T_p空间中小预对数导数模型

Small Pre-Logarithmic Derivative Model in T_p Space

摘要: 在研究万有Teichmüller空间过程中，通过Schwarzian导数，能够得到前Schwarzian导数(或对数导数)，从而定义小预对数导数模型，本文主要是在p次可积Teichmüller空间中得到小预对数导数模型中的一个连通分量T^P,b0。

Abstract: In the process of studying universal Teichmüller space, we can get the pre-Schwarzian derivative (logarithmic derivative) through Schwarzian, thus defining the small pre-Schwarzian model. In this paper, we mainly get a connected componentT^P,b0in the small model in p-integrable Teichmüller space.

1. 引言及主要结果

小预对数导数模型是对数导数模型的推广，它是在研究万有Teichmüller空间的各个子空间(见 [1] - [10] )的性质上非常重要的工具。根据预对数导数模型推广出来的小预对数导数模型，结合Bloch空间的性质和Carleson度量得到p次Teichmüller空间的小预对数导数模型的一个连通分量 ${\hat{T}}_{P,b}^0$

首先给一些基本符号，用 $\Delta =\left\{z:\left|z\right|<1\right\}$ 表示全平面 $ℂ$ 上的单位圆盘， ${\Delta }^{*}=\left\{z:\left|z\right|>1\right\}$ 表示单位圆盘外部。 $M_1\left({\Delta }^{*}\right)$ 表示Banach空间在 ${\Delta }^{*}$ 中单位球上的有界可测函数，对任意的 $\mu \in M_1\left({\Delta }^{*}\right)$ ，在平面上存在唯一拟共形映射 $f_{\mu }$ ，在 ${\Delta }^{*}$ 上的复特征为 $\mu$ ，在∆的复特征为0，标准形式为：

$f_{\mu }\left(0\right)={f^{″}}_{\mu }\left(0\right)-1=0.$

在∆上的共形映射f的pre-Schwarzian导数 $P_f$ 和Schwarzian导数 $S_f$ 定义如下：

$P_f={\left(\log f^{\prime }\right)}^{\prime },S_f={\left(P_f\right)}^{\prime }-\frac{1}{2}{\left(P_f\right)}^2.$

我们设 ${\mu }_1$ 和 ${\mu }_2$ 是在 $M_1\left({\Delta }^{*}\right)$ 上的Beltrami系数，在Teichmüller空间上如果有 $f_{{\mu }_1}\left(\Delta \right)=f_{{\mu }_2}\left(\Delta \right)$ 则可以说 ${\mu }_1$ 和 ${\mu }_2$ 是等价的使用 ${\mu }_1~{\mu }_2$ 表示，万有Teichmüller空间(参见 [11] [12] )可以使 $T=M_1\left({\Delta }^{*}\right)/~$ 表示，当 $\mu \in L^{\infty }\left({\Delta }^{*}\right)$ 我们就可以用 $\left[\mu \right]$ 表示这一类复特征。

设 $S_Q$ 为单位圆盘∆中所有单叶解析函数∆的类，其标准条件为 $f\left(0\right)=f^{\prime }\left(0\right)-1=0$ ，能延拓到整个复平面上一个拟共形映射。设

$\hat{T}\left(1\right)=\left\{\log f^{\prime }:f\in S_Q有界\right\}$

故 $z_0\in {\Delta }^{*}$ ，对于 $\mu \in M\left({\Delta }^{*}\right)$ ， $\hat{T}\left(1\right)$ 被称为万有Teichmüller空间T的预对数导数模型。

使用 $A\left(\Delta \right)$ 表示在∆中的所有解析函数的集合。Beltrami微分 $\mu \left(z\right)\in M\left(U^{*}\right)$ 在 ${\Delta }^{*}$ 的边界处消失，如果对任意的 $\epsilon >0$ ，存在r > 使得 ${\Vert {\mu }_{\left|z\right|<r}\Vert }_{\infty }<\epsilon$ 。因此可以定义小的Teichmüller空间 [13] 为：

${\hat{T}}^0=\left\{\left[\mu \right]:\mu \in M^0\left(U^{*}\right)\right\},$

它是万有Teichmüller空间的子空间，其中 $M^0\left(U^{*}\right)$ 是由所有不变的Beltrami微分构成。众所周知 $\hat{T}\left(1\right)$ 被称为万有Teichmüller空间T的预对数导数模型。 $\hat{T}\left(1\right)$ 是Bloch空间 $\mathfrak{B}$ 的断开子集 [14] 。 $\hat{T}\left(1\right)$ 的连通分量有 ${\hat{T}}_b=\left\{\log f^{\prime }\in \hat{T}\left(1\right):f\left(\Delta \right)是有界的\right\}$ 以及 ${\hat{T}}_{\theta }=\left\{\log f^{\prime }\in \hat{T}\left(1\right):F\left({\text{e}}^{i\theta }\right)=\infty \right\}$ ， $\theta \in \left[0,2\pi \right)$ 。类似地，我们定义万有Teichmüller空间中的小预对数导数模型为 [14] ：

${\hat{T}}^0\left(1\right)=\left\{\log f^{\prime }\in \hat{T}\left(1\right):\log f^{\prime }\in {\mathfrak{B}}_0^1\right\}.$

当且仅当复特征 ${\mu }_{f\left(z\right)}$ 属于 $M^0\left(U^{*}\right)$ 时， $\log f^{\prime }$ 是在小Bloch空间 ${\mathfrak{B}}_0^1$ 中。

胡光明在 [13] 中Morrey型Teichmüler空间 $H_K^2$ 中定义小预对数导数模型：

$T_{MT}^0=\left\{\log f^{\prime }\in {\hat{T}}^0\left(1\right):\log f^{\prime }\in H_K^2\right\}.$

并在空间 $H_K^2$ 中证明下面的结果：

定理1.1 [13] 小预对数导数模型 $T_{MT}^0$ 有连通分量：

$T_{MT,b}^0\left(1\right)=\left\{\log f^{\prime }:f\in T_{MT}^0\left(1\right):f\left(\Delta \right)是有界的\right\}$

我们在 $2\le p<\infty$ 的情况下，考虑p次可积Teichmüller空间 $T_p$ 定义的预对数导数模型 ${\hat{T}}_P^0(\; 1\; )$

${\hat{T}}_P^0\left(1\right)=\left\{\log f^{\prime }\in {\hat{T}}^0\left(1\right):\log f^{\prime }\in {\mathbb{B}}_p\right\}.$

也存在类似的定理：

定理1.2 小预对数导数模型 ${\hat{T}}_P^0\left(1\right)$ 有连通分量

${\hat{T}}_{P,b}^0\left(1\right)=\left\{\log f^{\prime }\in {\hat{T}}_P^0\left(1\right):f\left(\Delta \right)是有界的\right\}.$

2. 准备工作

在这篇文章中，我们确定以下一些特殊符号。这个符号 $A\asymp B$ 表示存在一个常数C使得 $A/C\le B\le AC$ ，符号 $A\lesssim B$ ( $A\gtrsim B$ 表示存在一个常数C使得 $A\le CB$ ( $A\ge CB$ )。

我们用 $\text{QS}\left(S^1\right)$ 表示 $S^1$ 上拟对称同胚h所组成的群， $\text{M <mover accent="true"> o <mo> ¨ </mo> </mover> b}\left(S^1\right)$ 表示单位圆上到它自身的Mӧbius变换群。万有Teichmüller空间是右陪集 $T=\text{QS}\left(S^1\right)/\text{M <mover accent="true"> o <mo> ¨ </mo> </mover> b}\left(S^1\right)$ 。

设f是复平面 $ℂ$ 到其自身上的拟共形映射，则f是具有局部积分分布导数的同胚，满足Beltrami方程 $f_{\bar{z}}=\mu f_z$ ， ${\Vert \mu \Vert }_{\infty }={\sup }_{z\in ℂ}\left|\mu \left(z\right)\right|<1$ 。这里我们使用下式子表示 $f_{\bar{z}},f_z$ ：

$f_{\bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\right),f_z=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}\right).$

$\mu$ 为f的复特征。可测的黎曼映射定理 [15] 知，对于具有 ${\Vert \mu \Vert }_{\infty }<1$ 的复平面 $ℂ$ 的每个可测函数 $\mu$ ，在 $ℂ$ 上有一个复特征为 $\mu$ 的拟共形映射f，对于 $ℂ$ 对自身的Möbius变换，f是唯一的。

我们现在先认识几个空间。Bloch空间 $\mathfrak{B}$ 由∆中所有解析函数f组成，使得

${\Vert f\Vert }_{\mathfrak{B}}=\underset{z\in \Delta }{\sup }\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\left(1-{\left|z\right|}^2\right)<\infty .$

小的Bloch空间 ${\mathfrak{B}}_0$ 是Bloch空间 $\mathfrak{B}$ 的闭子空间，由 $f\in \mathfrak{B}$ 的函数组成，使得

${\lim }_{\left|z\right|\to 1^{-}}\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^2=0.$

接下来，将在p次可积Teichmüller空间 $T_p$ 中定义 $M^p\left({\Delta }^{*}\right)$ ，设 $2\le p<\infty$ ，我们用 $M^p\left({\Delta }^{*}\right)$ 表示所有本质有界可测函数 $\mu$ 的Banach空间，有限范数为：

${\Vert \mu \Vert }_p={\Vert \mu \Vert }_{\infty }+{\left({\displaystyle {\iint }_{{\Delta }^{*}}\frac{{\left|\mu \left(z\right)\right|}^p}{{\left({\left|z\right|}^2-1\right)}^2}}\right)}^{\frac{1}{p}}.$

设 $M_1^p\left({\Delta }^{*}\right)=M^p\left({\Delta }^{*}\right)\cap M\left({\Delta }^{*}\right)$ ，p次可积空间的定义 $M_1^p/~$ 。

设 $2\le p<\infty$ ， ${\mathbb{B}}_p\left(\Delta \right)$ 表示在∆中的全纯函数 $\varphi$ ，范数为：

${\Vert \varphi \Vert }_{{\mathbb{B}}_p}={\left(\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left|{\varphi }^{\prime }\left(z\right)\right|}^p{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{p-2}\text{d}x\text{d}y}\right)}^{\frac{1}{p}}$

其中 ${\mathbb{B}}_p^0=\left\{\varphi \in {\mathbb{B}}_p\left(\Delta \right):\varphi \left(0\right)=0\right\}$ 。

最后，介绍K-Carleson测度(或消失的K-Carleson测度)。设 $S_{\Delta }\left(I\right)$ 表示在Δ中的Carleson测度， $S_{{\Delta }^{*}}\left(I\right)$ 表示在 ${\Delta }^{*}$ 中的Carleson测度，表示如下

$S_{\Delta }\left(I\right)=\left\{r\zeta \in \Delta :1-\left|I\right|\le r<1\right\},\zeta \in I,$

$S_{{\Delta }^{*}}\left(I\right)=r\zeta \in {\Delta }^{*}:1-\left|I\right|\le r<1,\zeta \in I.$

在Δ上 $\mu$ 的非负测度称为 $\mu$ 的K-Carleson测度，有如下形式：

${\Vert \mu \Vert }_{\Delta .K}=\underset{I\in \partial \Delta }{\sup }{\left(\frac{\mu \left(S_{\Delta }\left(I\right)\right)}{K\left|I\right|}\right)}^{\frac{1}{2}},$

此外，如果额外有

$\underset{\left|I\right|\to 0}{\lim }\frac{\mu \left(S_{\Delta }\left(I\right)\right)}{K\left|I\right|}.$

则 $\mu$ 被称为在Δ上消失的K-Carleson测度。当 $K\left(t\right)=t^{\lambda }\left(0\lambda \le 1\right)$ 时，K-Carleson测度(消失的K-Carleson测度)是λ-Carleson测度(消失的λ-Carleson测度)。特别的，当 $K\left(t\right)=t$ 时是经典的Carleson测度。类似地，我们定义在 ${\Delta }^{*}$ 上的K-Carleson测度。设 $C{M}_K\left(\Delta \right)\left(C{M}_{K,0}\left(\Delta \right)\right)$ 表示在Δ上所有的K-Carleson测度(消失的K-Carleson测度)的集合， $C{M}_K\left({\Delta }^{*}\right)\left(C{M}_{K,0}\left({\Delta }^{*}\right)\right)$ 表示在 ${\Delta }^{*}$ 上所有的K-Carleson测度(消失的K-Carleson测度)的集合。

设 $L\left({\Delta }^{*}\right)$ 表示所有本质有界可测函数 $\mu$ 的Banach 空间，并且有 ${\lambda }_{\mu }\frac{{\left|\mu \left(z\right)\right|}^p}{{\left|z\right|}^2-1}\text{d}x\text{d}y$ ，K-卡尔森测度。 $\mu \in L\left({\Delta }^{*}\right)$ 的范数定义如下；

${\Vert \mu \Vert }_L={\Vert \mu \Vert }_{\infty }+{\Vert {\lambda }_{\mu }\Vert }_{{\Delta }^{*},K}$

这里，我们设 $\mathfrak{D}\left({\Delta }^{*}\right)=M\left({\Delta }^{*}\right)\cap L\left({\Delta }^{*}\right)$ ， ${\mathfrak{D}}^0\left({\Delta }^{*}\right)=M^0\left({\Delta }^{*}\right)\cap L\left({\Delta }^{*}\right)$ 。现在我们开始证明结论。

3. 主要结果的证明

证明：由定义可知

$\log f^{\prime }\in {\hat{T}}_P^0\left(1\right),$

在文献 [16] 则中的定理1.2可知，f能延拓到复平面 $ℂ$ 的拟共形映射其复特征 $\mu$ 满足

${\lambda }_{\mu }=\frac{{\left|\mu \left(z\right)\right|}^p}{{\left({\left|z\right|}^2-1\right)}^{2-K}}\text{d}x\text{d}y\in C{M}_K\left({\Delta }^{*}\right),$

在Δ中等于0。

设 $f^t$ 是在 $ℂ$ 中的拟共形映射且满足 $f^{-1}\left(\infty \right)={\left(f^t\right)}^{-1}\left(\infty \right)$ ，复特征有 $\mu f^t=t{\mu }_f$ 。

我们现在证明映射

$t\to \log {\left(f^t\right)}^{\prime },0\le t\le 1,$

在 ${\mathfrak{B}}_0\cap {\mathbb{B}}_p\left(\Delta \right)$ 是连续的。

回想，在Bloch范数(2.11)式 [11] 的拓扑结构中，前Schwarzian导数 $P_f$ 在 $M\left({\Delta }^{*}\right)$ 上是连续的，即有：

$\underset{z\in \Delta }{\sup }\left|P_{f^{\mu }}^2\left(z\right)-P_{f^v}^2\left(z\right)\right|\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\le {\Vert \mu -v\Vert }_{\infty ,\mu ,v}\in M(\; \Delta \; *\; )$

则我们通过一个标准的计算可得

$\begin{array}{l}{\Vert \log {\left(f^{\mu }\right)}^{\prime }-\log {\left(f^v\right)}^{\prime }\Vert }_{{\mathbb{B}}_P}^p\\ =\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left|P_{f^{\mu }}-P_{f^v}\right|}^p{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{p-2}\text{d}x\text{d}y}\\ \lesssim {\left|P_{f^{\mu }}\left(0\right)-P_{f^v}\left(0\right)\right|}^p+{\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left|{\left(P_{f^{\mu }}\left(z\right)\right)}^{\prime }-{\left(P_{f^v}\left(z\right)\right)}^{\prime }\right|}^p{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{2p-2}\text{d}x\text{d}y}\\ \lesssim {\Vert \mu -\upsilon \Vert }_{\infty }^p+{\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{2p-2}{\left|S_{\mu }\left(z\right)-S_v\left(z\right)+\frac{1}{2}\left(P_{f^{\mu }}^2\left(z\right)-P_{f^v}^2\left(z\right)\right)\right|}^p\text{d}x\text{d}y}\\ \lesssim {\Vert \mu -\upsilon \Vert }_{\infty }^p+{\Vert S_{\mu }\left(z\right)-S_v\left(z\right)\Vert }_{{\mathcal{B}}_p}^p+\left({\Vert \log {\left(f^{\mu }\right)}^{\prime }\Vert }_{{\mathbb{B}}_p}^p+{\Vert \log {\left(f^v\right)}^{\prime }\Vert }_{{\mathbb{B}}_p}^p\right){\Vert \mu -\upsilon \Vert }_{\infty }^p.\end{array}$

所以由上面以及K-卡尔森测度的范数

${\Vert \mu \Vert }_L={\Vert \mu \Vert }_{\infty }+{\Vert {\lambda }_{\mu }\Vert }_{{\Delta }^{*},K}$

我们可以得到

${\Vert \log {\left(f^{\mu }\right)}^{\prime }-\log {\left(f^v\right)}^{\prime }\Vert }_{{\mathbb{B}}_P}\lesssim {\Vert \mu -v\Vert }_L,$

接着我们就可以得到

${\Vert \log {\left(f^{\mu }\right)}^{\prime }-\log {\left(f^v\right)}^{\prime }\Vert }_{{\mathbb{B}}_P}\lesssim \left|1-t\right|\cdot {\Vert \mu \Vert }_L,$

推测出

${\Vert \log {\left(f^{t_1}\right)}^{\prime }-\log {\left(f^{t_2}\right)}^{\prime }\Vert }_{{\mathbb{B}}_P}\lesssim \left|t_1-t_2\right|\cdot {\Vert \mu \Vert }_L.$

另一方面，由文献 [17] 中的第二章的定理3.1，我们可以得到

${\Vert \log {\left(f^{t_1}\right)}^{\prime }-\log {\left(f^{t_2}\right)}^{\prime }\Vert }_{\mathfrak{B}}\lesssim \left|t_1-t_2\right|\cdot {\Vert \mu \Vert }_{\infty },$

因此，我们能推测出

${\Vert \log {\left(f^{t_1}\right)}^{\prime }-\log {\left(f^{t_2}\right)}^{\prime }\Vert }_{\mathfrak{B},{\mathbb{B}}_p}\lesssim \left|t_1-t_2\right|\cdot {\Vert \mu \Vert }_L,$

其中

${\Vert \log {\left(f^{t_1}\right)}^{\prime }-\log {\left(f^{t_2}\right)}^{\prime }\Vert }_{\mathfrak{B},{\mathbb{B}}_p}={\Vert \log {\left(f^{t_1}\right)}^{\prime }-\log {\left(f^{t_2}\right)}^{\prime }\Vert }_{\mathfrak{B}}+{\Vert \log {\left(f^{t_1}\right)}^{\prime }-\log {\left(f^{t_2}\right)}^{\prime }\Vert }_{{\mathbb{B}}_p}.$

这意味着路径 $t\to \log {\left(f^t\right)}^{\prime }$ ， $0\le t\le 1$ 在 ${\mathfrak{B}}_0\cap {\mathbb{B}}_p\left(\text{Δ}\right)$ 是连续的。

因此，映射

$t\to \log {\left(f^t\right)}^{\prime },0\le t\le 1$

在 ${\hat{T}}_P^0\left(1\right)$ 是连续的。从而，对每一个 $\log f^{\prime }\in {\hat{T}}_P^0\left(1\right)$ 可以通过连续连通到Möbius变换 $\gamma$ ，并满足 ${\gamma }^{\prime }\in {\hat{T}}_P^0\left(1\right)$ 。因为 $\gamma \left(\Delta \right)$ 是有界的，我们有 $\log {\gamma }^{\prime }\in {\hat{T}}_P^0\left(1\right)$ 。

此外，它有路径 $\rho \to \log {{\gamma }^{\prime }}_{\rho }$ 是在 ${\hat{T}}_P^0\left(1\right)$ 中连接点 $\log {\gamma }^{\prime }$ 到0 (见 [1] )，其中 ${\gamma }_{\rho }=\gamma \left(\rho z\right)$ 。因此我们可以得到

${\hat{T}}_{P,b}^0\left(1\right)=\left\{\log f^{\prime }\in {\hat{T}}_P^0\left(1\right):f\left(\Delta \right)是有界的\right\}$

是 ${\hat{T}}_P^0\left(1\right)$ 的连通分量。

证毕。

NOTES

^*通讯作者。