1. 引言
本文讨论的是稀疏过程在常利率环境下的广义Poisson风险模型中的应用问题。经典风险模型为我们提供了深入理解风险管理的数学框架,通过对现金流入和流出的概率建模和计算,我们可以得到关于破产风险的定量信息,为保险公司提供风险管理的依据。同时,经典风险模型的研究还具有重要的实践价值,为风险管理领域的实际应用提供了理论支持和实践指导。但是经典风险模型存在一定的局限性,不能全面反映保险公司经营的实际情况。首先破产风险受到多种因素的影响,包括市场环境、政策变化、企业运营策略等;其次客户投保后,由于某种不确定的原因,可能会退保。因此,在应用经典风险模型的研究成果时,我们需要综合考虑各种因素,制定更加全面和有效的风险管理策略。所以,在本文中我们把模型推广到双险种的情形,同时,把影响破产概率的利息因素考虑进去,建立了常利率环境下离散时间风险模型,给出了模型的破产概率的上界。
2. 模型的建立
定义1:齐次泊松过程
成为广义齐次泊松过程,若它的概率母函数
其中
是一常数,
是某一正整数值随机变量的概率母函数,即
因为上面的
可由在齐次泊松过程的概率母函数
中用
替换s而得,故可以设想广义齐次泊松过程经由以下两步产生:首先,以给定的λ作强度确定一齐次泊松过程
;然后由这一过程确定广义泊松过程
的点(亦即跳跃)发生时刻,在每一个这样的时刻有k个点(即跃度为k的跳跃)的概率是
而且各个时刻发生的点数是相互独立的。广义Poisson过程有如下的分解表示:
其中
是强度为
的相互独立的齐次泊松过程。
引理1:对于给定的
和
,广义齐次泊松过程
为一复合Poisson过程,且
其中:1)
为M上的离散随机变量,且
,
2)
是强度为
的齐次Poisson过程。
令
,则有:
引理2:
证明:
定义2:设
,给定概率空间
,令
(1)
(2)
其中:1) u表示保险公司的初始资本;i为市场利率;c表示每张保单的平均保费;
为每张保单退保时的平均给付额,且有
;
2)
表示
内收到的保单数,服从参数为
的广义齐次Poisson分布(且
);
3)
表示
内发生退保的次数,
是过程
的p-稀疏过程,即
是参数为
的Poisson过程,且
;
4)
表示
内索赔发生的次数,
是过程
的q-稀疏过程,
即
是参数为
的Poisson过程,且
;
5)
表示每张保单的理赔额,且
;
6) 假定
。
过程(1)称为常利率环境下的广义齐次Poisson风险模型 [1] 。
记
,表示
内保险公司破产发生的时刻(对
,可认为对任意
均有
,即破产不会发生),则在初始资本为u的条件下,定义保险公司的最终破产概率为
。
令
,称
为安全负荷。显然当时,
,破产必然发生。以下我们假定
。
p的实际意义如下:每张保单的持有者可能退保,也可能不退保。假设每份保单的持有者是否退保与其他保单的持有者是否退保无关,且每份保单发生退保的可能性大小近似看作相同,即在“退保流”中每份保单被随机选取的概率为p,于是在
内保单到达数
是参数为
的广义齐次Poisson过程,那么在
内退保发生的次数即为
的p-稀疏过程。对于q也可以做类似的解释。
与
的关系如图1所示。
在t轴上,记录了每张保单到达的时刻,分别为
在
上保留了退保发生的点。比如第一张保单不会发生退保,则剔除该点;第二张保单发生退保,保留该点,并记为
,以此类推。这也可从点过程理论知识得知 [1] 。由此亦可知
完全由
和p来确定。
Figure 1. The relationship between
and
图1. 过程
与
的关系图
在(2)中,
与
一般不独立,
与
一般也不独立,但是
与
独立,由点过程理论知
与
是相互独立的 [2] 。
3. 破产概率的Gramer-Lundberg近似及其上界
定理1:盈利过程
是一个右连续随机过程,且具备下列性质:
(1)
;
(2) 具有平稳独立增量;
(3) 存在正数
,使得
。
引理3:对于盈利过程
,存在函数
,使得
。
证明:
引理4:方程
存在唯一的正解R,称之为调节系数。
证明:
,
所以
在
上凹,故存在
,使得
,即方程
存在唯一的正根。
定理2:
是鞅,
。
证明:对于
,运用引理4得:
定理3:常利率下单险种的广义齐次Poisson风险模型
的最终破产概率为
其中R为调节系数。
证明:因为
是
停时,选取
,易知
是停时,根据定理2及可选停时定理有
注意到
时,
,所以有
又
是非负鞅,故
又根据单调收敛定理和勒贝格控制收敛定理,在两端令
取极限得
又由
及引理1得
故有
从而有
由此得到
定理4:常利率下单险种得广义齐次Poisson风险模型
的最终破产概率仍满足Lundberg不等式
证明:由定理1可知,当
时,
,则
,所以
。
4. 模型的推广
接下来,我们把模型(3.1)推广到双险种的情形 [3] 。
定义3:设
给定概率空间
,令
(3)
(4)
过程(3)称为常利率环境下双险种的广义齐次Poisson风险模型。
模型(3)中各变量的意义与(1)中的相同,角标
表示第j个险种。
令
要求
即
定理5:盈余过程
是一个右连续随机过程,且具备下列性质 [4] :
1)
;
2) 具有平稳独立增量;
3) 存在正数r,使得
。
其中
类似的,对于双险种模型,下列结论同样成立:
定理6:模型(3)的破产概率满足:
1)
;
2)
。
其中,R为调节系数。
本文主要是对经典风险模型进行了以下几个方面得推广:一是把模型放在常利率环境下来考虑;二是考虑到同一时刻有两张以上保单同时到达得情形,把Poisson过程推广为广义Poisson过程;三是把退保这一情况考虑进去,并把退保过程和理赔计数过程看作是保单到达过程的稀疏过程。