1. 基本概念
定义1.1 [1] 设
为
中的点集,如果对于任何点集
都有
则称
为Lebesgue可测集,简称为可测集。这时
的Lebesgue外侧度
即称为
的侧度,记为
。
定义1.2 [2] 非空集合
称为一个群,如果在
中定义了一个代数运算,叫做乘法“
”。若“
”满足以下条件:
(1) “
”符合结合律;
(2) 存在
,使得对任意的
,有
(3) 对于任意的
,存在
,使得
定理1.3 [3] (Zermelo选择公理)设
是一族两两不相交的非空集合,其中
是指标集,则存在集合
满足下列条件:
(1)
。
(2) 集
与
中每个集
有且仅有一个公共元素。
2. n维不可测集的构造
定理2.1如果存在一个群
满足
,
,以及一个可列子群
,其中
,对任意的
,任意的
,做一个变换
,满足以下三个条件:
① 当集合
是一个可测集时,
,
仍然是一个可测集;
② 当
的时,对任意的
,有
;
③ 当
,且
时,存在
和有限的
维开区间
,
以及
的可列子集,仍记为
,使得
,其中
,且
。
则对任意的
,当
时,记
。那么“
”是一种等价关系,且将
中的任意一个有界正测度集合
分成若干个等价类,又由Zermelo选择公理,从每一个等价类中任意选取一个元素构成一个新的集合
,那么集合
就是Lebesgue不可测集。
证明:首先证明“
”是一种等价关系。因为
是一个可列子群,因此单位元素
,所以对任意的
,有
,即
;当
时,即
,由子群的性质可知
,有
;同理当
,
时,即
,
,由子群的性质可知
,
即有
,因此便证明了“
”是一种等价关系。
当
时,有
.若不然,假设
,则存在
,使得
,所以
,从而可知
属于同一个等价类,这与集合
的构造矛盾.所以当
时,
与
必定互不相交。
假设集合
是可测集,那么集合
只能是有界正测度集或者零测度集,下面分两种情况来证明。
当集合
是有界正测度集时,从条件③可知,
和有限的n维开区间
,
以及
的可列子集,仍记为
,使得
,其中
,且
,又因为
是两两互不相交的集族,由测度的可加性和单调性可知
其中
,(
为取整运算)。
但是,由
可得
,
上述两个不等式相互矛盾,所以集合
不是有界正测度集。
当集合
是零测度集时,从条件②可知,
,其中
,
。又由测度的完全可加性可知,
又由集合
的构造以及测度的单调性知:由
可得
,由此导出矛盾,因此集合
不是零测度集。
综上所述,
是不可测集。
推论2.2上述那样构造的不可测集
的内测度为零。
证明:若
的内测度不为零,由内测度定义可知,存在闭集
,且
,使得
,由条件③可知,存在实数
,有限的
维开区间
,
和
的一个可列子集,仍记为
,使得
,
首先证明当
时,有
。若不然,假设
,则存在
,使得
,所以
,从而可知
属于同一个等价类,这与集合
的构造矛盾。所以当
时,
与
必定互不相交。
再次,由测度单调性和可加性知
,
其中
。
另外,由测度单调性知,
。
上述两个不等式相互矛盾,所以假设
不成立。
因此
从而
的内测度为零。
事实上,由定理2.1构造的不可测集是存在的。
例2.3 群
,其中“+”表示通常的两个向量的加法,对于处处稠密的可列子群
,
其中
,
,
为有理数,
为确定的某一无理数或零,
且满足
.
显然定理2.1中的条件①,②成立。
下面验证条件③也成立。
如果
是正测度集,取
,
,
,取群
中的一个可列子集为
,
其中
,且满足
;
。
由此可得定理2.1中的条件③成立。
因此,由定理2.1构造的不可测集
是存在的。
3. 结论
证明了
维不可测集的构造在群作用和Zermelo选择公理的前提下,说明了n维不可测集的存在性;并根据测度的可加性和单调性证明集合
不是有界正测度集;最后,构造的n维不可测集
是存在的且该类型不可测集的内侧度为零。就n维不可测集来说依然存在许多问题尚未解决,比如延伸在线性空间或者欧氏空间上,此类不可测集的构造是否还成立呢?对于未解决的问题而言,本文仅仅是对n维不可测集构造进行的一些浅显的探讨,更深层次的探讨还需要再进一步的研究学习。
基金项目
国家自然科学基金青年科学基金项目(11801499)。