1. 引言
二十世纪六十年代,L. A. Zadeh教授在文章《Fuzzy Set》 [1] 中首次提出模糊集的概念,由此创立了模糊数学。模糊数学在能源、环保、教育等领域有着广泛的应用。1994年,BEG I首次提出了模糊Riesz空间的概念,并在 [2] 中讨论了模糊Riesz分解性质等。2015年,HONG L在 [3] 中研究了在模糊Riesz子空间中,模糊理想、模糊带以及模糊投影带等的性质。2020年,MOBASHIR I和ZIA B在 [4] 中讨论了阿基米德模糊Riesz空间的模糊Dedekind完备的存在性。2021年,GUI R等人在 [5] 中研究了模糊Riesz空间中的模糊正算子、模糊序连续算子以及模糊序有界线性算子等的性质。此外还有大量学者对模糊Riesz空间中的各种性质进行了研究,但对模糊Riesz代数的研究仍是空白。
所以本文的主要目的是探讨模糊Riesz代数的基本性质。模糊Riesz代数的基本性质丰富了模糊Riesz空间的理论知识,将有助于解决模糊Riesz空间理论在动力系统、流体力学等领域中应用所遇到的问题。本文的第二部分将回顾模糊Riesz空间中的相关定义和性质;第三部分将提出模糊Riesz代数定义,并且研究模糊Riesz代数中
与
、
与
及
与
等关系式;第四部分将介绍模糊f代数,并且给出模糊f代数中
与
、
与
及
与
等关系式,最后给出模糊Riesz代数是模糊f代数和半素模糊f代数的充要条件。
2. 预备知识
本节将回顾文献 [2] [3] [6] [7] 中的一些概念和性质,以便应用其得到本文主要结果。其中R代表全体实数,
代表零向量。
定义1.1 [1] [6] 假设X是论域,模糊关系
,如果满足以下条件:
1) 假设
,则
(自反性)
2) 假设
,如果
,
,则
(反对称性)
3) 假设
,则
(传递性)
则称
是模糊偏序关系。其中
是
中模糊子集的隶属函数。
定义1.2 [1] [6] 假设X是一个集合。如果在X中,存在模糊偏序关系
,则称X是模糊偏序集,记为
定义1.3 [6] 假设A是模糊偏序集X的子集。如果
,
则称
是A在X上的上界。同理,如果
则称
是A在X上的下界。
对于
,如果
,则称
。此时,称A是有上界的且x是A的一个上界。类似地,对于
,如果
,则称
。此时,称A是有下界的且x是A的一个下界。如果A既有上界又有下界,则称A是有界的。
假设
,如果z满足以下两个条件:
1)
,
2) 如果
,则
,
则称z是A的上确界。
假设
,如果z满足以下两个条件:
1)
,
2) 如果
,则
,
则称z是A的下确界。
注1.4 [6]
,
定义1.5 [6] 假设X是模糊偏序集。如果X的任何有限子集都有上确界和下确界,则称X是模糊格。
定理1.6 [2] 假设X是模糊格。对于
,
且n是任意正整数,有
这两个等式称为有限分配律。在模糊格中,有限分配律不一定成立。
对于
,有
这两个等式称为结合律。
定义1.7 [7] 假设E是实向量空间。如果E中存在模糊偏序关系
,使得向量结构和模糊序结构兼容,即:
1) 如果任意
,假设
,使得
,则
2) 如果任意非负实数
,假设
,使得
,则
则称E是模糊序向量空间。
定理1.8 [7] 假设X是模糊序向量空间,
,
。则下述条件成立
1) 如果
,
,则
2) 如果
,
,则
3) 如果
,
,则
定义1.9 [2] 假设E是模糊序向量空间。如果E也是模糊格,则称E是模糊Riesz空间
定义1.10 [2] 假设E是模糊Riesz空间,
。如果
,则称
是x的正部;如果
,则称
是x的负部;如果
,则称
是x的绝对值
定理1.11 [2] 假设E是模糊Riesz空间,
,则
,
,
是正的,且下述等式成立:
1)
2)
定理1.12 [2] 假设E是模糊Riesz空间。对于任意
,下述不等式成立。
1)
2)
定义1.13 [2] 假设E是模糊Riesz空间,
,A是E的子集。如果
则称
与
是不交的或正交的,记为
。
定义1.14 [3] 假设E是模糊Riesz空间,A是E的子集。如果有集合
则称
为A的不交补。
是
的不交补,即
定理1.15 [2] 假设E是模糊Riesz空间,对于任意的
,有
且
当且仅当
,
定理1.16 [2] 假设E是模糊Riesz空间。对于任意的
,则不等式
成立。
3. 模糊Riesz代数
本节给出了模糊Riesz代数的定义,以及模糊Riesz代数中的一些关系式。
定义2.1 假设E是具有通常代数性质的模糊Riesz空间,并且对于乘法满足结合律,及对任意
,并且
,
,有
,则称E为模糊Riesz代数(又可以称模糊格序代数)。
例2.2 假设
是
上所有连续实函数构成的集合,并且在
上定义如下:
令
,
,
,
假设
是
中的一个模糊偏序关系,定义如下:
其中
易证
是模糊Riesz空间。接下来证明
是模糊Riesz代数
假设
且
,
,易得
是模糊Riesz代数得证。
定理2.3 假设E是模糊Riesz代数,则下述结论成立:
1) 如果
,
且
,则
且
。特别地,
当且仅当
;
2) 如果
,
,
,
,
,则
;
3) 如果
且
,则
;
;
;
;
4) 对于任意
,有
;
;
。
证:1) 如果
,则
。根据定义3.1得
,即
。
因此
。同理可得
2) 由(1)可知,
,
。从而得到
3) 由
且根据(1)得到
。同理可得
。
故得
。
类似可证
。
又由
且根据(1)得
,同理可得
。
因此可得
。
类似可证
。
4) 对于任意
,有
,
可知
,并且由
,可得
,
故
。
同理可证
。
又由
,
且
,可知
,
因此
。
4. 模糊f代数
本节首先给出模糊f代数的定义及例子,其次讨论模糊f代数的一些基本性质,最后给出模糊Riesz代数是模糊f代数或半素模糊f代数的条件。
定义3.1 假设E是模糊Riesz代数。当对任给的
,有
时,对于任意
,
,有
,
此时称E为模糊f代数。
例3.2 假设
是
上所有连续实函数构成的集合,并且在
上定义如下:
令
,
,
,
假设
是
中的一个模糊偏序关系,定义如下:
其中
由例2.2知
是模糊Riesz代数。如果在
中有
,那么对于任意
且
,易得
。
故可得
也是模糊f代数。
定理3.3 假设E是模糊f代数,A是E的子集。若A是模糊Riesz代数,则A是模糊f代数。
因为这是显而易见的,所以在此不做证明。
根据定理2.3 (3)、(4)得到了
与
,
与
,
与
等之间的关系。那么这些关系式在模糊f代数中会发生变化吗?如果会,会发生怎样的变化,从而变成什么样的关系式?接下来的定理3.4 (1)、(2)将给出这些关系式的一些性质。
定理3.4 假设E是模糊f代数,则下述结论成立:
1) 若
且
,
,有
;
;
;
;
2) 若
,
,
,
;
3) 若在E中有
且
,则
,
;
4) 若在E中
,则
;
5) 若
,则
,
;
6) 若
且
,
,则有
;
。
证:1) 令
且
,
。根据
且由定义3.1可知
,
可得
。即
。利用
,可得
。由此得
右乘的证明类似。
2) 给定
。由
且根据模糊f代数的定义,可知
。即
。同理可证
,
,
。因此有
,
故可得
利用
且根据模糊Riesz分解性质知
,
。最后得
3) 对于任意
,使得
。令
。
由
,可得
。又根据2)可知
,即
。
类似可证
。
4) 对于任意
,使得
。由3)可知
,
。因此
。
5) 对于任意
,有
且由
,可知
。又利用
且根据
,故得
。
6) 对于任意
且
,
。因知
等价于
,且根据模糊f代数的定义,故有
,
可知
,即
由此可得
,
,即
。又利用
且根据定义3.1可知
,即得
交换
,得到
,
。此时可知
,
故得
,
。
定义3.5 假设E是模糊f代数,对任意
,若
,有
,则称E为半素模糊f代数。
在定理3.4中,如果E是模糊f代数并且对任意的
,若
,则
。下面我们将证明若E是半素模糊f代数,则反之成立。
定理3.6 假设E是半素模糊f代数,下述结论成立:
1)
当且仅当
;
2) 如果
,
,
,则
当且仅当
;
3) 如果
,
,
,则
当且仅当
。
证:1) 充分性
根据定理3.4 4) 可知,如果有
,则
。
必要性
假设
。则有
故可知
,又由条件知E是半素的,可得
。即得
。
2) 必要性
根据定理2.3 2)可知,如果
,
且
,则
。
充分性
假设
成立,但
不成立,即有
,所以可知
。
又因为存在
,使得
,可知
。
又由条件E是半素的且
,可得
,矛盾。
3)的证明与2)类似。
定理3.7 假设E是模糊Riesz代数并且E中结合律成立,则下列结论成立:
1) E是模糊f代数当且仅当如果
且
,
,
;
2) E是半素模糊f代数当且仅当如果
且
,
,
。
证:可知
当且仅当
1) 充分性:
假设E是模糊f代数,需要证明
。对于任意的
,
,
,取
且
,即
。因为在E中结合律成立,可知
。根据模糊f代数的定义,可知
。因此得
。故有
,即
。得证
。
必要性:
对任意的
,有
;对任意的
,
,可得
。
由此可知
,
,即
。同理可得
。根据定义3.1可得E是模糊f代数
2) 充分性:
假设E是半素模糊f代数。取
,
,
。需要证明
。
由1)可知
,取
且
。即
。
根据定理3.4 4)可知
。又利用
且
,
故得
。由条件知E是半素的,可得
。即
。因此有
。
故得
。
必要性:
假设对于任意
且
,
,
成立。由1)可知E是模糊f代数。
如果在E中,有
,则
故得
。
5. 结论
本文给出了模糊Riesz代数的定义,并且研究了模糊Riesz代数中
;
;
等关系式。还介绍了模糊f代数,并且探讨了模糊f代数中
,
,
等关系式。最后给出了模糊Riesz代数是模糊f代数和半素模糊f代数的等价命题。由于个人理论水平有限,关于模糊Riesz代数中的性质还有许多未讨论到,在以后还可以对模糊Riesz代数中更多关系式和乘法运算的交换性等进行研究。