1. 引言
在1995年,Cranston和Le Jan [1] 引入一个与路径相关的随机微分方程的特例(线性自吸引扩散)
其中
且B是一维标准布朗运动。他们证明了当t趋于无穷大时,
过程在
上存在且几乎必然收敛。这种依赖于路径的随机微分方程是由Durrett和Rogers [2] 在1992年首次提出的,是描述了一种增长聚合物的模型,具体如下:
(1)
其中
是d维标准布朗运动且f是Lipschitz连续的。
对应于聚合物末端在时间t时的位置。在某些条件下,他们又建立了随机微分方程的渐近形态,并提出一些猜想和问题。该模型是自交互随机行走概念的连续模型。若
,
,则此时
就是由Pemantle [3] 所提出的过程的一个连续类似物。我们可以将这种与过去的轨迹相互作用的布朗运动称为自交互运动。一般地,方程(1)在不对f做任何假设时可定义自交互扩散过程。如果对所有
均有
,则称这个解为自吸引(或自排斥)。2002年,Benaïm [4] 等人还引入了一种依赖(卷积)经验测度的自交互扩散。这些扩散和布朗聚合物之间一个很大的区别是漂移项除了t。重要的是要注意,在f的许多情况下,相互作用势具有足够的吸引力,使得自交互扩散过程可近似等同于O-U过程,这使得其遍历行为可能存在并值得进行研究。更多的可参考Cranston和Mountford [5] ,Gauthier [6] ,Hermann和Scheutzow [7] ,Mountford和Tarr [8] ,Sun和Yan [9] 及文内其他文献。
另一方面,方程(1)可以重写为
受这一结论的启发,在这篇文章我们可以考虑以下方程的长时间行为和参数估计:
(2)
其中
是一维
稳定运动且
,
和
是两个实参数且
。这篇文章的组织结构如下。
在第二节,我们简要回顾了
稳定运动相关的定义、性质以及公式命题。第三节研究了解的长时间行为。第四节研究了参数的最小二乘估计及参数估计量的渐近分布。
2. 预备知识
在这一节中,我们简要地介绍了
-稳定运动的一些定义和性质。在本文,我们假设
是任意且固定的,并设
是一个
-适定过程。令参数
满足
且定义
其中
且
。如果随机变量
具有特征函数
,则称其具有
-稳定分布,表示为
。当
和
时,我们称
是对称的
-稳定过程。
进一步地,若对任意
有
则称
是一个
-稳定过程。在本文中,我们假定
是对称的
-稳定过程,并且
,
,即
。
命题2.1:方程(2)有唯一的解,且可表示为:
其中
。
证明:我们可以用常数变易法证明这个命题。
3. 长时间行为
设
是方程(2)的解且
。这节我们主要讨论解的长时间行为。
引理3.1:设
且
,定义过程
。则随机变量
在
上适定,且
(3)
在
上适定且几乎必然收敛,其中
。
证明:明显地,我们有
即随机变量
在
上适定。相似地,我们有
结合当t趋于无穷大时,
,则这个收敛在
上适定。
再考虑(3)以概率1收敛。运用分部积分和洛必达法则可得
几乎必然收敛,且
几乎必然收敛。因此,该引理得到证明。
引理3.2:设
和
。定义函数
,则随机变量
在
上适定,且
(4)
在
上适定且几乎必然收敛,
。
证明:定义
,
。明显地,我们有
紧接着,根据洛必达法则可得
根据
,可得
因此,随机变量
在
上适定。同理,根据以下估计可知(4)在
上适定:
对所有
,
都成立。最后,考虑(4)以概率1收敛。通过一个简单的计算可得
定义
,则可得
,
和
。从而有
。紧接着,运用洛必达法则可得
即可证(4)以概率1收敛。
引理3.3:设
和
。定义如下递归公式:
则对所有
我们有
证明:证明过程可参考文献Sun和Yan [10] 引理4.3。
定理3.1:设
和
。则对任意
有
在
上适定且几乎必然收敛。
证明:通过一个简单的计算可得
从而有
(5)
根据引理3.1,引理3.2和引理3.3,我们可证该定理成立。
定理3.2:设
和
。定义递归过程:
。则对所有
,
有
在
上适定且几乎必然收敛。
证明:参考(5),可得
根据引理3.1,引理3.2,引理3.3和定理3.1可证。
4. 参数估计与渐近分布
在这一节,我们主要研究两个实参
和
的相合性和渐近分布。记
且
和
的最小二乘估计量可以由以下比较函数的最小值求出:
则可得最小二乘估计量为
从而有
(6)
通过常数变易法可得:
,其中
。当T趋于无穷大时,
则有
(7)
定理4.1:设
且
,则当T趋向于无穷时有
证明:定义
。根据洛必达法则,当T趋于无穷大时可得
依据洛必达法则和公式(6),当T趋于无穷大时有
从而得到当
时
几乎必然收敛于0。同理可得,当
时有
定理4.2:设
且
,则当T趋向于无穷时有
证明:参考Rosinski-Woyczynski [10] ,定义
其中
。根据收敛(7)式和洛必达法则,当T趋向于无穷时有
通过两个简单计算
可以获得
。同理,当T趋向于无穷时有
由此,该定理得到证明。
5. 总结
依据目前已研究的成果发现,很多学者主要研究关于布朗运动的自交互过程。然而随着研究的深入,这一类过程已不能满足现实的需求,需要进一步扩展。针对这一现状,本文研究一个自交互过程的特例,由
稳定过程驱动的线性自排斥过程的相关问题。文中我们利用收敛速度和分部积分得到一个递归收敛,并通过最小二乘法估计参数计算出渐近分布,有创新点,但也存在一定的局限性。事实上,本文研究的线性自排斥过程也只是自交互过程中的一类,是一种特殊的形式,还可以从其他方面入手对自交互过程进行更深入研究,包括改变噪声、更换函数、限定漂移项等。