带导数耦合SchrÖdinger方程组的适定性

Well-Posedness for the Coupled SchrÖdinger Equations with Derivative

摘要: 带导数非线性Schrödinger方程描述了极化Alfvén波在恒定磁场下磁化等离子体的传播。本文研究带导数耦合Schrödinger方程组的Cauchy问题。利用傅里叶限制范数方法，得到了初始值在Hs(R)×Hs(R)(s>12)中的局部适定性。

Abstract: The derivative nonlinear Schrödinger equation describes the propagation of circular polarized Alfvén waves in a magnetized plasma under a constant magnetic field. In this paper, we study the Cauchy problem of the coupled Schrödinger equations with derivative. Using the Fourier restriction norm method, we obtain the local well-posedness for initial data inHs(R)×Hs(R)(s>12).

1. 引言

研究带导数耦合Schrödinger方程组的Cauchy问题

$\{\begin{array}{l}{u}_t-i\alpha u_{xx}=v^2{\bar{u}}_x,\\ v_t-i\beta v_{xx}=u^2{\bar{v}}_x,\\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),v\left(x,0\right)=v_0\left(x\right),\end{array}$ (1.1)

其中 $i=\sqrt{-1}$ ， $\alpha$ ， $\beta$ 为任意实数且 $\alpha \ne 0$ ， $\beta \ne 0$ ，u，v是 $\left(t,x\right)\in R\times R$ 上的未知复值函数。方程 (1.1)是描述双折射光纤在皮秒和飞秒区域的脉冲传播模型的特例 [1] [2] [3] [4] [5] 。

系统(1.1)的单一方程是在 [6] [7] 中提出的，用于研究存在霍尔效应的一维可压缩磁流体动力学方程和圆极化非线性Alfvén波在磁化等离子体中的传播 [8] 。带导数非线性Schrödinger方程在多个物理学领域中都有广泛的应用，它不仅在描述海森堡自旋链的变形动态中扮演重要角色，也用于分析光纤中超短脉冲的传播等问题 [9] 。

文献 [10] 证明了下式整体弱解的存在性：

$u_t+i{u}_{xx}=i\alpha {\left|u\right|}^{2\sigma }u+\beta {\left({\left|u\right|}^{2}u\right)}_x$

其中 $\alpha$ ， $\beta$ ， $\sigma$ 为实常数且 $\beta \ne 0$ ， $\sigma \in \left[1,2\right]$ 。

Guo和Tan [11] 研究了如下方程：

$u_t=i\alpha u_{xx}+\beta u^2{\bar{u}}_x+\gamma {\left|u\right|}^2{u}_x+ig\left({\left|u\right|}^2\right)u$ (1.2)

利用Galërkin方法和先验估计得到了常数 $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ ，函数 $g(\cdot )$ 和初始数据 $u\left(x,0\right)$ 在某些条件下光滑解的唯一存在性。此外，讨论了当 $\left|x\right|\to \infty$ 时，光滑解的衰减行为。Tan和Zhang [12] 讨论了方程(1.2)弱解的唯一存在性。

很多学者研究了带导数非线性Schrödinger方程的局部和全局适定性。Takaoka [13] 证明了 $s\ge \frac{1}{2}$ 时的局部适定性。Biagioni和Linares [14] 在 $s<\frac{1}{2}$ 时得到不适定性。对于全局适定性，Colliander证明了在 $s>\frac{1}{2}$ 时是有效的。2013年，假设初始值 $u_0\in H^1\left(R\right)$ ，且 ${\Vert u_0\Vert }_{L^2}<2\sqrt{\pi }$ ，Wu [15] 证明了在能量空间是全局适定的。进一步的结果参见文献 [16] [17] [18] [19] [20] 。

带导数非线性Schrödinger方程许多学者在研究。文献 [5] 中，Zhang研究了N-耦合混合导数非线性Schrödinger方程。利用Hirot的双线性方法，得到了亮孤子的解析解。基于能量交换特性，提出了一些可能的应用。文献 [3] 中，Hisakado M.，Iizuka T.和Wadati M.考虑了2-耦合混合导数非线性Schrödinger方程，并得到了一个解，严格地说是一个孤波解。

据我们所知，带导数的Schrödinger系统还没有得到充分的研究。在本文中，将证明初始值在 $H^s\times H^s\left(s>\frac{1}{2}\right)$ 中，Cauchy问题(1.1)是局部适定的。主要思想是使用傅里叶限制范数方法 [21] [22] [23] ，压缩映射原理，以及两个极大值函数估计。

在给出我们的结果之前，先介绍一些基本知识和本文将要用到的符号。

定义： $s,b\in R$ ，空间 $X_{s,b}$ 被定义为R²上Schwartz函数空间关于范数

${\Vert u\Vert }_{X_{s,b}}={\Vert S\left(-t\right)u\Vert }_{H_x^s{H}_t^b}={\Vert {\langle \xi \rangle }^s{\langle \tau -\varphi \left(\xi \right)\rangle }^b\mathcal{F}u\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}$

的完备化。

如果 $\varphi \left(\xi \right)=\alpha {\xi }^2$ ，那么定义 $X_{s,b}=X_{s,b}^{\alpha }$ ，如果 $\varphi \left(\xi \right)=\beta {\xi }^2$ ，那么定义 $X_{s,b}=X_{s,b}^{\beta }$ 。

因此当 $s_1\le s_2$ ， $b_1\le b_2$ 时，嵌入关系 ${\Vert u\Vert }_{X_{s_1,b_1}}\le {\Vert u\Vert }_{X_{s_2,b_2}}$ 成立。用 $\hat{u}\left(\tau ,\xi \right)=\mathcal{F}u$ 表示u在变量t和x中的傅里叶变换，用 ${\mathcal{F}}_{(\cdot )}u$ 分别表示u在变量 $(\cdot )$ 中的傅里叶变换。

定义卷积积分 ${\displaystyle {\int }_{♣}\text{d}\delta }$

${\displaystyle {\int }_{\xi ={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3;\tau ={\tau }_1+{\tau }_2+{\tau }_3}\text{d}{\tau }_1\text{d}{\tau }_2\text{d}{\tau }_3\text{d}{\xi }_1\text{d}{\xi }_2\text{d}{\xi }_3}$ 。 (1.3)

令 $\psi \in C_0^{\infty }\left(R\right)$ 在区间 $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ 上 $\psi =1$ ，且 $\text{supp}\psi \subset \left[-1,1\right]$ 。存在 $\delta \in R\backslash \left\{0\right\}$ 定义 ${\psi }_{\delta }(\cdot )=\psi \left({\delta }^{-1}(\cdot )\right)$ 。

定义 $A~B$ ：存在常数 $C_1>0$ ， $A\le C_{1}B$ 且 $B\le C_{1}A$ ；定义 $A\ll B$ ：对于某个足够大的常数 $C_2>0$ ， $A\le \frac{1}{C_2}B$ 。

本文利用积分等价公式研究问题(1.1)

$u\left(t\right)=S_{\alpha }\left(t\right)u_0-i{\displaystyle {\int }_0^t{S}_{\alpha }\left(t-t^{\prime }\right)v^2{\bar{u}}_x\left(t^{\prime }\right)\text{d}{t}^{\prime }}$

$v\left(t\right)=S_{\beta }\left(t\right)v_0-i{\displaystyle {\int }_0^t{S}_{\beta }\left(t-t^{\prime }\right)u^2{\bar{v}}_x\left(t^{\prime }\right)\text{d}{t}^{\prime }}$

其中

$S_{\alpha }\left(t\right)={\mathcal{F}}_x^{-1}{\text{e}}^{it\alpha \varphi \left(\xi \right)}{\mathcal{F}}_x$ ， $\varphi \left(\xi \right)={\xi }^2$ ，

$S_{\beta }\left(t\right)={\mathcal{F}}_x^{-1}{\text{e}}^{it\beta \varphi \left(\xi \right)}{\mathcal{F}}_x$ ， $\varphi \left(\xi \right)={\xi }^2$ ，

分别是与线性方程和相函数相关的酉算子。

主要结果是：

定理1.1对 $\left(u_0,v_0\right)\in H^s\times H^s\left(s>\frac{1}{2}\right)$ ，存在一个实数b无限接近于1/2，且满足 $b>1/2$ ，则存在常数 $T>0$ ，柯西问题(1.1)存在唯一的局部解 $\left(u\left(x,t\right),v\left(x,t\right)\right)\in {\left(C\left(\left[0,T\right];H^s\right)\cap X_{s,b}\right)}^2$ 。此外，给定 $t\in \left(0,T\right)$ ，映射 $\left(u_0,v_0\right)\to \left(u,v\right)$ 从 $H^s\left(R\right)\times H^s\left(R\right)$ 到 $C\left(\left[0,T\right];H^s\right)\times C\left(\left[0,T\right];H^s\right)$ 是Lipschitz连续的。并且，初始值在 $H^1\left(R\right)\times H^1\left(R\right)$ 中是全局适定的。

本文组织如下。在第2节中，给出了一些注释，并陈述了一些将在本文中使用的初步估计。基于第2节的初步估计，在第3节中得到了关键的非线性估计。最后，在第4节给出了定理1.1的证明。

2. 初步估计

在本节中，证明一些估计。首先，给出以下符号：

$\mathcal{F}{F}_{\alpha ,\rho }\left(\xi ,\tau \right)=\frac{f\left(\xi ,\tau \right)}{{\left(1+\left|\tau +\alpha {\xi }^2\right|\right)}^{\rho }}$ ，

$\mathcal{F}{F}_{\beta ,\rho }\left(\xi ,\tau \right)=\frac{f\left(\xi ,\tau \right)}{{\left(1+\left|\tau +\beta {\xi }^2\right|\right)}^{\rho }}$ ，

${\Vert f\Vert }_{L_x^p{L}_t^q}={\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|f\left(x,t\right)\right|}^q\text{d}t}\right)}^{\frac{p}{q}}\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p}}$ ， ${\Vert f\Vert }_{L_t^q{L}_x^p}={\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|f\left(x,t\right)\right|}^p\text{d}t}\right)}^{\frac{q}{p}}\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{q}}$ ，

对分数s有 $D_x^s={\mathcal{F}}_x^{-1}{\left|\xi \right|}^s{\mathcal{F}}_x$ ，对整数m有 $D_x^m={\mathcal{F}}_x^{-1}{\left(i\xi \right)}^m{\mathcal{F}}_x$ 。

引理2.1 ( [24] )群 ${\left\{S_{\alpha }\left(t\right)\right\}}_{-\infty }^{\infty }$ 满足

${\Vert D_x^{\frac{1}{2}}{S}_{\alpha }\left(t\right)u_0\Vert }_{L_x^{\infty }{L}_t^2}\le C{\Vert u_0\Vert }_{L^2}$ , (2.1)

${\Vert D_x^{-\frac{1}{4}}{S}_{\alpha }\left(t\right)u_0\Vert }_{L_x^4{L}_t^{\infty }}\le C{\Vert u_0\Vert }_{L^2}$ , (2.2)

${\Vert S_{\alpha }\left(t\right)u_0\Vert }_{L_x^6{L}_t^6}\le C{\Vert u_0\Vert }_{L^2}$ , (2.3)

${\Vert D_x^s{S}_{\alpha }\left(t\right)u_0\Vert }_{L_x^2{L}_{t\in \left(0,1\right)}^{\infty }}\le C{\Vert u_0\Vert }_{L^2},s>1/2$ (2.4)

其中(2.1)、(2.2)、(2.3)和(2.4)也适用于群 $S_{\beta }\left(t\right)$ 。

引理2.2若 $\rho >\frac{1}{2}$ ，则

${\Vert D_x^{\frac{1}{2}}{F}_{\alpha ,\rho }\Vert }_{L_x^{\infty }{L}_t^2}\le C{\Vert f\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}$ , (2.5)

${\Vert D_x^{-\frac{1}{4}}{F}_{\alpha ,\rho }\Vert }_{L_x^4{L}_t^{\infty }}\le C{\Vert f\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}$ , (2.6)

${\Vert F_{\alpha ,\rho }\Vert }_{L_x^6{L}_t^6}\le C{\Vert f\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}$ , (2.7)

${\Vert D_x^{-s}{F}_{\alpha ,\rho }\Vert }_{L_x^2{L}_{t\in \left(0,1\right)}^{\infty }}\le C{\Vert f\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2},s>1/2$ (2.8)

其中(2.5)、(2.6)、(2.7)和 (2.8)也适用于群 $F_{\beta ,\rho }$ 。

证明 只证明式(2.5)。式(2.6)、(2.7)、(2.8)的证明与式(2.5)的证明相似。变化变量 $\tau =\lambda -\varphi \left(\xi \right)$ ，有

$\begin{array}{c}{F}_{\alpha ,\rho }\left(x,t\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\text{e}}^{i\left(x\xi +t\tau \right)}\frac{f\left(\xi ,\tau \right)}{{\left(1+\left|\tau +\varphi \left(\xi \right)\right|\right)}^{\rho }}\text{d}\xi \text{d}\tau }}\\ ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\text{e}}^{it\tau }\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\text{e}}^{i\left(x\xi +t\varphi \left(\xi \right)\right)}}f\left(\xi ,\lambda +\varphi \left(\xi \right)\right)\text{d}\xi \right)}\frac{\text{d}\lambda }{{\left(1+\left|\lambda \right|\right)}^{\rho }}\end{array}$

利用式(2.1)和Minkowski积分不等式，取 $\rho >\frac{1}{2}$ ，可以得到

${\Vert D_x^{\frac{1}{2}}{F}_{\alpha ,\rho }\Vert }_{L_x^{\infty }{L}_t^2}\le C{{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\Vert f\left(\xi ,\lambda +\varphi \left(\xi \right)\right)\Vert }}_{L_{\xi }^2}\frac{\text{d}\lambda }{{\left(1+\left|\lambda \right|\right)}^{\rho }}\le C{\Vert f\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}$ 。 (2.9)

引理2.3若 $\rho >\frac{1}{4}$ 则

${\Vert D_x^{\frac{1}{4}}{F}_{\alpha ,\rho }\Vert }_{L_x^4{L}_t^2}\le C{\Vert f\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}$ ， (2.10)

其中(2.10)也适用于群 $F_{\beta ,\rho }$ 。

证明 首先，有

${\Vert F_{\alpha ,0}\Vert }_{L_x^2{L}_t^2}\le C{\Vert f\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}$ 。 (2.11)

通过在(2.11)和(2.5)之间插值，当 $\rho >\frac{1}{4}$ 时，有

${\Vert D_x^{\frac{1}{4}}{F}_{\alpha ,\rho }\Vert }_{L_x^4{L}_t^2}\le C{\Vert f\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}$ 。 (2.12)

引理2.4若f，f₁，f₂和f₃属于R²上的Schwartz空间，则

${\displaystyle {\int }_{♣}\overline{\stackrel{^}{f}}\left(\xi ,\tau \right){\hat{f}}_1\left({\xi }_1,{\tau }_1\right){\hat{f}}_2\left({\xi }_2,{\tau }_2\right){\hat{f}}_3\left({\xi }_3,{\tau }_3\right)\text{d}\delta }={\displaystyle \int \bar{f}}{f}_1{f}_2{f}_3\left(x,t\right)\text{d}x\text{d}t$ 。 (2.13)

证明 为简单起见，只讨论一个变量的情况。事实上，可以得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\xi ={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3}\overline{\stackrel{^}{f}}\left(\xi \right){\hat{f}}_1\left({\xi }_1\right){\hat{f}}_2\left({\xi }_2\right){\hat{f}}_3\left({\xi }_3\right)\text{d}\delta }\\ ={\displaystyle {\int }_{\xi ={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3}\widehat{\stackrel{¯}{f}}\left(-\xi \right){\hat{f}}_1\left({\xi }_1\right){\hat{f}}_2\left({\xi }_2\right){\hat{f}}_3\left({\xi }_3\right)\text{d}\delta }\\ ={\displaystyle {\int }_{{\xi }_1}{\displaystyle {\int }_{{{\xi }^{\prime }}_2}{\displaystyle {\int }_{{{\xi }^{\prime }}_3}\widehat{\stackrel{¯}{f}}\left(-{{\xi }^{\prime }}_3\right){\hat{f}}_1\left({\xi }_1\right){\hat{f}}_2\left({{\xi }^{\prime }}_2-{\xi }_1\right){\hat{f}}_3\left({{\xi }^{\prime }}_3-{{\xi }^{\prime }}_2\right)\text{d}{\xi }_1\text{d}{{\xi }^{\prime }}_2\text{d}{{\xi }^{\prime }}_3}}}\\ =\widehat{\stackrel{¯}{f}}\ast {\hat{f}}_1\ast {\hat{f}}_2\ast {\hat{f}}_3\left(0\right)=\mathcal{F}\left(\bar{f}{f}_1{f}_2{f}_3\right)\left(0\right)={\displaystyle \int \bar{f}{f}_1{f}_2{f}_3\left(x\right)\text{d}x}\end{array}$

引理2.5 (Kenig-Ponce-Vega [22] [23] )令 $s\in R$ ， $\frac{1}{2}<b<1$ ， $0<\delta <1$ ，则

${\Vert {\psi }_{\delta }\left(t\right)S\left(t\right)u_0\Vert }_{X_{s,b}}\le C{\delta }^{\frac{1}{2}-b}{\Vert u_0\Vert }_{H^s}$ ， (2.14)

${\Vert {\psi }_{\delta }\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{t}S\left(t-t^{\prime }\right)f\left(t^{\prime }\right)\text{d}{t}^{\prime }}\Vert }_{X_{s,b}}\le C{\delta }^{\frac{1}{2}-b}{\Vert f\Vert }_{X_{s,b-1}}$ ， (2.15)

${\Vert {\psi }_{\delta }\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{t}S\left(t-t^{\prime }\right)f\left(t^{\prime }\right)\text{d}{t}^{\prime }}\Vert }_{H^s}\le C{\delta }^{\frac{1}{2}-b}{\Vert f\Vert }_{X_{s,b-1}}$ 。 (2.16)

${\Vert {\psi }_{\delta }\left(t\right)F\Vert }_{X_{s,b}}\le C{\delta }^{\frac{1}{2}-b}{\Vert F\Vert }_{X_{s,b}}$ ， (2.17)

${\Vert {\psi }_{\delta }\left(t\right)F\Vert }_{X_{s,b-1}}\le C{\delta }^{b^{\prime }-b}{\Vert F\Vert }_{X_{s,b^{\prime }-1}}$ 。 (2.18)

3. 非线性估计

在本节中，根据第2节的初步估计推导出关键的非线性估计。定义

${\sigma }_{\alpha }=\tau +\alpha {\xi }^2$ ， ${\sigma }_{\alpha ,1}={\tau }_1-\alpha {\xi }_1^2$ ， ${\bar{\sigma }}_{\alpha ,2}={\tau }_2+\alpha {\xi }_2^2$ ， ${\sigma }_{\alpha ,3}={\tau }_3-\alpha {\xi }_3^2$ ， ${\bar{\sigma }}_{\alpha ,4}={\tau }_4+\alpha {\xi }_4^2$ (3.1)

其中 $-{\xi }_4=\xi ={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3$ ， $-{\tau }_4=\tau ={\tau }_1+{\tau }_2+{\tau }_3$ 。类似的定义 ${\sigma }_{\beta }$ ， ${\bar{\sigma }}_{\beta ,2}$ ， ${\sigma }_{\beta ,3}$ ， ${\bar{\sigma }}_{\beta ,4}$ 。则有

${\bar{\sigma }}_{\beta ,4}+{\bar{\sigma }}_{\beta ,2}+{\sigma }_{\alpha ,3}+{\sigma }_{\alpha ,1}=\beta \left({\xi }_4^2+{\xi }_2^2-\frac{\alpha }{\beta }\left({\xi }_1^2+{\xi }_3^2\right)\right)$ 。

定理3.1若 $s>\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}<b$ 和 $\frac{1}{2}<b^{\prime }$ ，则

${\Vert u_1{u}_3{\partial }_x{\bar{u}}_2\Vert }_{X_{s,b-1}^{\beta }}\le C{\Vert u_1\Vert }_{X_{s,b}^{\alpha }}{\Vert u_2\Vert }_{X_{s,b}^{\beta }}{\Vert u_3\Vert }_{X_{s,b}^{\alpha }}$ 。

证明 通过对偶和Plancherel恒等式，充分证明

$\begin{array}{c}\Gamma ={\displaystyle {\int }_{♣}{\langle \xi \rangle }^s\left|{\xi }_2\right|\frac{\bar{f}\left(\tau ,\xi \right)}{{\langle {\sigma }_{\beta }\rangle }^{1-b}}\mathcal{F}{u}_1\left({\tau }_1,{\xi }_1\right)\mathcal{F}{u}_3\left({\tau }_3,{\xi }_3\right)\mathcal{F}{\bar{u}}_2\left({\tau }_2,{\xi }_2\right)\text{d}\delta }\\ ={\displaystyle {\int }_{♣}\frac{\frac{{\langle \xi \rangle }^s\left|{\xi }_2\right|}{{\langle {\xi }_1\rangle }^s{\langle {\xi }_2\rangle }^s{\langle {\xi }_3\rangle }^s}}{{\langle {\sigma }_{\beta }\rangle }^{1-b}{\langle {\sigma }_{\alpha ,1}\rangle }^{b^{\prime }}{\langle {\sigma }_{\alpha ,3}\rangle }^{b^{\prime }}{\langle {\bar{\sigma }}_{\beta ,2}\rangle }^{b^{\prime }}}\bar{f}\left(\tau ,\xi \right)f_1\left({\tau }_1,{\xi }_1\right)f_2\left({\tau }_2,{\xi }_2\right)f_3\left({\tau }_3,{\xi }_3\right)\text{d}\delta }\\ \le C{\Vert f\Vert }_{L_2}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{3}{\prod }}{\Vert f_j\Vert }_{L_2}}\end{array}$

对所有非负函数 $\bar{f}\in L_2$ ，其中 $f_j={\langle {\xi }_j\rangle }^s{\langle {\sigma }_{\alpha ,j}\rangle }^{b^{\prime }}{\hat{u}}_j\left(j=1,3\right)$ 和 $f_2={\langle {\xi }_2\rangle }^s{\langle {\bar{\sigma }}_{\beta ,2}\rangle }^{b^{\prime }}{\widehat{\stackrel{¯}{u}}}_2$ 。

令

$\mathcal{F}{F}_{\alpha ,\rho }^j\left(\xi ,\tau \right)=\frac{f_j\left(\tau ,\xi \right)}{{\left(1+\left|\tau +\alpha {\xi }^2\right|\right)}^{\rho }},j=1,2$ ； $\mathcal{F}{F}_{\beta ,\rho }^2\left(\xi ,\tau \right)=\frac{f_2\left(\tau ,\xi \right)}{{\left(1+\left|\tau -\beta {\xi }^2\right|\right)}^{\rho }}$ 。

通过将积分区域分割成若干个具有上界 $C{\Vert f\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}{\Vert f_1\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}{\Vert f_2\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}{\Vert f_3\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}$ 的区域来估计积分 $\Gamma$ 。

令

$K\left(\xi ,{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\right)=\frac{{\langle \xi \rangle }^s\left|{\xi }_2\right|}{{\langle {\xi }_1\rangle }^s{\langle {\xi }_2\rangle }^s{\langle {\xi }_3\rangle }^s}$ 。

情况1假设

${\bar{\sigma }}_{\beta ,4}+{\bar{\sigma }}_{\beta ,2}+{\sigma }_{\alpha ,3}+{\sigma }_{\alpha ,1}=\beta \left({\xi }_4^2+{\xi }_2^2-\frac{\alpha }{\beta }\left({\xi }_1^2+{\xi }_3^2\right)\right)\gtrsim \left|\beta \right|{\left|{\xi }_2\right|}^{5/4}$ 。

根据对称性，假设 $\left|{\sigma }_{\beta }\right|=\left|{\bar{\sigma }}_{\beta ,4}\right|\gtrsim \left|\beta \right|{\left|{\xi }_2\right|}^{5/4}$ 和 $\left|\xi \right|\lesssim \left|{\xi }_2\right|$ 。

由引理2.2，2.3，2.4可知，对于 $b<3/5$ ，限制在这个区域上的 $\Gamma$ 以

$\begin{array}{l}C{\displaystyle {\int }_{♣}\frac{\left|{\xi }_2\right|}{{\langle {\xi }_1\rangle }^{1/2}{\langle {\xi }_3\rangle }^{1/2}}\frac{\bar{f}\left(\tau ,\xi \right)}{{\langle {\sigma }_{\beta }\rangle }^{1-b}}}\frac{f_1\left({\tau }_1,{\xi }_1\right)}{{\langle {\sigma }_{\alpha ,1}\rangle }^{b^{\prime }}}\frac{f_2\left({\tau }_2,{\xi }_2\right)}{{\langle {\bar{\sigma }}_{\beta ,2}\rangle }^{b^{\prime }}}\frac{f_3\left({\tau }_3,{\xi }_3\right)}{{\langle {\sigma }_{\alpha ,3}\rangle }^{b^{\prime }}}\text{d}\delta \\ \lesssim C{\displaystyle \int {\bar{F}}_0\cdot D_x^{-1/4}{F}_{\alpha ,b^{\prime }}^1\cdot D_x^{1/2}{F}_{\beta ,b^{\prime }}^2\cdot D_x^{-1/4}{F}_{\alpha ,b^{\prime }}^3\left(x,t\right)\text{d}x\text{d}t}\\ \le C{\Vert F_0\Vert }_{L_x^2{L}_t^2}{\Vert D_x^{-1/4}{F}_{\alpha ,b^{\prime }}^1\Vert }_{L_x^4{L}_t^{\infty }}{\Vert D_x^{1/2}{F}_{\beta ,b^{\prime }}^2\Vert }_{L_x^{\infty }{L}_t^2}{\Vert D_x^{-1/4}{F}_{\alpha ,b^{\prime }}^3\Vert }_{L_x^4{L}_t^{\infty }}\\ \le C{\Vert f\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}{\Vert f_1\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}{\Vert f_2\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}{\Vert f_3\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}\end{array}$

为界。

情况2假设

${\bar{\sigma }}_{\beta ,4}+{\bar{\sigma }}_{\beta ,2}+{\sigma }_{\alpha ,3}+{\sigma }_{\alpha ,1}=\beta \left({\xi }_4^2+{\xi }_2^2-\frac{\alpha }{\beta }\left({\xi }_1^2+{\xi }_3^2\right)\right)\ll \left|\beta \right|{\left|{\xi }_2\right|}^{5/4}$ 。

意味着

${\xi }_4^2+{\xi }_2^2~\frac{\alpha }{\beta }\left({\xi }_1^2+{\xi }_3^2\right)$ 。

情况2.1若 $\left|\xi \right|=\left|{\xi }_4\right|\lesssim \left|{\xi }_1\right|$ ，通过对称性，假设 ${\left|\xi \right|}^2\sim \frac{\alpha }{\beta }{\left|{\xi }_1\right|}^2$ 和 $\left|{\xi }_2\right|\gg \left|{\xi }_3\right|$ 。由引理2.2，2.3，2.4可知，对于 $b<3/5$ 和 $s>1/2$ ，限制在这个区域上的 $\Gamma$ 以

$\begin{array}{l}C{\displaystyle {\int }_{♣}\frac{{\left|{\xi }_2\right|}^{1/2}}{{\langle {\xi }_3\rangle }^s}\frac{\bar{f}\left(\tau ,\xi \right)}{{\langle {\sigma }_{\beta }\rangle }^{1-b}}}\frac{f_1\left({\tau }_1,{\xi }_1\right)}{{\langle {\sigma }_{\alpha ,1}\rangle }^{b^{\prime }}}\frac{f_2\left({\tau }_2,{\xi }_2\right)}{{\langle {\bar{\sigma }}_{\beta ,2}\rangle }^{b^{\prime }}}\frac{f_3\left({\tau }_3,{\xi }_3\right)}{{\langle {\sigma }_{\alpha ,3}\rangle }^{b^{\prime }}}\text{d}\delta \\ \lesssim {\displaystyle \int {\bar{F}}_{1-b,\beta }\cdot F_{b^{\prime },\alpha }^1\cdot D_x^{1/2}{F}_{b^{\prime },\beta }^2\cdot D_x^{-1/4}{F}_{b^{\prime },\alpha }^3\left(x,t\right)\text{d}x\text{d}t}\\ \le C{\Vert F_{\beta ,1-b}\Vert }_{L_x^4{L}_t^4}{\Vert F_{\alpha ,b^{\prime }}^1\Vert }_{L_x^4{L}_t^4}{\Vert D_x^{1/2}{F}_{\beta ,b^{\prime }}^2\Vert }_{L_x^{\infty }{L}_t^2}{\Vert D_x^{-s}{F}_{\alpha ,b^{\prime }}^3\Vert }_{L_x^2{L}_t^{\infty }}\\ \le C{\Vert f\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}{\Vert f_1\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}{\Vert f_2\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}{\Vert f_3\Vert }_{L_{\xi }^2{L}_{\tau }^2}\end{array}$

为界。

情况2.2若 $\left|\xi \right|=\left|{\xi }_4\right|\lesssim \left|{\xi }_3\right|$ ，通过对称性，假设 ${\left|\xi \right|}^2~\frac{\alpha }{\beta }{\left|{\xi }_3\right|}^2$ 和 $\left|{\xi }_2\right|\gg \left|{\xi }_1\right|$ 。与情况2.2类似，可以得到结果。

情况2.3若 $\left|\xi \right|=\left|{\xi }_4\right|\lesssim \left|{\xi }_2\right|$ ，通过对称性，假设 $\left|{\xi }_4\right|~\left|{\xi }_2\right|\gg \left|{\xi }_1\right|$ ， $\left|{\xi }_3\right|$ 。若 ${\xi }_4^2~\frac{\alpha }{\beta }{\xi }_1^2$ ， ${\xi }_4^2~\frac{\alpha }{\beta }{\xi }_3^2$ ， ${\xi }_2^2~\frac{\alpha }{\beta }{\xi }_1^2$ 或者 ${\xi }_2^2~\frac{\alpha }{\beta }{\xi }_3^2$ 成立，与情况2.1或情况2.2类似，可以得到结果。不失一般性，假设 ${\xi }_4^2+{\xi }_2^2\gg \frac{\alpha }{\beta }\left({\xi }_1^2+{\xi }_3^2\right)$ ，与情况1类似，可以得到结果。这就完成了定理3.1的证明。

推论3.2若 $s>\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}<b$ 和 $\frac{1}{2}<b^{\prime }$ ，则

${\Vert u_1{u}_3{\partial }_x{\bar{u}}_2\Vert }_{X_{s,b^{\prime }-1}^{\alpha }}\le C{\Vert u_1\Vert }_{X_{s,b}^{\beta }}{\Vert u_2\Vert }_{X_{s,b}^{\alpha }}{\Vert u_3\Vert }_{X_{s,b}^{\beta }}$ 。

4. 局部适定性

在本节中，将给出定理1.1的证明。对 $\left(u_0,v_0\right)\in H^s\times H^s\left(s>1/2\right)$ ，定义算子

${\Phi }_{\alpha }\left(u\right)={\psi }_1\left(t\right)S_{\alpha }\left(t\right)u_0-i{\psi }_1\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^t{S}_{\alpha }\left(t-t^{\prime }\right){\psi }_{\delta }\left(t^{\prime }\right)v^2{\bar{u}}_x\left(t^{\prime }\right)\text{d}{t}^{\prime }}$ ，

${\Phi }_{\beta }\left(v\right)={\psi }_1\left(t\right)S_{\beta }\left(t\right)v_0-i{\psi }_1\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^t{S}_{\beta }\left(t-t^{\prime }\right){\psi }_{\delta }\left(t^{\prime }\right)u^2{\bar{v}}_x\left(t^{\prime }\right)\text{d}{t}^{\prime }}$ ，

和集合

${\mathcal{B}}_{\alpha }=\left\{u\in X_{s,b}^{\alpha }:{\Vert u\Vert }_{X_{s,b}^{\alpha }}\le 2C{\Vert u_0\Vert }_{H^s}\right\}$ ，

${\mathcal{B}}_{\beta }=\left\{v\in X_{s,b}^{\beta }:{\Vert v\Vert }_{X_{s,b}^{\beta }}\le 2C{\Vert v_0\Vert }_{H^s}\right\}$ 。

将要证明 ${\Phi }_{\alpha }\times {\Phi }_{\beta }$ 是从 ${\mathcal{B}}_{\alpha }\times {\mathcal{B}}_{\beta }$ 到 ${\mathcal{B}}_{\alpha }\times {\mathcal{B}}_{\beta }$ 的压缩映射。

利用定理3.1、推论3.2和引理2.5，对于 $1/2<b<b^{\prime }<3/5$ ，得到不等式链

$\begin{array}{c}{\Vert {\Phi }_{\alpha }\left(u\right)\Vert }_{X_{s,b}^{\alpha }}\le C{\Vert u_0\Vert }_{H^s}+C{\Vert {\psi }_{\delta }{v}^2{\bar{u}}_x\Vert }_{X_{s,b-1}^{\alpha }}\\ \le C{\Vert u_0\Vert }_{H^s}+C{\delta }^{b-b^{\prime }}\left({\Vert u\Vert }_{X_{s,b}^{\alpha }}{\Vert v\Vert }_{X_{s,b}^{\beta }}^2\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}{\Vert {\Phi }_{\beta }\left(u\right)\Vert }_{X_{s,b}^{\beta }}\le C{\Vert u_0\Vert }_{H^s}+C{\Vert {\psi }_{\delta }{u}^2{\bar{v}}_x\Vert }_{X_{s,b-1}^{\beta }}\\ \le C{\Vert u_0\Vert }_{H^s}+C{\delta }^{b-b^{\prime }}\left({\Vert v\Vert }_{X_{s,b}^{\beta }}{\Vert u\Vert }_{X_{s,b}^{\alpha }}^2\right)\end{array}$

因此，若 $\delta$ 满足 $C{\delta }^{b-b^{\prime }}\left({\Vert u_0\Vert }_{H^s}^2+{\Vert v_0\Vert }_{H^s}^2\right)\le \frac{1}{2}$ ，则

${\Phi }_{\alpha }\times {\Phi }_{\beta }\left({\mathcal{B}}_{\alpha }\times {\mathcal{B}}_{\beta }\right)\subset {\mathcal{B}}_{\alpha }\times {\mathcal{B}}_{\beta }$ 。

令 $\left(u_1,u_2\right)\times \left(v_1,v_2\right)\in {\mathcal{B}}_{\alpha }\times {\mathcal{B}}_{\beta }$ 。用上述类似的方法，得到

${\Vert {\Phi }_{\alpha }\left(u_1\right)-{\Phi }_{\alpha }\left(u_2\right)\Vert }_{X_{s,b}^{\alpha }}\le \frac{1}{2}{\Vert u_1-u_2\Vert }_{X_{s,b}^{\alpha }}$ ，

${\Vert {\Phi }_{\beta }\left(v_1\right)-{\Phi }_{\beta }\left(v_2\right)\Vert }_{X_{s,b}^{\beta }}\le \frac{1}{2}{\Vert v_1-v_2\Vert }_{X_{s,b}^{\beta }}$ 。

因此 ${\Phi }_{\alpha }\times {\Phi }_{\beta }$ 是 ${\mathcal{B}}_{\alpha }\times {\mathcal{B}}_{\beta }$ 上的压缩映射。因此存在唯一的不动点，使得当 $T<\frac{\delta }{2}$ 时，Cauchy问题 (1.1)可解。

5. 总结

文献 [13] 利用调和分析方法，证明了一维带导数项的非线性Schrödinger方程Cauchy问题在 $H^{\frac{1}{2}}$ 中的适定性。基于文献 [13] 中证明方法，本文主要研究一维带导数非线性Schrödinger方程组Cauchy问题的适定性。利用傅里叶限制范数方法，压缩映射原理，证明了当初始值属于 $H^s\left(R\right)\times H^s\left(R\right)\left(s>\frac{1}{2}\right)$ 时方程组的局部适定性。本文主要克服了方程组耦合非线性项的估计问题。没有给出全局适定性，今后可以研究在合适的初始条件下此类带导数耦合Schrödinger方程组的Cauchy问题是全局适定的。

基金项目

本论文由中央高校基金(项目号 2023MS078)和国家自然科学基金青年项目(项目号 11801552)支持。