关于蕴含格的一些注记

Notes on the Implicative Lattices

摘要: 本文证明了当蕴含格作为L-代数时，其L-理想格和L-同余格是同构的以及L-同余格与它作为蕴含格的同余格也是同构的。进一步给出了Heyting代数中同余关系更一般的简化。

Abstract: In this paper, we prove that L-ideals lattice and L-congruences lattice are isomorphic when the implicative lattice is an L-algebra, and L-congruences lattice is isomorphic to its congruences lattice when L is an implicative lattice. Furthermore, a more general simplification of congruence relations in Heyting algebras is given.

1. 引言

随着模糊逻辑基础理论的研究发展，出现了许多具有重要意义的模糊逻辑形式演绎系统，相关的逻辑代数结构得到了广泛的研究 [1] [2] 。Birkhoff在文献 [3] 中给出了蕴含格的基本概念和性质，为后续研究奠定了基础。在非经典逻辑中，Heyting代数是一种非常重要的代数结构，它是作为直觉主义命题逻辑的代数模型而引进的，是Heyting用数学的观点格式化微积分的命题而抽象出来，其后用他名字命名的一种格。Heyting代数是格论和逻辑学中重要的代数模型 [4] ，它可以看做是Boole代数 [4] [5] 一般化的偏序集，同时与格蕴涵代数、MV-代数等都有一定的联系 [6] ，许多学者都对Heyting代数进行了深入的研究 [7] [8] [9] 。Heyting代数又称为相对伪补格、蕴含格或剩余格，因此，研究蕴含格的相关代数性质是非常有意义的。

受文献 [10] 的启发，在本文中我们主要围绕代数逻辑理论中的核心问题之一“理想格与同余格是否是同构的”进行研究。主要研究了当蕴含格作为L-代数时，其L-理想格与L-同余格是否同构以及L-同余格与它作为蕴含格的同余格是否同构的问题，最终得到了肯定的结果。此外，通过证明当L是蕴含格时，有 $Co{n}_L\left(L\right)=Co{n}_B\left(L\right)$ 成立，从而对Heyting代数中的同余关系进行了更一般的简化(即Heyting代数中的同余关系由原来的保 $\wedge ,\vee ,\to$ 运算，简化为保 $\to$ 运算)，大大减少了我们在验证一个等价关系是否是Heyting代数中的同余关系时的计算量，丰富了相关的理论知识。

本文主要所用的记号如下：

$I\left(L\right)$ ：L-代数中L-理想的集合。

$F\left(L\right)$ ：蕴含格L中滤子的集合。

$Co{n}_L\left(L\right)$ ：L-代数中L-同余的集合。

$Co{n}_B\left(L\right)$ ：蕴含格L中同余的集合。

2. 预备知识

定义2.1 [10] 一个L-代数 $\left(L,\to \right)$ 是一个 $\left(2,0\right)$ 型代数并且对 $\forall x,y,z\in L$ 满足以下条件：

$x\to x=x\to 1=1,1\to x=x.$ (1)

$\left(x\to y\right)\to \left(x\to z\right)=\left(y\to x\right)\to \left(y\to z\right).$ (2)

$x\to y=y\to x=1\Rightarrow x=y.$ (3)

其中由条件(1)易证1是一个逻辑单位，并且逻辑单位是唯一的。

定义2.2 [10] 设 $\left(L,\to \right)$ 是一个L-代数，我们称 $I\subseteq L$ 是一个理想，如果对 $\forall x,y\in L$ 满足以下条件：

$1\in I,$ (4)

$x,x\to y\in I\Rightarrow y\in I,$ (5)

$x\in I\Rightarrow \left(x\to y\right)\to y\in I,$ (6)

$x\in I\Rightarrow y\to x\in I,y\to \left(x\to y\right)\in I.$ (7)

如果L满足

$x\to \left(y\to x\right)=1.$ (8)

则条件(7)可以被去掉。在本文中，我们称L-代数中的理想为L-理想。

命题2.3 [10] 设 $\left(L,\to \right)$ 是一个L-代数，每个L-理想I都可以定义一个L-同余(L-同余是指L的同余~使得 $\left(\forall x,y,z\in L\right)\left(x,y\right)\in ~\Rightarrow \left(x\to z,y\to z\right)\in ~$ 且 $\left(z\to x,z\to y\right)\in ~$ 。)

$x~y:\iff x\to y,y\to x\in I.$

反过来，每个L-同余~定义一个L-理想 $I:=\{x\in L|x~1\}$ 。

推论2.4 [10] 对于一个L-代数L，当L/~是一个L-代数时，理想和同余~之间存在一个一一对应。

注记2.5 设L是一个L-代数，由文献 [4] 中的推论1的证明可知，L/~是一个L-代数当且仅当它满足以下条件：

$x~y\iff \left(x\to y\right)~\left(y\to x\right)~1.$ (9)

定义2.6 [3] 设 $\left(L;\wedge ,\vee \right)$ 是一个格，若L的非空子集F满足以下条件：

$a\in F,x\in L,a\le x\Rightarrow x\in F,$

$a\in F,b\in F\Rightarrow a\wedge b\in F.$

则称F是L的滤子。

定义2.7 [11] 设L是一个格， $a,b\in L$ 。如果存在L的一个最大元x使得 $a\wedge x\le b$ ，则称x是a关于b的相对伪补元。我们将记这样的元为 $a\to b$ ，即 $a\to b=\max \{x\in L|a\wedge x\le b\}$ 。等价地， $a\to b$ 是a关于b的相对伪补元，如果对任意 $x\in L$ ， $a\wedge x\le b$ 当且仅当 $x\le a\to b$ 。

定义2.8 [11] 一个Heyting代数，是指一个有0元的格L使得对任意 $a,b\in L$ ， $a\to b$ 在L中存在。换句话说，一个Heyting代数是代数 $\left(L;\wedge ,\vee ,\to ,0\right)$ 。其中， $\left(L;\wedge ,\vee ,0\right)$ 是有0元的格， $\to$ 是L上的一个二元运算使得对任意 $a,b\in L$ ，有 $a\to b=\max \{x\in L|a\wedge x\le b\}$ 。我们称这样的一个运算 $\to$ 为剩余运算。

容易验证，每一个Heyting代数都是一个具有最大元1的分配格。

引理2.9 [6] 设L是一个Heyting代数，则对 $\forall x,y,z\in L$ ，有以下性质：

$x\to y=1\iff x\le y,$

$\left(\left(x\to y\right)\to y\right)\to y=x\to y,$

$x\wedge \left(x\to y\right)=x\wedge y,$

$x\to \left(y\to z\right)=\left(x\wedge y\right)\to z,$

$\left(x\vee y\right)\to z=\left(x\to z\right)\wedge \left(y\to z\right),$

$x\to \left(y\wedge z\right)=\left(x\to y\right)\wedge \left(x\to z\right).$

定义2.10 [3] 一个格L称为蕴含格，或Brouwer格，如果对任意L中的元素 $a,b$ ，集合 $\{x\in L|a\wedge x\le b\}$ 包含最大元。这个最大元称为a在b中的余、相对伪补或实质蕴含，记作 $a\to b$ 。如果Brouwer格有最小元0，元素 $a\to 0$ 称为a的伪补。

注记2.11 一个蕴含格一定包含最大元1，未必包含最小元0。

引理2.12 [3] 设L是一个蕴含格。则对 $\forall a,b,c\in L$ ，有以下性质：

$b\le a\to b,$ (10)

$a\to \left(b\to c\right)=\left(a\wedge b\right)\to c=b\to \left(a\to c\right),$ (11)

$a\to \left(b\to c\right)=\left(a\to b\right)\to \left(a\to c\right),$ (12)

$a\to \left(a\wedge b\right)=a\to b,$ (13)

$a\wedge b\le c\iff a\le b\to c,$ (14)

$a\wedge \left(a\to b\right)=a\wedge b,$ (15)

L是分配格。 (16)

如果1是L的最大元，则

$a=1\to a,$ (17)

$a\le b$ 当且仅当 $1=a\to b.$ (18)

注记2.13 由引理2.8易知，蕴含格 $\left(L,\to \right)$ 是一个L-代数。

定义2.14 [11] 设L是一个格， $\theta$ 是L的一个格同余，若商格 $L/\theta$ 有最大元，则称这个最大元为 $\theta$ 的余核，记为 $Coker\theta$ ，当L中有最大元1的时候， $Coker\theta ={\left[1\right]}_{\theta }$ 。

命题2.15 [11] 设L是一个分配格，F是L的滤子，则

$\left(x,y\right)\in \theta \left(F\right)\iff \left(\exists j\in F\right)x\wedge j=y\wedge j,$

而且 $Coker\theta \left(F\right)=F$ 。其中 $\theta \left(F\right)$ 是包含F的最小格同余。

定义2.16 [11] 设L是一个蕴含格，L的一个(蕴含格)同余，是指L的一个格同余 $\theta$ 使得

$\left(\forall a,b,c,d\in L\right)\left(a,b\right)\in \theta$ 和 $\left(c,d\right)\in \theta \Rightarrow \left(a\to c,b\to d\right)\in \theta .$

通过上述定义可知，蕴含格同余是保 $\wedge ,\vee ,\to$ 运算的。

设F是蕴含格L的一个滤子，我们将分别用 $\theta \left(F\right)$ 和 ${\theta }_{lat}\left(F\right)$ 表示具有余核F的最小同余和最小格同余。

引理2.17 [11] 设L是一个蕴含格，F是L的一个滤子，则 ${\theta }_{lat}\left(F\right)$ 是一个(蕴含格)同余，因而 ${\theta }_{lat}\left(F\right)=\theta \left(F\right)$ 。

3. 主要结果

命题3.1 设L是一个蕴含格，则有以下等式成立

$\left(x\to y\right)\to \left(\left(y\to x\right)\to x\right)=\left(y\to x\right)\to \left(\left(x\to y\right)\to y\right).$

证明由性质(14)和(15)可知，

$\left(x\to y\right)\to \left(\left(y\to x\right)\to x\right)\le \left(y\to x\right)\to \left(\left(x\to y\right)\to y\right)$

$\iff \left(y\to x\right)\wedge \left[\left(x\to y\right)\to \left(\left(y\to x\right)\to x\right)\right]\le \left(x\to y\right)\to y$

$\iff \left(y\to x\right)\wedge \left(x\to y\right)\wedge \left(\left(y\to x\right)\to x\right)\le y$

$\iff x\wedge y\wedge \left(y\to x\right)\le y$

$\iff x\wedge y\le y$

同理可得 $\left(y\to x\right)\to \left(\left(x\to y\right)\to y\right)\le \left(x\to y\right)\to \left(\left(y\to x\right)\to x\right)$ 。所以 $\left(x\to y\right)\to \left(\left(y\to x\right)\to x\right)=\left(y\to x\right)\to \left(\left(x\to y\right)\to y\right)$ 成立。

命题3.2 设L是一个蕴含格，当L作为L-代数时，L满足条件(9)。

证明设~是一个L-同余， $x~y$ ，则有 $x\to y~y\to y=1$ ， $1=x\to x~y\to x$ ，所以 $y\to x~x\to y~1$ 。反过来，设 $x\to y~1~y\to x$ ，则 $\left(x\to y\right)\to y~y$ ， $\left(x\to y\right)\to x~x$ ， $\left(y\to x\right)\to x~x$ ， $\left(y\to x\right)\to y~y$ 。所以 $\left(x\to y\right)\to \left(\left(y\to x\right)\to x\right)~\left(x\to y\right)\to x~x$ ， $\left(y\to x\right)\to \left(\left(x\to y\right)\to y\right)~\left(y\to x\right)\to y~y$ 。再由命题3.1可知 $x~y$ ，因此L满足条件(9)。

定理3.3 设L是一个蕴含格，当L作为L-代数时，则有 $I\left(L\right)\cong Co{n}_L\left(L\right)$ 。

证明由命题3.2可知，蕴含格的L-理想与L-同余是一一对应的。其中对应关系由以下映射给出，设 $\alpha :I\mapsto {\theta }_I$ 是 $I\left(L\right)$ 到 $Co{n}_L\left(L\right)$ 上的一个映射， $\beta :\theta \mapsto {\left[1\right]}_{\theta }$ 是 $Co{n}_L\left(L\right)$ 到 $I\left(L\right)$ 上的一个映射，其中 $a{\theta }_{I}b\iff a\to b$ ， $b\to a\in I$ ， ${\left[1\right]}_{\theta }=\{x\in L|x\theta 1\}$ ， $\alpha \circ \beta =1_{Co{n}_{{}_L}\left(L\right)}$ ， $\beta \circ \alpha =1_{I\left(L\right)}$ 。下证 $\alpha$ 和 $\beta$ 均为保序映射。设 $I,J\in I\left(L\right)$ ， $I\subseteq J$ ，因为 $a{\theta }_{I}b\iff a\to b$ ， $b\to a\in I$ ，从而推出 $a\to b,b\to a\in J\iff a{\theta }_{J}b$ ， ${\theta }_I\subseteq {\theta }_J$ ，所以 $\alpha$ 是保序的。设 ${\theta }_1,{\theta }_2\in Co{n}_L\left(L\right)$ ， ${\theta }_1\subseteq {\theta }_2$ ，因为 $\forall a\in {\left[1\right]}_{{\theta }_1}\iff \left(a,1\right)\in {\theta }_1$ ，又因为 ${\theta }_1\subseteq {\theta }_2$ ，所以 $\left(a,1\right)\in {\theta }_2$ ，进而有 ${\left[1\right]}_{{\theta }_1}\subseteq {\left[1\right]}_{{\theta }_2}$ ，所以 $\beta$ 是保序的。因此，L的L-理想与L-同余是保序同构的。

定理3.4 设L是一个蕴含格，~是L作为L-代数时的一个L-同余，设 $F:={\left[1\right]}_{~}=\{x\in L|x~1\}$ ，则F是L上的滤子并且 $~=\theta \left(F\right)$ 。

证明设 $F:={\left[1\right]}_{~}$ ，根据命题2.3可知，F是L的一个L-理想，所以F也是L上的一个滤子。事实上，设 $\forall x\in F,y\in L$ ，且 $x\le y$ ，由公式(18)可知 $x\to y=1$ ，又因为 $1\in F$ ，由条件(5)可知 $y\in F$ 。设 $\forall x,y\in F$ ，因为F是L的一个L-理想，所以由条件(7)可知 $x\to y\in F$ ，再由公式(13)和条件(5)可知 $x\wedge y\in F$ ，因此，F是L上的一个滤子。下证 $~=\theta \left(F\right)$ 。

设 $\left(x,y\right)\in ~$ ，根据命题3.2可知 $\left(x,y\right)\in ~\iff x\to y,y\to x\in {\left[1\right]}_{\sim }=F$ ，因为F是滤子，所以 $\left(x\to y\right)\wedge \left(y\to x\right)\in F$ ，由公式(15)可知 $x\wedge \left(x\to y\right)\wedge \left(y\to x\right)=x\wedge y$ ， $y\wedge \left(x\to y\right)\wedge \left(y\to x\right)=x\wedge y$ ，所以 $x\wedge \left(x\to y\right)\wedge \left(y\to x\right)=y\wedge \left(x\to y\right)\wedge \left(y\to x\right)$ 。再由命题2.15可知， $\left(x,y\right)\in \theta \left(F\right)$ ，即 $~\subseteq \theta \left(F\right)$ 。

反过来，设 $\left(x,y\right)\in \theta \left(F\right)$ ，由上述证明可知，F是L的一个滤子，则由引理2.17可知 $\theta \left(F\right)$ 是L上的蕴含格同余，因此 $\left(x\to y\text{}\right)\theta \left(F\right)1\theta \left(F\right)\left(y\to x\right)$ ，从而由命题2.15可得，有 $x\to y,y\to x\in {\left[1\right]}_{\theta \left(F\right)}=Coker\theta \left(F\right)=F$ ，所以 $x\to y~1~y\to x$ ，由命题3.2可知 $x~y$ ，因此 $\theta \left(F\right)\subseteq ~$ ，综上可得 $~=\theta \left(F\right)$ 。

文献 [9] 给出了Heyting代数L中同余关系的一种简单定义：一种只依赖于交运算 $\wedge$ 和 $\to$ 蕴含算子的同余关系，然后通过滤子作为中间桥梁，证明了这种同余关系和L作为泛代数的同余关系等价(即同余关系是保 $\wedge ,\vee ,\to$ 运算的)。下面我们给出更一般的简化。

定理3.5 设L是一个蕴含格，则有 $Co{n}_L\left(L\right)=Co{n}_B\left(L\right)$ 。

证明设 $~\in Co{n}_L\left(L\right)$ ，则由定理3.4可知 ${\left[1\right]}_{\sim }=F\in F\left(L\right)$ ，由引理2.17可知 $\theta \left(F\right)\in Co{n}_B\left(L\right)$ 。再根据定理3.4可得 $~\in Co{n}_B\left(L\right)$ ，即 $Co{n}_L\left(L\right)\subseteq Co{n}_B\left(L\right)$ 。反过来，设 $\phi \in Co{n}_B\left(L\right)$ ，则 $\phi$ 保 $\wedge ,\vee ,\to$ ，所以 $\phi \in Co{n}_L\left(L\right)$ ，即 $Co{n}_B\left(L\right)\subseteq Co{n}_L\left(L\right)$ ，因此 $Co{n}_L\left(L\right)=Co{n}_B\left(L\right)$ 。

下面我们给出具体的例子来展示以上结果。

例3.6 设L是一个含有四个元素的链，见图1所示：

Figure 1. Hasse diagram of L

图1. L的哈斯图

容易证明L是一个Heyting代数。设 $\theta \in Co{n}_L\left(L\right)$ ，我们将分以下五种情况来判断L-同余的个数: 若 $\left(0,a\right)\in \theta$ ，则由 $\theta$ 保 $\to$ 运算可知， $\left(0\to 0,a\to 0\right)=\left(1,0\right)\in \theta$ ，所以 $0,a,1$ 在一个L-同余类里，又因为 $\left(0\to b,1\to b\right)=\left(1,b\right)\in \theta$ ，所以 $0,a,b,1$ 在一个L-同余类里，此时 $\theta$ 是最大的L-同余；若 $\left(0,b\right)\in \theta$ ，则 $\left(0\to 0,b\to 0\right)=\left(1,0\right)\in \theta$ ，所以 $0,b,1$ 在一个L-同余类里，又因为 $\left(0\to a,1\to a\right)=\left(1,a\right)\in \theta$ ，所以 $0,a,b,1$ 在一个L-同余类里，此时 $\theta$ 是最大的L-同余；若 $\left(a,b\right)\in \theta$ ，则 $\left(a\to a,b\to a\right)=\left(1,a\right)\in \theta$ ，所以 $a,b,1$ 在一个L-同余类里；若 $\left(b,1\right)\in \theta$ ，则满足保 $\to$ 运算，所以 $b,1$ 在一个L-同余类里；若 $\left(a,1\right)\in \theta$ ，则 $\left(a\to b,1\to b\right)=\left(1,b\right)\in \theta$ ，所以 $a,b,1$ 在一个L-同余类里。

因此，当L作为L-代数时有四个L-同余，分别为 ${\theta }_1=\{\left(0,0\right),\left(a,a\right),\left(b,b\right),\left(1,1\right)\}$ ； ${\theta }_2=\{\left(0,0\right),\left(a,a\right),\left(b,b\right),\left(1,1\right),\left(b,1\right),\left(1,b\right)\}$ ； ${\theta }_3=\{\left(0,0\right),\left(a,a\right),\left(b,b\right),\left(1,1\right),\left(a,b\right),\left(b,a\right),\left(a,1\right),\left(1,a\right),\left(b,1\right),\left(1,b\right)\}$ ； ${\theta }_4=L\times L$ 。根据定义2.2可知L有四个L-理想，分别为 $I_1=\{1\}$ ， $I_2=\{b,1\}$ ， $I_3=\{a,b,1\}$ ， $I_4=L$ ，设 $\alpha$ 是 $I\left(L\right)$ 到 $Co{n}_L\left(L\right)$ 上的一个映射，使得 ${\alpha }_1:I_1\mapsto {\theta }_1$ ， ${\alpha }_2:I_2\mapsto {\theta }_2$ ， ${\alpha }_3:I_3\mapsto {\theta }_3$ ， ${\alpha }_4:I_4\mapsto {\theta }_4$ ，所以 $I\left(L\right)$ 和 $Co{n}_L\left(L\right)$ 是保序同构的，即 $I\left(L\right)\cong Co{n}_L\left(L\right)$ 成立。同理我们可以得到L的蕴含格同余的个数，这与上面L-同余的个数是一样的，而且每个同余类里的元素都是相同的，故有 $Co{n}_L\left(L\right)=Co{n}_B\left(L\right)$ 成立。

若利用定理3.5，我们可以直接用保 $\to$ 运算来计算L的蕴含格同余的个数，这将简化原来按照保 $\wedge ,\vee ,\to$ 运算时的计算量。