涉及微分多项式和分担值的亚纯函数的正规定则

The Normality Criteria of Meromorphic Functions Concerning Shared Value and Differential Polynomials

摘要: 研究了涉及分担值的亚纯函数的正规定则，利用Zalcman引理，推广了前人的一个结果，得到了一个涉及微分多项式和分担值的亚纯函数正规定则。文章在亚纯函数理论方面做了深入的研究，扩展了已有的结果，对于理解亚纯函数的性质和正规性具有一定的理论意义和研究价值。设是正整数，F为D内的一族亚纯函数，如果对任一的函数，f的零点重数。为f的微分多项式且。若对任意一组函数，与在D内分担1，则亚纯函数F在区域D内是正规的。

Abstract: In this paper, we study the normal families of meromorphic functions concerning shared values. By using Zalcman Lemma, we improve and promote one of the results of its predecessors, obtain a normal criterion of meromorphic functions concerning shared value and differential polynomials. In this paper, the meromorphic function theory has been studied in depth, which expands the existing results and has certain theoretical significance and research value for understanding the properties and normality of meromorphic functions. Let be two positive integers, F be a normal of meromorphic functions on domain D. If for each function , all of whose zeros multiplicity at least , and be a differential polynomial of f and . If each pair function , and share 1 in D, then F is normal in D.

1. 引言

设f和g是区域D内的两个亚纯函数，a是任意一个复数。若当 $f\left(z\right)-a=0$ 时，有 $g\left(z\right)-a=0$ ，我们记为

$f\left(z\right)=a\Rightarrow g\left(z\right)=a$ ，

如果 $f\left(z\right)=a\Rightarrow g\left(z\right)=a$ 且 $g\left(z\right)=a\Rightarrow f\left(z\right)=a$ ，我们记为 $f\left(z\right)=a\iff g\left(z\right)=a$ ，并且称f与g在D内分担a，或称f与g在D内IM分担a (不计重数) [1] 。

设 $a_1\left(z\right),a_2\left(z\right),\cdots ,a_n\left(z\right)$ 为区域D内的解析函数， $n_0,n_1,\cdots ,n_k$ 是非负整数。

$M\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)=f^{n_0}{\left(f^{\prime }\right)}^{n_1}\cdots {\left(f^{\left(k\right)}\right)}^{n_k}$ ，

${\Gamma }_M=n_0+2n_1+3n_2+\cdots +\left(k+1\right)n_k$ ，

${\gamma }_M=n_0+n_1+n_2+\cdots +n_k$ ，

我们称 $M\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)$ 为f的微分单项式，称 ${\Gamma }_M$ 为 $M\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)$ 的权，并且 ${\gamma }_M$ 为 $M\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)$ 的次数。

$M_1\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right),M_2\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right),\cdots ,M_n\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)$ 为f的微分单项式， $H\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)=a_1\left(z\right)M_1\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)+a_2\left(z\right)M_2\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)+\cdots +a_n\left(z\right)M_n\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)$ 为f的微分多项式，

${\Gamma }_H=\max \left\{{\Gamma }_{M_1},{\Gamma }_{M_2},\cdots ,{\Gamma }_{M_n}\right\}$ ， ${\gamma }_H=\max \left\{{\gamma }_{M_1},{\gamma }_{M_2},\cdots ,{\gamma }_{M_n}\right\}$

分别为 $H\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)$ 的权和次数，并且 ${\frac{\Gamma }{\gamma }|}_H=\max \left\{\frac{{\Gamma }_{M_1}}{{\gamma }_{M_1}},\frac{{\Gamma }_{M_2}}{{\gamma }_{M_2}},\cdots ,\frac{{\Gamma }_{M_n}}{{\gamma }_{M_n}}\right\}$ 。

1959年，W. K. Hayman [2] 证明了以下结果。

定理A 设k为正整数，f为复平面C上的非常数亚纯函数。则f或 $f^{\left(k\right)}-1$ 至少有一个零点。如果f是超越的，则f或 $f^{\left(k\right)}-1$ 有无穷多个零点。

1979年，顾永兴 [3] 证明了W. K. Hayman提出的与定理A相关的正规猜想。

定理B 设k为正整数，F为复平面D内的亚纯函数族。若对于定义在D内的任意 $f\in F$ ，有 $f\ne 0$ 和 $f^{\left(k\right)}\ne 1$ ，则F在D上正规。

2000年，方明亮与洪伟 [4] 推广定理B，证明了下述结果。

定理C 设 $k,q\ge 2$ 为正整数， $H\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)$ 是满足 ${\Gamma /\gamma |}_H<k+1$ 的一个微分多式，F为区域D内的亚纯函数。如果对于任一的在D内的 $f\in F$ ，f的零点重级至少为 $k+1$ ，且

${\left(f^{\left(k\right)}\right)}^q+H\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)\ne 1$ ，

则F在D上正规。

2012年，孙承雄 [1] 从分担值的角度改进了定理C，证明了如下正规定则。

定理D 设k，q至少为2且为正整数，F为区域D内的一族亚纯函数，如果对任一的函数 $f\in F$ ，f的零点重级至少为 $k+1$ ， $H\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)$ 为f的微分多项式，并且 ${\Gamma /\gamma |}_H<k+1$ ，若对任意一组函数 $f,g\in F$ ， ${\left(f^{\left(k\right)}\right)}^n+H\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)$ 与 ${\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n+H\left(g,g^{\prime },\cdots ,g^{\left(k\right)}\right)$ 在D内分担1，则F在D内正规。

一个很自然的问题，定理D中的 $f^{\left(k\right)}\left(z\right)$ 能否替换为一般的微分多项式 $L\left(f\right)$ ？本文利用Pang-Zalcman引理进行讨论，证明了下述定理。

定理1.1 设 $k,q\left(\ge \text{2}\right)$ 是正整数，F为D内的一族亚纯函数，如果对任一的函数 $f\in F$ ，f的零点重数 $\ge k+1$ 。 $H\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)$ 为f的微分多项式且 ${\Gamma /\gamma |}_H<k+1$ 。若对任意一组函数f， $g\in F$ ， ${\left(L\left(f\right)\right)}^q+H\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)$ 与 ${\left(L\left(g\right)\right)}^q+H\left(g,g^{\prime },\cdots ,g^{\left(k\right)}\right)$ 在D内分担1，则亚纯函数F在区域D内是正规的。

2. 引理

引理2.1 [5] (Zalcman引理)设 $k\in N_{+}$ ，F是单位圆盘 $\Delta$ 上的一簇亚纯函数，对任一的函数 $f\in F$ ，f的所有零点重数大于等于k;如果有 $A\ge 1$ ，当 $f\left(z\right)=0$ 时， $\left|f^{\left(k\right)}\left(z\right)\right|\le A$ ，则F在 $z_0\in \Delta$ 的任意邻域内不正规的充分且必要条件为有点列 $z_n\left(\in D\right)\to z_0$ ，函数列 $f_n\in F$ ，正数列 ${\rho }_n\to 0^{+}$ ，使得

$g_n\left(\xi \right)={\rho }_n^{-k}{f}_n\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)$

在复平面C上按球面距离内闭一致收敛至一个非常数的亚纯函数 $g\left(\xi \right)$ ，并且g的级小于等于2，并且 $g^{＃}\left(\xi \right)\le g^{＃}\left(0\right)=kA+1$ ，其中 $g^{\#}\left(\xi \right)=\left|g^{\prime }\left(\xi \right)\right|/\left(1+{\left|g\left(\xi \right)\right|}^2\right)$ 。

引理2.2 [1] 设f为一个有穷级的亚纯函数，k，q大于等于2并且是正整数。若f的零点重数大于等于 $k+1$ ，且 ${\left(f^{\left(k\right)}\right)}^q\ne 1$ ，则f恒是常数。

引理2.3 [1] 如果f为一个非常数有穷级的超越亚纯函数， $k,q\ge 2$ 并且是正整数。若f的零点重级大于等于 $k+1$ ，则 ${\left(f^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\right)}^q-1$ 至少存在2个不相同的零点。

3. 定理的证明

定理1.1的证明 设D为单位圆盘 $\Delta$ ，假设亚纯函数F在区域D内不正规。为了一般性，设F在 $z_0=0$ 这一点处不正规。根据引理1可得，有函数列 $f_n\in F$ ，点列 $z_n\left(\in D\right)\to z_0$ ，正数列 ${\rho }_n\to 0^{+}$ ，使得 $h_n\left(\xi \right)={\rho }_n^{-k}{f}_n\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)$ 在复平面C上按球面距离内闭一致收敛至一个非常数的亚纯函数 $h\left(\xi \right)$ ，并且h级小于等于2， $h\left(\xi \right)$ 的零点重级大于等于 $k+1$ 。

根据引理2.2，存在 ${\xi }_0$ ，使得 ${\left(f^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)\right)}^q-1=0$ ，显然 $f^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)\ne \infty$ ，则存在 $\xi >0$ ，使得 $h\left(\xi \right)$ 在 $D_{2\delta }=\left\{\xi :\left|\xi -{\xi }_0\right|<2\delta \right\}$ 内是一个全纯函数。因而对于充分大的n， $h_n^{\left(i\right)}\left(\xi \right)\left(i=0,1,\cdots ,k\right)$ 在 $D_{\delta }=\left\{\xi :\left|\xi -{\xi }_0\right|<\delta \right\}$ 内全纯，且 $h_n^{\left(i\right)}\left(\xi \right)\left(i=0,1,\cdots ,k\right)$ 在 ${\bar{D}}_{\delta }=\left\{\xi :\left|\xi -{\xi }_0\right|<\delta \right\}$ 上一致收敛于 $h^{\left(i\right)}\left(\xi \right)\left(i=0,1,\cdots ,k\right)$ 。

为书写简单，记 ${\hat{\xi }}_n=z_n+{\rho }_n\xi$ ，则 $f_n^{\left(i\right)}\left(\hat{\xi }\right)={\rho }_n^{k-i}{h}^{\left(i\right)}\left(\xi \right)$ 。所以

$\begin{array}{c}{\left(L\left(f_n\right)\left({\hat{\xi }}_n\right)\right)}^q={\left(f_n^{\left(k\right)}\left({\hat{\xi }}_n\right)+a_{k-1}\left({\hat{\xi }}_n\right)f_n{}^{(k-1)}\left({\hat{\xi }}_n\right)+\cdot \cdot \cdot +a_1\left({\hat{\xi }}_n\right){f^{\prime }}_n\left({\hat{\xi }}_n\right)+a_0\left({\hat{\xi }}_n\right)f_n\left({\hat{\xi }}_n\right)\right)}^q\\ ={\left(h_n^{\left(k\right)}\left(\xi \right)+{\rho }_n{a}_{k-1}\left({\hat{\xi }}_n\right)h_n^{\left(k-1\right)}\left(\xi \right)+\cdot \cdot \cdot +{\rho }_n^{k-1}{a}_1\left({\hat{\xi }}_n\right){h^{\prime }}_n\left(\xi \right)+{\rho }_n^k{a}_0\left({\hat{\xi }}_n\right)h_n\left(\xi \right)\right)}^q\end{array}$ .

故

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(L\left(f_n\right)\left({\hat{\xi }}_n\right)\right)}^q={\left(h^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\right)}^q$ .

又

$\begin{array}{c}H\left(f_n\left({\hat{\xi }}_n\right),\cdots ,f_n^{\left(k\right)}\left({\hat{\xi }}_n\right)\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{a}_i\left({\hat{\xi }}_n\right)M_i\left(f_n\left({\hat{\xi }}_n\right),\cdots ,f_n^{\left(k\right)}\left({\hat{\xi }}_n\right)\right)}\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{a}_i\left({\hat{\xi }}_n\right){\rho }_n^{\left(k+1\right){\gamma }_{M_i}-{\Gamma }_{M_i}}{M}_i\left(h_n\left(\xi \right),\cdots ,h_n^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\right)}\end{array}$ ，

考虑到 $a_i\left(z\right)\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ 在D内解析，则对于充分大的n，我们可以得到

$\left|a_i\left({\hat{\xi }}_n\right)\right|\le M\left(\frac{1+r}{2},a_i\left(z\right)\right)<\infty ,\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ .

由于 ${\frac{\Gamma }{\gamma }|}_H<k+1$ ，我们得出

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{a}_i\left({\hat{\xi }}_n\right){\rho }_n^{\left(k+1\right){\gamma }_{M_i}-{\Gamma }_{M_i}}{M}_i(h_n\left(\xi \right),\cdots ,h_n^{\left(k\right)}(\; \xi \; ))}$

在 $D_{\frac{\text{1}}{\text{2}}\delta }=\left\{\xi :\left|\xi -{\xi }_0\right|<\frac{\text{1}}{\text{2}}\delta \right\}$ 上一致收敛于0，

故 $\underset{n\to \infty }{\lim }H\left(f_n\left({\hat{\xi }}_n\right),\cdots ,f_n^{\left(k\right)}\left({\hat{\xi }}_n\right)\right)=0$ 。

因此我们得到

${\left(L\left(f_n\right)\left({\hat{\xi }}_n\right)\right)}^q+H_i\left(f_n\left({\hat{\xi }}_n\right),\cdots ,f_n^{\left(k\right)}\left({\hat{\xi }}_n\right)\right)-1\to {\left(h^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\right)}^q-1$

在 $D_{\frac{\text{1}}{\text{2}}\delta }=\left\{\xi :\left|\xi -{\xi }_0\right|<\frac{\text{1}}{\text{2}}\delta \right\}$ 上内闭一致收敛。

若 ${\left(h^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\right)}^q-1\equiv \text{0}$ ，则 $h\left(\xi \right)$ 是常数，因此矛盾；如果 ${\left(h^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\right)}^q-1\ne \text{0}$ ，则根据引理2.2可得， $h\left(\xi \right)$ 是常数，因此矛盾。故可得 ${\left(h^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\right)}^q-1$ 至少仅存在一个零点。

然后证明 ${\left(h^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\right)}^q-1$ 只存在一个零点。若 ${\xi }_{\text{0}}$ 与 ${\xi }_{\text{0}}^{\text{*}}$ 是 ${\left(h^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\right)}^q-1$ 的两个不同的零点，则取充分小的 $\delta \left(>0\right)$ ，使得 $D_1\cap D_2\ne \varphi$ ，且 ${\left(h^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\right)}^q-1$ 在 $D_1\cap D_2$ 中除 ${\xi }_{\text{0}}$ 与 ${\xi }_{\text{0}}^{\text{*}}$ 外没有其他零点，其中 $D_1\left({\xi }_0,\delta \right)=\left\{\xi :\left|\xi -{\xi }_0\right|<\delta \right\}$ ， $D_{\text{2}}\left({\xi }_{\text{0}}^{\text{*}},\delta \right)=\left\{\xi :\left|\xi -{\xi }_{\text{0}}^{\text{*}}\right|<\delta \right\}$ ，于是由Hurwitz定理得，对于充分大的j，存在点列 ${\xi }_j\in D_1\left({\xi }_0,\delta \right)$ ， ${\xi }_j^{*}\in D_2\left({\xi }_0^{*},\delta \right)$ ，使得

$L\left(f_n\left({\hat{\xi }}_n\right)\right)+H\left(f_n\left({\hat{\xi }}_n\right),\cdots ,f_n^{\left(k\right)}\left({\hat{\xi }}_n\right)\right)-1=0$ ，

$L\left(f_n\left({\hat{\xi }}_n^{\ast }\right)\right)+H\left(f_n\left({\hat{\xi }}_n^{\ast }\right),\cdots ,f_n^{\left(k\right)}\left({\hat{\xi }}_n^{\ast }\right)\right)-1=0$ 。

因为对任意 $f,g\in F$ ， ${\left(L\left(f\right)\right)}^q+H\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)$ 与 ${\left(L\left(g\right)\right)}^q+H\left(g,g^{\prime },\cdots ,g^{\left(k\right)}\right)$ 在D内分担1，则对任意的 $m\in N_{+}$ ，有

$L\left(f_m\left({\hat{\xi }}_n\right)\right)+H\left(f_m\left({\hat{\xi }}_n\right),\cdots ,f_m^{\left(k\right)}\left({\hat{\xi }}_n\right)\right)-1=0$ ，

$L\left(f_m\left({\hat{\xi }}_n^{\ast }\right)\right)+H\left(f_m\left({\hat{\xi }}_n^{\ast }\right),\cdots ,f_m^{\left(k\right)}\left({\hat{\xi }}_n^{\ast }\right)\right)-1=0$ 。

固定m，令 $n\to \infty$ ，有 $z_n+{\rho }_n{\xi }_n\to 0$ ， $z_n+{\rho }_n{\xi }_n^{*}\to 0$ ，则

${\left(L\left(f_m\right)\left(0\right)\right)}^q+H\left(f_m\left(0\right),\cdots ,f_m^{\left(k\right)}\left(0\right)\right)-1=0$ 。

因为 ${\left(L\left(f_m\right)\left(0\right)\right)}^q+H\left(f_m\left(0\right),\cdots ,f_m^{\left(k\right)}\left(0\right)\right)-1$ 的零点没有聚点，所以对充分大的n有

$z_n+{\rho }_n{\xi }_n=0$ ， $z_n+{\rho }_n{\xi }_n^{*}=0$ 。

即 ${\xi }_n={\xi }_n^{*}=-\frac{z_n}{{\rho }_n}$ 。但这与 ${\xi }_n\in D_1$ ， ${\xi }_n^{*}\in D_2$ ，且 $D_1\cap D_2=\varphi$ ，矛盾。所以 ${\left(h^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\right)}^q-1$ 只有一个零点，与引理2.3矛盾。因此，F在D内正规。定理1.1得证。

4. 结论

本文证明了定理1.1，设 $k,q\left(\ge \text{2}\right)$ 是正整数，F为D内的一族亚纯函数，如果对任一的函数 $f\in F$ ，f的零点重数 $\ge k+1$ 。 $H\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)$ 为f的微分多项式且 ${\Gamma /\gamma |}_H<k+1$ 。若对任意一组函数 $f,g\in F$ ， ${\left(L\left(f\right)\right)}^q+H\left(f,f^{\prime },\cdots ,f^{\left(k\right)}\right)$ 与 ${\left(L\left(g\right)\right)}^q+H\left(g,g^{\prime },\cdots ,g^{\left(k\right)}\right)$ 在D内分担1，则亚纯函数F在区域D内是正规的。主要是将定理D中的 $f^{\left(k\right)}\left(z\right)$ 替换为一般的微分多项式 $L\left(f\right)$ 。以此基础进行了该定理的证明。

基金项目

国家自然科学基金资助(11961068)项目名称：亚纯函数的正规族及其应用。

NOTES

^*第一作者。

^#通讯作者。