模糊赋范Riesz空间上模糊算子的研究

Research on Fuzzy Operators on Fuzzy Normed Riesz Space

摘要: 本文在模糊赋范Riesz空间中引入-α范数，给出弱模糊范数有界线性泛函的定义。研究了模糊序有界线性泛函与弱模糊范数有界线性泛函之间的关系。在模糊Banach格上，模糊序有界线性泛函和弱模糊范数有界线性泛函是等价的。

Abstract: In this paper, α-norm is introduced in fuzzy normed Riesz space, and the definition of fuzzy weak norm bounded linear functional is given. The relationship between fuzzy ordered bounded linear functionals and fuzzy weakly norm bounded linear functionals is studied. On fuzzy Banach lattices, fuzzy order bounded linear functionals and fuzzy weak norm bounded linear functionals are equivalent.

1. 引言

模糊数学是一门研究模糊概念和模糊集合理论的学科，而泛函分析是研究赋范空间和度量空间的数学分支。模糊赋范Riesz空间是具有模糊结构和范数的Riesz空间。在实际应用中，模糊赋范Riesz空间可以用来描述一些模糊性质较强的问题，比如模糊逻辑和模糊决策问题。其理论和方法可以为处理这类模糊问题提供一种新的算法和工具。

自1965年，Zadeh [1] [2] 提出模糊集和模糊序的概念后，1984年，Katsaras [3] 引入模糊半赋范和模糊赋范线性空间的概念，并研究它们的一些基本性质。1992年Venugopalan [4] 系统讨论模糊序集的一些基本性质，如上(下)确界、幂等性、交换性、吸收性等，引入了模糊偏序集的概念。同年，Felbin [5] 引入一种模糊赋范线性空间，证明模糊赋范线性空间的有限维模糊子空间是完备模糊赋范线性空间。

1994年，Beg和Islam [6] 讨论了模糊Riesz空间中元素与其正部、负部、绝对值之间的运算关系，并研究了模糊Riesz分解性。1995年，Beg和Islam [7] 讨论了模糊序收敛的相关性质，并讨论了模糊序线性空间中元素上确界和下确界的相关等式。2003年，Bag和Samanta [8] 给出了线性空间上模糊范数的定义。建立了模糊范数的分解定理并研究了有限维模糊赋范空间的相关性质。2005年，Bag和Samanta [9] 引入模糊赋范线性空间上线性算子有界性概念，定义两类模糊有界线性算子(强算子和弱算子)，并研究了模糊连续性与模糊有界性之间的关系。在模糊赋范线性空间中，证明了Hahn-Banach定理、开映射定理、闭图像定理和一致有界定理。2015年，Hong [10] 定义并研究了模糊Riesz子空间、模糊理想、模糊带和模糊带投影等概念。2018年，Park [11] 在模糊赋范Riesz空间中研究了模糊序列的一致有界性和收敛性，并证明了模糊Banach Riesz空间中格同态的Hyers-Ulam稳定性。2020年，Iqbal [12] 给出了模糊Riesz同构的条件。2021年，Guirao [13] 等人研究了模糊Riesz空间上模糊正算子绝对值的存在性，并讨论了模糊序有界线性算子的格运算公式。2022年，Bashir和Iqbal [14] 研究了模糊Banach格中的无界模糊范数收敛。

本文的结构如下：在第二节中，我们给出了与本文研究相关的一些定义和定理，以及相关结论。第三节是本文的主要结论，其中我们在模糊赋范Riesz空间中引入 $\alpha$ -范数，给出弱模糊范数有界线性泛函的定义。讨论了模糊序有界线性泛函与弱模糊范数有界线性泛函之间的关系。在模糊Banach格上，模糊序有界线性泛函和弱模糊范数有界线性泛函是等价的。

2. 预备知识

定义2.1 [2] 设H是论域。H中的模糊关系如果满足以下条件：

(i) 假设 $k\in H$ ，则 $\mu \left(k,k\right)=1$ (自反性)；

(ii) 假设 $k,l\in H$ ，若 $\mu \left(k,l\right)+\mu \left(l,k\right)>1$ ，则 $k=l$ (反对称性)；

(iii) 假设 $k,s\in H$ ，则 $\mu \left(k,s\right)\ge {\vee }_{l\in H}\left[\mu \left(k,l\right)\wedge \mu \left(l,s\right)\right]$ (传递性)。

则称其为模糊偏序关系，其中 $\mu :H\times H\to \left[0,1\right]$ 是 $H\times H$ 的模糊子集的隶属函数。若集合H存在模糊偏序关系 $\mu$ ，则称H是模糊偏序集，记作 $\left(H,\mu \right)$ 。

定义2.2 [4] 设 $\left(H,\mu \right)$ 是模糊偏序集。若H的所有有限子集都有上确界和下确界，则称H是模糊格。若H的任意子集都有上确界和下确界，则H称为完备的模糊格。

定义2.3 [5] 设 $\left(H,\mu \right)$ 是模糊序线性空间。若 $\left(H,\mu \right)$ 也是模糊格，则 $\left(H,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间。

定义2.4 [10] 设 $\left(H,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间。H中所有正元素组成的集合称为H的正部，记为H⁺，且

$H^{+}=\left\{u\in H|\mu \left(0,u\right)>\frac{1}{2}\right\}$ 。

定义2.5 [10] 假设 $\left(H,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，Q是H的子空间，如果它满足以下两个条件：

(i) $u\in Q$ 当且仅当 $\left|u\right|\in Q$ ；

(ii)对任意 $v\in Q$ ，且 $\mu \left(u,v\right)>\frac{1}{2}$ ，有 $u\in Q$ 。

则Q是H的模糊理想。

定义2.6 [10] 设 $\left(H,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，B是H中的模糊理想。B是模糊带当且仅当 $Q\subset B$ 且 $u=\sup Q$ 时，有 $u\in B$ 。设Q是H的子集。H中包含Q最小模糊带被称为由Q生成的模糊带，记作 $B_Q$ 。如果Q是单元集，即 $Q=\left\{u\right\}$ (其中 $u\in H$ )，则 $B_Q$ 常写为 $B_u$ ，并称 $B_u$ 为由元素u生成的模糊正则带。

定义2.7 [10] 设 $\left(H,\mu \right)$ ， $\left(L,\eta \right)$ 是模糊Riesz空间， $G:\left(H,\mu \right)\to \left(L,\eta \right)$ 是线性算子。若 $\mu \left(0,u\right)>\frac{1}{2}$ ，有 $\eta \left(0,G\left(u\right)\right)>\frac{1}{2}$ ，则称G是模糊正算子。

定义2.8 [12] 设 $\left(H,\mu \right)$ ， $\left(L,\eta \right)$ 是模糊Riesz空间， $G:\left(H,\mu \right)\to \left(L,\eta \right)$ 是正线性算子，则

(i) 当 $C\subseteq H$ 是模糊序有界时， $G\left(C\right)\subseteq L$ 是模糊序有界的，称G是模糊序有界算子；

(ii) 若在H中，可由 $k_{\lambda }\to 0\left(fo\right)$ 推得 $G\left(k_{\lambda }\right)\to 0\left(fo\right)$ ，称G是模糊序连续算子；

(iii) 若在H中，可由 ${\left(k_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\to 0\left(fo\right)$ 推得 $G{\left(k_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\to 0\left(fo\right)$ ，称G是模糊 $\sigma$ -序连续算子。

定义2.9 [11] 设 $\left(H,\le \right)$ 是模糊Riesz空间。函数 $N:H\times R\to \left[0,1\right]$ 称为H上的模糊Riesz范数，若对任意 $u,v\in H$ ， $k,l\in R$ 。

(i) 当 $l\le 0$ 时，有 $N\left(u,l\right)=0$ ；

(ii) $u=0$ 当且仅当对任意 $l>0$ ，有 $N\left(u,l\right)=1$ ；

(iii) 若 $\alpha \ne 0$ ，则 $N\left(\alpha u,l\right)=N\left(u,\frac{l}{\left|\alpha \right|}\right)$ ；

(iv) $N\left(u+v,k+l\right)\ge \min \left\{N\left(u,k\right),N\left(v,l\right)\right\}$ ；

(v) $N\left(u,\cdot \right)$ 是R上的一个非递减函数并且 $\underset{l\to \infty }{\lim }N\left(u,l\right)=1$ ；

(vi) 若 $u\ne 0$ ，则 $N\left(u,\cdot \right)$ 在R上连续；

(vii) 当 $\left|u\right|\le \left|v\right|$ 时， $N\left(u,l\right)\ge N\left(v,l\right)$ 。

则称 $\left(H,\le ,N\right)$ 是模糊赋范Riesz空间。

例子2.10 [11] 设 $\left(H,\le ,\Vert \cdot \Vert \right)$ 是赋范Riesz空间，定义：

$N\left(u,t\right)=\{\begin{array}{l}0,若t\le \Vert u\Vert \\ 1,若t>\Vert u\Vert \end{array}$

则 $\left(H,\le ,\Vert \cdot \Vert \right)$ 是模糊赋范Riesz空间。

定义2.11 [11] 设 $\left(H,\le ,N\right)$ 是模糊赋范Riesz空间。对任意序列 $\left\{v_n\right\}\in H$ ，如果对任意 $\epsilon >0$ ， $\delta >0$ 存在 $n_0$ 使得 $N\left(v_m-v_n,\delta \right)>1-\epsilon$ ， $\left(m,n\ge n_0\right)$ ，则序列 $\left\{v_n\right\}$ 是模糊柯西序列。

定理2.12 [11] 设 $\left(H,\le ,N\right)$ 是模糊赋范Riesz空间。对任意递增收敛序列 $\left\{v_n\right\}\in H$ 都有

$\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(v_n-u,l\right)=1$ ( $l>0$ )，则 $u=\sup \left\{v_n:n=0,1,2,\cdots \right\}$ 。

定义2.13 [9] 设 $\left(H,N_1\right)$ ， $\left(L,N_2\right)$ 是模糊赋范线性空间， $G:\left(H,N_1\right)\to \left(L,N_2\right)$ 是线性算子。G弱模

糊范数有界当且仅当对任意 $\alpha \in \left(0,1\right)$ ， $u\in H$ ， $l\in R$ ，存在 $M_{\alpha }>0$ ，使得 当 $N_1\left(u,\frac{l}{M_{\alpha }}\right)\ge \alpha$ 时，有

$N_2\left(T\left(u\right),l\right)\ge \alpha$ 。

3. 弱模糊范数有界线性泛函

本章我们在文献 [8] [9] 所提出的模糊赋范线性空间和模糊赋范Riesz空间的基础上，引入模糊 $\alpha$ -范数，并给出模糊线性泛函的 $\alpha$ -范数形式。证明在 $\alpha$ -范数下 $\left(H^{\prime },\eta ,{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }\right)$ 是模糊Banach格。最后讨论弱模糊范数有界线性泛函与模糊序有界线性泛函的关系。

定理3.1 [15] 设 $\left(H,\mu ,N\right)$ 是模糊赋范Riesz空间。

(viii) 对任意 $u\in H$ ， $l>0$ ，若 $N\left(u,l\right)>0$ ，则 $u=0$ 。定义：

${\Vert u\Vert }_{\alpha }=\inf \left\{l>0:N\left(u,l\right)\ge \alpha \right\}\text{,}\alpha \in \left(0,1\right)$

则 $\left\{{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }:\alpha \in \left(0,1\right)\right\}$ 是H上的一个升序范数族。这个范数是H相对于模糊范数N的 $\alpha$ -范数。

注解3.2 设 $\left(H,\mu ,N\right)$ 是满足条件(viii)的模糊赋范Riesz空间，则对任意 $k,l\in H$ ，当 $\mu \left(k,l\right)>\frac{1}{2}$ 时，

${\Vert k\Vert }_{\alpha }\le {\Vert l\Vert }_{\alpha }$ 。

注解3.3 在模糊赋范Riesz空间中，模糊序列关于模糊范数的收敛性与关于模糊 $\alpha$ -范数的收敛性相

同。即对任意 $\left\{u_n\right\}\in H$ ， $l>0$ ，有 $\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(u_n-u,l\right)=1$ 当且仅当对任意 $\alpha \in \left(0,1\right)$ ，有 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert u_n-u\Vert }_{\alpha }=0$ 。

注解3.4 定义函数 $N:H\times H\to \left[0,1\right]$ ， $N\left(u,l\right)=\{\begin{array}{l}0,若l\le \left|u\right|\\ 1,若l>\left|u\right|\end{array}$ 。通过证明N构成R上的模糊范数，可

以得到R是具有模糊范数N的Riesz空间。如果模糊赋范Riesz空间 $\left(H,\mu ,N\right)$ 满足条件(viii)，则

${\Vert u\Vert }_{\alpha }=\inf \left\{l>0:N\left(u,l\right)\ge \alpha \right\},\alpha \in \left(0,1\right)=\inf \left\{l>0:l>\left|u\right|\right\}=\left|u\right|$

定义3.5 设 $\left(H,\mu ,N\right)$ 是模糊赋范Riesz空间， $H^{\prime }$ 表示H上关于弱模糊范数有界的线性泛函的集合。设 $\xi \in H^{\prime }$ ，定义：

${\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }=\sup \left\{\frac{\left|\xi \left(u\right)\right|}{{\Vert u\Vert }_{\alpha }}:u\in H,u\ne 0\right\}$ ， $\forall \alpha \in \left(0,1\right)$

则 $\left\{{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }:\alpha \in \left(0,1\right)\right\}$ 是 $H^{\prime }$ 上的一个升序范数族。

定理3.6 设 $\left(H,\mu ,N\right)$ 是满足条件(viii)的模糊赋范Riesz空间，设 $\xi$ 是H上的模糊线性泛函。则 $\xi$ 是弱模糊范数有界当且仅当对任意 $\alpha \in \left(0,1\right)$ ，存在 $G_{\alpha }>0$ ，使得 $\left|\xi \left(u\right)\right|\le G_{\alpha }\cdot {\Vert u\Vert }_{\alpha }^1$ 成立。

证明：根据文献 [9] 中定理3.8，如果我们考虑模糊赋范线性空间上的线性泛函，即使我们用模糊赋范Riesz空间代替这个空间，这个证明依然是成立的。

在模糊赋范Riesz空间中，每一个模糊收敛序列都是模糊柯西序列。如果每个模糊柯西序列都收敛，则称这个模糊赋范Riesz空间为完备空间，也称模糊Banach格。

定理3.7 设 $\left(H,\mu ,{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\right)$ 是满足条件(viii)的模糊赋范Riesz空间，设 $\xi$ 是H上的弱模糊范数有界线性泛函，则 $\left(H^{\prime },\eta ,{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }\right)$ 是模糊Banach格。

证明：假设 $\left\{{\xi }_n:n=1,2,\cdots \right\}$ 是 $H^{\prime }$ 中的模糊柯西序列，则对任意 $\epsilon >0$ ， $n\le m$ ，都有 ${\Vert {\xi }_n-{\xi }_m\Vert }_{\alpha }{}^{\prime }\le \epsilon$ ，且存在 $G_{\alpha }>0$ ，使得对任意 $u\in H$ 及一切 ${\xi }_n$ ，有 $\left|{\xi }_n\left(u\right)\right|\le G_{\alpha }\cdot {\Vert u\Vert }_{\alpha }^1$ 。

对任意 $u\in H$ ，有 $\left|{\xi }_n\left(u\right)-{\xi }_m\left(u\right)\right|\le {\Vert {\xi }_n-{\xi }_m\Vert }_{\alpha }{}^{\prime }{\Vert u\Vert }_{\alpha }^1\to 0$ ( $n\le m\to \infty$ )，则序列 $\left\{{\xi }_n\left(u\right):n=1,2,\cdots \right\}$ 是R中的模糊柯西序列。注意到R是模糊Banach格，则存在 $\xi \left(u\right)$ ，使得 ${\xi }_n\left(u\right)\to \xi \left(u\right)$ ， $\left|{\xi }_n\left(u\right)\right|\to \left|\xi \left(u\right)\right|$ ，且 $\xi \in H^{\prime }$ (对任意 $u\in H$ 及一切 ${\xi }_n$ ，都有 $\left|{\xi }_n\left(u\right)\right|\le G_{\alpha }\cdot {\Vert u\Vert }_{\alpha }^1$ )。

给定 $\epsilon >0$ ，当 $m\to \infty$ 时， $\left|{\xi }_n\left(u\right)-{\xi }_m\left(u\right)\right|\to \left|{\xi }_n\left(u\right)-\xi \left(u\right)\right|$ ，且对一切 $n\left(\epsilon \right)\le n\le m$ ，有 $\left|{\xi }_n\left(u\right)-{\xi }_m\left(u\right)\right|\le \epsilon \cdot {\Vert u\Vert }_{\alpha }^1$ 。则对一切 $n\left(\epsilon \right)\le n$ ， $u\in H$ ，有

$\left|{\xi }_n\left(u\right)-\xi \left(u\right)\right|\le \epsilon \cdot {\Vert u\Vert }_{\alpha }^1$

所以 ${\Vert {\xi }_n-\xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }\le \epsilon$ 。因此， $\left(H^{\prime },\eta ,{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }\right)$ 是模糊Banach格。

假设 $\left(H,\mu \right)$ ， $\left(L,\eta \right)$ 是模糊Riesz空间，G是H到L的模糊正线性算子。 ${\mathcal{L}}_b\left(H,L\right)$ 表示从H到L的所有模糊序有界线性算子的集合， ${\mathcal{L}}_n\left(H,L\right)$ 表示从H到L所有模糊序连续线性算子。此外，H上所有模糊线性泛函，记为 $H^{~}$ ，即 $H^{~}={\mathcal{L}}_b\left(H,R\right)$ 。同样地， $H_n^{~}={\mathcal{L}}_n\left(H,R\right)$ 。

定理3.8 [16] 设 $\left(H,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间， $\xi$ 是H上模糊线性泛函。则 $\xi$ 是模糊序有界线性泛函当且仅当对任意模糊(相对)一致收敛于0的序列 $\left\{u_n:n=1,2,\cdots \right\}\in H^{+}$ ，都有 $\xi \left(u_n\right)\to 0$ 。

引理3.9 设 $\left(H,\mu ,{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\right)$ 是模糊赋范Riesz空间，设 $\xi$ 是H上的弱模糊范数有界线性泛函，则 $\xi \in H^{~}$ 。此外，若 $\left|\xi \right|\in H^{\prime }$ ，则 ${\Vert \left|\xi \right|\Vert }_{\alpha }{}^{\prime }={\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }$ 。

证明：要证明 $\xi \in H^{\prime }$ 是模糊序有界的，则需证明 $\left\{\left|\xi \left(w\right)\right|:v,w\in H^{+}\text{,}\mu \left(\left|w\right|,v\right)>\frac{1}{2}\right\}$ 是有限的。由于 $\xi$ 是

弱模糊范数有界的，则存在 $G_{\alpha }>0$ ，使得对任意 $\alpha \in \left(0,1\right)$ ，使得 $\left|\xi \left(w\right)\right|\le G_{\alpha }{\Vert w\Vert }_{\alpha }^1$ 成立。

假设 $w\in H$ 满足条件 $\mu \left(w,v\right)>\frac{1}{2}$ ，则对任意 $\alpha \in \left(0,1\right)$ ，有 ${\Vert w\Vert }_{\alpha }^1\le {\Vert v\Vert }_{\alpha }^1$ 。因此，

$\left|\xi \left(v\right)\right|\le {\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }\cdot {\Vert v\Vert }_{\alpha }^1\le G_{\alpha }\cdot {\Vert v\Vert }_{\alpha }^1<\infty$

则 $\xi \in H^{~}$ ，由此可得 $\left|\xi \right|\in H^{~}$ 。

令 $\left|\xi \right|\in H^{\prime }$ ， $\xi \le \left|\xi \right|$ ，则 ${\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }\le {\Vert \left|\xi \right|\Vert }_{\alpha }{}^{\prime }$ 。

相反地，对任意 $v\in H^{+}$ ，我们有 $\left|\xi \right|\left(v\right)=\sup \left\{\left|\xi \left(x\right)\right|:\mu \left(\left|x\right|,v\right)>\frac{1}{2}\right\}\le {\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }\cdot {\Vert v\Vert }_{\alpha }^1$ ，

则 $\sup \left\{\left|\xi \left(v\right)\right|:v\in H^{+},{\Vert v\Vert }_{\alpha }^1\le 1,\alpha \in \left(0,1\right)\right\}\le {\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }$ 。由文献 [17] 中引理25.6知，对任意 $0\le \xi \in H^{~}$ ，有

$\sup \left\{\xi \left(v\right):v\in H^{+},{\Vert v\Vert }_{\alpha }^1\le 1,\alpha \in \left(0,1\right)\right\}=\sup \left\{\left|\xi \left(x\right)\right|:x\in H,{\Vert x\Vert }_{\alpha }^1\le 1,\alpha \in \left(0,1\right)\right\}$

又由 ${\Vert \left|\xi \right|\Vert }_{\alpha }{}^{\prime }=\sup \left\{\left|\left|\xi \right|\left(v\right)\right|:v\in H,{\Vert v\Vert }_{\alpha }^1\le 1,\alpha \in \left(0,1\right)\right\}$ ，得

${\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }=\sup \left\{\left|\xi \right|\left(v\right):v\in H^{+},{\Vert v\Vert }_{\alpha }^1\le 1,\alpha \in \left(0,1\right)\right\}$

由文献 [13] 中定理1可知， ${\Vert \left|\xi \right|\Vert }_{\alpha }{}^{\prime }\le {\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }$ 。因此， ${\Vert \left|\xi \right|\Vert }_{\alpha }{}^{\prime }={\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }$ 。

定理3.10设 $\left(H,\mu ,{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\right)$ 是模糊赋范Riesz空间，则 $H^{\prime }$ 是 $H^{~}$ 中的理想。

证明：在引理3.9中，我们已证得 $H^{\prime }$ 是 $H^{~}$ 的一个子空间，所以下面我们只需证明若 $\xi \in H^{\prime }$ 使得 $\left|\rho \right|\le \left|\xi \right|$ ，则 $\rho \in H^{\prime }$ 。由于 $\left|\rho \right|\le \left|\xi \right|$ ，对任意 $u\in H$ ，有 $\left|\rho \left(u\right)\right|\le \left|\xi \left(u\right)\right|$ ，并可由 $\left|\xi \left(u\right)\right|\le G_{\alpha }{\Vert u\Vert }_{\alpha }^1$ 推得 $\left|\rho \left(u\right)\right|\le \left|\xi \left(u\right)\right|\le G_{\alpha }{\Vert u\Vert }_{\alpha }^1$ 。因此， $\rho \in H^{\prime }$ 。

下面我们将用一个例子来说明 $H^{~}$ 中的理想 $H^{\prime }$ 不是带。

例子3.11 设 $\left(L,\eta \right)$ 是由所有模糊序有界序列组成的模糊Riesz空间，其中的理想 $\left(H,\mu ,{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\right)$ 是由 $u=\left(u_1,u_2,\cdots \right)$ 组成，使得 $u_l=1$ 仅对有限个l成立，其余为0。设 $\xi$ 是H上正线性泛函，对任意 $u\in H$ ，

有 $\xi \left(u\right)={\displaystyle \underset{l=1}{\overset{\infty }{\sum }}l{u}_l}$ ，则 $\xi \in H^{~}$ 。令 ${\xi }_m\left(u\right)={\displaystyle \underset{l=1}{\overset{m}{\sum }}l{u}_l}$ ( $m=1,2,\cdots$ )，则对任意m，有 $0\le {\xi }_m\in H^{\prime }$ 和 ${\xi }_m\uparrow \xi$ 。然而， $\xi \left(u\right)={\displaystyle \underset{l=1}{\overset{\infty }{\sum }}l{u}_l}$

$\left|\xi \left(u\right)\right|=\left|{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{\infty }{\sum }}l{u}_l}\right|\le 1\cdot {\Vert u_1\Vert }_{\alpha }^1+2\cdot {\Vert u_2\Vert }_{\alpha }^1+\cdots$

显然不存在 $G_{\alpha }$ 使得 $\left|\xi \left(u\right)\right|\le G_{\alpha }\cdot {\Vert u\Vert }_{\alpha }^1$ 成立，所以 $\xi \notin H^{\prime }$ 。 因此， $H^{\prime }$ 不是 $H^{~}$ 中的带。

定理3.12 设 $\left(H,\mu ,{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\right)$ 是模糊赋范Riesz空间，若 $H^{~}$ 是模糊Dedekind完备的，则 $H^{\prime }$ 也是模糊Dedekind完备的，并且 $H^{\prime }$ 中的模糊范数是模糊Riesz范数。此外，若 ${\xi }_0\in {\left(H^{\prime }\right)}^{+}$ 且 $Q=\left\{\xi :\xi \in {\left(H^{\prime }\right)}^{+}\right\}$ 是一向上集，使得 $Q\uparrow {\xi }_0$ 成立，则有 $\left\{{\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }:\xi \in Q\right\}\uparrow {\Vert {\xi }_0\Vert }_{\alpha }{}^{\prime }$ 。

证明：假设Q是 ${\left(H^{\prime }\right)}^{+}$ 的非空子集， $\xi \in {\left(H^{\prime }\right)}^{+}$ 是Q的上界。则 $g_0=\sup Q$ 存在于 $H^{~}$ 中(由于 $H^{~}$ 是模糊Dedekind完备)。由 $0\le g_0\le \xi$ ，可得 $g_0\in H^{\prime }$ ，则 $H^{\prime }$ 是一个模糊的Dedekind完备Riesz空间。在引理3.9中，我们已证得对任意 $\xi \in H^{\prime }$ 都有 ${\Vert \left|\xi \right|\Vert }_{\alpha }{}^{\prime }={\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }$ 成立，且对任意 $\xi ,g\in {\left(H^{\prime }\right)}^{+}$ ，当 $\xi \ge g$ 时，有 ${\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }\ge {\Vert g\Vert }_{\alpha }{}^{\prime }$ ，因此 $H^{\prime }$ 中的模糊范数是模糊Riesz范数。

假设 $Q=\left\{\xi :\xi \in {\left(H^{\prime }\right)}^{+}\right\}$ 是一个向上集满足 $Q\uparrow {\xi }_0$ ， ${\xi }_0\in {\left(H^{\prime }\right)}^{+}$ ，则有

${\xi }_0\left(u\right)=\sup \left\{\xi \left(u\right):\xi \in Q,u\in H^{+}\right\}$

记 ${\Vert u\Vert }_{\alpha }^1\le 1$ ，有

${\xi }_0\left(u\right)=\sup \left\{\xi \left(u\right):\xi \in Q,u\in H^{+}\right\}\le \sup \left\{{\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }:\xi \in Q\right\}$

所以

${\Vert {\xi }_0\Vert }_{\alpha }{}^{\prime }=\sup \left\{{\xi }_0\left(u\right):u\in H^{+},{\Vert u\Vert }_{\alpha }^1\le 1\right\}\le \sup \left\{{\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }:\xi \in Q\right\}$

由于对任意 $\xi \in Q$ ，有 $0\le \xi \le {\xi }_0$ ，则 ${\Vert {\xi }_0\Vert }_{\alpha }{}^{\prime }\ge \sup \left\{{\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }:\xi \in Q\right\}$ 。

因此， $\left\{{\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }:\xi \in Q\right\}\uparrow {\Vert {\xi }_0\Vert }_{\alpha }{}^{\prime }$ 。

定理3.13 设 $\left(H,\mu ,{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\right)$ 是模糊Banach格，则 $H^{\prime }=H^{~}$ 。

证明：在引理3.9中我们已经得到 $H^{\prime }\subseteq H^{~}$ ，则下面我们只需证明 $H^{~}$ 中任意模糊线性泛函都属于 $H^{\prime }$ 即可。首先，我们注意到任何模糊序有界的区间 $\left[u_1,u_2\right]$ 都是模糊范数有界的。那么对任意 $u\in \left[0,u_2-u_1\right]$ 满

足 $\mu \left({\Vert u\Vert }_{\alpha }^1,{\Vert u_2-u_1\Vert }_{\alpha }^1\right)>\frac{1}{2}$ ，则每一个 $u\in \left[u_1,u_2\right]$ 都有 $\mu \left({\Vert u\Vert }_{\alpha }^1,{\Vert u_2-u_1\Vert }_{\alpha }^1+{\Vert u_1\Vert }_{\alpha }^1\right)>\frac{1}{2}$ 。

假设 $\xi :R\to \left(H,\mu ,{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\right)$ 是模糊序有界线性泛函，但不是弱模糊范数有界的，则存在序列 $\left\{v_n\right\}\in H$ ，使得对一切n都有 $\left|\xi \left(v_n\right)\right|\ge 2n^2\cdot {\Vert v_n\Vert }_{\alpha }^1$ 。

注意到 $v_n\ne 0$ ，所以(用 $\frac{v_n}{{\Vert v_n\Vert }_{\alpha }^1}$ 代替 $v_n$ )，令 ${\Vert v_n\Vert }_{\alpha }^1=1$ ， $\left|\xi \left(v_n\right)\right|\ge 2n^2$ 对一切n都成立。因为

$\left|\xi \left(v_n\right)\right|\le \left|\xi {\left(v_n\right)}^{+}\right|+\left|\xi {\left(v_n\right)}^{-}\right|$ ，所以 $\left|\xi {\left(v_n\right)}^{+}\right|$ 和 $\left|\xi {\left(v_n\right)}^{-}\right|$ 其中之一不会小于n²。因此，我们假设 $v_n\in H^{+}$ ， ${\Vert v_n\Vert }_{\alpha }^1\le 1$ 且 $\left|\xi \left(v_n\right)\right|\ge n^2$ ( $n=1,2,\cdots$ )。

记 $k_n=\frac{v_n}{n}$ ，我们有 $k_n\in H^{+}$ ， ${\Vert k_n\Vert }_{\alpha }^1\le \frac{1}{n}$ ， $\left|\xi \left(k_n\right)\right|\ge n$ ( $n=1,2,\cdots$ )。假设 $y_n={\displaystyle \sum k_n}$ 是单调递增序列，则有

${\Vert y_{n+p}-y_n\Vert }_{\alpha }^1={\Vert k_{n+1}+\cdots +k_{n+p}\Vert }_{\alpha }^1\le {\Vert k_{n+1}\Vert }_{\alpha }^1+\cdots +{\Vert k_{n+p}\Vert }_{\alpha }^1$

即 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert y_{n+p}-y_n\Vert }_{\alpha }^1=0$ 。这说明 $\left\{y_n\right\}$ 是H中的柯西序列。由于 $\left(H,\mu ,{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\right)$ 是模糊Banach格，所以 $\left\{y_n\right\}$

是模糊范数收敛的，则 $\left\{y_n\right\}$ 的模糊序极限存在并且等于模糊范数极限，记为y。因此，我们证明了所有的 $k_n$ 都属于模糊序区间 $\left[0,y\right]$ 。此外，由于 $\xi$ 是模糊序有界线性泛函，我们可以得出结论， $\xi \left(k_n\right)$ 也是在R上一个模糊序区间内，那么存在 $G_{\alpha }$ ，使得 $\left|\xi \left(k_n\right)\right|\le G_{\alpha }\cdot {\Vert k_n\Vert }_{\alpha }^1$ 成立，然而对一切n都有 $\left|\xi \left(k_n\right)\right|\ge n$ ，产生矛盾。因此， $\xi$ 是弱模糊范数有界的。

定义3.14 设 $\left(H,\mu ,{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\right)$ 是模糊赋范Riesz空间。 $\left(H,\mu ,{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\right)$ 具有模糊序连续范数当且仅当如果H的任意子集Q，当 $Q\downarrow 0$ 时，对任意 $\alpha \in \left(0,1\right)$ ，有 $\left\{{\Vert v\Vert }_{\alpha }^1:v\in Q\right\}\downarrow 0$ 。

定理3.15 设 $\left(H,\mu ,{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\right)$ 是具有模糊序连续范数的模糊Banach 格，则有 $H^{\prime }=H^{\sim }=H_n^{\sim }$ 。

证明：在定理3.13中我们已证得 $H^{\prime }=H^{\sim }$ ，则下面我们只需证明任意模糊序有界线性泛函是序连续的。为此，不妨设 $\xi \in {\left(H^{\sim }\right)}^{+}$ 且在 $H^{+}$ 中 $Q\downarrow 0$ 。由于 $\left(H,\mu ,{\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\right)$ 具有模糊序连续范数，则 $\left\{{\Vert v\Vert }_{\alpha }^1:v\in Q\right\}\downarrow 0$ ，由此可得

$\left\{\xi \left(v\right):v\in Q\right\}\le \left\{{\Vert \xi \Vert }_{\alpha }{}^{\prime }{\Vert v\Vert }_{\alpha }^1:v\in Q\right\}\downarrow 0$

即 $\xi$ 是模糊序连续泛函。

4. 结论

我们在模糊赋范Riesz空间中研究了模糊序有界线性泛函与弱模糊范数有界线性泛函之间的关系：弱模糊范数有界线性泛函是模糊序有界线性泛函的理想，我们给出例子来说明弱模糊范数有界线性泛函与模糊序有界线性泛函的带并不完全相同。在模糊Banach格上，模糊序有界线性泛函和弱模糊范数有界线性泛函是等价的。