the boundedness of multilinear commutators generated by fractional singular integrals and withλ-central BMO symbols is obtained on central Morrey spaces with variable exponent.

1. 引言

设 $0<\alpha <n$ ，分数次积分算子 $T_{\alpha }$ 定义为

$T_{\alpha }\left(f\right)\left(x\right):={\displaystyle {\int }_{R^n}\frac{f\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{n-\alpha }}\text{d}y.}$ (1)

分数次积分算子是调和分析的重要组成部分，有着深刻的偏微分方程背景，该算子在调和分析中起着非常重要的作用，特别是在研究函数的可微性及光滑性时。近几十年对该算子的研究由着丰富的结果。其中最经典的是，1970年E.M. Stein在文献 [1] 中给出了分数次积分是 $\left(p,q\right)$ 型的，该结果是S. Sobolev在1938年证明的，还给出了在1950年由A. Zygmund证明的分数次积分算子是弱 $\left(1,q\right)$ 型有界的，其中

$1<p<q<\infty$ ， $\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\alpha }{n}$ 。多线性算子在调和分析中也有很重要的地位，多线性算子理论在偏微分方程

与多复变分析中都有广泛的应用。多线性算子理论的研究起源于R. Coifmen [2] 和Y. Meyer [3] 的工作。1999年，C. Kenig和E.M. Stein在文献 [4] 中给出了多线性分数次积分算子的定义，并证明了其在 $L^p\left(R^n\right)$ 空间上的有界性。

1991年，Kováčik，Rákosnik [5] 较系统地介绍了变指数Lebesgue空间、变指数Sobolev空间及其在偏微分方程中的应用。变指数函数空间与经典函数空间最重要的区别在于，在变指数函数空间中积分不等式不再成立。因此Hardy-Littlewood极大算子在变指数Lebesgue空间中的有界性不再成立。2004年，Diening在文献 [6] 中给出了使得上述有界性成立的充要条件，即log-Hölder条件。以此为基础，在研究变指数函数空间中的一些重要算子及其交换子的有界性问题上取得了一系列成果。Diening [7] 证明了分数次积分算子从变指数空间 $L^{p(\cdot )}\left(R^n\right)$ 到变指数空间 $L^{q(\cdot )}\left(R^n\right)$ 的有界性，其中 $p(\cdot )$ 和 $q(\cdot )$ 在有界区域中满足log-Hölder条件。2006年，Cruz-Uribe，Fiorenza，Martell and Perez [8] 证明了调和分析中的一些经典算子，如极大算子、奇异积分、分数积分及其交换子在变指数Lebesgue空间上的有界性。

1938年，Morrey [9] 在研究二阶椭圆偏微分方程解的局部正则性时首次引入了一类新的函数空间，即经典的Morrey空间，它是Lebesgue空间的一个自然推广。近年来，Morrey空间算子的有界性引起学者们的广泛关注，并且研究发现偏微分方程的许多性质与Morrey空间一些算子的有界性相关。在1987年，Chiarenza和Frasca [10] 研究了Hardy-Littlewood极大算子和C-Z奇异积分算子在Morrey空间上的有界性。2009年，在Morrey空间研究的基础上，Komori和Shirai [11] 定义了加权Morrey空间，并研究了一些调和分析中的经典算子的性质。此后，Alvarez，Guzman-Partida和Lakey [12] 在研究中心BMO空间与Morrey空间的关系时，引入了 $\lambda$ -中心CBMO空间和 $\lambda$ -中心Morrey空间，这是有界中心平均振荡空间的推广。这些 $\lambda$ -中心有界平均振动空间、Morrey型空间和相关的泛函空间在研究算子(包括奇异积分和Hausdorff算子)的有界性方面有着广泛的应用。

1995年，Lu和Yang [13] 定义了中心有界平均振荡空间，并且著名的John-Nirenberg不等式在此类中心有界平均振荡空间中将不再成立。1996年，Fan等 [14] 建立了一类算子交换子在齐次Morrey空间中的有界性，包括Hardy-Littlewood极大算子、Calderon-Zygmund奇异积分算子和它们的交换子，并且研究了具有不连续系数的超抛物方程解的正则性。2008年，Fu等 [15] 证明了粗糙核奇异积分算子在 $\lambda$ -中心Morrey空间上的有界性，同时也得到了粗糙核奇异积分与 $\lambda$ -中心CBMO函数生成的交换子在 $\lambda$ -中心Morrey空间上的有界性。2011年，Tao和Shi [16] 建立了 $\lambda$ -中心Morrey空间 $B^{q,\lambda }\left(R^n\right)$ 上多线性交换子 $T_{\stackrel{\to }{b}}$ 的有界性，其中 $\stackrel{\to }{b}=\left(b_1,\cdots ,b_m\right)$ ，每个 $b_i$ 都是一个 $\lambda$ 中心的BMO函数。2015年，Mizuta、Ohno和Shimomura [17] 引入了变指数的非齐次中心Morrey空间。2019年，陶双平等 [18] 得到了分数次极大算子及交换子在 $\lambda$ -中心Morrey空间上的加权估计。有关这类空间上其他的结果可参考文献( [19] [20] [21] )。2019年，Fu等 [22] 研究了具有粗糙核的奇异积分算子在变指标中心Morrey空间上的有界性。随后Wang和Xu [23] 进一步获得了多线性分数次积分算子及其交换子关于变指数中心Morrey空间。其他变指标Morrey空间上的结果可参考文献( [24] [25] )。受上述工作的启发，本文的目的是研究变指数 $\lambda$ -中心Morrey空间上的分数次积分多线性交换子的有界性。分数次积分多线性交换子相比较分数次积分交换子而言是复杂的，结论的证明过程中需要用到分数次积分在变指数Lebesgue空间中的 $\left(L^{p(\cdot )},L^{q(\cdot )}\right)$ 有界性，因此多变量指标必须

满足 $\frac{1}{q(\cdot )}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{1}{s_i(\cdot )}+\frac{1}{p(\cdot )}}-\frac{\alpha }{n}$ 条件，复杂的指标计算及相关估计也是本文的一个难点。本文的结果是文

献 [22] 的结果的推广，丰富和完善了分数次积分算子交换子的有界性估计。下面给出变指数函数空间的一些定义。

2. 预备知识

定义1 [26] 设 $p\left(x\right):R^n\to \left[1,\infty \right)$ 是可测函数，变指标Lebesgue空间定义为

$L^{p(\cdot )}\left(R^n\right)=\left\{f是可测函数:对某个常数\eta >0,有{\displaystyle {\int }_{R^n}{\left(\frac{f\left(x\right)}{\eta }\right)}^{p\left(x\right)}\text{d}x}<\infty \right\},$

其范数为 ${\Vert f\Vert }_{L^{p(\cdot )}\left(R^n\right)}=\inf \left\{\eta >0:{\displaystyle {\int }_{R^n}{\left(\frac{f\left(x\right)}{\eta }\right)}^{p\left(x\right)}\text{d}x\le 1}\right\}$ 。

当 $p(\cdot )=p_0$ 是常数时，则 $L^{p(\cdot )}\left(R^n\right)$ 即为标准的Lebesgue空间 $L^{p_0}\left(R^n\right)$ 。

用 $P\left(R^n\right)$ 表示 $R^n$ 上满足以下条件的所有可测函数 $p(\cdot ):R^n\to \left[1,\infty \right)$ 构成的集合：

$p^{-}=\mathrm{ess}\inf \left\{p\left(x\right):x\in R^n\right\}>1,p^{+}=\mathrm{ess}\sup \left\{p\left(x\right):x\in R^n\right\}<\infty .$

其中 $p^{\prime }\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{p\left(x\right)-1}$ 。

令 $B\left(R^n\right)$ 为 $p(\cdot )\in P\left(R^n\right)$ 并使得Hardy-Littlewood极大算子M满足 $L^{p(\cdot )}\left(R^n\right)$ 有界的指数函数 $p(\cdot )$ 的集合。

称可测函数 $p(\cdot )\in L{H}_0\left(R^n\right)$ 是指存在一个常数 $C_0$ ，满足

$\left|p\left(x\right)-p\left(y\right)\right|\le \frac{-C_0}{\log \left|x-y\right|},\left|x-y\right|\le \frac{1}{2},x,y\in R^n$ (2)

同理，可测函数 $p(\cdot )\in L{H}_{\infty }\left(R^n\right)$ 是指存在常数 $p_{\infty },C_{\infty }>0$ ，使得

$\left|p\left(x\right)-p_{\infty }\right|\le \frac{C_{\infty }}{\log \left(e+\left|x\right|\right)},x\in R^n$ (3)

记 $LH\left(R^n\right)=L{H}_0\left(R^n\right)\cap L{H}_{\infty }\left(R^n\right)$ 。

如果 $p(\cdot )\in P\left(R^n\right)\cap LH\left(R^n\right)$ ，则 $p^{\prime }(\cdot )\in P\left(R^n\right)\cap LH\left(R^n\right)$ ，并且Hardy--Littlewood 极大函数M在 $L^{p(\cdot )}\left(R^n\right)$ 上是有界的。

定义2 [21] 设 $q(\cdot )\in B\left(R^n\right)$ ， $\lambda <\frac{1}{n}$ ，则变指数 $\lambda$ 中心BMO空间 ${\mathrm{CBMO}}^{q(\cdot ),\lambda }\left(R^n\right)$ 定义为

${\mathrm{CBMO}}^{q(\cdot ),\lambda }\left(R^n\right)=\left\{f\in L_{\text{loc}}^{q(\cdot )}\left(R^n\right):{\Vert f\Vert }_{{\mathrm{CBMO}}^{q(\cdot ),\lambda }\left(R^n\right)}<\infty \right\},$

这里 ${\Vert f\Vert }_{{\mathrm{CBMO}}^{q(\cdot ),\lambda }\left(R^n\right)}=\underset{R>0}{\sup }\frac{{\Vert \left(f-f_{B\left(0,R\right)}\right){\chi }_{B\left(0,R\right)}\Vert }_{L^{q(\cdot )}\left(R^n\right)}}{{\left|B\left(0,R\right)\right|}^{\lambda }{\Vert {\chi }_{B\left(0,R\right)}\Vert }_{L^{q(\cdot )}\left(R^n\right)}}$ 。

定义3 [21] 设 $q(\cdot )\in B\left(R^n\right)$ ， $\lambda \in R$ ，则变指数 $\lambda$ 中心Morrey空间定义为

${\stackrel{\dot{}}{B}}^{q(\cdot ),\lambda }\left(R^n\right)=\left\{f\in L_{\text{loc}}^{q(\cdot )}\left(R^n\right):{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{q(\cdot ),\lambda }\left(R^n\right)}<\infty \right\},$

这里 ${\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{q(\cdot ),\lambda }\left(R^n\right)}=\underset{R>0}{\sup }\frac{{\Vert f{\chi }_{B\left(0,R\right)}\Vert }_{L^{q(\cdot )}\left(R^n\right)}}{{\left|B\left(0,R\right)\right|}^{\lambda }{\Vert {\chi }_{B\left(0,R\right)}\Vert }_{L^{q(\cdot )}\left(R^n\right)}}$ 。

注1 当 $\lambda =0$ 时， ${\mathrm{CBMO}}^{q(\cdot ),\lambda }\left(R^n\right)$ 即为文献 [25] 中的 ${\mathrm{CBMO}}^{q(\cdot )}\left(R^n\right)$ 。

注2 记 ${\mathrm{CBMO}}^{q(\cdot )}\left(R^n\right)$ 和 $B^{q(\cdot ),\lambda }\left(R^n\right)$ 齐次的变指数 $\lambda$ 中心BMO空间和变指数 $\lambda$ -中心Morrey空间，

这俩个定义是在上述俩个定义中取 $R\ge 1$ 的上确界。很明显，对 $q(\cdot )\in B\left(R^n\right)$ ， $\lambda <\frac{1}{n}$ ，

${\mathrm{CBMO}}^{q(\cdot ),\lambda }\left(R^n\right)\subset {\mathrm{CMO}}^{q(\cdot )}\left(R^n\right)$ ；对 $q(\cdot )\in B\left(R^n\right)$ ， $\lambda \in R$ ， ${\stackrel{\dot{}}{B}}^{q(\cdot ),\lambda }\left(R^n\right)\subset B^{q(\cdot ),\lambda }\left(R^n\right)$ ，关于非齐次变指数 $\lambda$ 中心BMO空间和变指数 $\lambda$ -中心Morrey空间的研究见文献 [17] 。

本文中出现的C是一个绝对正常数，在不同的地方可取不同的值。

3. 主要结论及证明

设 $\Omega \in L^s\left(S^{n-1}\right),s\ge 1$ 是零次齐次函数，且在单位球面上的平均值为零。带粗糙核的分数次积分算子 $T_{\Omega ,\alpha }$ 定义为，对任意的 $f\in L_{\text{loc}}^1\left(R^n\right)$ ， $x\in R^n$

$T_{\Omega ,\alpha }\left(f\right)\left(x\right):={\displaystyle {\int }_{R^n}\frac{\Omega \left(x-y\right)}{{\left|x-y\right|}^{n-\alpha }}f\left(y\right)\text{d}y.}$ (4)

带粗糙核的多线性交换子定义为

$T_{\Omega ,\alpha ,\stackrel{\to }{b}}\left(f\right)\left(x\right):={\displaystyle {\int }_{R^n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\prod }}\left(b_i\left(x\right)-b_i\left(y\right)\right)}\frac{\Omega \left(x-y\right)}{{\left|x-y\right|}^{n-\alpha }}f\left(y\right)\text{d}y.}$ (5)

当 $m=1$ 时，(5)即为文献 [21] 中的交换子 $\left[b,T_{\Omega ,\alpha }\right]$ 。下面给出带粗糙核的分数次积分多线性交换子在变指数 $\lambda$ -中心Morrey空间上的有界性。

定理1 设 $0\le \alpha <n$ ， $\Omega \in L^s\left(S^{n-1}\right)$ ， $s>\frac{n}{n-\alpha }$ ， $T_{\Omega ,\alpha ,\stackrel{\to }{b}}$ 是由(5)式定义的交换子， $\stackrel{\to }{b}=\left(b_1,\cdots ,b_m\right)$ ， $b_i\in {\mathrm{CBMO}}^{s_i(\cdot ),u_i}\left(R^n\right)$ ，设 $0<u_i<\frac{1}{n}$ ， $p(\cdot ),q(\cdot ),s_i(\cdot )\in P\left(R^n\right)\cap LH\left(R^n\right)$ ， $p^{\prime }(\cdot )<s_i(\cdot )$ ，且 $\frac{1}{q(\cdot )}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{1}{s_i(\cdot )}+\frac{1}{p(\cdot )}}-\frac{\alpha }{n}$ ， $\lambda ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{u}_i+v+}\frac{\alpha }{n}<0$ ，则 $T_{\Omega ,\alpha ,\stackrel{\to }{b}}$ 是从 ${\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}$ 到 ${\stackrel{\dot{}}{B}}^{q(\cdot ),\lambda }$ 上是有界的，且满足

${\Vert T_{\Omega ,\alpha ,\stackrel{\to }{b}}\left(f\right)\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{q(\cdot ),\lambda }}\le C{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\prod }}{\Vert b_i\Vert }_{{\mathrm{CBMO}}^{s_i(\cdot ),u_i}\left(R^n\right)}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}}.$

要证明定理1，需要以下引理。

引理1 [5] 设 $p(\cdot )\in B\left(R^n\right)$ ，若 $f\in L^{p(\cdot )}\left(R^n\right)$ 且 $g\in L^{p^{\prime }(\cdot )}\left(R^n\right)$ ，则 $fg$ 在 $R^n$ 上可积并且

${\displaystyle {\int }_{R^n}\left|f\left(x\right)g\left(x\right)\right|\text{d}x}\le r_p{\Vert f\Vert }_{L^{p(\cdot )}\left(R^n\right)}{\Vert g\Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}(\; R\; n\; )}$

其中 $r_p=1+\frac{1}{p^{-}}-\frac{1}{p^{+}}$ 。上述不等式称为广义Hölder不等式。

引理2 [27] 设 $q(\cdot )\in B\left(R^n\right)$ ，则存在常数 $C>0$ ，使对所有 $R^n$ 中的球B，有

$\frac{1}{\left|B\right|}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{q(\cdot )}\left(R^n\right)}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{q^{\prime }(\cdot )}\left(R^n\right)}\le C.$

引理3 [26] 设 $p(\cdot )\in B\left(R^n\right)$ 满足(2)、(3)式，则使对所有 $R^n$ 中的球(或方体) Q，有

${\Vert {\chi }_Q\Vert }_{L^{p(\cdot )}\left(R^n\right)}=\{\begin{array}{l}{\left|Q\right|}_{}^{\frac{1}{p\left(x\right)}}\left|Q\right|\le 2^n,x\in Q\\ {\left|Q\right|}_{}^{\frac{1}{p\left(\infty \right)}}\left|Q\right|\ge 1.\end{array}$

这里 $p\left(\infty \right)=\underset{x\to \infty }{\lim }p\left(x\right)$ 。

引理4 [26] 设变指数 $p(\cdot ),q(\cdot ),s(\cdot )\in P\left(R^n\right)$ ，满足 $\frac{1}{s\left(x\right)}=\frac{1}{p\left(x\right)}+\frac{1}{q\left(x\right)}\left(x\in R^n\right)$ ，则有

${\Vert fg\Vert }_{L^{s(\cdot )}\left(R^n\right)}\le C{\Vert f\Vert }_{L^{p(\cdot )}\left(R^n\right)}{\Vert g\Vert }_{L^{q(\cdot )}\left(R^n\right)}.$

引理5 [27] 设 $p(\cdot )\in B\left(R^n\right)$ ，则存在常数 $C>0$ 使得对所有 $R^n$ 中的球B和所有的可测子集 $S\subset B$ ，都有

$\frac{{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{p(\cdot )}\left(R^n\right)}}{{\Vert {\chi }_S\Vert }_{L^{p(\cdot )}\left(R^n\right)}}\le C\frac{\left|B\right|}{\left|S\right|},\frac{{\Vert {\chi }_S\Vert }_{L^{p(\cdot )}\left(R^n\right)}}{{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{p(\cdot )}\left(R^n\right)}}\le C{\left(\frac{\left|S\right|}{\left|B\right|}\right)}^{{\delta }_1},\frac{{\Vert {\chi }_S\Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}\left(R^n\right)}}{{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}\left(R^n\right)}}\le C{\left(\frac{\left|S\right|}{\left|B\right|}\right)}^{{\delta }_2}.$

其中 ${\delta }_1,{\delta }_2$ 是常数且满足 $0<{\delta }_1,{\delta }_2<1$ 。

引理6 [28] 设 $p(\cdot ),\tilde{q}(\cdot )\in P\left(R^n\right)$ ，若 $q\in \left(p^{+},\infty \right)$ 且 $\frac{1}{p\left(x\right)}=\frac{1}{\tilde{q}\left(x\right)}+\frac{1}{q}$ ，则对任意的可测函数 $f,g$ 有

${\Vert fg\Vert }_{L^{p(\cdot )}\left(R^n\right)}\le C{\Vert f\Vert }_{L^{\tilde{q}(\cdot )}\left(R^n\right)}{\Vert g\Vert }_{L^q\left(R^n\right)}.$

定理1的证明：

不失一般性，设 $m=2$ ， $B\left(0,R\right)$ 简记为B。2B表示 $B\left(0,2R\right)$ 。 $L^{q(\cdot )}\left(R^n\right)$ 简记为 $L^{q(\cdot )}$ ， ${\stackrel{\dot{}}{B}}^{q(\cdot ),\lambda }\left(R^n\right)$ 简记为 ${\stackrel{\dot{}}{B}}^{q(\cdot ),\lambda }$ ，设 ${\chi }_E$ 为集合E的特征函数。 ${\left(b\right)}_B$ 表示函数b对球B的积分平均值。对任意的 $f\in {\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}$ ， $x\in R^n$ ，将函数 $f\left(x\right)$ 分成两部分，一部分靠近原点的记为 $f_1\left(x\right)$ ，一部分远离原点的记为 $f_2\left(x\right)$ ，即 $f\left(x\right)=f\left(x\right){\chi }_{2B}+f\left(x\right)\left(1-{\chi }_{2B}\right):=f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)$ ，要证

${\Vert {\chi }_B{T}_{\Omega ,\alpha ,\stackrel{\to }{b}}\left(f\right)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}\le C{\left|B\right|}^{\lambda }{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{q(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}.$ (6)

由Minkowski不等式，可得

$\begin{array}{l}{\Vert {\chi }_B{T}_{\Omega ,\alpha ,\stackrel{\to }{b}}(f)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}\le {\Vert {\chi }_B\left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right)\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)T_{\Omega ,\alpha }\left(f\right)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}+{\Vert {\chi }_B\left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right)T_{\Omega ,\alpha }\left(\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)f\right)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}\\ +{\Vert {\chi }_B\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)T_{\Omega ,\alpha }\left(\left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right)f\right)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}+{\Vert {\chi }_B{T}_{\Omega ,\alpha }\left(\left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right)\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)f\right)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}\\ :=I_1+I_2+I_3+I_4.\end{array}$

首先估计 $I_1$ 。

$\begin{array}{l}{I}_1\le {\Vert {\chi }_B\left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right)\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)T_{\Omega ,\alpha }\left(f_1\right)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}+{\Vert {\chi }_B\left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right)\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)T_{\Omega ,\alpha }\left(f_2\right)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}\\ :=I_{11}+I_{12}.\end{array}$

对于 $I_{11}$ ，设 $\frac{1}{t(\cdot )}=\frac{1}{p(\cdot )}-\frac{\alpha }{n}$ ， $\frac{1}{q(\cdot )}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\sum }}\frac{1}{s_i(\cdot )}+\frac{1}{t(\cdot )}}$ ，这里 $1<p(\cdot )<\frac{\alpha }{n}$ ，由引理2、引理3、引理4及 $T_{\Omega ,\alpha }$

的 $\left(L^{p(\cdot )},L^{t(\cdot )}\right)$ 有界性，可得

$\begin{array}{l}{I}_{11}\le {\Vert {\chi }_B{T}_{\Omega ,\alpha }\left(f_1\right)\Vert }_{L^{t(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert \left(b_i-{\left(b_i\right)}_B\right){\chi }_B\Vert }_{L^{s_i(\cdot )}}}\\ \le {\Vert f{\chi }_{2B}\Vert }_{L^{p(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}\left({\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}{\left|B\right|}^{u_i}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{s_i(\cdot )}}\right)}\\ \le {\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\left|B\right|}^v{\Vert {\chi }_{2B}\Vert }_{L^{p(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}\left({\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}{\left|B\right|}^{u_i}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{s_i(\cdot )}}\right)}\\ \le C{\left|B\right|}^{\lambda }{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{q(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}.}\end{array}$

这里

${\Vert {\chi }_{2B}\Vert }_{L^{p(\cdot )}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{s_1(\cdot )}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}\approx {\left|B\right|}_{}^{\frac{1}{p(\cdot )}+\frac{1}{s_1(\cdot )}+\frac{1}{s_2(\cdot )}}={\left|B\right|}_{}^{\frac{1}{q(\cdot )}+\frac{\alpha }{n}}={\left|B\right|}_{}^{\frac{\alpha }{n}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{q(\cdot )}}.$

对于 $I_{12}$ ，将区域分解为 $R^n$ 中的球层 $2^{k+1}B\backslash 2^{k}B$ ，然后在每一层进行估计。设 $\frac{1}{p_1(\cdot )}+\frac{1}{s}=\frac{1}{p^{\prime }(\cdot )}$ 。由此可得 $1-\frac{1}{s}-\frac{1}{p(\cdot )}>0$ 。由广义Hölder不等式和引理2、引理6，得

$\begin{array}{c}\left|T_{\Omega ,\alpha }\left(f_2\right)\left(x\right)\right|=\left|{\displaystyle {\int }_{R^n}\frac{\Omega \left(x-y\right)f_2\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{n-\alpha }}\text{d}y}\right|\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}}}{\displaystyle {\int }_{2^{k+1}B\backslash 2^{k}B}\left|\Omega \left(x-y\right)\right|\left|f_2\left(y\right)\right|\text{d}y}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}}}{\Vert \Omega \left(x-\cdot \right){\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}{\Vert f{\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p(\cdot )}}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}}}{\Vert \Omega \left(x-\cdot \right){\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^s\left(R^n\right)}{\Vert {\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p_1(\cdot )}}{\Vert f{\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p(\cdot )}}\end{array}$

设 $x\in B$ 且 $y\in 2^{k+1}B$ ， $x-y\in 2^{k+2}B$ 。由于 $\Omega$ 是零次齐次函数，且 $\Omega \in L^s\left(S^{n-1}\right)$ ，可得

$\begin{array}{c}{\Vert \Omega \left(x-\cdot \right){\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^s\left(R^n\right)}={\left({\displaystyle {\int }_{2^{k+1}B}{\left|\Omega \left(x-y\right)\right|}^s\text{d}y}\right)}^{\frac{1}{s}}\\ \le {\left({\displaystyle {\int }_{2^{k+2}B}{\left|\Omega \left(z\right)\right|}^s\text{d}z}\right)}^{\frac{1}{s}}\\ ={\left({\displaystyle {\int }_0^{2^{k+2}R}{\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}{\left|\Omega \left(z^{\prime }\right)\right|}^s\text{d}\sigma \left(z^{\prime }\right)r^{n-1}\text{d}r}}\right)}^{\frac{1}{s}}\\ =C{\Vert \Omega \Vert }_{L^s\left(S^{n-1}\right)}{\left|2^{k}B\right|}^{\frac{1}{s}}.\end{array}$

当 $\left|2^{k+1}B\right|\le 2^n$ 且 $x\in 2^{k+1}B$ ，由引理3和 $\frac{1}{p_1(\cdot )}+\frac{1}{s}=\frac{1}{p^{\prime }(\cdot )}$ ，可

${\Vert {\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p_1(\cdot )}}\approx {\left|2^{k+1}B\right|}_{}^{\frac{1}{p_1\left(x\right)}}\approx {\Vert {\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}{\left|2^{k+1}B\right|}_{}^{-\frac{1}{s}}.$

当 $\left|2^{k+1}B\right|\ge 1$ 时，有

${\Vert {\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p_1(\cdot )}}\approx {\left|2^{k+1}B\right|}_{}^{\frac{1}{p_1\left(\infty \right)}}\approx {\Vert {\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}{\left|2^{k+1}B\right|}_{}^{-\frac{1}{s}}.$

因此，

${\Vert {\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p_1(\cdot )}}\approx {\Vert {\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}{\left|2^{k+1}B\right|}_{}^{-\frac{1}{s}}.$

因为 $\lambda ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\sum }}{u}_i+v}+\frac{\alpha }{n}<0$ ，则 $v+\frac{\alpha }{n}<0$ ，由引理2可得

$\begin{array}{c}\left|T_{\Omega ,\alpha }\left(f_2\right)\left(x\right)\right|\le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}}}{\Vert \Omega \Vert }_{L^s\left(S^{n-1}\right)}{\left|2^{k}B\right|}^{\frac{1}{s}}{\Vert {\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p_1(\cdot )}}{\Vert f{\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p(\cdot )}}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}+\frac{1}{s}}{\Vert {\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p_1(\cdot )}}}{\left|2^{k}B\right|}^v{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\Vert {\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p(\cdot )}}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}+\frac{1}{s}}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}}{\left|2^{k}B\right|}^v{\Vert {\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p(\cdot )}}{\Vert {\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}{\left|2^{k}B\right|}^{-\frac{1}{s}}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{\frac{\alpha }{n}+v}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}}\end{array}$

因为 $\frac{1}{q(\cdot )}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\sum }}\frac{1}{s_i(\cdot )}+\frac{1}{t(\cdot )}}$ ，由引理3和引理4，得

$\begin{array}{c}{I}_{12}={\Vert {\chi }_B\left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right)\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)T_{\Omega ,\alpha }\left(f_2\right)\left(x\right)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{\frac{\alpha }{n}+v}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}}{\Vert {\chi }_B\left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right)\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}\\ \le C{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{\frac{\alpha }{n}+v}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{t(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert b_i-{\left(b_i\right)}_B\Vert }_{L^{s_i(\cdot )}}}\\ \le C{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{\frac{\alpha }{n}+v}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{t(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}\left({\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}{\left|B\right|}^{u_i}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{s_i(\cdot )}}\right)}\\ \le C{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\left|B\right|}^{\lambda }{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{q(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}}\end{array}$

下面估计 $I_2$ 。

$\begin{array}{l}{I}_2\le {\Vert {\chi }_B\left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right)T_{\Omega ,\alpha }\left(\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)f_1\right)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}+{\Vert {\chi }_B\left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right)T_{\Omega ,\alpha }\left(\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)f_2\right)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}\\ :=I_{21}+I_{22}.\end{array}$

对 $I_{21}$ ，设 $\frac{1}{q_1(\cdot )}=\frac{1}{l(\cdot )}-\frac{\alpha }{n}$ ， $\frac{1}{l(\cdot )}=\frac{1}{s_2(\cdot )}+\frac{1}{p(\cdot )}$ ，则 $\frac{1}{q(\cdot )}=\frac{1}{q_1(\cdot )}+\frac{1}{s_1(\cdot )}$ ，由引理3、引理4、引理5和 $T_{\Omega ,\alpha }$ 的 $\left(L^{l(\cdot )},L^{q_1(\cdot )}\right)$ 有界性，得

$\begin{array}{l}{I}_{21}\le {\Vert \left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right){\chi }_B\Vert }_{L^{s_1(\cdot )}}{\Vert T_{\Omega ,\alpha }\left(\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)f_1\right)\Vert }_{L^{q_1(\cdot )}}\\ \le {\Vert \left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right){\chi }_B\Vert }_{L^{s_1(\cdot )}}{\Vert \left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)f_1\Vert }_{L^{l(\cdot )}}\\ \le {\Vert \left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right){\chi }_B\Vert }_{L^{s_1(\cdot )}}{\Vert \left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right){\chi }_{2B}\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}{\Vert f_1\Vert }_{L^{p(\cdot )}}\\ \le {\Vert b_1\Vert }_{CBM{O}^{s_1(\cdot ),u_1}}{\left|B\right|}^{u_1}{\Vert {\chi }_{2B}\Vert }_{L^{s_1(\cdot )}}{\left|B\right|}^v{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\Vert {\chi }_{2B}\Vert }_{L^{p(\cdot )}}\\ \times \left({\Vert \left(b_2-{\left(b_2\right)}_{2B}\right){\chi }_{2B}\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}+{\Vert \left({\left(b_2\right)}_{2B}-{\left(b_2\right)}_B\right){\chi }_{2B}\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}\right)\\ \le C{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\left|B\right|}^{\lambda }{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{q(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}}\end{array}$

这里

$\begin{array}{l}\left|{\left(b_2\right)}_{2B}-{\left(b_2\right)}_B\right|\le \frac{1}{\left|B\right|}{\Vert \left(b_2-{\left(b_2\right)}_{2B}\right){\chi }_{2B}\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}{\Vert {\chi }_{2B}\Vert }_{L^{{s^{\prime }}_2(\cdot )}}\\ \le {\Vert \left(b_2-{\left(b_2\right)}_{2B}\right){\chi }_{2B}\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}\frac{1}{{\Vert {\chi }_{2B}\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}}\end{array}$

对 $I_{22}$ ，类似 $I_{12}$ 的分解。设 $\frac{1}{p^{\prime }(\cdot )}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s_2(\cdot )}$ ，则由Minkowski不等式和广义Hölder不等式及引理3、引理6，得

$\begin{array}{l}\left|T_{\Omega ,\alpha }\left(\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)f_2\right)\left(x\right)\right|=\left|{\displaystyle {\int }_{R^n}\frac{\Omega \left(x-y\right)f_2\left(y\right)\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)}{{\left|x-y\right|}^{n-\alpha }}\text{d}y}\right|\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}}}{\displaystyle {\int }_{2^{k+1}B\backslash 2^{k}B}\left|\Omega \left(x-y\right)\right|\left|b_2-{\left(b_2\right)}_B\right|\left|f_2\left(y\right)\right|\text{d}y}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}}}{\Vert \left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)\Omega \left(x-\cdot \right){\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}{\Vert f{\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p(\cdot )}}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}}{\Vert \left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right){\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}}{\Vert \Omega \left(x-\cdot \right){\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^s\left(R^n\right)}{\Vert f{\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p(\cdot )}}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}+\frac{1}{s}}}{\Vert \Omega \Vert }_{L^s\left(S^{n-1}\right)}{\left|2^{k+1}B\right|}^v{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{p(\cdot )}}\\ \times \left({\Vert \left(b_2-{\left(b_2\right)}_{2^{k+1}B}\right){\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}+{\Vert \left({\left(b_2\right)}_{2^{k+1}B}-{\left(b_2\right)}_B\right){\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}\right)\end{array}$

对于 $u_2>0$ ，有

$\begin{array}{c}\left|{\left(b_2\right)}_{2^{k+1}B}-{\left(b_2\right)}_B\right|\le {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{k}{\sum }}\left|{\left(b_2\right)}_{2^{i+1}B}-{\left(b_2\right)}_{2^{i}B}\right|}\\ \le {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{k}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{2^{i}B}\left|b_2\left(y\right)-{\left(b_2\right)}_{2^{i+1}B}\right|\text{d}y}}\\ \le {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{k}{\sum }}\frac{1}{\left|2^{i}B\right|}}{\Vert \left(b_2(\cdot )-{\left(b_2\right)}_{2^{i+1}B}\right){\chi }_{2^{i+1}B}\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}{\Vert {\chi }_{2^{i+1}B}\Vert }_{L^{{s^{\prime }}_2(\cdot )}}\\ \le {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{k}{\sum }}\frac{1}{\left|2^{i}B\right|}}{\Vert \left(b_2(\cdot )-{\left(b_2\right)}_{2^{i+1}B}\right){\chi }_{2^{i+1}B}\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}\frac{\left|2^{i+1}B\right|}{{\Vert {\chi }_{2^{i+1}B}\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}}\\ \le C{\Vert b_2\Vert }_{CBM{O}^{s_2(\cdot ),u_2}}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{k}{\sum }}{\left|2^{i+1}B\right|}^{u_2}{\Vert {\chi }_{2^{i+1}B}\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}}\frac{1}{{\Vert {\chi }_{2^{i+1}B}\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}}\\ \le C{\Vert b_2\Vert }_{CBM{O}^{s_2(\cdot ),u_2}}\left(k+1\right){\left|2^{k+1}B\right|}^{u_2}\end{array}$

由引理3得

$\begin{array}{l}\left|T_{\Omega ,\alpha }\left(\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)f_2\right)\left(x\right)\right|\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}+\frac{1}{s}+v}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{p(\cdot )}}{\Vert b_2\Vert }_{CBM{O}^{s_2(\cdot ),u_2}}\left(k+1\right){\left|2^{k+1}B\right|}^{u_2}{\Vert {\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{s_2(\cdot )}}}\\ \le C{\Vert b_2\Vert }_{CBM{O}^{s_2(\cdot ),u_2}}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}k{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}+\frac{1}{s}+v+u_2+1-\frac{1}{s}}}\\ \le C{\left|B\right|}^{u_2+\frac{\alpha }{n}+v}{\Vert b_2\Vert }_{CBM{O}^{s_2(\cdot ),u_2}}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}k{2}^{kn\left(u_2+\frac{\alpha }{n}+v\right)}}\\ \le C{\left|B\right|}^{u_2+\frac{\alpha }{n}+v}{\Vert b_2\Vert }_{CBM{O}^{s_2(\cdot ),u_2}}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}\end{array}$

由此可得

$\begin{array}{l}{I}_{22}\le C{\left|B\right|}_{}^{u_2+\frac{\alpha }{n}+v}{\Vert b_2\Vert }_{CBM{O}^{s_2(\cdot ),u_2}}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\Vert b_1-{\left(b_1\right)}_B{\chi }_B\Vert }_{L^{q(\cdot )}}\\ \le C{\left|B\right|}_{}^{u_2+\frac{\alpha }{n}+v}{\Vert b_2\Vert }_{CBM{O}^{s_2(\cdot ),u_2}}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\Vert b_1-{\left(b_1\right)}_B\Vert }_{L^{s_1(\cdot )}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{q_1(\cdot )}}\\ \le C{\left|B\right|}_{}^{u_1+u_2+\frac{\alpha }{n}+v}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{q_1(\cdot )}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{s_1(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}}\\ \le C{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\left|B\right|}^{\lambda }{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{q(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}}\end{array}$

类似于 $I_2$ 的估计。可得

$I_3\le C{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\left|B\right|}^{\lambda }{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{q(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}}.$

下面估计 $I_4$ 。

$\begin{array}{l}{I}_4\le {\Vert {\chi }_B{T}_{\Omega ,\alpha }\left(\left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right)\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)f_1\right)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}+{\Vert {\chi }_B{T}_{\Omega ,\alpha }\left(\left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right)\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)f_2\right)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}\\ :=I_{41}+I_{42}.\end{array}$

对 $I_{41}$ ，设 $\frac{1}{t(\cdot )}=\frac{1}{s_1(\cdot )}+\frac{1}{s_2(\cdot )}+\frac{1}{p(\cdot )}$ ，则 $\frac{1}{q(\cdot )}=\frac{1}{t(\cdot )}-\frac{\alpha }{n}$ ，由 $T_{\Omega ,\alpha }$ 的 $\left(L^{q(\cdot )},L^{t(\cdot )}\right)$ 有界性，得

$\begin{array}{l}{I}_{41}\le C{\Vert \left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right)\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)f_1\Vert }_{L^{t(\cdot )}}\\ \le C{\Vert f_1\Vert }_{L^{p(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert \left(b_i-{\left(b_i\right)}_B\right){\chi }_{2B}\Vert }_{L^{s_i(\cdot )}}}\\ \le C{\left|2B\right|}^v{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{p(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}\left({\Vert \left(b_i-{\left(b_i\right)}_{2B}\right){\chi }_{2B}\Vert }_{L^{s_i(\cdot )}}+{\Vert \left({\left(b_i\right)}_{2B}-{\left(b_i\right)}_B\right){\chi }_{2B}\Vert }_{L^{s_i(\cdot )}}\right)}\\ \le C{\left|2B\right|}^v{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{p(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}{\left|2B\right|}^{u_i}{\Vert {\chi }_{2B}\Vert }_{L^{s_i(\cdot )}}}\\ \le C{\left|2B\right|}^{\lambda }{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{p(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}}\end{array}$

对 $I_{42}$ ，设 $\frac{1}{p^{\prime }(\cdot )}=\frac{1}{s}+\frac{1}{p_1(\cdot )}$ ， $\frac{1}{p_1(\cdot )}=\frac{1}{s_1(\cdot )}+\frac{1}{s_2(\cdot )}$ ，由广义Hölder不等式和引理2、引理3，得

$\begin{array}{l}\left|T_{\Omega ,\alpha }\left(\left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right)\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)f_2\right)\left(x\right)\right|\\ \le \left|{\displaystyle {\int }_{R^n}\frac{\Omega \left(x-y\right)f_2\left(y\right)\left(b_1-{\left(b_1\right)}_B\right)\left(b_2-{\left(b_2\right)}_B\right)}{{\left|x-y\right|}^{n-\alpha }}\text{d}y}\right|\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}}}{\displaystyle {\int }_{2^{k+1}B\backslash 2^{k}B}\left|\Omega \left(x-y\right)\right|\left|b_1-{\left(b_1\right)}_B\right|\left|b_2-{\left(b_2\right)}_B\right|\left|f_2\left(y\right)\right|\text{d}y}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert \left(b_i-{\left(b_i\right)}_B\right)\Omega \left(x-\cdot \right){\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}{\Vert f{\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p(\cdot )}}}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}}{\Vert \Omega \left(x-\cdot \right){\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^s\left(R^n\right)}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert \left(b_i-{\left(b_i\right)}_B\right){\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p_1(\cdot )}}{\Vert f{\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{p(\cdot )}}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}+\frac{1}{s}}}{\Vert \Omega \Vert }_{L^s\left(S^{n-1}\right)}{\left|2^{k+1}B\right|}^v{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{p(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert \left(b_i-{\left(b_i\right)}_B\right){\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{s_i(\cdot )}}}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|2^{k}B\right|}^{-1+\frac{\alpha }{n}+\frac{1}{s}}{\Vert \Omega \Vert }_{L^s\left(S^{n-1}\right)}{\left|2^{k+1}B\right|}^v{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{q(\cdot ),v}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{p(\cdot )}}}\\ \times {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}\left({\Vert \left(b_i-{\left(b_i\right)}_{2^{k+1}B}\right){\chi }_{2^{k+1}B}\Vert }_{L^{s_i(\cdot )}}+\left|{\left(b_i\right)}_{2^{k+1}B}-{\left(b_i\right)}_B\right|{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{s_i(\cdot )}}\right)}\\ \le C{\left|B\right|}^{\lambda }{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}k{2}^{kn\lambda }}\\ \le C{\left|B\right|}^{\lambda }{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}}.\end{array}$

由以上估计可得

$I_{42}\le C{\left|B\right|}^{\lambda }{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{q(\cdot ),v}}{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{q(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}}.$

综合上述对 $I_1$ ， $I_2$ ， $I_3$ ， $I_4$ 的估计，可得

${\Vert {\chi }_B{T}_{\Omega ,\alpha ,\stackrel{\to }{b}}\left(f\right)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}\le C{\left|B\right|}^{\lambda }{\Vert {\chi }_B\Vert }_{L^{q(\cdot )}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\prod }}{\Vert b_i\Vert }_{CBM{O}^{s_i(\cdot ),u_i}}}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}^{p(\cdot ),v}}.$

这就证明了定理1。

4. 结论

本文主要研究分数次积分和 $\lambda$ -中心BMO函数生成的多线性交换子在变指数中心Morrey空间上的有界性，本文得到的结论是文献 [13] 中一阶交换子有界性的推广，当 $b_1\left(x\right)=\cdots =b_n\left(x\right)$ ， $b_1\left(y\right)=\cdots =b_n\left(y\right)$ ，我们也可以得到分数次积分高阶交换子的有界性。因此，本文的结论丰富了变指数中心Morrey空间上多线性算子理论。

致谢

感谢审稿人对本文提出的修改意见！

基金项目

兰州财经大学青年项目(Lzufe2022D-002)；甘肃自然科学基金(22JR5RA556)；甘肃省高等学校创新能力提升资助项目(2020B-142)。