1. 引言
Cahn-Hilliard-Cook方程由Cook在 [1] 中首次提出,是Cahn-Hilliard方程随机版本,受到噪声的扰动。Da Prato和Debussche [2] 建立了方程全局温和解的存在性、唯一性和正则性。文献 [3] 对CHC方程和线性化CHC方程的有限元近似进行了研究。文献 [3] 和 [4] 分别证明了半离散和全离散有限元方法对CHC方程具有强收敛性,但未给出收敛速率。后来,Qi在 [5] 中证明了强收敛率。有关CHC方程数值研究的更多信息,请参阅文献 [6] [7] [8] [9] 。
蒙特卡洛方法是估计随机模拟期望的一种非常普遍和有用的方法。多级蒙特卡洛方法 [10] 在蒙特卡洛方法的基础上,使用分层网格来近似空间和时间,在非常细的网格上进行少量蒙特卡洛采样,在较粗的网格上增加采样量,这两种方法的结合确保了采样与计算成本之间的最佳平衡,大大降低了计算成本。文献 [11] 解释了多级蒙特卡洛方法的相关信息。
本文主要研究了具有对数Flory-Huggins势的Cahn-Hilliard-Cook方程。采用多级蒙特卡洛有限元法对其进行数值求解,在空间和时间上分别用有限元法和向后欧拉格式进行离散化,给出其全离散数值格式,并推导得到其数值解与温和解之间的误差估计,包括空间离散误差,时间离散误差,以及统计(抽样)误差。
2. 预备知识
Cahn-Hilliard-Cook方程是被噪声扰动的Cahn-Hilliard方程,其形式如下:
(1)
其中D是
中的有界区域,n是区域边界
上的外法向量,解u是一种材料成分的质量浓度,在大多数应用中
。
对于方程中的势,本文选取Flory-Huggins对数势 [12] 。
参照文献 [13] 的框架,可以将(1)写成一个抽象的演化方程,其形式为:
(2)
其中A表示负拉普拉斯,是希尔伯特空间
中的无界算子;而W是H中关于滤波概率空间
的Q-Wiener过程。
按照 [13] 的半群方法,我们把(2)写成如下的积分方程(温和解):
(3)
其中
是由
生成的解析半群。
设空间
具有标准内积
和范数
,
,并记
为标准Sobolev空间。
现定义
为正交投影算子。则
是v的均值。
定义算子
,其定义域为:
则A是
上具有紧逆的正定、自伴、无界、线性算子。当延拓到H为
时,它具有一组正交特征基
,并有相应的特征值
满足:
第一个特征函数是常数,
。因此
构成空间
上的一组正交基。
现定义范数和半范数如下:
其相应的空间为:
则
,并且
。对于整数阶
,
与标准Sobolev空间重合,范数
等价于标准范数
。
对于任意Hilbert空间H,定义
,具有范数
。
令
,则可以定义
,且有如下等距性质成立:
(4)
用
表示H中有界线性算子的空间,
表示H中所有Hilbert-Schmidt算子的空间,即
具有范数
。
设空间
,
,由 [14] 中定理6.13可知,存在常数
,使得对于所有的
和
,
(5)
依据文献 [6] ,算子
是有界的,且有
(6)
(7)
(8)
由此可得对于
和
(9)
假设2.1设
。假设存在常数
,使得对于
成立
易证
满足上述假设。
引理2.1 [11] 如果假设2.1成立且
则(3)中定义的解X在空间
中。特别地,对所有
成立
其中,
表示依赖T变化的常数。
为方便后续证明,此处引入关于温和解X在时间上正则性的引理。
引理2.2 [11] 如果假2.1成立且
,则存在常数
使得(3)中定义的温和解X满足,
引理2.1,2.2主要参考 [11] 进行证明,其中不同之处引入式(5)~(9)即可证明。有了上述假设和定理,就可以推导出温和解与其近似值之间的误差估计值。
3. 数值格式
本节定义CHC方程的有限元近似,为构造其数值格式,首先引入方程(1)的弱形式,求
使得
(10)
表示区域D上最大网格大小为
的准均匀三角剖分族,
的网格大小表示为
(11)
网格的均匀细化可以通过规则细分来实现。由此得到网格尺寸为
,其中
表示最粗三角剖分的网格大小。
假设
是H的有限元子序列的嵌套族,细化水平
,网格大小
。
是关于
的连续函数空间,这些函数是最高阶为1的分片多项式。
此外,定义
,
因此(10)的混合有限元形式定义为
使得
(12)
接下来,定义“离散拉普拉斯算子”
为
则有
算子
是自伴算子,在
上正定、
上半正定,且在空间
上具有正交特征基
,并有相应的特征值
,满足
其中
且
。
另外,定义正交投影算子
为
令
,结合定义的算子
,(12)式可以化作
中的抽象方程:
(13)
方程(13)有一个唯一的温和解
,满足以下条件:
(14)
对于时间离散,设
为步长为
的等距时间离散序列,即对于
采用向后欧拉格式对(13)进行时间离散化,得到的全离散问题是求随机变量
,使得
则对
,全离散近似值为
(15)
其中
。
为了后续证明,此处引入算子
的一些性质。记
,则
。如 [5] 所示,存在常数C和c,使得
(16)
(17)
上述两个不等式足以确保,对
,
(18)
4. 误差分析
引理4.1在离散情形下,依据 [5] 以下估计成立:
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
定义标准蒙特卡洛估计器为:
(25)
其中
,
是随机变量Y的独立同分布样本序列。
设
是V-值随机变量序列,使得
对所有
。则对于
,
可表示为:
其中
。根据期望的线性性质,可得
为了从上述表达式中推导出期望值的多级估计器,用蒙特卡洛方法对
进行近似估计,样本数为
,然后可以定义多级蒙特卡洛估计器
(26)
有了上述两个估计器,就可以进行本节的主要工作,推导出误差的收敛结果。
4.1. 单级蒙特卡洛近似
引理4.2 [11] 对于任意
和
,成立
(27)
注释4.1引理4.2是针对
中的任意随机变量Y而提出的。在接下来的证明中,对于
和
,我们估计离散温和解的蒙特卡洛误差,根据引理4.2,其边界为
另外,对于
,运用假设2.1,(4),(20),(23)和离散Gronwall不等式 [15] 可得类似引理2.1的结论
由此估计进一步可得
定理4.1如果X是(3)的温和解,
是(15)中引入的离散解序列,那么存在常数
,使得对于所有
成立
证明对于
,
,误差为
对第一项,由式(21)可以推得
第二项可以分解为
由假设2.1,(24),注释4.1得
运用(4.2),引理2.2可得
通过假设2.1,(24)得到
对第三项,由(22)得
综上,运用离散Gronwall引理可得
定理4.2如果X是(3)的温和解,
是(15)中引入的离散解序列,那么存在常数
,使得对于所有
,
成立
对于任意给定的离散级别
,最优时间离散级别为
,蒙特卡罗抽样规模为
。
,由定理4.2当
时,空间误差和时间误差达到平衡,因此
。根据定理4.2所示的收敛速率,易知对于
的离散化和采样误差,可以通过以下选择实现平衡:
4.2. 多级蒙特卡洛近似
在上一小节中确定了单级蒙特卡洛法的误差界,接下来在本小节中将证明多级蒙特卡洛近似的误差界。
根据之前关于单级蒙特卡洛方法收敛性和各种误差贡献平衡的结论,使用时间区间
的等距剖分
根据前一节的概念,有
。用
表示
中
的时间步长。设置
,在多级蒙特卡洛离散化误差分析中,用
将空间离散化级别与时间离散化级别联系起来,这解释了时间网格的重新定义。
对
,我们对解应用如下插值:
(28)
其中,
为取整符号。迭代(28)式得
(29)
其中,
注意
,
。通过该线性插值,可以证明得到如下关于多级蒙特卡罗估计收敛性的结论。
定理4.3如果X是(3)的温和解,
是(15)中引入的离散解序列,那么存在常数
,使得对于所有
成立
证明对
,选择
,将误差分解为
由定理4.1及
得
对于
,运用引理4.2
运用定理4.1,引理2.2和(29)可得
由定理4.1,
根据引理2.2,
第四项
有类似结果。从而可得
因为
,
,
,则
当
,
由上述结果可得
综上
定理得证。
5. 总结
本文运用多级蒙特卡洛有限元方法求解对数势Cahn-Hilliard-Cook方程,首先给出方程温和解的相关正则性结果,随后在空间和时间上分别用有限元法和向后欧拉格式进行离散化,得到了方程的全离散数值格式,给出了方程解的正则性结果,最终进行了误差分析和收敛阶的估计。
多级蒙特卡洛方法存在取样不均匀、部分取样过密过疏的缺点,从而影响模拟结果。而多级准蒙特卡洛方法在这方面加以改进,进一步提高了数值精度。接下来我们考虑利用多级准蒙特卡洛方法来求解Cahn-Hilliard-Cook方程。
基金项目
国际合作基地与平台项目:基于AFEM的向列相液晶材料动力学建模与数值模拟研究(202104041101019)。
参考文献