带有移民的上临界Galton-Watson过程的Cramer中偏差

Cramer Moderate Deviations for a Supercritical Galton-Watson Process with Immigration

摘要: 我们令{Xn;n≥0}是一个后代平均值为m的带有移民的上临界分支过程。Lotka-Nagaev估计量Xn1/Xn是用来估计后代均值的常用估计量。在本论文中，我们通过构造鞅得到了带有移民的Galton-Watson过程的Cramer中偏差结果。对于我们的证明，我们使用了著名的Cramer方法来证明自变量和的中偏差以满足我们的需要。

Abstract: Let{Xn;n≥0}be a supercritical branching process with immigration and offspring mean m. The Lotka-Nagaev estimatorXn1/Xnis a common estimator for the offspring mean. In this paper, we establish some kinds of Cramer moderate deviation results for the Lotka-Nagaev estimator via a martingale method. For our proofs, we use the well-known Cramer method to prove the moderate deviation of the sum of independent variables to satisfy our needs.

1. 引言

定义 ${\left(Z_i\right)}_{i\ge 1}$ 是一列均值为0，方差为 ${\sigma }^2$ 的独立同分布随机变量序列。我们用 $L_n={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{Z}_i}$ 来表示 ${\left(Z_i\right)}_{i\ge 1}$ 的部分和。假设 $E\exp \left[C_0\left|Z_1\right|\right]<\infty$ 对于所有的常数 $C_0>0$ 都成立，对于所有满足条件 $0\le x=o\left(n^{1/2}\right)$ 的x，Cramer建立了如下渐近中偏差结果

$\left|\ln \frac{P\left(L_n>x\sigma \sqrt{n}\right)}{1-\varphi \left(x\right)}\right|=O\left(\frac{1+x^3}{\sqrt{n}}\right)$ (1.1)

其中 $n\to \infty$ ， $\varphi \left(x\right)=1/\sqrt{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^x\exp \left(-t^2/2\right)\text{d}t}$ 是一个标准的正态分布。上式结果通常被称为Cramer中偏差。

我们如下定义带有移民的Galton-Watson过程：

$X_0=1$ , $X_{n+1}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{X_n}{\sum }}{Z}_i^n+Y_n}$ ，对于所有的 $n\ge 0$ 。 (1.2)

若用m来表示个体的后代均值，则

$m=E{X}_1$ . (1.3)

若用v来表示 $X_1$ 的标准方差，则

$v^2=E{\left(X_1-m\right)}^2=Var\left(X_1\right)$ . (1.4)

为了方便讨论，本文中所有的v都是正的。Lotka-Nagaev估计量 $X_{n+1}/X_n$ 是用来估计后代均值m的常用估计量。在本论文中，我们假设 $p_0=0$ ，则Lotka-Nagaev估计量是定义良好的P-a.s。

从各国相关的文献中来看，中偏差是研究Galton-Watson过程的重要方向之一，引起了各国学者的广泛关注。孙和张 [1] 研究了带有移民的上临界分支过程的调和矩的收敛速率。刘和张 [2] 研究了带有移民的上临界分支过程的大偏差，改进了之前学者对于不带移民的上临界分支过程的研究结果。刘和张 [3] 研究了随机环境下的上临界多型分支过程的Kesten-Stigum型定理。

近些年来，Lotka-Nagaev估计量也引起了各国学者的广泛关注。例如，Paul Doukhan Fan和Gao [4] 利用鞅方法得到了Lotka-Nagaev估计量的Cramer中偏差结果。Bercu和Touati [5] 通过自归一化鞅方法得到了Lotka-Nagaev估计量的指数不等式。Fleischmann和Wachtel [6] 考虑了Lotka-Nagaev估计量的 $S_{Z_n}/Z_n$ 的推广，并且还在文献 [7] 研究了上临界GW过程的低偏差概率。朱和高 [8] 研究了简单分支过程的Lotka- Nagaev估计量的中偏差，得到了经典分支过程的Lotka-Nagaev估计量的中偏差呈指数衰减。范和邵 [9] 研究了自归一化Cramer中偏差。Ney和Vidyashanka [10] 研究了Lotka-Nagaev估计量的大偏差衰减速率。Athreya [11] 研究了Galton-Watson过程的Lotka-Nagaev估计量的大偏差。

本论文在下一节中介绍得到的带有移民的上临界Galton-Watson过程的Cramer中偏差结果。

2. 主要定理以及证明

引理4.2.1 对于GWI过程，我们有

$P\left(X_n\le n\right)\le C_1\exp \left(-C_{0}n\right)$ . (2.1)

其中 $C_0>0$ 。

证明：

$\begin{array}{c}P\left(X_n\le n\right)=P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{X_{n-1}}{\sum }}{Z}_i+Y_{n-1}\le n}\right)=P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{X_{n-1}}{\sum }}{Z}_i\le n}-Y_{n-1}\right)\\ \le P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{X_{n-1}}{\sum }}{Z}_i\le n}\right)\le C_1\exp \left(-C_{0}n\right)\end{array}$ (2.2)

定理4.2.2 假设有 $E\exp \left[C_0\left|X_1\right|\right]<\infty$ 成立，其中对于所有的常数 $C_0>0$ ，对于所有的x，都有 $0\le x=o\left(n^{1/2}\right)$ ，则以下等式成立

$\left|\ln \frac{P\left(S_n>x\sigma \sqrt{n}\right)}{1-\varphi \left(x\right)}\right|=O\left(\frac{C_1+C_{2}x+C_3{x}^2+x^3}{\sqrt{n}}\right)$ . (2.3)

其中 $S_n={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{Z}_i+Y_n}$ ， $\varphi \left(x\right)=1/\sqrt{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^x\exp \left(-t^2/2\right)}\text{d}t$ 是一个标准的正态分布。

证明：根据全概率公式，我们有

$\begin{array}{c}P\left(S_n>x\sigma \sqrt{n}\right)=P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Z}_i+Y_n>x\sigma \sqrt{n}}\right)\\ ={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}P\left(Y_n=j\right)P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Z}_i>x\sigma \sqrt{n}}-j\right)}\\ ={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}P\left(Y_n=j\right)P\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Z}_i>\sigma \sqrt{n}}\left(\frac{x\sigma \sqrt{n}-j}{\sigma \sqrt{n}}\right)\right]}\\ =:{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}P\left(Y_n=j\right)P_n\left(x-\frac{j}{\sigma \sqrt{n}}\right)}\end{array}$ (2.4)

根据文献 [4] 中的(1.1)式，我们可以得到以下两个不等式

$P_n\left(x-\frac{j}{\sigma \sqrt{n}}\right)<C_1\left[1-\varphi \left(x-\frac{j}{\sigma \sqrt{n}}\right)\right]\exp \left[\frac{1+{\left(x-\frac{j}{\sigma \sqrt{n}}\right)}^3}{\sqrt{n}}\right]$ ,(2.5)

$P_n\left(x-\frac{j}{\sigma \sqrt{n}}\right)>C_2\left[1-\varphi \left(x-\frac{j}{\sigma \sqrt{n}}\right)\right]\exp \left[-\left(\frac{1+{\left(x-\frac{j}{\sigma \sqrt{n}}\right)}^3}{\sqrt{n}}\right)\right]$ , (2.6)

再结合下面的不等式

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\left(1+x\right)}{\text{e}}^{\frac{-x^2}{2}}\le 1-\varphi \left(x\right)\le \frac{1}{\sqrt{\pi }\left(1+x\right)}{\text{e}}^{\frac{-x^2}{2}}$ , $x\ge 0$ (2.7)

我们可以得到

$\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\left(1+x-\frac{j}{\sigma \sqrt{n}}\right)}\exp \left[\frac{-{\left(x-\frac{j}{\sigma \sqrt{n}}\right)}^2}{2}\right]\\ \le 1-\varphi \left(x-\frac{j}{\sigma \sqrt{n}}\right)\le \frac{1}{\sqrt{\pi }\left(1+x-\frac{j}{\sigma \sqrt{n}}\right)}\exp \left[\frac{-{\left(x-\frac{j}{\sigma \sqrt{n}}\right)}^2}{2}\right],x\ge 0\end{array}$ (2.8)

根据(2.7)和(2.8)，我们有

$\frac{1-\varphi \left(x-t\right)}{1-\varphi \left(x\right)}<\frac{\sqrt{2}\left(1+x\right)}{1+x-t}\exp \left(xt-\frac{t^2}{2}\right)$ ，其中 $t=\frac{j}{\sigma \sqrt{n}}$ (2.9)

$\frac{1-\varphi \left(x-t\right)}{1-\varphi \left(x\right)}>\frac{1+x}{\sqrt{2}\left(1+x-t\right)}\exp \left(xt-\frac{t^2}{2}\right)$ (2.10)

再根据(2.5)和(2.9)，我们可以得到

$\begin{array}{c}P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Z}_i>x\sigma \sqrt{n}}-j\right)<C_1\frac{\sqrt{2}\left(1+x\right)}{1+x-t}\left[1-\varphi \left(x\right)\right]\exp \left[\frac{1+{\left(x-t\right)}^3}{\sqrt{n}}+x\frac{j}{\sigma \sqrt{n}}-\frac{j^2}{2{\sigma }^{2}n}\right]\\ <C_4\left[1-\varphi \left(x\right)\right]\exp \left(\frac{C_1+C_{2}x+C_3{x}^2+x^3}{\sqrt{n}}\right)\end{array}$ (2.11)

以及

$P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Z}_i>x\sigma \sqrt{n}}-j\right)>C_5\left[1-\varphi \left(x\right)\right]\exp \left(\frac{C_1+C_{2}x+C_3{x}^2+x^3}{\sqrt{n}}\right)$ , (2.12)

最终，我们得到结论，

$\left|\ln \frac{P\left(S_n>x\sigma \sqrt{n}\right)}{1-\varphi \left(x\right)}\right|=O\left(\frac{C_1+C_{2}x+C_3{x}^2+x^3}{\sqrt{n}}\right)$ .

参考文献

NOTES

^*通讯作者。