分担超平面的全纯曲线族的正规定则

Normal Criteria Concerning Shared Hyperplanes for Families of Holomorphic Curves

摘要: 本文利用值分布理论和正规族理论等相关知识，研究了全纯曲线族分担处于次一般位置的超平面的正规定则。设ℱ是一族从区域D⊂ℂ到ℙ3(ℂ)的全纯曲线，Hl={x∈P3(C):〈x,αl〉=0}≠H0是ℙ3(ℂ)中k个处于t次一般位置的超平面，其中αl=(αl0,αl1,αl2,αl3)T，l=1,2,⋯,k，H0={x0=0}，t≥3，k=min{p:2t1≤p≤3t1,[p−t3]≤(p−2t−1)}。如果对任意的f∈ℱ，满足：f(z)∈Hl当且仅当∇f(z)∈Hl；若f(z)∈∪t=1kHl，那么|〈f(z),H0〉|||f(z)|⋅|H0||≥δ，其中0<δ<1是一个常数，则ℱ在D上正规。

Abstract: Based on value distribution theory and normal family theory, the normality of hyperplanes in sub-general position shared by holomorphic curve families is considered. Letℱbe a family of holomorphic maps of a domainD⊂ℂtoℙ3(ℂ). LetHl={x∈P3(C):〈x,αl〉=0}≠H0be hyperplanes inℙ3(ℂ)located in general position, whereαl=(αl0,αl1,αl2,αl3)T,l=1,2,⋯,k,H0={x0=0},k=min{p:2t1≤p≤3t1,[p−t3]≤(p−2t−1)}. Assume the following conditions hold for everyf∈ℱ: if and only iff(z)∈Hl, then∇f(z)∈Hl; Iff(z)∈∪t=1kHl, then|〈f(z),H0〉|||f(z)|⋅|H0||≥δ, where0<δ<1is a constant. Thenℱis normal on D.

1. 问题的提出

值分布理论，又称Nevanlinna理论，是复分析发展史上最深刻的研究领域之一，起源于对亚纯函数值的分布情况的研究，正规族理论的核心问题是关于正规定则的研究。在亚纯函数的值分布和正规族理论中，有一个著名的现象(Bloch原理)，即如果在一个区域 $D\subset ℂ$ 有性质 $\wp$ 使得亚纯函数在整个复平面上是常数，那么这个亚纯函数族就是正规的。Zalcman给出了更精确的叙述(Zalcman引理)去判断亚纯函数族的正规性。而在全纯曲线的例子中也存在一些类似的现象。

2015年，叶亚盛、庞学诚和杨刘 [1] 在考虑全纯曲线f与其导曲线 $\nabla f$ “强分担”超平面的情形，证明了下面定理。

定理1：设 $\mathcal{F}\subset \mathcal{H}\left(D;{\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)\right)$ 是一族从区域 $D\subset ℂ$ 到 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线， $H_1,H_2,\cdots ,H_{2N+1}$ 是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中的 $2N+1$ 个处于一般位置的超平面， $\delta$ 是一个实数， $0<\delta <1$ 。若对于任意的 $f\in \mathcal{F}$ ，满足下列条件：

(1) $f\left(z\right)$ 与 $\nabla f\left(z\right)$ 在D上“强分担” $H_j$ ，其中 $j=1,\cdots ,2N+1$ ；

(2) 若 $f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{j=1}^{2N+1}{H}_j}$ ，那么 $\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\left|\left|f\left(z\right)\right|\cdot \left|H_0\right|\right|}\ge \delta$ ，其中 $H_0=\left\{x_0=0\right\}$ 是一个坐标超平面，

则 $\mathcal{F}$ 在D上正规。

这里的“强分担”意味着 $f^{-1}\left(H\right)=\nabla f^{-1}\left(H\right)$ ，且满足 $f^{-1}\left(H\right)=\nabla f^{-1}\left(H\right)$ 的点上有 $f\left(z\right)=\nabla f\left(z\right)$ 。

刘晓俊、庞学诚和杨锦华 [2] 对于首项系数非零的超平面，将定理1中的“强分担”减弱为“分担”，得到了下面定理。

定理2：设 $\mathcal{F}$ 是一族从区域 $D\subset ℂ$ 到 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线， $H_j=\left\{x\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_j\rangle =0\right\}$ 是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中处于一般位置的超平面，这里 ${\alpha }_j={\left(a_{j0},\cdots ,a_{jN}\right)}^{\text{T}}$ 且 $a_{j0}\ne 0$ ， $j=1,\cdots ,2N+1$ 。若对于任意的 $f\in \mathcal{F}$ ，满足下列两个条件：

(1) 若 $f\left(z\right)\in H_j$ ，则 $\nabla f\left(z\right)\in H_j$ ，其中 $j=1,\cdots ,2N+1$ ；

(2) 若 $f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{j=1}^{2N+1}{H}_j}$ ，那么 $\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\left|\left|f\left(z\right)\right|\cdot \left|H_0\right|\right|}\ge \delta$ ，其中 $H_0=\left\{x_0=0\right\}$ ， $0<\delta <1$ 是一个常数。

则 $\mathcal{F}$ 在D上正规。

去掉了超平面首项系数非零的限制，在 $N=2$ 的情况下，刘晓俊与庞学诚 [3] 得到下面的定理。

定理3：设 $\mathcal{F}$ 是一族从区域 $D\subset ℂ$ 到 ${\mathbb{P}}^2\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线，令 $H_0=\left\{x_0=0\right\}$ ， $H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^2\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0$ 是 ${\mathbb{P}}^2\left(ℂ\right)$ 中处于一般位置的超平面，其中 ${\alpha }_l={\left(a_{l0},a_{l1},a_{l2}\right)}^{\text{T}}$ ， $l=1,\cdots ,5$ 。假设对任意的 $f\in \mathcal{F}$ ，满足下列两个条件：

(1) $f\left(z\right)\in H_l$ 当且仅当 $\nabla f\left(z\right)\in H_l$ ，其中 $l=1,\cdots ,5$ ；

(2) 若 $f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^5{H}_l}$ ，那么 $\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\left(z\right)\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$ ，其中 $0<\delta <1$ 是一个常数。

则 $\mathcal{F}$ 在D上正规。

随后，郑晓杰和刘晓俊 [4] 考虑了 $N=3$ 的情形，在额外增加一个超平面的情况下，证明了如下定理：

定理4：设 $\mathcal{F}$ 是一族从区域 $D\subset ℂ$ 到 ${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线，令 $H_0=\left\{x_0=0\right\}$ ， $H_l=\left\{x\in P^3\left(C\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0$ 是 ${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$ 中处于一般位置的超平面，其中 ${\alpha }_l={\left({\alpha }_{l0},{\alpha }_{l1},{\alpha }_{l2},{\alpha }_{l3}\right)}^{\text{T}}$ ， $l=1,2,\cdots ,8$ ，假设对任意的 $f\in \mathcal{F}$ ，满足下列两个条件：

(1) $f\left(z\right)\in H_l$ 当且仅当 $\nabla f\left(z\right)\in H_l$ ，其中 $l=1,2,\cdots ,8$ ；

(2) 若 $f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^8{H}_l}$ ，则 $\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\left(z\right)\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$ ，其中 $0<\delta <1$ 是一个常数。

则 $\mathcal{F}$ 在D上正规。

范楚君和刘晓俊 [5] 又考虑了当 $N=3$ 时，分担处于t次一般位置的超平面的正规定则，对于 $t=3,4,5$ 的情形，得到了如下定理。

定理5：设 $\mathcal{F}$ 是一族从区域 $D\subset ℂ$ 到 ${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线，令 $H_0=\left\{x_0=0\right\}$ ， $H_l=\left\{x\in P^3\left(C\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0$ 是 ${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$ 中处于t次一般位置的超平面，其中 ${\alpha }_l={\left({\alpha }_{l0},{\alpha }_{l1},{\alpha }_{l2},{\alpha }_{l3}\right)}^{\text{T}}$ ， $l=1,2,\cdots ,2t+3$ ，如果对任意的 $f\in \mathcal{F}$ ，满足下列两个条件：

(1) $f\left(z\right)\in H_l$ 当且仅当 $\nabla f\left(z\right)\in H_l$ ，其中 $l=1,2,\cdots ,2t+3$ ；

(2) 若 $f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^{2t+3}{H}_l}$ ，则 $\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\left(z\right)\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$ ，其中 $0<\delta <1$ 是一个常数。

则当 $t=3,4,5$ 时， $\mathcal{F}$ 在D上正规。

本文继续研究上述问题，通过改进研究方法，总结分析后，得到下面结论。当 $N=3$ 时，对处于任意 $t\ge 3$ 次一般位置的超平面，找到了可以使得结论成立的最小的超平面个数，即如下定理。

定理6：设 $\mathcal{F}$ 是一族从区域 $D\subset ℂ$ 到 ${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线， $t\ge 3$ 为整数，设 $H_l=\left\{x\in P^3\left(\text{C}\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0$ 是 ${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$ 中k个处于t次一般位置的超平面，其中 ${\alpha }_l={\left({\alpha }_{l0},{\alpha }_{l1},{\alpha }_{l2},{\alpha }_{l3}\right)}^{\text{T}}$ ，

$l=1,2,\cdots ,k$ ， $H_0=\left\{x_0=0\right\}$ ， $k=\min \left\{p:2t+1\le p\le 3t+1,\left[\frac{p-t}{3}\right]\le \left(p-2t-1\right)\right\}$ ，

如果对任意的 $f\in \mathcal{F}$ ，满足：

(1) $f\left(z\right)\in H_l$ 当且仅当 $\nabla f\left(z\right)\in H_l$ ，其中 $l=1,2,\cdots ,k$ ；

(2) 若 $f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^k{H}_l}$ ，那么

$\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\left(z\right)\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$

其中 $0<\delta <1$ 是一个常数。

那么 $\mathcal{F}$ 在D上正规。

注：实际上，定理6是对定理4和定理5的进一步推广和总结，由定理6可知，当 $N=3$ 时，对任意的 $t\ge 3$ ，只要k满足

$\left[\frac{k-t}{3}\right]\le \left(k-2t-1\right)$ (*)

即可得到 $\mathcal{F}$ 在D上正规。

对定理4，当 $t=3$ 时， $2t+2=8$ ，而由(*)式可得，此时当 $8\le k\le 10$ ， $\mathcal{F}$ 在D上正规，于是取 $k=8$ 。

同理，对定理5，当 $t=4$ 时， $2t+3=11$ ，而由(*)式得只需 $11\le k\le 13$ ，而； $t=5$ 时， $2t+3=13$ ，而由(*)式得只需 $13\le k\le 16$ ； $t=6$ 时， $2t+3=15$ ，由(*)式得需 $16\le k\le 19$ ，故此时 $2t+3$ 个超平面无法得到 $\mathcal{F}$ 在D上正规，需增加超平面数量。

2. 符号与定义

首先介绍有关 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的定义和符号， ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)={ℂ}^{N+1}\backslash \left\{0\right\}/~$ 为N维复射影空间，对于 $x=\left(x_0,x_1,\cdots ,x_N\right)$ ， $y=\left(y_0,y_1,\cdots ,y_N\right)\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)={ℂ}^{N+1}\backslash \left\{0\right\}$ ， $x~y$ 当且仅当存在 $\lambda \in ℂ$ ，使得 $\left(x_0,x_1,\cdots ,x_N\right)=\lambda \left(y_0,y_1,\cdots ,y_N\right)$ ， $\left(x_0,x_1,\cdots ,x_N\right)$ 的等价定义为 $\left[x_0:x_1:\cdots :x_N\right]$ ，则 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)=\left\{x=\left[x_0:x_1:\cdots :x_N\right]:=\left(x_0,x_1,\cdots ,x_N\right)\in {ℂ}^{N+1}\backslash \left\{0\right\}\right\}$ ，

其次，设 $D\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 是全纯曲线，U为D的开子集，任意在U内满足 $\mathbb{P}\left(\tilde{f}\left(z\right)\right)=f\left(z\right)$ 的全纯曲线 $\tilde{f}:U\to :{ℂ}^{N+1}\backslash \left\{0\right\}$ 称为f在U上的即约表示，其中 $\mathbb{P}:{ℂ}^{N+1}\backslash \left\{0\right\}\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 为典型的商映射。

定义1：对于任意开集 $U\subset D$ ，若 $f_0,f_1,\cdots ,f_N$ 是U上没有公共零点的全纯函数，则称 $\tilde{f}=\left(f_0,f_1,\cdots ,f_N\right)$ 为f在U上的一个即约表示。

设 $H=\left\{x\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right):\langle x,\alpha \rangle =0\right\}$ 为一个超平面，记 $\Vert H\Vert =\Vert \alpha \Vert ={\max }_{0\le i\le N}\left|a_i\right|$ 。在本文中，我们只考虑 $\Vert H\Vert =1$ 的标准化超平面。

对全纯曲线f的任意即约表示 $\tilde{f}$ ，定义全纯函数

$\langle f\left(z\right),H\rangle =\langle \tilde{f},\alpha \rangle ={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{N}{\sum }}{a}_i{f}_i(\; z\; )}$

再取

$\Vert \tilde{f}\left(z\right)\Vert ={\left\{\underset{i=1}{\overset{N}{{\displaystyle \sum }}}{\left|f_i\left(z\right)\right|}^2\right\}}^{1/2}$

定义2：设 $f=\left[f_0:f_1:\cdots :f_N\right]:D\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 是一条全纯曲线， $z\in D$ ， $\tilde{f}$ 是f在z处的任意一个即约表示，记

$f^{\#}=\frac{\left|f\wedge f^{\prime }\right|}{{\Vert f\Vert }^2}=\frac{\sqrt{{{\displaystyle \sum }}_{0\le i\le j\le N}{\left|f_i{f^{\prime }}_j-f_j{f^{\prime }}_i\right|}^2}}{{{\displaystyle \sum }}_{i=0}^N{\left|f_i\right|}^2}$

为f在z处的Fubini-Study导数，简记为F-S导数，其中 ${\tilde{f}}^{\prime }=\left({{\tilde{f}}^{\prime }}_0,{{\tilde{f}}^{\prime }}_1,\cdots ,{{\tilde{f}}^{\prime }}_N\right)$ 。

定义3：设 $f=\left[f_0:f_1:\cdots :f_N\right]:D\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 是一条全纯曲线， $\tilde{f}$ 是f在z处的任意一个即约表示，若

${\rho }_f=\underset{r\to +\infty }{\lim }\frac{\log T_f\left(r\right)}{\log r}<+\infty$

其中， $T_f\left(r\right)={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\log \Vert \tilde{f}\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\Vert \frac{\text{d}\theta }{2\pi }}-\log \Vert \tilde{f}\left(0\right)\Vert$ 为f的特征函数，则称f为有穷级的。

设 $H_1,H_2,\cdots ,H_q$ 为 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中的超平面，则：

$H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =a_{l0}{x}_0+a_{l1}{x}_1+\cdots +a_{lN}{x}_N=0\right\}$ ，其中 ${\alpha }_l={\left(a_{l0},a_{l1},\cdots ,a_{lN}\right)}^{\text{T}}$ 是模为1的法向量， $l=1,2,\cdots ,q$ 。

根据文献 [6] 有下面关于次一般位置的定义。

定义4：设 $N,t,q$ 均为正整数，且有 $t\ge N$ ， $q\ge 2t-N+1$ ，若对任意集合 $P\subseteq \left\{1,2,3,\cdots ,q\right\}$ ， $\text{\#}P=t+1$ ，存在单射 $\mu :\left\{1,2,3,\cdots ,N\right\}\to P$ ，使得 $H_{\mu \left(0\right)},H_{\mu \left(1\right)},\cdots ,H_{\mu \left(N\right)}$ 处于一般位置，则称 $H_1,H_2,\cdots ,H_q\subseteq {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 处于t次一般位置。

根据文献 [7] 对于超曲面的次一般位置，有下面定义：

定义5：设 $M\subseteq {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 是一个非空闭子集，t为正整数， $Q_1,Q_2,\cdots ,Q_q$ 是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中q个超平面， $q\ge t+1$ ，如果对任意的 $\left\{i_0,i_1,\cdots ,i_t\right\}\subseteq \left\{1,2,3,\cdots ,q\right\}$ ，有

$M\cap \left({\displaystyle {\cap }_{j=i_0}^{i_t}{Q}_j}\right)=\varnothing$

则称他们关于M处于t次一般位置，当 $M={\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ ，即超曲面关于 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 处于t次一般位置。

特别地，当 $t=N$ 时，称为处于一般位置。

最后，根据文献 [1] 中导曲线的定义，有如下定义：

定义6：设f是从区域D到 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线， $\tilde{f}=\left(f_0,f_1,\cdots ,f_N\right)$ 是f在D上满足 $f_{\mu }\left(z\right)\cancel{\equiv }0$ 的即约表示， $\mu =1,2,3,\cdots ,N$ ，则称

${\nabla }_{\mu }f\left(z\right)=\left[\frac{W\left(f_{\mu },f_0\right)}{d}:\cdots :\frac{W\left(f_{\mu },f_{\mu -1}\right)}{d}:\frac{f_{\mu }^2}{d}:\frac{W\left(f_{\mu },f_{\mu +1}\right)}{d}:\cdots :\frac{W\left(f_{\mu },f_N\right)}{d}\right]$

为f关于第 $\mu$ 个分量的全纯导曲线，其中 $d\left(z\right)$ 为全纯函数，使得 $\frac{f_{\mu }^2}{d}$ 与 $\frac{W\left(f_{\mu },f_i\right)}{d}$ 没有公共零点，

$i=1,2,3,\cdots ,\mu -1,\mu +1,\cdots ,N$ 。

简单起见，将 ${\nabla }_{0}f$ 记为 $\nabla f$ ，显然有 ${\nabla }_{\mu }f$ 的定义与f的既约表示的选取无关

3. 主要引理

众所周知，Zalcman引理为正规族理论中一个非常重要的引理，其在证明正规定则的时候起着核心的作用。在给出主要定理的证明过程之前，需要如下从 ${ℂ}^m$ 到 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的全纯映射的Zalcman引理。

引理1 [8] 设 $\mathcal{F}$ 是一族从双曲区域 $\Omega \subseteq {ℂ}^m$ 映到 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的全纯映射。若 $\mathcal{F}$ 在 $\Omega$ 上不正规，则存在子列 $\left\{f_n\right\}\subset \mathcal{F}$ ，点列 $\left\{z_n\right\}\subset \Omega$ 满足 $z_n\to z_0\in \Omega$ ，正数列 $\left\{{\rho }_n\right\}$ 满足 ${\rho }_n\to 0^{+}$ ，使得

$g_n\left(\xi \right):=f_n\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)$

在 ${ℂ}^m$ 上内闭一致收敛于从 ${ℂ}^m$ 映到 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的非常值全纯映射 $g\left(\xi \right)$ 。

在主要定理的证明过程中，还需要如下的引理。

引理2 (Hurwitz引理) [2] 设 $\left\{f_n\left(z\right)\right\}$ 是定义在区域 $D\subseteq ℂ$ 内的一列全纯函数， $a\in ℂ$ 是任意一个复数，且设 $\left\{f_n\left(z\right)\right\}$ 在D的任意一个紧子集上一致收敛于非常值的全纯函数 $f\left(z\right)$ 。若存在点 $z_0\in D$ ，使得 $f\left(z_0\right)=a$ ，则对于每一个充分大的n，方程 $f_n\left(z\right)-a$ 在D内有根。此外，存在 $z_0$ 的某邻域U，使得 $f\left(z\right)-a$ 在U内根的总数与在 $f_n\left(z\right)-a$ 内根的总数相同(计重数)。

引理3 (Picard型定理) [9] 设 $f:ℂ\to X$ 是一条全纯曲线，其中X是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中的一个闭子集。再设 $Q_1,Q_2,\cdots ,Q_{2t+1}$ 是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中的超曲面，关于X处于t次一般位置。若f不取 $Q_i$ ，即 $\langle f,Q_i\rangle \ne 0$ ， $i=1,2,\cdots ,2t+1$ ，则f必为常值曲线.。

为了方便利用上述引理辅助证明，得到了如下推论。

引理4 [6] 设 $f:ℂ\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 是一条全纯曲线， $H_1,H_2,\cdots ,H_q$ 均是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中处于t次一般位置的超平面，其中 $q\ge 2t+1$ ， $t\ge N$ ，若对每个 $i=1,2,3,\cdots ,q$ ，f不取 $H_i$ ，或者 $f\left(ℂ\right)\subseteq H_i$ ，则f必为常值曲线。

引理5 [3] 设 $g=\left[g_0,g_1,\cdots ,g_N\right]:ℂ\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 是有穷级的全纯曲线， $g_0\left(\zeta \right)\cancel{\equiv }0$ ， $N\ge 2$ 为整数。 $H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}$ 是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中处于一般位置的超平面，且其第一系数 $a_{l_0}$ 均不为零， $l=0,1,\cdots ,N+1$ 。 $\tilde{g}=\left(g_0,g_1,\cdots ,g_N\right)\left(\zeta \right)$ 是g的任意即约表示，令

$G_l\left(\zeta \right)=a_{l_0}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{a}_{l_i}}\frac{g_i\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)},l=0,1,\cdots ,N+1$

若 $G_l\left(\zeta \right)\ne 0$ ，且 ${G^{\prime }}_l\left(\zeta \right)\ne 0$ ， $\zeta \in ℂ$ 则g是线性退化的。

引理6 [10] 设 $f\left(z\right)$ 为整函数，若 $f\left(z\right)$ 的球面导数 $f^{\#}\left(z\right)$ 有界，则 $f\left(z\right)$ 的级至多为 1。

4. 定理的证明

首先假设 $\mathcal{F}$ 在D上不正规，则由引理1可得，存在点列 $\left\{z_n\right\}\subset D$ 满足 $z_n\to z_0\in D$ ，全纯曲线列 $\left\{f_n\right\}\subset \mathcal{F}$ ，正数列 $\left\{{\rho }_n\right\}$ 满足 ${\rho }_n\to 0^{+}$ ，使得

$g_n\left(\zeta \right):=f_n\left(z_n+{\rho }_n\zeta \right)\Rightarrow g(\; \zeta \; )$

其中，g是从 $ℂ$ 到 ${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$ 的有穷级的非常值全纯曲线。

设 $\tilde{g}\left(\zeta \right)=\left(g_0,g_1,g_2,g_3\right)\left(\zeta \right)$ 是g在 $ℂ$ 上的某个既约表示。

由于 $H_l$ 是处于t次一般位置的超平面， $1\le l\le k$ ，由次一般位置的定义可得，至少存在 $k-t$ 个超平面的第一系数不为零。不失一般性，假定 $H_1,H_2,\cdots ,H_{k-t}$ 的第一系数均不为零。

又由引理4及g非常值知，存在某个 $i\in \left\{1,2,3,\cdots ,k\right\}$ ，不失一般性，假定 $i=k$ ，以及某个 ${\zeta }_0\in \text{C}$ ，使得 $\langle g,H_k\rangle \left({\zeta }_0\right)=0$ ，但 $\langle g,H_k\rangle \left(\zeta \right)\cancel{\equiv }0$ 。

类似于定理4中的证明，有如下结论：

断言a. $g_0\left({\zeta }_0\right)\ne 0$ ，从而 $g_0\left(\zeta \right)\cancel{\equiv }0$

断言b. $H_k$ 的第一系数必为零，即 ${\alpha }_k=\left(0,a_{k,1},a_{k,2},a_{k,3}\right)$

以下分为两种情形进行讨论。

情况1 $\tilde{g}$ 线性非退化。

由断言b，有 $\tilde{g}$ 不取 $H_l$ ， $l=1,2,3,\cdots ,k-t$ 即

$G_l=a_{l,0}+a_{l,1}\frac{g_1}{g_0}+a_{l,2}\frac{g_2}{g_0}+a_{l,3}\frac{g_3}{g_0}\ne 0,l=1,2,3,\cdots ,k-t$

类似于定理4的情况(A)的证明过程，可得 ${G^{\prime }}_l\left(\zeta \right)\ne 0$ ， $l=1,2,3,\cdots ,k-t$ ， $\zeta \in ℂ$ 。又由于 $H_l$ 处于t次一般位置，且 $k-t\ge t+1$ ，在上述 $k-t$ 个超平面中任取 $t+1$ 个，其中必定存在4个超平面处于一般位置。再由引理5，取 $N=3$ ，可知 $\tilde{g}$ 线性退化，矛盾。

情况2 $\tilde{g}$ 线性退化。

此时，存在不全为零的数 $k_0,k_1,k_2,k_3$ ，使得

$k_0{g}_0\left(\zeta \right)+k_1{g}_1\left(\zeta \right)+k_2{g}_2\left(\zeta \right)+k_3{g}_3\left(\zeta \right)\equiv 0$

情况2.1， $g_0,g_1,g_2$ 线性无关

此时， $k_3\ne 0$ ，所以存在常数 $b_0,b_1,b_2,b_3$ 使得

$g_3\left(\zeta \right)=b_0{g}_0\left(\zeta \right)+b_1{g}_1\left(\zeta \right)+b_2{g}_2\left(\zeta \right)+b_3{g}_3(\; \zeta \; )$

又由引理4的证明可得 $g_0\left(\zeta \right)\cancel{\equiv }0$ ，则

$\frac{g_3\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)}=b_0+b_1\frac{g_1\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)}+b_2\frac{g_2\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)}+d$

且 $G_l$ 是全纯的 $l=1,2,3,\cdots ,k-t$ ，

由Zalcman引理的证明可得 $g^{\#}\left(z\right)<1$ ，则存在常数 $M>0$ ，使得 $G_l^{\#}\le M$ 。则由引理6可知 ${\rho }_{G_l}\le 1$ ， $1\le l\le k-t$ ，又由断言b， $G_l\equiv 0$ ，或 $G_l\ne 0$ ，因此当 $G_l\ne 0$ ， $l=1,2,3,\cdots ,k-t$ 时， $G_l=B_l{\text{e}}^{A_l\zeta }$ ；当 $G_l\equiv 0$ 时，仍然记 $G_l=B_l{\text{e}}^{A_l\zeta }$ ，此时 $B_l=0$ 。

任取 $j_1,j_2,\cdots ,j_{t+1}\in \left\{1,2,3,\cdots ,k-t\right\}$ ，不失一般性，令 $j_i=i$ ， $i=1,2,\cdots ,t+1$ ，则存在某个单射 $\sigma :\left\{1,2,3,4\right\}\to \left\{1,2,3,\cdots ,t+1\right\}$ ，使得 $H_{\sigma \left(1\right)},H_{\sigma \left(2\right)},H_{\sigma \left(3\right)},H_{\sigma \left(4\right)}$ 处于一般位置，从而 $\det A\ne 0$ ，其中

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{\sigma \left(1\right),0}& a_{\sigma \left(2\right),0}& a_{\sigma \left(3\right),0}& a_{\sigma \left(4\right),0}\\ a_{\sigma \left(1\right),1}& a_{\sigma \left(2\right),1}& a_{\sigma \left(3\right),1}& a_{\sigma \left(4\right),1}\\ a_{\sigma \left(1\right),2}& a_{\sigma \left(2\right),2}& a_{\sigma \left(3\right),2}& a_{\sigma \left(4\right),2}\\ a_{\sigma \left(1\right),3}& a_{\sigma \left(2\right),3}& a_{\sigma \left(3\right),3}& a_{\sigma \left(4\right),3}\end{array}\right)$

设 $p_1{B}_{\sigma \left(1\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(1\right)}\zeta }+p_2{B}_{\sigma \left(2\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(2\right)}\zeta }+p_3{B}_{\sigma \left(3\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(3\right)}\zeta }+p_4{B}_{\sigma \left(4\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(4\right)}\zeta }=0$ ， $p_1,p_2,p_3,p_4$ 为常数。因此

$\left(1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0},\frac{g_3}{g_0}\right)A\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\\ p_4\end{array}\right)=0$

由于 $1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0},\frac{g_3}{g_0}$ 线性相关，所以存在非零向量 $$ ，使得 $A\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\\ p_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\\ b_4\end{array}\right)$ ，因此 $p_1,p_2,p_3,p_4$

不全为0，则 $B_{\sigma \left(1\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(1\right)}\zeta },B_{\sigma \left(2\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(2\right)}\zeta },B_{\sigma \left(3\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(3\right)}\zeta },B_{\sigma \left(4\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(4\right)}\zeta }$ 线性相关。

断言c：存在某个单射， $\varphi :\left\{1,2,3\right\}\to \left\{\sigma \left(1\right),\sigma \left(2\right),\sigma \left(3\right),\sigma \left(4\right)\right\}$ ，使得 $B_{\varphi \left(1\right)}{\text{e}}^{A_{\varphi \left(1\right)}\zeta },B_{\varphi \left(2\right)}{\text{e}}^{A_{\varphi \left(2\right)}\zeta },B_{\varphi \left(3\right)}{\text{e}}^{A_{\varphi \left(3\right)}\zeta }$ 线性无关。

断言c的证明：

不失一般性，假设存在常数 $l_1,l_2,l_3$ ，有 $B_{\sigma \left(4\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(4\right)}\zeta }=l_1{B}_{\sigma \left(1\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(1\right)}\zeta }+l_2{B}_{\sigma \left(2\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(2\right)}\zeta }+l_3{B}_{\sigma \left(3\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(3\right)}\zeta }$ ，由于

$\left(B_{\sigma \left(1\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(1\right)}\zeta },B_{\sigma \left(2\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(2\right)}\zeta },B_{\sigma \left(3\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(3\right)}\zeta },B_{\sigma \left(4\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(4\right)}\zeta }\right)=\left(1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0},\frac{g_3}{g_0}\right)A$ ，所以

$\left(1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0},\frac{g_3}{g_0}\right)=\left(B_{\sigma \left(1\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(1\right)}\zeta },B_{\sigma \left(2\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(2\right)}\zeta },B_{\sigma \left(3\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(3\right)}\zeta },B_{\sigma \left(4\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(4\right)}\zeta }\right)A^{-1}$

从而 $\frac{g_j}{g_0}={\displaystyle {\sum }_{i=1}^3{c}_{ij}{B}_{\sigma \left(i\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(i\right)}\zeta }},j=1,2,3$ ，设 $C=\left(\begin{array}{ccc}{c}_{10}& c_{11}& c_{12}\\ c_{20}& c_{21}& c_{22}\\ c_{30}& c_{31}& c_{32}\end{array}\right)$ ，则有

$\left(1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0}\right)=\left(B_{\sigma \left(1\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(1\right)}\zeta },B_{\sigma \left(2\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(2\right)}\zeta },B_{\sigma \left(3\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(3\right)}\zeta }\right)C$ ，若 $r\left(C\right)=2$ ，则方程 $C\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ x_2\end{array}\right)=0$ 有非零解，因此，存在不全为 的常数 $q_1,q_2,q_3$ 使得 $C\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\end{array}\right)=0$ ，则

$\left(B_{\sigma \left(1\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(1\right)}\zeta },B_{\sigma \left(2\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(2\right)}\zeta },B_{\sigma \left(3\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(3\right)}\zeta }\right)C\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\end{array}\right)=0$ 即 $\left(1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0}\right)\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\end{array}\right)=0$ ，因此 $1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0}$ 线性相关，矛盾，从而 $r\left(C\right)=3$ 。

若 $B_{\sigma \left(1\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(1\right)}\zeta },B_{\sigma \left(2\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(2\right)}\zeta },B_{\sigma \left(3\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(3\right)}\zeta }$ 线性相关，则存在不全为0的常数 $c_0,c_1,c_2$ 使得

$\left(B_{\sigma \left(1\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(1\right)}\zeta },B_{\sigma \left(2\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(2\right)}\zeta },B_{\sigma \left(3\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(3\right)}\zeta }\right)\left(\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ c_2\end{array}\right)=0$ ，因此， $\left(1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0}\right)C^{-1}\left(\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ c_2\end{array}\right)=0$ ，这意味着 $1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0}$ 线性相关，

矛盾，断言c得证。

所以 $B_{\sigma \left(1\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(1\right)}\zeta },B_{\sigma \left(2\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(2\right)}\zeta },B_{\sigma \left(3\right)}{\text{e}}^{A_{\sigma \left(3\right)}\zeta }$ 线性无关，则 $B_{\sigma \left(1\right)},B_{\sigma \left(2\right)},B_{\sigma \left(3\right)}$ 均不为0，且 $A_{\sigma \left(1\right)},A_{\sigma \left(2\right)},A_{\sigma \left(3\right)}$ 互不相

等。又因为 $r\left\{\left(1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0},\frac{g_3}{g_0}\right)\right\}=3$ ，则 $r\left\{\left(B_1{\text{e}}^{A_1\zeta },B_2{\text{e}}^{A_2\zeta },\cdots ,B_{k-t}{\text{e}}^{A_{k-t}\zeta }\right)\right\}\le 3$ 。

综上所述，任取 $P\subseteq \left\{B_1{\text{e}}^{A_1\zeta },B_2{\text{e}}^{A_2\zeta },\cdots ,B_{k-t}{\text{e}}^{A_{k-t}\zeta }\right\}$ ， $\#P=t+1$ ，存在P中的3个元素线性无关。因此， $A_1,A_2,\cdots ,A_{k-t}$ 中任取 $t+1$ 个，有且仅有3个元素不同，当某个 $B_l=0$ ，对应的 $B_l{\text{e}}^{A_l\zeta }$ 必与其他的线性相关，故不考虑。

由于 $\left[\frac{k-t}{3}\right]\le \left(k-2t-1\right)$ ，在 $k-t$ 个 $B_l{\text{e}}^{A_l\zeta }$ 中，只有3个不同的 $A_l$ ，则最少的一种的个数小于等于 $\left[\frac{k-t}{3}\right]$ ，又取 $t+1$ 个时，有 $k-2t-1$ 个取不到，则可以只取另外两种，一共取 $t+1$ 个，此时取出的 $t+1$ 个

只有2个元素不同，故不能满足要求，矛盾。

情况2.2 $g_0,g_1,g_2$ 线性相关

此时存在不全为零的数 $p_0,p_1,p_2$ ，使得

$p_0{g}_0+p_1{g}_1+p_2{g}_2=0$

情况2.2.1 若 $p_2\ne 0$ ，则 $g_2,g_3$ 可由 $g_0,g_1$ 线性表出，即存在常数 $k_1,k_2,l_1,l_2$ ，使得 $g_2=k_1{g}_0+l_1{g}_1$ ， $g_3=k_2{g}_0+l_2{g}_1$ ，则

$G_l=a_{l,0}+a_{l,1}\frac{g_1}{g_0}+a_{l,2}\frac{g_2}{g_0}+a_{l,3}\frac{g_3}{g_0}=\left(a_{l,1}+a_{l,2}{k}_1+a_{l,3}{k}_2\right)\frac{g_1}{g_0}+a_{l,0}+a_{l,2}{l}_1+a_{l,3}{l}_2$ ， $l=1,2,\cdots ,k$

由于 $H_l$ 是处于t次一般位置的超平面，则不失一般性，设 ${\alpha }_{l_0},{\alpha }_{l_1},{\alpha }_{l_2},{\alpha }_{l_3}$ 线性无关，

$\left\{l_0,l_1{l}_2,l_3\right\}\subseteq \left\{1,2,\cdots ,k-t\right\}$ ，则必存在某个 $l_i\in \left\{l_0,l_1{l}_2,l_3\right\}$ 使得 $a_{l,1}+a_{l,2}{k}_1+a_{l,3}{k}_2\ne 0$ 。对于上述的 $l_i$ ，若 ${G^{\prime }}_{l_1}\equiv 0$ ，则有 ${\left(\frac{g_1}{g_0}\right)}^{\prime }\equiv 0$ ，这意味着 $\frac{g_1}{g_0}=c_1$ ，矛盾。类似于定理4的证明可知， ${G^{\prime }}_{l_1}\ne 0$ ， ${\left(\frac{g_1}{g_0}\right)}^{\prime }\ne 0$ 。

若 $H_j$ 的第一系数均不为零，即 $a_{j,0}\ne 0$ ，则由断言b有g不取 $H_j$ 或 $g\left(ℂ\right)\subseteq H_j$ ， $j=k-t+1,\cdots ,k-1$ 。由引理4知， $\tilde{g}$ 为常值映射，矛盾。

因此，至少存在两个 $j_m,j_n\in \left\{k-t+1,\cdots ,k-1\right\}$ ， $j_m\ne j_n$ 使得 $a_{j_m,0}=a_{j_n,0}=0$ ，设 $j_m=k-2$ ， $j_n=k-1$ 。

又假设 $H_i$ 的首项系数非零，即 $a_{i,0}\ne 0$ ，则g不取 $H_i$ 或 $g\left(ℂ\right)\subseteq H_i$ ， $i=k-t+1,\cdots ,2t$ 。若对任意的 $\zeta \in ℂ$ ，有 $\langle \tilde{g},{\alpha }_q\rangle \ne 0$ 或 $\langle \tilde{g},{\alpha }_q\rangle \equiv 0$ ， $q=2t+1,\cdots ,k$ ，则 $\tilde{g}$ 为常值映射，矛盾。因此存在某个 $q_i\in \left\{2t+1,\cdots ,k\right\}$ ， ${\zeta }_0\in ℂ$ ，使得 $\langle \tilde{g},{\alpha }_{q_i}\rangle \left({\zeta }_0\right)=0$ 且 $\langle \tilde{g},{\alpha }_{q_i}\rangle \left(\zeta \right)\cancel{\equiv }0$ 。

断言d： $\langle \tilde{g},{\alpha }_{q_i}\rangle$ 的零点 ${\zeta }_0$ 均是重级的，且 ${\zeta }_0$ 也是 $G_{q_i}\left(\zeta \right)$ 的重级零点。

设 ${\alpha }_{q_i}=\left(0,a_{q_i,1},a_{q_i,2},a_{q_i,3}\right)$ ，则 $\langle \tilde{g},{\alpha }_{q_i}\rangle \left({\zeta }_0\right)=a_{q_i,1}{g}_1\left({\zeta }_0\right)+a_{q_i,2}{g}_2\left({\zeta }_0\right)+a_{q_i,3}{g}_3\left({\zeta }_0\right)=0$ 。由式2可得， $\left(a_{q_i,1}+a_{q_i,2}{k}_1+a_{q_i,3}{k}_2\right)g_1\left({\zeta }_0\right)+\left(a_{q_i,2}{l}_1+a_{q_i,3}{l}_2\right)g_0\left({\zeta }_0\right)=0$ ，由于 $g_0\left({\zeta }_0\right)\ne 0$ ，故 $G_{q_i}\left({\zeta }_0\right)=0$ 。

由引理2，存在序列 $\left\{{\zeta }_n\right\}$ ， ${\zeta }_n\to {\zeta }_0$ ，使得 $\langle {\tilde{g}}_n,{\alpha }_{q_i}\rangle \left({\zeta }_n\right)=0$ ，则有 $\langle {\tilde{f}}_n,{\alpha }_{q_i}\rangle \left(z_n+{\rho }_n{\zeta }_n\right)=0$ ，由定理6的条件a有， $\langle \nabla {\tilde{f}}_n,{\alpha }_{q_i}\rangle \left(z_n+{\rho }_n{\zeta }_n\right)=0$ 。所以

${a_{q_i,1}{\left(\frac{f_{n1}}{f_{n0}}\right)}^{\prime }+a_{q_i,2}{\left(\frac{f_{n2}}{f_{n0}}\right)}^{\prime }+a_{q_i,3}{\left(\frac{f_{n3}}{f_{n0}}\right)}^{\prime }|}_{z_n+{\rho }_n{\zeta }_n}=0$

${a_{q_i,1}{\left(\frac{g_{n1}}{g_{n0}}\right)}^{\prime }+a_{q_i,2}{\left(\frac{g_{n2}}{g_{n0}}\right)}^{\prime }+a_{q_i,3}{\left(\frac{g_{n3}}{g_{n0}}\right)}^{\prime }|}_{{\zeta }_n}=0$

令 $n\to +\infty$ ，则

${a_{q_i,1}{\left(\frac{g_1}{g_0}\right)}^{\prime }+a_{q_i,2}{\left(\frac{g_2}{g_0}\right)}^{\prime }+a_{q_i,3}{\left(\frac{g_3}{g_0}\right)}^{\prime }|}_{{\zeta }_n}=0$

得 ${G^{\prime }}_{q_i}\left({\zeta }_0\right)=0$ 。即 ${\zeta }_0$ 也是 $G_{q_i}\left(\zeta \right)$ 的重级零点，且 $\langle \tilde{g},{\alpha }_{q_i}\rangle \left(\zeta \right)$ 的零点是重级的， $G_{q_i}\left(\zeta \right)$ 的零点也是重级的。

这意味着 ${\left(\frac{g_1}{g_0}\right)}^{\prime }\left({\zeta }_0\right)=0$ ，因此至少存在一个 $m_i\in \left\{k-t+1,\cdots ,2t\right\}$ 有 $a_{m_i,0}=0$ ，不失一般性，取 $m_i=2t$ 。

类似地，可证得 $a_{k-t,0},\cdots ,a_{k,0}$ 均为零。因此， $\langle \tilde{g},{\alpha }_p\rangle$ 的零点 ${\zeta }_0$ 均是重级的，且 ${\zeta }_0$ 也是 $G_p\left(\zeta \right)$ 的重级零点， $p=k-t+1,\cdots ,k$ ，若对于任意的 $\zeta \in ℂ$ ， $\langle \tilde{g},{\alpha }_p\rangle \left(\zeta \right)\equiv 0$ ， $p=k-t+1,\cdots ,k$ ，则由引理4， $\tilde{g}$ 为常值函数，矛盾。因此，存在某个 ${\zeta }_0\in ℂ$ ， $p_j\in \left\{k-t+1,\cdots ,k\right\}$ 使得 $\langle \tilde{g},{\alpha }_{p_j}\rangle \left({\zeta }_0\right)=0$ 但 $\langle \tilde{g},{\alpha }_{p_j}\rangle \left(\zeta \right)\cancel{\equiv }0$ ，这意味着

${\left(a_{p_j,1}+a_{p_j,2}{k}_1+a_{p_j,3}{k}_2\right){\left(\frac{g_1}{g_0}\right)}^{\prime }|}_{{\zeta }_n}=0$

矛盾。

情况2.2.2 $p_2=0$ ，则 $p_0,p_1$ 不全为零；

若 $p_1\ne 0$ ，则 $g_1,g_3$ 可由 $g_0,g_2$ 线性表出，用相同的证明方法，可得矛盾。

若 $p_0\ne 0$ ，则 $p_1=0$ ，由 $g_1=0$ 知 $\frac{g_1}{g_0}=0$ ，矛盾。

综上所述， $\mathcal{F}$ 在D上正规，证毕。

注：当k的值继续变小，不满足 $\left[\frac{k-t}{3}\right]\le \left(k-2t-1\right)$ 时，即 $\left[\frac{k-t}{3}\right]>\left(k-2t-1\right)$ 时，最少的 $A_l$ 的个数大于等于 $\left[\frac{k-t}{3}\right]$ 大于 $k-2t-1$ ，则任取 $t+1$ 个一定有3个不同，故无法推出矛盾，则无法证明 $\mathcal{F}$ 在D上正规。

5. 小结

本文从前人在 ${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$ 上 $t=3,4,5,6$ 的证明中得到灵感，进行进一步推导，得到了在 ${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$ 上 $t\ge 3$ 时的一般性结论，但是由证明方法无法推广到 ${\mathbb{P}}^4\left(ℂ\right)$ 上，因为证明本质是通过一系列方法降维，把问题从 ${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$ 降维到 ${\mathbb{P}}^2\left(ℂ\right)$ ，然后再利用前人方法得到证明，但是在 ${\mathbb{P}}^4\left(ℂ\right)$ 降到 ${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$ 时，此方法无法通用，因此，期待有人能找到新的降维方法。

参考文献