带有移民的上临界Markov分支过程的下偏差概率

Lower Deviation Probabilities for Supercritical Markov Branching Processes with Immigration

摘要: 设{Z(t);t≥0}为具有迁移的连续时间上临界分支过程(MBPI)，其子代均值为m(t)。本文主要研究当t→∞时，的下偏差概率，具体包括局部下偏差概率P(Z(t)=k_t)和总体下偏差概率P(0≤Z(t)≤k_t。此外，我们还给出了局部极限定理和一些相关的估计。对于我们的证明，我们使用了著名Cramer方法来证明自变量和的大偏差，以满足我们的需要。

Abstract: Let {Z(t);t≥0} be a continuous-time supercritical branching process with immigration (MBPI) with offspring mean m(t). In this paper, we mainly research the local lower deviation probabilities P(Z(t)=k_t) and overall lower deviation probabilities P(0≤Z(t)≤k_t with  as t→∞. Moreover, we present the local limit theorem and some related estimates of this MBPIs. For our proofs, we use the well-known Cramer method to prove the large deviation of the sum of independent variables to satisfy our needs.

1. 引言

假设 $\left\{Z\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 是一个连续时间马尔可夫分支迁移过程(MBPI)，该过程由系统内部现有个体和外部迁移组成。这两个部分相互独立，并且具有相同的分布，并服从分支率 $\left\{b_j;j\ge 0\right\}$ ，移民率 $\left\{a_j;j\ge 0\right\}$ ，

$\{\begin{array}{l}{b}_j\ge 0\left(j\ne 1\right),0<-b_1={\displaystyle {\sum }_{j\ne 1}{b}_j<\infty }\\ a_j\ge 0\left(j\ne 0\right),0<-a_0={\displaystyle {\sum }_{j\ne 0}{a}_j<\infty }\end{array}$

对应的Q-矩阵 $Q=\left\{q_{ij};i,j\in {\mathbb{Z}}_{+}\right\}$ 定义如下：

$\{\begin{array}{l}i{b}_{j-i+1}+a_{j-i}\text{if}i\ge 0,j\ge i\\ i{b}_0\text{if}i\ge 0,j=i-1\\ 0其他\end{array}$

本文查阅了过去大量文献，发现对于大偏差的研究引起了各国学者们广泛的关注。Athreya [1] 讨论了Galton-Watson过程大偏差的衰减速率。刘和张 [2] 研究了带有移民的超临界分支过程中 $P\left(\left|\frac{Y_{n+1}}{Y_n}-m>\epsilon \right|\right)$ 的衰减速率。孙和张 [3] 考虑了带有移民的超临界分支过程的调和矩的收敛率。李 [4] 研究了马尔可夫分支过程的大偏差速率。在文献 [4] 的基础上，刘等人 [5] 研究了带移民的马尔可夫分支系统的长期行为。Fleischmann和Wachtel [6] 研究了上临界GW过程的低偏差概率。

近年来，连续时间状态下的马尔可夫分支过程引起了国内外学者的广泛关注。例如李等人 [7] 研究了带迁移的Markov分支过程的渐进性质。Asmussen和Hering [8] 研究了分支行为的一些性质以及偏差。Athreya和Ney [9] 研究了上临界分支过程的局部极限定理。Dubuc和Seneta [10] 研究了Galton-Watson过程的局部极限定理。Pakes等人 [11] 研究了带有移民的上临界Galton-Watson过程。Petrov等人 [12] 研究了独立随机变量之和。Royden等人 [13] 分析了Markov过程。Seneta等人 [14] 研究了关于移民状态下的上临界Galton-Watson过程各种性质。受上述文献的启发，我们在 $E\left[Z\left(1\right)\log Z\left(1\right)\right]<\infty$ 的假设下，处理了全局下偏差概率 $P\left(Z\left(t\right)=k_t\right)$ 和局部下偏差概率 $P\left(0<Z\left(t\right)<k_t\right)$ 的渐进行为。此外，我们还应用Cramer方法来分析自变量和的大偏差。

本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们陈述了一些必要的准备工作，将Cramer方法应用于MBPIs，并给出了一些相关的估计。第三节对主要结果进行了具体和详细的证明。

2. 主要定理以及证明

定义 $\left\{Z^0\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 为没有迁移的纯分支过程， $P^0\left(t\right)=\left(p_{ij}^0\left(t\right);i\ge 1,j\ge 1\right)$ 为 $\left\{Z^0\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 的转移概率函数， $F^0\left(s,t\right)={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{\infty }{\sum }}{p}_{1j}^0\left(t\right)s^j}$ 为 $\left\{Z^0\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 的概率母函数，其中初始状态 $Z^0\left(0\right)=1$ 。

令 $P\left(t\right)=\left(p_{ij}\left(t\right);i\ge 1,j\ge 1\right)$ 为带迁移的分支过程 $\left\{Z\left(t\right);t\ge 0\right\}$ (MBPI)的概率母函数，定义 $G_l\left(s,t\right):=E\left[s^{Z\left(t\right)}|Z\left(0\right)=l\right]={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{\infty }{\sum }}{p}_{lj}\left(t\right)s^j}$ ，其中对于所有的 $0\le s<1$ ， $G_l\left(s,0\right)=s^l$ 成立。

因此我们有如下结果，

定理2.1 对任意的 $0\le s<1$ 和 $t\ge 0$ ，

$G_l\left(s,t\right)=H\left(s,t\right){\left[F^0\left(s,t\right)\right]}^l,l\in {\mathbb{Z}}_{+}$

其中

$H\left(s,t\right):=E\left[s^{Y\left(t\right)}|Y\left(0\right)=0\right]={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{\infty }{\sum }}{h}_{lj}\left(t\right)s^j}$ ，

$F_l^0\left(s,t\right):=E\left[s^{X\left(t\right)}|X\left(0\right)=l\right]={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}_{lj}\left(t\right)s^j}$

$\begin{array}{c}{G}_l\left(s,t\right):=E\left[s^{Z\left(t\right)}|Z\left(0\right)=l\right]=E\left[s^{X\left(t\right)+Y\left(t\right)}|X\left(0\right)+Y\left(0\right)=l\right]\\ =E\left[s^{X\left(t\right)}|X\left(0\right)=l\right]E\left[s^{Y\left(t\right)}|Y\left(0\right)=0\right]=H\left(s,t\right)F_l\left(s,t\right)\end{array}$ 。

故成立。

定理2.2 定义函数 $Q\left(u\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{q}_j{u}^j}$ ，则 $Q\left(u\right)$ 是以下等式

$B\left(u\right)Q^{\prime }\left(u\right)+\left[A\left(u\right)-a_0-b_1\right]Q\left(u\right)=0,0\le u<1$

的唯一解。其中 $Q\left(u\right)$ 满足 $Q\left(0\right)=0$ ， $Q^{\prime }\left(0\right)=1$ ， $Q\left(1\right)=\infty$ 且对于所有的 $0\le u<1$ ， $Q\left(u\right)<\infty$ 。

这里的 $q_j$ 满足

$q_j:=\{\begin{array}{l}{p}_{11}\left(t\right){\text{e}}^{-\left(b_1+a_0\right)t}\text{if}j=1\\ \underset{t\to \infty }{\lim }{p}_{1j}\left(t\right){\text{e}}^{-\left(b_1+a_0\right)t}\text{if}j\ge 2\end{array}$

其中 $q_1=1$ ， $q_j\le {\displaystyle {\prod }_{k=1}^{j-1}\left(1+\frac{a_0}{k{b}_1}\right)}\left(j\ge 2\right)$

定理2.3 对任意的 $0\le s<1$ 和 $t\ge 0$ ，定义

$R\left(s,t\right):=\frac{H\left(s,t\right)}{{\text{e}}^{a_{0}t}}$ ， $Q^0\left(s,t\right):=\frac{F^0\left(s,t\right)}{{\text{e}}^{b_{1}t}}$

所以有

$Q_l\left(s,t\right):=\frac{G_l\left(s,t\right)}{{\text{e}}^{\left(a_0+b_{1}l\right)t}}=R\left(s,t\right)Q_l^0\left(s,t\right)\nearrow R\left(s\right)Q_l^0\left(s\right),t\to \infty$

证明：

$Q_l\left(s,t\right):=\frac{G_l\left(s,t\right)}{{\text{e}}^{\left(a_0+b_{1}l\right)t}}=\frac{H\left(s,t\right)F_l^0\left(s,t\right)}{{\text{e}}^{\left(a_0+b_{1}l\right)t}}=\frac{H\left(s,t\right)}{{\text{e}}^{a_{0}t}}{\left(\frac{F^0\left(s,t\right)}{{\text{e}}^{b_{1}t}}\right)}^l=R\left(s,t\right)Q_l^0\left(s,t\right)$

定理2.4 如果满足 $E\left[{\text{e}}^{iaX\left(h\right)}\right]=\frac{E\left[{\text{e}}^{\left(h+ia\right)X}\right]}{E\left[{\text{e}}^{hX}\right]}$ ，其中 $a\in ℝ$ ，则随机变量 $X\left(h\right)$ 被称作实随机变量X的Cramer变换。

由于分支部分 $Z^0\left(t\right)$ 和纯移民部分 $Y\left(t\right)$ 是独立的，为了讨论方便，我们分别给出它们的Cramer变换。

对于任意的 $h\ge 0$ 和 $t\ge 0$ ，定义随机变量序列 $\left\{X_i\left(h,t\right);i\ge 1\right\}$ ，它们独立同分布于由常数 $-h/{\text{e}}^{mt}$ 决定的 $Z^0\left(t\right)$ 的Cramer变换。

$P\left[X_i\left(h,t\right)=k\right]=\frac{{\text{e}}^{-kh/{\text{e}}^{mt}}}{F^0\left({\text{e}}^{-h/{\text{e}}^{mt}},t\right)}{P}^0\left[Z^0\left(t\right)=k\right],k\ge 1$

上式可改写为

$E\left[{\text{e}}^{ia{Z}^0\left(-h/{\text{e}}^{mt}\right)}\right]=E\left[{\text{e}}^{ia{X}_1\left(h,t\right)}\right]=\frac{F^0\left({\text{e}}^{-h/{\text{e}}^{mt}+ia},t\right)}{F^0\left({\text{e}}^{-h/{\text{e}}^{mt}},t\right)}.$

同理，对于纯移民部分 $Y\left(t\right)$ ，克拉姆变换由常数 $-h/{\text{e}}^{mt}$ 决定。我们可以定义一个随机变量 $T\left(h,t\right)$ ，它独立于 $X_i\left(h,t\right)$ 和 $Y\left(t\right)$ ，并且服从与 $Y\left(t\right)$ 相同的子代分布规律。

$P\left[T\left(h,t\right)=k\right]=\frac{{\text{e}}^{-kh/{\text{e}}^{mt}}}{H\left({\text{e}}^{-h/{\text{e}}^{mt}},t\right)}P\left[Y\left(t\right)=k\right],k\ge 1$

上式也可以改写为

$E\left[{\text{e}}^{iaT\left(-h/{\text{e}}^{mt}\right)}\right]=E\left[{\text{e}}^{iaY\left(h,t\right)}\right]=\frac{H\left({\text{e}}^{-h/{\text{e}}^{mt}+ia},t\right)}{H\left({\text{e}}^{-h/{\text{e}}^{mt}},t\right)}.$

经过以上变换，我们构造出一个独立随机变量序列 $\left\{S_l\left(h,t\right);t\ge 0,k\ge 1\right\}$ 表示为

$S_l\left(h,t\right):={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{l}{\sum }}{X}_i\left(h,t\right)}+T\left(h,t\right),l\ge 1$

因此有

$P\left[S_l\left(h,t\right)=k\right]=\frac{{\text{e}}^{-kh/{\text{e}}^{mt}}}{G_l\left({\text{e}}^{-h/{\text{e}}^{mt}},t\right)}P\left[Z\left(t\right)=k|Z\left(0\right)=l\right],k\ge 1$

定理2.4的证明：其

$\begin{array}{c}E{\text{e}}^{ia{S}_l(h,t)}=E{\text{e}}^{ia\left[{\displaystyle {\sum }_{i=1}^l{X}_i\left(h,t\right)+T\left(h,t\right)}\right]}\\ =E{\text{e}}^{ia{Z}^0\left(\frac{-h}{{\text{e}}^{mt},t}\right)}E{\text{e}}^{iaY\left(\frac{-h}{{\text{e}}^{mt},t}\right)}\\ =\frac{E\left[{\text{e}}^{\left(\frac{-h}{{\text{e}}^{mt}+ia}\right)Z^0},t\right]}{E\left[{\text{e}}^{\left(\frac{-h}{{\text{e}}^{mt}}\right)Z^0},t\right]}\frac{E\left[{\text{e}}^{\left(\frac{-h}{{\text{e}}^{mt}+ia}\right)Y},t\right]}{E\left[{\text{e}}^{\left(\frac{-h}{{\text{e}}^{mt}}\right)Y},t\right]}\end{array}$

它还有另外一个表达式

$\begin{array}{c}E{\text{e}}^{ia{S}_l\left(h,t\right)}={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\text{e}}^{iak}P\left[S_l\left(h,t\right)=k\right]}\\ =\frac{{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{\text{e}}^{\left(\frac{-h}{{\text{e}}^{mt}+ia}\right)k}P\left[Z^0=k\right]}}{{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{\text{e}}^{\left(\frac{-h}{{\text{e}}^{mt}}\right)k}P\left[Z^0=k\right]}}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{\text{e}}^{\left(\frac{-h}{{\text{e}}^{mt}+ia}\right)k}P\left[Y=k\right]}}{{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{\text{e}}^{\left(\frac{-h}{{\text{e}}^{mt}}\right)k}P\left[Y=k\right]}}\\ =\frac{{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{\text{e}}^{\left(\frac{-h}{{\text{e}}^{mt}+ia}\right)k}P\left[Z\left(t\right)=k\right]}}{G_l\left({\text{e}}^{\frac{-h}{{\text{e}}^{mt}}},t\right)},\end{array}$

对应系数逐项对比，可得

$P\left[S_l\left(h,t\right)=k\right]=\frac{{\text{e}}^{-kh/{\text{e}}^{mt}}}{G_l\left({\text{e}}^{-h/{\text{e}}^{mt}},t\right)}P\left[Z\left(t\right)=k|Z\left(0\right)=l\right]$

成立。

定理2.5 对于所有的 $h\ge 0$ ，存在 $C\left(h\right)$ 使得

${\sup }_{t,k\ge 0}{\text{e}}^{mt}P\left[S_l\left(h,t\right)=k\right]\le C\left(h\right)l^{-1/2}$ ， $l\ge l_0:=1+\left[1/\alpha \right]$ ，

这里 $\alpha =-\frac{\log \sigma }{m}$ ，其中 $\sigma :={\frac{\partial G\left(u,t\right)}{\partial u}|}_{\left(0,1\right)}=p_{11}\left(1\right)$ 。

为了便于后续讨论，我们定义自正则随机变量V，W和I的拉普拉斯变化如下：

${\varphi }_V\left(u\right):=E\left[{\text{e}}^{-uV}\right]$ ， ${\varphi }_W\left(u\right):=E\left[{\text{e}}^{-uW}\right]$ ， ${\varphi }_I\left(u\right):=E\left[{\text{e}}^{-uI}\right]$

此外，由于 $Z^0\left(t\right)$ 和 $Y\left(t\right)$ 是独立的，所以我们有 ${\varphi }_V\left(u\right)={\varphi }_W\left(u\right){\varphi }_I\left(u\right)$ .

定理2.6 (拉普拉斯变换的迭代泛函方程)设 $b_0=0$ ，则下述等式成立：

${\varphi }_V\left({\text{e}}^{ms}u\right)=G\left[{\varphi }_w\left(u\right),s\right]$ ， $u\in ℝ$

${\varphi }_W\left({\text{e}}^{ms}u\right)=F^0\left[{\varphi }_w\left(u\right),s\right]$ ， $u\in ℝ$

${\varphi }_I\left({\text{e}}^{ms}u\right)=H\left[{\varphi }_w\left(u\right),s\right]$ ， $u\in ℝ$

证明： ${\varphi }_V\left({\text{e}}^{ms}u\right)={\varphi }_W\left({\text{e}}^{ms}u\right){\varphi }_I\left({\text{e}}^{ms}u\right)=F^0\left[{\varphi }_w\left(u\right),s\right]{\varphi }_I\left({\text{e}}^{ms}u\right)=G\left[{\varphi }_w\left(u\right),s\right]$

故成立。