G-期望框架下的指数O-U期权定价模型

Index O-U Option Pricing Model under G-Expectation Framework

摘要: 本文基于G-期望空间理论和指数O-U (Ornstein-Uhlenback)过程模型，将指数O-U过程推广到G-期望空间，在股价预期收益率波动的基础上，使模型更加广泛地适用于概率测度还无法确定的情况，推导出G-期望空间下的O-U过程模型的股票价格公式以及期权定价公式，使股票模型更贴近且反映金融市场实际情况。

Abstract: Based on the G-expectation space theory and the Ornstein-Uhlenback process model, the index O-U process is extended to the G-expectation space. Based on the volatility of stock price expected returns, the model is more widely applicable to situations where probability measures cannot be determined. The stock price formula and option pricing formula of the O-U process model in the G-expectation space are derived, making the stock model closer to and reflecting the actual situation of the financial market.

1. 引言

股票价格在金融市场中是一种复杂现象，尤其是股票价格波动规律引起了学者们的兴趣。1973年Black和Scholes [1] 利用几何布朗运动构建了期权定价理论。从那时起，B-S模型就对股票价格波动规律的研究和发展起到了重要作用。此后，学者们 [2] [3] [4] 基于该模型对其进行了深入的研究。1989年Peters [2] 提出分形市场假说，充分考虑了资本市场上的股票价格的长期依赖性和自相似性，将模型推广到分数阶形式；后来的Torres-Hernandez A [3] 和Wang J [4] 在此基础上将其推广到n维形式的分数阶情况，并使用分数微分算子和提供径向基函数的方法来得到模型的数值解。但是他们都无法跳出B-S模型本身的局限，即无法描述预期收益率存在波动的情况。针对这种情况，Perelló J [5] 提出的指数O-U过程模型很好地解决了这个问题，通过增加一个可变化的指数来模拟波动中的收益率，近年来也有众多学者在此基础上的研究得出了许多进展。Dai L [6] 基于指数Ornstein-Uhlenbeck模型，过α路径的方法，推导出不确定的金融市场的期权定价公式，并讨论了这些期权定价公式的数学性质；Gao Y [7] 研究了基于不确定指数Ornstein-Uhlenbeck模型的回看看涨期权和看跌期权定价公式，并设计了计算这些价格的算法来验证该模型的有效性。

2007年，Peng S [8] 院士创造性地提出了非线性期望即G-期望理论，直接对不确定量——随机变量来定义其非线性期望泛函，形成了一套可以在概率模型本身还没有确定的情形下，就可以对各种风险进行文件的定量分析和计算的数学理论，在短短十几年时间中就受到了金融数学和随机控制领域的广泛认可、并被大范围应用。Avellaneda，Lévy和Parás [9] 提出了一类不受控制的波动率不确定模型，在G-期望框架下这类模型能够很好地处理，能更加广泛地将模型推广到概率测度无法确定的情况。在G-期望理论进展的直接推动下，经济学界在这个方向也获得了非常重要的进展，Epstein L G和Ji S [10] 提出了一个连续时间框架的效用模型，在G-期望理论的基础上对漂移和波动的模糊性建模，捕捉了决策者对模糊性或模型不确定性的关注，对资产定价理论中一些基本结果也做出了相应扩展。目前，随着G-伊藤公式、G-鞅理论、G-倒向随机微分方程理论等的不断提出，G-期望框架日趋完善。目前已有许多学者将G-期望理论与股票期权模型相结合，陆允生 [11] 利用G-几何布朗运动描述标的资产的价格变动，进而得到带有常数红利率的欧式看涨期权和欧式看涨幂期权的动态定价公式；王瑶 [12] 将经典的亚式期权定价题植入到G期望架下，重新研究得到了G-期望框架下的亚式期权定价公式及复制策略，但他们仍无法跳出经典的Black-Scholes模型自身的局限性。而将指数O-U模型与G-期望理论相结合，得出的G-框架下的指数O-U股票和期权定价模型将是一个十分有效的方法。

本文在G-框架下首先利用G-伊藤公式得出了指数O-U过程模型下的股票价格，并利用G-期望的单调性、保常性、正齐性以及G-Girsanov定理、G-Hölder不等式得出了指数O-U过程模型下的股票期权定价公式，与真实的金融市场更加贴近。

2. 预备知识(G-随机分析)

本文中作者将研究在G框架下的指数O-U模型，并将沿用文献 [13] 中对G-随机分析的相关定义。对于G-框架下，我们有如下引理。

定义2.1 (G-布朗运动平方变差过程)：

我们定义一个经典情形：设 ${\pi }_t^N\left(N=1,2,\cdots \right)$ 为一个区间[0, t]的一个满足 $\left|{\pi }_t^N\right|\to 0$ 的分割的序列，很容易证明：

${\langle B\rangle }_t=\underset{\mu \left({\pi }_t^N\right)\to 0}{\lim }{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N-1}{\sum }}{\left(B_{t_{j+1}^N}-B_{t_j^N}\right)}^2}=B_t^2-2{\displaystyle {\int }_0^t{B}_s\text{d}{B}_s}$

其中 ${\left({\langle B\rangle }_t\right)}_{t\ge 0}$ 是一个增过程，且 ${\langle B\rangle }_0=0$ ，我们称 $\langle B\rangle$ 为G-布朗运动的平方变差过程。

引理2.1 (G-伊藤公式)：

我们用 $B_t$ 表示m维G布朗运动。设 $\Phi \in C^2\left({ℝ}^n\right)$ 是有界的，并且 ${\partial }_{x^v}\Phi ,{\partial }_{x^{\mu }{x}^v}^2\Phi \in C_{b.lip}\left({ℝ}^n\right)$ 是一致的李普希茨函数，其中 $\mu ,v=1,\cdots ,n$ .假设 $s\in \left[0,T\right]$ ，且 $X={\left(X^1,\cdots ,X^n\right)}^{\text{T}}$ 是一个在 $\left[s,T\right]$ 上的n维过程，形式如下：

$X_t^v=X_s^v+{\alpha }^v\left(t-s\right)+{\eta }^{vij}\left({\langle B^i,B^j\rangle }_t-{\langle B^i,B^j\rangle }_s\right)+{\beta }^{vj}\left(B_t^i,B_{{}^s}^j\right),$

其中 $v=1,\cdots ,n,i,j=1,\cdots ,d,\alpha ,{\eta }^{vij},{\beta }^{vj}$ 是 $L_G^2\left({\Omega }_s\right)$ 上的有界元素， $X_s={\left(X_s^1,\cdots ,X_s^n\right)}^{\text{T}}$ 是 $L_G^2\left({\Omega }_s\right)$ 上给定的随机向量，由此我们得到：

$\begin{array}{c}\Phi \left(X_t\right)-\Phi \left(X_s\right)={\displaystyle {\int }_s^t{\partial }_{x^v}}\Phi \left(X_u\right){\beta }^{vj}\text{d}{B}_u^j+{\displaystyle {\int }_s^t{\partial }_{x^v}\Phi \left(X_u\right){\alpha }^v\text{d}u}\\ +{\displaystyle {\int }_s^t\left[{\partial }_{x^v}\Phi \left(X_u\right){\eta }^{vij}+\frac{1}{2}{\partial }_{x^{\mu }{x}^v}^2\Phi \left(X_u\right){\beta }^{\mu i}{\beta }^{vj}\right]\text{d}{\langle B^i,B^j\rangle }_u}\end{array}$

引理2.2 (G框架下的Girsanov定理)：

令 $H\left(s,\omega \right)\in M_G^2\left(0,T\right)$ ，定义 $\epsilon \left(B_t\right)=\exp \left\{{\displaystyle {\int }_0^{t}H\left(s,\omega \right)\text{d}{B}_s}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^t{H}^2\left(s,\omega \right)\text{d}{\langle B\rangle }_s}\right\}$ ，并对任意的 $X\in Lip\left(\mathcal{F}\right)$ ，定义 ${\tilde{E}}_G\left[X\right]=E_G\left[\epsilon \left(B_T\right)X\right]$ ， ${\tilde{E}}_G\left[X|{\mathcal{F}}_t\right]={\left[\epsilon \left(B_T\right)\right]}^{-1}{E}_G\left[\epsilon \left(B_T\right)X|{\mathcal{F}}_t\right]$ ，若存在 ${\delta }_0>0$ 使得 $E_G\left[\left(\frac{1}{2}+{\delta }_0\right)\exp \left\{{\displaystyle {\int }_0^T{H}^2\left(s,\omega \right)\text{d}{\langle B\rangle }_s}\right\}\right]<\infty$ ，可知 $B_t-{\displaystyle {\int }_0^{t}H\left(s,\omega \right)\text{d}{\langle B\rangle }_S}$ 为 ${\tilde{E}}_G$ 下的G布朗运动。

引理2.3 (G-框架下的伊藤等距公式)

对任意的 $\eta \in M_G^2\left(0,T\right)$ ，有：

$\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^T\eta \left(s\right)\text{d}{B}_s^a}\right)}^2\right]=\mathbb{E}\left[{{\displaystyle {\int }_0^T{\eta }^2\left(s\right)\text{d}\langle B^a\rangle }}_s\right]$

引理2.4 (G-期望框架下的Hölder不等式)

对任意的 $\xi ,\eta \in X,p>1,q>1$ 以及 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，我们有：

$\mathbb{E}\left|\xi \eta \right|\le {\left(\mathbb{E}{\left|\xi \right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(\mathbb{E}{\left|\eta \right|}^q\right)}^{\frac{1}{q}}$

引理2.5 若 $\eta ,\theta \in M_G^2\left(0,T\right)$ ， $0\le s\le r\le t\le T$ ，则有：

1) ${\displaystyle {\int }_s^t{\eta }_u\text{d}{B}_u}={\displaystyle {\int }_s^r{\eta }_u\text{d}{B}_u}+{\displaystyle {\int }_r^t{\eta }_u\text{d}{B}_u}$ ；

2) ${\displaystyle {\int }_s^t\left(\alpha {\eta }_u+{\theta }_u\right)\text{d}{B}_u}=\alpha {\displaystyle {\int }_s^t{\eta }_u\text{d}{B}_u}+{\displaystyle {\int }_s^t{\theta }_u\text{d}}{B}_u$ ，其中 $\alpha$ 有界，且 $\alpha \in L_G^1\left({\mathcal{F}}_t\right)$ ；

3) $E_G\left[X+{\displaystyle {\int }_t^T{\eta }_u\text{d}{B}_u|{\mathcal{F}}_t}\right]=E_G\left[X|{\mathcal{F}}_t\right]$ 。

3. G-指数O-U模型下的股票价格

G期望空间上的股价波动的指数Ornstein-Uhlenbeck过程模型：

$\text{d}{S}_t=\mu \left(1-c\ln S_t\right)S_t\text{d}t+\sigma S_t\text{d}{B}_t+\eta S_t\text{d}{\langle B\rangle }_t$ (1)

其中： $\mu$ 预期收益率，c为预期收益率变化系数， $\sigma ,\eta$ 为波动率。

定理3.1 如果股票价格 $S_t$ 满足(1)式，则：

$S_t=S_0\exp \left[\frac{1}{c}+{\text{e}}^{-\mu ct}\left(\sigma {\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\mu cs}}\text{d}{B}_s+\left(\eta -\frac{1}{2}{\sigma }^2\right){\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\mu cs}}\text{d}{\langle B\rangle }_s\right)\right].$ (2)

证明：对(1)式，应用G-Itô公式得：

$\begin{array}{c}\text{d}\ln S_t=\left[\frac{1}{S_t}\cdot \mu \left(1-c\ln S_t\right)S_t\right]\text{d}t+\frac{1}{S_t}\sigma S_t\text{d}{B}_t+\left[\frac{1}{S_t}\eta S_t-\frac{1}{2}\frac{1}{S_t{}^2}{\sigma }^2{S}_t^2\right]\text{d}{\langle B\rangle }_t\\ =\mu \left(1-c\ln S_t\right)\text{d}t+\sigma \text{d}{B}_t+\left[\eta -\frac{1}{2}{\sigma }^2\right]\text{d}{\langle B\rangle }_t.\end{array}$

取 $k=\mu c,m=\eta -\frac{1}{2}{\sigma }^2,X_t=\ln S_t$ ，则上式变为：

$\begin{array}{l}\text{d}{X}_t=\left(\mu -k{X}_t\right)\text{d}t+\sigma \text{d}{B}_t+m\text{d}{\langle B\rangle }_t,\\ \text{d}\left({\text{e}}^{kt}{X}_t\right)=\left[k{\text{e}}^{kt}{X}_t+{\text{e}}^{kt}\left(\mu -k{X}_t\right)\right]\text{d}t+{\text{e}}^{kt}\sigma \text{d}{B}_t+\left({\text{e}}^{kt}m+0\right)\text{d}{\langle B\rangle }_t,\\ X_t=\frac{\mu }{k}+{\text{e}}^{-kt}\left(\sigma {\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{ks}}\text{d}{B}_s+m{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{ks}}\text{d}{\langle B\rangle }_s\right),\\ S_t=S_0\exp \left[\frac{1}{c}+{\text{e}}^{-\mu ct}\left(\sigma {\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\mu cs}}\text{d}{B}_s+\left(\eta -\frac{1}{2}{\sigma }^2\right){\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\mu cs}}\text{d}{\langle B\rangle }_s\right)\right].\end{array}$

4. G-指数O-U模型下的股票期权定价

假设期满日时刻的价值为 $u\left(S_t,t\right)$ ，我们在时间间隔 $\left[0,T\right]$ 上定义一个统一的时间分区。对于 $0\le n\le N$ ，令 $0=t_0<t_1<\cdot \cdot \cdot <t_n<\cdot \cdot \cdot <t_N=T$ ， $\Delta t=t_{n+1}-t_n$ 。令函数 $u\left(S_t,t\right)$ 是足够光滑的， $\Delta {\langle B\rangle }_n={\langle B\rangle }_{t_{n+1}}-{\langle B\rangle }_{t_n}$ 和 $\Delta B_n=B_{t_{n+1}}-B_{t_n}$ 。

我们有期权定价公式 [14] ：

$u\left(S_a,t_n\right)=\frac{1}{\rho }\mathbb{E}\left(\left[u\left(S_{t_{n+1}},t_{n+1}\right)-u\left(S_n,t_n\right)\right]|S_{t_n}=S_a\right)+\frac{1}{\rho }u\left(S_a,t_n\right),$ (3)

其中 $\rho =1+r\Delta t$ ，r是无风险利率。

定理4.1 G-指数O-U模型下的股票期权定价 $u\left(S_t,t\right)\in C_b^{4,2}$ (u关于 $S_t$ 连续四阶导数有界，关于t二阶偏导数有界)满足如下方程：

$ru=\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial S}{S}_a\left[-\mu c\left(\ln S_a-\ln S_0-\frac{1}{c}\right)\right]+2G\left[\frac{\partial u}{\partial S}{S}_a\left(m{\text{e}}^{-\mu c{t}_{n+1}}+{\sigma }^2\right)+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial S^2}{S}_a^2{\sigma }^2\right]$ (4)

证明：用泰勒公式展开 $u\left(S_{t_{n+1}},t_{n+1}\right)$ 得：

$u\left(S_{t_{n+1}},t_{n+1}\right)-u\left(S_a,t_n\right)=\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial t}\Delta t+\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S}\left(S_{t_{n+1}}-S_a\right)+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^2}{\left(S_{t_{n+1}}-S_a\right)}^2+R_u^n,$

其中：

则有

$u\left(S_{t_{n+1}},t_{n+1}\right)-u\left(S_a,t_n\right)=\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial t}\Delta t+\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S}\left(S_{t_{n+1}}-S_a\right)+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^2}{\left(S_{t_{n+1}}-S_a\right)}^2+O{\left(\Delta t\right)}^{\frac{3}{2}}.$

我们令

$S_{t_{n+1}}-S_a=S_0\exp \left\{Y^{n+1}\right\}-S_0\exp \left\{Y^n\right\}=S_a\left(\exp \left\{Y^{n+1}-Y^n\right\}-1\right)$

此时

$\begin{array}{c}u\left(S_{t_{n+1}},t_{n+1}\right)-u\left(S_a,t_n\right)=\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial t}\Delta t+\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S}{S}_a\left(\exp \left\{Y^{n+1}-Y^n\right\}-1\right)\\ +\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^2}{\left(S_a\right)}^2{\left(\exp \left\{Y^{n+1}-Y^n\right\}-1\right)}^2+O{\left(\Delta t\right)}^{\frac{3}{2}},\end{array}$

其中

$Y^n=\frac{1}{c}+{\text{e}}^{-\mu c{t}_n}\left[\sigma {\displaystyle {\int }_0^{t_n}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{B}_s}+m{\displaystyle {\int }_0^{t_n}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{\langle B\rangle }_s}\right],$

$Y^{n+1}=\frac{1}{c}+{\text{e}}^{-\mu c{t}_{n+1}}\left[\sigma {\displaystyle {\int }_0^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{B}_s}+m{\displaystyle {\int }_0^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{\langle B\rangle }_s}\right],$

$\begin{array}{c}{Y}^{n+1}-Y^n={\text{e}}^{-\mu c{t}_{n+1}}\left[\sigma {\displaystyle {\int }_0^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{B}_s}+m{\displaystyle {\int }_0^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{\langle B\rangle }_s}\right]\\ -{\text{e}}^{-\mu c{t}_n}\left[\sigma {\displaystyle {\int }_0^{t_n}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{B}_s}+m{\displaystyle {\int }_0^{t_n}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{\langle B\rangle }_s}\right]\\ =\left({\text{e}}^{-\mu c{t}_{n+1}}-{\text{e}}^{-\mu c{t}_n}\right)\left[\sigma {\displaystyle {\int }_0^{t_n}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{B}_s}+m{\displaystyle {\int }_0^{t_n}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{\langle B\rangle }_s}\right]\\ +{\text{e}}^{-\mu c{t}_{n+1}}\left[\sigma {\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{B}_s}+m{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{\langle B\rangle }_s}\right].\end{array}$

因为

$\Delta B_n=B_{t_{n+1}}-B_{t_n},\Delta {\langle B\rangle }_n={\langle B\rangle }_{t_{n+1}}-{\langle B\rangle }_{t_n}$ ，

$\sigma {\displaystyle {\int }_0^{t_n}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{B}_s}+m{\displaystyle {\int }_0^{t_n}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{\langle B\rangle }_s}=\left(\ln S_a-\ln S_0-\frac{1}{c}\right){\text{e}}^{\mu c{t}_n}$ ，

所以

$\begin{array}{l}{\text{e}}^{-\mu c{t}_{n+1}}\left[\sigma {\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{B}_s}+m{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{\langle B\rangle }_s}\right]\\ ={\text{e}}^{-\mu c\Delta t}\left[\sigma \Delta B_n+m{\langle B\rangle }_n\right]+\sigma {\text{e}}^{-\mu c{t}_{n+1}}{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}\left\{\left(s-t_n\right){\displaystyle {\int }_0^1{\text{e}}^{\mu c\left(t_n+\lambda \left(s-t_n\right)\right)}\text{d}\lambda }\right\}\text{d}{B}_s}\\ +m{\text{e}}^{-\mu c{t}_{n+1}}{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}\left\{\left(s-t_n\right){\displaystyle {\int }_0^1{\text{e}}^{\mu c\left(t_n+\lambda \left(s-t_n\right)\right)}\text{d}\lambda }\right\}\text{d}{\langle B\rangle }_s}\end{array}$

$\begin{array}{l}{Y}^{n+1}-Y^n\\ ={\text{e}}^{-\mu c{t}_{n+1}}\left[\sigma {\displaystyle {\int }_0^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{B}_s}+m{\displaystyle {\int }_0^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{\langle B\rangle }_s}\right]-{\text{e}}^{-\mu c{t}_n}\left[\sigma {\displaystyle {\int }_0^{t_n}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{B}_s}+m{\displaystyle {\int }_0^{t_n}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{\langle B\rangle }_s}\right]\\ =\left({\text{e}}^{-\mu c\Delta t}-1\right)\left(\ln S_a-\ln S_0-\frac{1}{c}\right)+{\text{e}}^{-\mu c{t}_{n+1}}\left[\sigma {\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{B}_s}+m{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{\langle B\rangle }_s}\right]\end{array}$

对于

$\begin{array}{c}u\left(S_{t_{n+1}},t_{n+1}\right)-u\left(S_a,t_n\right)=\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial t}\Delta t+\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S}{S}_a\left(\exp \left\{Y^{n+1}-Y^n\right\}-1\right)\\ +\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^2}{\left(S_a\right)}^2{\left(\exp \left\{Y^{n+1}-Y^n\right\}-1\right)}^2+O{\left(\Delta t\right)}^{\frac{3}{2}}\end{array}$

取 $\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S}{S}_a\left(\exp \left\{Y^{n+1}-Y^n\right\}-1\right)$ 为部分I， $\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^2}{\left(S_a\right)}^2{\left(\exp \left\{Y^{n+1}-Y^n\right\}-1\right)}^2$ 为部分II。

由 $\exp \left\{Y^{n+1}-Y^n\right\}-1$ 的泰勒展开可得：

$\exp \left\{Y^{n+1}-Y^n\right\}-1=\left(Y^{n+1}-Y^n\right)+\frac{1}{2}{\left(Y^{n+1}-Y^n\right)}^2+\frac{1}{6}{\text{e}}^{\theta \left(Y^{n+1}-Y^n\right)}{\left(Y^{n+1}-Y^n\right)}^3$

其中 $Y^{n+1}-Y^n=\left({\text{e}}^{-\mu c\Delta t}-1\right)\left(\ln S_a-\ln S_0-\frac{1}{c}\right)+{\text{e}}^{-\mu c{t}_{n+1}}\left[\sigma {\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{B}_s}+m{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{\langle B\rangle }_s}\right]$

此时：

$\begin{array}{l}\text{І}=\mathbb{E}[\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S}{S}_a\left({\text{e}}^{-\mu c\Delta t}-1\right)\left(\ln S_a-\ln S_0-\frac{1}{c}\right)\\ +{\text{e}}^{-\mu c{t}_{n+1}}\left[\sigma {\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{B}_s}+m{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{\langle B\rangle }_s}\right]+{\text{e}}^{-2\mu c{t}_{n+1}}{\sigma }^2{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{B}_s}\right)}^2]\end{array}$

将 ${\text{e}}^{-\mu cs}$ 在 $t_n$ 处展开， ${\text{e}}^{-\mu cs}={\text{e}}^{-\mu c{t}_n}+{\text{e}}^{-\mu c{t}_n}\left(s-t_n\right)+R_n$

此时：

$\begin{array}{c}\text{І}=\mathbb{E}[\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S}{S}_a[-\mu c\Delta t\left(\ln S_a-\ln S_0-\frac{1}{c}\right)+{\text{e}}^{-\mu c{t}_{n+1}}\left[{\text{e}}^{-\mu c{t}_n}\left(\sigma \Delta B_n+m\Delta {\langle B\rangle }_s\right)\right]\\ +{\text{e}}^{-2\mu c{t}_{n+1}}{\sigma }^2{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu c{t}_n}+{\text{e}}^{\mu c{t}_n}\left(S-t_n\right)\text{d}{B}_s}\right)}^2]\\ =\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S}{S}_a\left[-\mu c\Delta t\left(\ln S_a-\ln S_0-\frac{1}{c}\right)\right]\\ +2G\left[\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S}{S}_a\left(m{\text{e}}^{-\mu c{t}_{n+1}}+{\text{e}}^{-2\mu c\Delta t}{\sigma }^2\right)\right]\Delta t\end{array}$

对部分II：

$\begin{array}{c}\text{ІІ}=\mathbb{E}\left[\frac{1}{\text{2}}\frac{{\partial }^{2}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^2}{S}_a^2{\text{e}}^{-2\mu c\Delta t}{\sigma }^2{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}{\text{e}}^{\mu cs}\text{d}{B}_s}\right)}^2\right]\\ =2G\left(\frac{1}{\text{2}}\frac{{\partial }^{2}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^2}{S}_a^2{\text{e}}^{-2\mu c\Delta t}{\sigma }^2\right)\Delta t\end{array}$

因此：

$\begin{array}{c}u\left(S_a,t_n\right)=\frac{1}{\rho }\mathbb{E}\left(\left[u\left(S_{t_{n+1}},t_{n+1}\right)-u\left(S_n,t_n\right)\right]|S_{t_n}=S_a\right)+\frac{1}{\rho }u\left(S_a,t_n\right)\\ =\frac{1}{\rho }\{\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial t}\Delta t+\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S}{S}_a[-\mu c\Delta t\left(\ln S_a-\ln S_0-\frac{1}{c}\right)\\ +2G[\frac{\partial u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S}{S}_a\left(m{\text{e}}^{-\mu c{t}_{n+1}}+{\text{e}}^{-2\mu c\Delta t}{\sigma }^2\right)\\ +\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u\left(S_a,t_n\right)}{\partial S^2}{S}_a^2{\text{e}}^{-2\mu c\Delta t}{\sigma }^2]\Delta t\}+\frac{1}{\rho }u\left(S_a,t_n\right)+O{\left(\Delta t\right)}^{\frac{3}{2}}\end{array}$

令 $\Delta t\to 0$ 得：

$ru=\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial S}{S}_a\left[-\mu c\left(\ln S_a-\ln S_0-\frac{1}{c}\right)\right]+2G\left[\frac{\partial u}{\partial S}{S}_a\left(m{\text{e}}^{-\mu ct}+{\sigma }^2\right)+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial S^2}{S}_a^2{\sigma }^2\right]$

定理4.1得证。

5. 结论

本文研究了在G-框架下的指数O-U模型，给出了股票价格 $S_t$ 与期权定价 $u\left(S_t,t\right)$ 的表达式，并给出了严格的证明。相较于传统的B-S模型，本文给出的模型能够更好地适用于预期收益率存在波动的情况，并且使模型更加广泛地适用于概率测度还无法确定的情况，是彭院士提出的G-期望空间理论的又一实际应用，更贴合真实的股票市场。