关于矩阵数字特征的一些注记

doi:10.12677/PM.2024.142047

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关于矩阵数字特征的一些注记
Some Notes on the Numerical Characteristics of Matrix

DOI: 10.12677/PM.2024.142047, PDF, HTML, XML, 下载: 52 浏览: 97 国家自然科学基金支持
作者: 禹鸥洋, 任芳国^*：陕西师范大学数学与统计学院，陕西西安
关键词: 密度矩阵；矩阵期望；矩阵方差；矩阵协方差；WY相关系数；矩阵斜信息；Density Matrix； Matrix Expectation； Matrix Variance； Matrix Covariance； WY Correlation Coefficient； Matrix Skew Information

摘要: 根据矩阵数字特征的定义，结合矩阵Lie积的定义，利用矩阵迹的性质，矩阵数字特征的性质，以及密度矩阵的性质，对由Hermite矩阵组成的实线性空间H_n上的一些数字特征进行了数值计算并且给出了一个例子，其次对WY相关系数进行改造使其成为矩阵空间上的半内积并且利用矩阵范数、矩阵迹及矩阵数字特征的性质得出了改造后的WY相关系数与原WY相关系数、斜信息以及协方差的关系，获得了原WY相关系数和斜信息的一些性质，并给出改造后的WY相关系数的一个应用。这些结果将在量子信息论中具有一定的应用。

Abstract: According to the definition of matrix numerical characteristics, combined with the definitions of Lie product of matrix, using the properties of matrix traces, matrix numerical characteristics, and density matrix, numerical calculations were performed on some numerical characteristics on real linear space H_n composed of Hermite matrices, and an example was given, secondly, the WY corre-lation coefficient was modified to become a semi inner product in the matrix space, and the rela-tionship between the modified WY correlation coefficient and the original WY correlation coefficient and skew information, as well as some properties of covariance, the original WY correlation coefficient and skew information, were obtained using the properties of matrix norm, matrix trace, and matrix numerical characteristics, and an application of the modified WY correlation coefficient was also presented. These results will have certain applications in quantum information theory.

文章引用：禹鸥洋, 任芳国. 关于矩阵数字特征的一些注记[J]. 理论数学, 2024, 14(2): 482-491. https://doi.org/10.12677/PM.2024.142047

1. 引言

近年来量子信息的研究与应用受到国内外的广泛关注，而概率与矩阵是研究量子信息的重要的不可缺少的工具，如量子信息论中主要的研究对象(态、量子测量及量子运算)与概率及矩阵密不可分 [1] [2] [3] 。矩阵数字特征在量子信息中有着广泛的应用，比如量子测量、量子态的度量、量子熵等 [1] ，因此矩阵数字特征在量子信息中扮演着重要的角色。斜信息作为一个重要的数字特征于1963年在 [4] 中被介绍，并且WY相关系数及斜信息一直受到有关专家学者的青睐 [4] - [16] 。在量子信息中，Hermite矩阵又被称作可观测量，Hermite矩阵的数字特征与量子信息中的量子测量理论和不确定性关系等密切相关，并且由于任何一个矩阵都可以写成一个Hermite矩阵与一个反Hermite矩阵的和，所以Hermite矩阵空间上的数字特征对整个矩阵空间上数字特征的研究具有重要的价值；WY相关系数作为矩阵的一个数字特征，它与量子信息中的不确定关系和量子态的量化密切相关，同时斜信息作为WY相关系数的一个特殊情形，它与量子信息中的许多量子关联量密切相关，所以对Hermite矩阵空间上的数字特征和WY相关系数的研究具有一定的价值。在文献 [4] - [14] 研究的基础上，主要利用矩阵理论，对由Hermite矩阵组成的实线性空间H_n上的一些数字特征进行数值计算并对WY相关系数进行改造使其成为矩阵空间上的内积，同时运用矩阵范数，矩阵迹以及矩阵数字特征的性质给出协方差，WY相关系数及斜信息的一些性质，得到的结论将为矩阵在量子信息理论中的应用提供有力的研究工具。

2. 符号说明与预备知识

2.1. 符号说明

为了简述方便，我们对文中符号进行说明：M_n表示所有n阶复矩阵组成的复线性空间，H_n表示所有n阶Hermite矩阵组成的实线性空间，I_n表示n阶单位矩阵， $A^{*}$ 和 $T r (A)$ 分别表示矩阵A的共轭转置和迹；不特别说明，矩阵空间M_n上的默认标准内积为 $(X, Y) = T r (X^{*} Y)$ ，其中 $X, Y \in M_{n}$ 。其它未作说明的符号、概念及术语参见文献 [1] [2] [3] 。

2.2. 预备知识

定义1 [1] 设 $A \in M_{n}$ 是Hermite矩阵。如果A是迹为1的半正定矩阵，则称A是密度矩阵，并称秩为1的密度矩阵为纯态，秩大于1的密度矩阵为混合态。

定义2 [2] 设 $P \in M_{n}$ 是密度矩阵， $X, Y \in M_{n}$ 。

$E_{P} (X) \equiv T r (P X)$ ；

$V_{P} (X) \equiv T r (P (X - E_{P} (X) I_{n}) {(X - E_{P} (X) I_{n})}^{*})$ ；

$C o v_{P} (X, Y) \equiv T r (P (X - E_{P} (X) I_{n}) {(Y - E_{P} (Y) I_{n})}^{*})$ ；

$C o r r_{P} (X, Y) \equiv T r (P X Y^{*} - \sqrt{P} X \sqrt{P} Y^{*})$ ；

$I_{P} (X) \equiv T r (P X X^{*} - \sqrt{P} X \sqrt{P} X^{*}) .$

分别称为X关于P的期望、X关于P的方差、X与Y关于P的协方差、WY相关系数及斜信息。

定义3 [2] 设 $X, Y \in M_{n}$ 。称 $[X, Y] \equiv X Y - Y X$ 为矩阵空间M_n上关于X与Y的Lie积。

定义4 在矩阵空间M_n上定义二元函数 $C o r r_{P}^{G} (\cdot, \cdot)$ ，其中

$C o r r_{P}^{G} (X, Y) = \frac{1}{2} T r (P X Y^{*} + P Y^{*} X) - T r (\sqrt{P} X \sqrt{P} Y^{*}), \forall X, Y \in M_{n} .$

定义5 $\forall A \in M_{n}$ ，矩阵空间M_n上的Frobenius范数 ${‖ A ‖}_{F}$ 定义为 ${‖ A ‖}_{F} = {[T r (A^{*} A)]}^{\frac{1}{2}}$

引理1设 $A, B \in M_{n}$ 是Hermite矩阵。则

(1) $T r (A B)$ 是实数；

(2) 如果 $A, B$ 是半正定矩阵，则 $T r (A B)$ 是非负实数，且 $T r (A B) = 0$ 当且仅当 $A B = 0$ 。

证明 (1) 由于A是Hermite矩阵，则存在酉矩阵U，使得 $U^{*} A U = Λ = d i a g (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ ，其中 $λ_{i} \in R$ 。再由B是Hermite矩阵知， $U^{*} B U = {(b_{i j})}_{n}$ 的对角元 $b_{i i} \in R$ ，则 $T r (A B) = T r (U^{*} A U U^{*} B U) = T r (Λ U^{*} B U) = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} b_{i i} \in R$ 。

(2) $T r (A B) = T r (\sqrt{A} \sqrt{A} \sqrt{B} \sqrt{B}) = T r (\sqrt{A} \sqrt{B} \sqrt{B} \sqrt{A}) = T r ((\sqrt{A} \sqrt{B}) {(\sqrt{A} \sqrt{B})}^{*}) = {‖ \sqrt{A} \sqrt{B} ‖}_{2}^{2}$ ，则 $T r (A B) \geq 0$ ，且 $T r (A B) = 0$ ，当且仅当 $\sqrt{A} \sqrt{B} = 0$ ，当且仅当 $A B = 0$ 。

根据矩阵迹的性质及引理1易得：

引理2 给定半正定矩阵 $P \in M_{n}$ ， $M_{n}$ 上的二元函数 $f_{i} (i = 1, \dots, 6)$ 分别为 $M_{n}$ 上的半内积，定义如下： $\forall X, Y \in M_{n}$

(1) $f_{1} (X, Y) = T r (P X Y^{*})$ ；

(2) $f_{2} (X, Y) = T r (P Y^{*} X)$ ；

(3) $f_{3} (X, Y) = T r (P X) T r (P Y^{*})$ ；

(4) $f_{4} (X, Y) = T r (\sqrt{P} X \sqrt{P} Y^{*})$ ；

(5) $f_{5} (X, Y) = T r (P X Y^{*} + \sqrt{P} X \sqrt{P} Y^{*})$ ；

(6) $f_{6} (X, Y) = T r (P Y^{*} X + \sqrt{P} X \sqrt{P} Y^{*})$ 。

引理3 [2] 设f是向量空间V上一个半内积。则

(1) ${| f (x, y) |}^{2} \leq f (x, x) f (y, y), \forall x, y \in V$ ；

(2) 由f诱导的V上的一元实函数 $\sqrt{f (x, x)}, \forall x \in V$ 是V上的一个半范数。

引理4 设 $P \in M_{n}$ 是密度矩阵， $X, Y, Z \in M_{n}$ ， $λ, μ \in C$ ， $U \in M_{n}$ 是酉矩阵，则

(1) $C o v_{P} (X, Y) = T r (P X Y^{*}) - T r (P X) \bar{T r (P Y)}$ ；

(2) $\bar{C o v_{P} (X, Y)} = C o v_{P} (Y, X)$ ；

(3) $C o v_{P} (λ X + μ Y, Z) = λ C o v_{P} (X, Z) + μ C o v_{P} (Y, Z)$ ；

(4) $V_{P} (X) \geq 0$ ；

(5) $\bar{C o r r_{P} (X, Y)} = C o r r_{P} (Y, X)$ ；

(6) $C o r r_{P} (λ X + μ Y, Z) = λ C o r r_{P} (X, Z) + μ C o r r_{P} (Y, Z)$ ；

(7) (i) $C o v_{P} (X, Y) = C o v_{U^{*} P U} (U^{*} X U, U^{*} Y U)$ ；

(ii) $C o r r_{P} (X, Y) = C o r r_{U^{*} P U} (U^{*} X U, U^{*} Y U)$ ；

(8) $C o v_{P} (\cdot, \cdot)$ 是矩阵空间 $M_{n}$ 上的一个半内积；

(9) $\sqrt{V_{P} (\cdot)}$ 是矩阵空间 $M_{n}$ 上的一个半范数；

(10) $V_{U^{*} P U} (U^{*} X U) = V_{P} (X)$ ， $I_{U^{*} P U} (U^{*} X U) = I_{P} (X)$ 。

证明由定义2且通过直接计算可知(2)，(3)，(5)，(6)，(7)成立，下证(1)，(4)，(8)，(9)，(10)。

(1) $\begin{matrix} C o v_{P} (X, Y) = T r (P (X Y^{*} - \bar{E_{P} (Y)} X - E_{P} (X) Y^{*} + E_{P} (X) \bar{E_{P} (Y)} I_{n})) \\ = T r (P X Y^{*}) - \bar{E_{P} (Y)} T r (P X) - E_{P} (X) T r (P Y^{*}) + E_{P} (X) \bar{E_{P} (Y)} T r (P) \\ = T r (P X Y^{*}) - \bar{E_{P} (Y)} T r (P X) - E_{P} (X) \bar{T r (Y P)} + E_{P} (X) \bar{E_{P} (Y)} \\ = T r (P X Y^{*}) - E_{P} (X) \bar{E_{P} (Y)} \\ = T r (P X Y^{*}) - T r (P X) \bar{T r (P Y)} \end{matrix}$

(4) 由 $V_{P} (\cdot)$ 的定义及(1)知， $V_{P} (X) = T r (P X X^{*}) - {| T r (P X) |}^{2}$ 。再由柯西不等式知， ${| T r (P X) |}^{2} = {| T r ((\sqrt{P} X) \sqrt{P}) |}^{2} \leq T r ((\sqrt{P} X) {(\sqrt{P} X)}^{*}) T r (\sqrt{P} \sqrt{P}) = T r (\sqrt{P} X X^{*} \sqrt{P}) T r (P) = T r (P X X^{*})$ ，所以 $V_{P} (X) \geq 0$ 。

(8) 由(2)，(3)，(4)可知，(8)成立。

(9) 由(8)及引理3可知，(9)成立。

(10) 由(7)可知，(10)成立。

引理5 设 $P \in M_{n}$ 是密度矩阵， $A, B \in H_{n}$ 。则 $I m C o v_{P} (A, B) = \frac{1}{2 i} T r (P [A, B])$ 。

证明由引理4 (1)可得

$2 i I m C o v_{P} (A, B) = C o v_{P} (A, B) - \bar{C o v_{P} (A, B)} = T r (P (A B - B A)) = T r (P [A, B])$ ，所以 $I m C o v_{P} (A, B) = \frac{1}{2 i} T r (P [A, B])$ 。

3. 主要结论

讨论在实线性空间H_n上数字特征的数值计算。由引理4 (7)，(10)可知，下面讨论的数字特征具有酉相似不变性，再由于任何一个Hermite矩阵都酉相似于一个对角矩阵，因此将密度矩阵取为非负对角矩阵。下面结合矩阵Lie积的定义，利用迹的循环性(即 $T r (X Y) = T r (Y X)$ ，其中X是 $m \times n$ 矩阵，Y是 $n \times m$ 矩阵)，密度矩阵P的性质(即 $T r (P) = 1$ )，矩阵数字特征的性质(引理4)，对由Hermite矩阵组成的实线性空间H_n上的一些数字特征进行数值计算。

定理1 设 $P = d i a g (λ_{1}, \dots, λ_{n}) \in M_{n}$ 是密度矩阵， $A = (a_{i j}), B = (b_{i j}) \in H_{n}$ 。则

(1) $E_{P} (A) = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} a_{i i}$ ，且 $\min {a_{i i}} \leq E_{P} (A) \leq \max {a_{i i}}$ ；

(2) $V_{P} (A) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{i} {| a_{i j} |}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} a_{i i})}^{2}$ ；

(3) $C o v_{P} (A, B) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{i} a_{i j} \bar{b_{i j}} - (\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} a_{i i}) (\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} b_{i i})$ ；

(4) $T r (P [A, B]) = 2 i \sum_{1 \leq k < j \leq n}^{n} (λ_{k} - λ_{j}) I m (a_{k j} \bar{b_{k j}})$ ；

(5) $I_{P} (A) = \sum_{1 \leq k < j \leq n}^{n} (λ_{i} + λ_{j} - 2 \sqrt{λ_{i} λ_{j}}) {| a_{i j} |}^{2}$ ；

(6) $C o r r_{P} (A, B) = \sum_{1 \leq k < j \leq n}^{n} ((λ_{k} + λ_{j} - 2 \sqrt{λ_{k} λ_{j}}) R e (a_{k j} \bar{b_{k j}}) + i (λ_{k} - λ_{j}) I m (a_{k j} \bar{b_{k j}}))$ 。

证明 (1) 由定义易知， $E_{P} (A) = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} a_{i i}$ 。由引理1可知 $E_{P} (A)$ 是实数，又由于

$T r P = 1$ ，所以 $\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} = 1$ ，故 $E_{P} (A) = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} a_{i i}$ 是 $a_{i i}$ 的一个凸组合 $i = 1, 2, \dots, n$ ，因此

$\min {a_{i i}} \leq E_{P} (A) \leq \max {a_{i i}}$ 。

(2) $V_{P} (A) = T r (P A^{2}) - {(T r (P A))}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{i} {| a_{i j} |}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} a_{i i})}^{2}$ 。

(3) 由于 $T r (P A B) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{i} a_{i j} \bar{b_{i j}}$ ，则 $C o v_{P} (A, B) = T r (P A B) - T r (P A) T r (P B) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{i} a_{i j} \bar{b_{i j}} - (\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} a_{i i}) (\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} b_{i i})$ 。

(4) $\begin{matrix} T r (P [A, B]) = T r (P A B - P B A) \\ = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{k} a_{k j} \bar{b_{k j}} - \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{j} b_{j k} \bar{a_{j k}} \\ = \sum_{1 \leq k < j \leq n}^{n} (λ_{k} - λ_{j}) (a_{k j} \bar{b_{k j}} - b_{k j} \bar{a_{k j}}) \\ = \sum_{1 \leq k < j \leq n}^{n} ((λ_{k} - λ_{j}) (R e (a_{k j} \bar{b_{k j}}) + i I m (a_{k j} \bar{b_{k j}}) - R e (\bar{a_{k j}} b_{k j}) - i I m (\bar{a_{k j}} b_{k j}))) \\ = 2 i \sum_{1 \leq k < j \leq n}^{n} (λ_{k} - λ_{j}) I m (a_{k j} \bar{b_{k j}}) . \end{matrix}$

(5) $\begin{matrix} I_{P} (A) = T r (P A^{2} - \sqrt{P} A \sqrt{P} A) \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{i} {| a_{i j} |}^{2} - \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \sqrt{λ_{i} λ_{j}} {| a_{i j} |}^{2} \\ = \sum_{1 \leq k < j \leq n}^{n} (λ_{i} + λ_{j} - 2 \sqrt{λ_{i} λ_{j}}) {| a_{i j} |}^{2} . \end{matrix}$

(6) $\begin{matrix} C o r r_{P} (A, B) = T r (P A B - \sqrt{P} A \sqrt{P} B) \\ = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{k} a_{k j} \bar{b_{k j}} - \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \sqrt{λ_{k} λ_{j}} a_{k j} \bar{b_{k j}} \\ = \sum_{k \neq j}^{n} (λ_{k} - \sqrt{λ_{k} λ_{j}}) a_{k j} \bar{b_{k j}} = \sum_{1 \leq k < j \leq n}^{n} ((λ_{k} - \sqrt{λ_{k} λ_{j}}) a_{k j} \bar{b_{k j}} + (λ_{j} - \sqrt{λ_{k} λ_{j}}) a_{j k} \bar{b_{k j}}) \\ = \sum_{1 \leq k < j \leq n}^{n} ((λ_{k} - \sqrt{λ_{k} λ_{j}}) (R e (a_{k j} \bar{b_{k j}}) + i I m (a_{k j} \bar{b_{k j}})) + (λ_{j} - \sqrt{λ_{k} λ_{j}}) (R e (a_{k j} \bar{b_{k j}}) + i I m (\bar{a_{k j}} b_{k j}))) \\ = \sum_{1 \leq k < j \leq n}^{n} ((λ_{k} + λ_{j} - 2 \sqrt{λ_{k} λ_{j}}) R e (a_{k j} \bar{b_{k j}}) + i (λ_{k} - λ_{j}) I m (a_{k j} \bar{b_{k j}})) \end{matrix}$

推论1 设 $P = d i a g (λ_{1}, λ_{2}) \in M_{2}$ 是密度矩阵， $A = (a_{i j}), B = (b_{i j}) \in H_{2}$ ， $X = (x_{i j}) \in M_{2}$ 。则

(1) ${| T r (P [A, B]) |}^{2} = 4 {(λ_{1} - λ_{2})}^{2} {| I m (a_{12} \bar{b_{12}}) |}^{2}$ ；

(2) $I_{P} (A) = (λ_{1} + λ_{2} - 2 \sqrt{λ_{1} λ_{2}}) {| a_{12} |}^{2} = (1 - 2 \sqrt{λ_{1} λ_{2}}) {| a_{12} |}^{2}$ ；

(3) $C o r r_{P} (A, B) = (λ_{1} + λ_{2} - 2 \sqrt{λ_{1} λ_{2}}) R e (a_{12} \bar{b_{12}}) + i (λ_{1} - λ_{2}) I m (a_{12} \bar{b_{12}})$ ；

(4) $I_{P} (X) = T r (P X X^{*} - \sqrt{P} X \sqrt{P} X^{*}) = \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{2} λ_{i} {| x_{i j} |}^{2} - \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{2} \sqrt{λ_{i} λ_{j}} {| x_{i j} |}^{2}$ 。

定理1对H_n上的一些数字特征进行了计算，并且给出了具体的计算结果。由于M_n中的任何一个矩阵都可以写成一个Hermite矩阵与一个反Hermite矩阵的和，所以研究H_n上的数字特征对M_n上的数字特征的研究有着很大的价值，故定理1中对H_n上数字特征的计算结果将有助于对M_n上数字特征的研究。

下面给出一个计算H₂上数字特征的例子。

例1 设 $P = (\begin{matrix} \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} \end{matrix})$ ， $A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ ， $B = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix})$ 。则

(1) 由 $E_{P} (A) = \sum_{i = 1}^{2} λ_{i} a_{i i}$ 知， $E_{P} (A) = 0$ ， $E_{P} (B) = 0$ ；

(2) 由 $T r (P A B) = \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{2} λ_{i} a_{i j} \bar{b_{i j}}$ 知， $C o v_{P} (A, B) = i \frac{1}{3} - i \frac{2}{3} = - i \frac{1}{3}$ ；

(3) 由 $V_{P} (A) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{i} {| a_{i j} |}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} a_{i i})}^{2}$ 知， $V_{P} (A) = 1$ ， $V_{P} (B) = 1$ ；

(4) 由 $C o r r_{P} (A, B) = (λ_{1} + λ_{2} - 2 \sqrt{λ_{1} λ_{2}}) R e (a_{12} \bar{b_{12}}) + i (λ_{1} - λ_{2}) I m (a_{12} \bar{b_{12}})$ 知， $C o r r_{P} (A, B) = i (\frac{1}{3} - \frac{2}{3}) I m (i) = - i \frac{1}{3}$ 。由 $I_{P} (A) = (λ_{1} + λ_{2} - 2 \sqrt{λ_{1} λ_{2}}) {| a_{12} |}^{2}$ 知， $I_{P} (A) = 1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3} = I_{P} (B)$ ，由 ${| T r (P [A, B]) |}^{2} = 4 {(λ_{1} - λ_{2})}^{2} {| I m (a_{12} \bar{b_{12}}) |}^{2}$ 知， ${| T r (P [A, B]) |}^{2} = \frac{4}{9}$ ，故 $V_{P} (A) V_{P} (B) = 1 \geq \frac{1}{9} = \frac{{| T r (P [A, B]) |}^{2}}{4}$ ，即 $V_{P} (A) V_{P} (B) \geq \frac{{| T r (P [A, B]) |}^{2}}{4}$ ，这便是量子信息中Heisenberger不确定性关系的常见形式。

由例1可以看出矩阵数字特征与量子信息中的不确定性关系密切相关。

例2 设 $P = (\begin{matrix} \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} \end{matrix})$ ， $X = (\begin{matrix} 1 + i & 2 + 4 i \\ 0 & 2 + 3 i \end{matrix})$ 。则

$T r (P X X^{*}) = T r ((\begin{matrix} \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 + i & 2 + 4 i \\ 0 & 2 + 3 i \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 - i & 0 \\ 2 - 4 i & 2 - 3 i \end{matrix})) = 16$

$T r (\sqrt{P} X \sqrt{P} X^{*}) = T r ((\begin{matrix} \sqrt{\frac{1}{3}} & 0 \\ 0 & \sqrt{\frac{2}{3}} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 + i & 2 + 4 i \\ 0 & 2 + 3 i \end{matrix}) (\begin{matrix} \sqrt{\frac{1}{3}} & 0 \\ 0 & \sqrt{\frac{2}{3}} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 - i & 0 \\ 2 - 4 i & 2 - 3 i \end{matrix})) = \frac{28 + 20 \sqrt{2}}{3}$

$C o r r_{P} (X, X) = I_{P} (X) = T r (P X X^{*} - \sqrt{P} X \sqrt{P} X^{*}) = 16 - \frac{28 + 20 \sqrt{2}}{3} = \frac{20 (1 - \sqrt{2})}{3} < 0$ 。

由例2可以看到存在密度矩阵P，使得矩阵空间 $M_{2}$ 上的WY相关系数 $C o r r_{P} (\cdot, \cdot)$ 不满足半内积的非负性，所以存在密度矩阵P使得 $C o r r_{P} (\cdot, \cdot)$ 不是矩阵空间 $M_{2}$ 上的半内积。对任意的 $X, Y \in M_{n}$ 以及密度矩阵P，现在对WY相关系数 $C o r r_{P} (X, Y) \equiv T r (P X Y^{*} - \sqrt{P} X \sqrt{P} Y^{*})$ 进行改造，将其变为 $C o r r_{P}^{G} (X, Y) \equiv \frac{1}{2} T r (P X Y^{*} + P Y^{*} X) - T r (\sqrt{P} X \sqrt{P} Y^{*})$ 。

下面证明 $C o r r_{P}^{G} (\cdot, \cdot)$ 是矩阵空间 $M_{n}$ 上的半内积并利用矩阵迹的性质(即 $T r (X Y) = T r (Y X)$ ，其中X是 $m \times n$ 矩阵，Y是 $n \times m$ 矩阵)、矩阵范数的性质(即 ${‖ A ‖}_{F} \geq 0$ ， $\forall A \in M_{n}$ 且 ${‖ A ‖}_{F} = 0$ 当且仅当 $A = 0$ )、以及矩阵数字特征的性质(引理4)，得出 $C o r r_{P}^{G} (\cdot, \cdot)$ 以及 $C o r r_{P} (\cdot, \cdot)$ 、协方差、斜信息的一些性质并给出 $C o r r_{P}^{G} (\cdot, \cdot)$ 的一个应用。

定理2设 $P \in M_{n}$ 是密度矩阵， $A, B \in H_{n}$ ， $X, Y \in M_{n}$ 。则

(1) $C o r r_{P}^{G} (\cdot, \cdot)$ 是矩阵空间 $M_{n}$ 上的一个半内积；

(2) 若X是正规矩阵，则 $C o r r_{P}^{G} (X, X) = C o r r_{P} (X, X) = I_{P} (X) \geq 0$ ；

(3) 如果P是一个纯态，则 $C o r r_{P} (X, Y) = C o v_{P} (X, Y)$ ；

(4) (i) $C o r r_{P}^{G} (A, B) = R e C o r r_{P} (A, B) = \frac{1}{4} (I_{P} (A + B) - I_{P} (A - B))$ ；

(ii) $I m C o r r_{P} (A, B) = \frac{1}{2 i} T r (P [A, B]) = I m C o v_{P} (A, B)$ ；

(iii) $2 I_{P} (A) = {‖ [\sqrt{P}, A] ‖}_{F}^{2} \geq 0$ ，即当 $A \in H_{n}$ 时， $I_{P} (A) \geq 0$ ；

(iv) $I_{P} (A) = 0$ 当且仅当 $A \in C (P) = {X \in H_{n} | P X = X P}$ ， $d i m {A \in H_{n} | I_{P} (A) = 0} \geq n$ .

证明 (1) $C o r r_{P}^{G} (\cdot, \cdot)$ 是矩阵空间 $M_{n}$ 上的一个半内积；根据前面引理2、引理3和引理4的论述，只需证明非负性即可。由柯西不等式及算术-几何不等式知，

$\begin{matrix} T r (\sqrt{P} X \sqrt{P} X^{*}) = | T r (\sqrt{P} X {(X \sqrt{P})}^{*}) | \leq \sqrt{T r (\sqrt{P} X X^{*} \sqrt{P})} \sqrt{T r (X \sqrt{P} \sqrt{P} X^{*})} \\ = \sqrt{T r (P X X^{*})} \sqrt{T r (P X^{*} X)} \leq \frac{1}{2} (T r (P X X^{*}) + T r (P X^{*} X)) \end{matrix}$ 。

再由 $C o r r_{P}^{G} (I_{n}, I_{n}) = \frac{1}{2} T r (P + P) - T r (P) = 0$ 知， $C o r r_{P}^{G} (\cdot, \cdot)$ 是矩阵空间 $M_{n}$ 上的一个半内积。

(2) 若X是正规矩阵，则由(1)可知 $C o r r_{P}^{G} (X, X) = C o r r_{P} (X, X) = I_{P} (X) \geq 0$ 。

(3) 如果P是一个纯态，由 $r (P) = 1$ 及 $T r (P) = 1$ 知，P只有唯一的非零特征值1，再由P是半正定矩阵知，存在单位向量 $α \in C^{n}$ ，使得 $P = α α^{*}$ ，于是P是一个正交投影矩阵，有 $\sqrt{P} = P = P^{2}$ ，则

$\begin{matrix} T r (\sqrt{P} X \sqrt{P} Y^{*}) = T r (α α^{*} X α α^{*} Y^{*}) = T r ((α^{*} X α) (α^{*} Y^{*} α)) = T r ((α^{*} X α) {(α^{*} Y α)}^{*}) \\ = (α^{*} X α) \bar{(α^{*} Y α)} = T r (α α^{*} X) \bar{T r (α α^{*} Y)} = T r (P X) \bar{T r (P Y)} \end{matrix}$ ，

所以 $C o r r_{P} (X, Y) = C o v_{P} (X, Y)$ 。

(4) (i) 由 $T r (P (A B + B A)) = \frac{1}{2} T r (P ({(A + B)}^{2} - {(A - B)}^{2}))$ ，

$\begin{matrix} C o r r_{P} (A, B) + \bar{C o r r_{P} (A, B)} = T r (P A B) + T r (P B A) - T r (\sqrt{P} A \sqrt{P} B) - T r (\sqrt{P} B \sqrt{P} A) \\ = T r (P A B) + T r (P B A) - 2 T r (\sqrt{P} A \sqrt{P} B) \end{matrix}$

以及

$\begin{matrix} T r (\sqrt{P} A \sqrt{P} B) = T r (\sqrt{P} \frac{(A + B) + (A - B)}{2} \sqrt{P} \frac{(A + B) - (A - B)}{2}) \\ = \frac{1}{4} T r (\sqrt{P} (A + B) \sqrt{P} (A + B) - \sqrt{P} (A + B) \sqrt{P} (A - B) \\ + \sqrt{P} (A - B) \sqrt{P} (A + B) - \sqrt{P} (A - B) \sqrt{P} (A - B)) \\ = \frac{1}{4} T r (\sqrt{P} (A + B) \sqrt{P} (A + B) - \sqrt{P} (A - B) \sqrt{P} (A - B)) \end{matrix}$

可知，

$\begin{matrix} R e C o r r_{P} (A, B) = \frac{1}{2} (C o r r_{P} (A, B) + \bar{C o r r_{P} (A, B)}) = \frac{1}{2} T r (P (A B + B A)) - T r (\sqrt{P} A \sqrt{P} B) \\ = \frac{1}{4} T r (P {(A + B)}^{2} - \sqrt{P} (A + B) \sqrt{P} (A + B)) - \frac{1}{4} T r (P {(A - B)}^{2} - \sqrt{P} (A - B) \sqrt{P} (A - B)) \\ = \frac{1}{4} (I_{P} (A + B) - I_{P} (A - B)) \end{matrix}$

(ii) 由 $\begin{array}{l} C o r r_{P} (A, B) - \bar{C o r r_{P} (A, B)} \\ = T r (P A B - \sqrt{P} A \sqrt{P} B) - T r (P B A - \sqrt{P} B \sqrt{P} A) \\ = T r (P A B) - T r (P B A) + T r (\sqrt{P} B \sqrt{P} A) - T r (\sqrt{P} A \sqrt{P} B) \\ = T r (P A B) - T r (P B A) \end{array}$

及引理5可知

$I m C o r r_{p} (A, B) = \frac{1}{2 i} (C o r r_{P} (A, B) - \bar{C o r r_{P} (A, B)}) = \frac{1}{2 i} T r (P A B - P B A) = \frac{1}{2 i} T r (P [A, B]) = I m C o v_{P} (A, B) .$

(iii) $2 I_{P} (A) = {‖ [\sqrt{P}, A] ‖}_{F}^{2}$ ，因为 $\begin{matrix} I_{P} (A) = T r (P A^{2} - \sqrt{P} A \sqrt{P} A) = T r (\sqrt{P} A A \sqrt{P} - \sqrt{P} A \sqrt{P} A) \\ = - T r (\sqrt{P} A (\sqrt{P} A - A \sqrt{P})) = - \frac{1}{2} T r ({[\sqrt{P} A - A \sqrt{P}]}^{2}) = \frac{1}{2} {‖ [\sqrt{P}, A] ‖}_{F}^{2} \end{matrix}$ ，所以 $I_{P} (A) \geq 0$ 。

(iv) 由 $2 I_{P} (A) = {‖ [\sqrt{P}, A] ‖}_{F}^{2}$ 知， $I_{P} (A) = 0$ 当且仅当 ${‖ [\sqrt{P}, A] ‖}_{F}^{2} = 0$ ，当且仅当 $[\sqrt{P}, A] = 0$ ，进而有 $P A = \sqrt{P} (\sqrt{P} A) = \sqrt{P} (A \sqrt{P}) = (\sqrt{P} A) \sqrt{P} = (A \sqrt{P}) \sqrt{P} = A P$ ；

如果 $P A = A P$ ，于是由 $\sqrt{P}$ 是P的多项式可知， $\sqrt{P} A = A \sqrt{P}$ ，故 $I_{P} (A) = 0$ 。由于 $A \in C (P)$ ，P是半正定矩阵，则存在酉矩阵U，使得 $U^{*} P U = (\begin{matrix} λ_{1} I_{k_{1}} \\ ⋱ \\ λ_{m} I_{k_{m}} \end{matrix})$ ，其中 $λ_{i} (i = 1, \dots, m)$ 非负互不相同且 $\sum_{i = 1}^{m} k_{i} = n$ ，于是 $C (U^{*} P U) = {(\begin{matrix} X_{k_{1}} \\ ⋱ \\ X_{k_{m}} \end{matrix}) | X_{k_{i}} \in H_{k_{i}}, i = 1, \dots, m}$ ，再由 $H_{n}$ 作为实线性空间是 $n^{2}$ 维的知， $d i m C (U^{*} P U) = \sum_{i = 1}^{m} k_{i}^{2}$ ，故由 $I_{P} (\cdot)$ 具有酉相似不变性及酉相似保持可交换性知， $d i m C (P) = d i m C (U^{*} P U) \geq n$ 。

下面给出改造后的WY相关系数 $C o r r_{P}^{G} (\cdot, \cdot)$ 的一个应用。

推论2 设 $P \in M_{n}$ 是密度矩阵， $A, B \in H_{n}$ ，则

$\frac{1}{16} {(I_{P} (A + B) - I_{P} (A - B))}^{2} \leq I_{P} (A) I_{P} (B) \leq \frac{1}{16} {(I_{P} (A + B) + I_{P} (A - B))}^{2}$

证明因为 $A, B \in H_{n}$ ，所以A和B是正规矩阵，故由定理2 (2)知， $C o r r_{P}^{G} (A, A) = I_{P} (A)$ 且 $C o r r_{P}^{G} (B, B) = I_{P} (B)$ ，由定理2 (4)的(i)和(iii)知， $C o r r_{P}^{G} (A, B) = \frac{1}{4} (I_{P} (A + B) - I_{P} (A - B))$ 且 $I_{P} (A + B)$ 和 $I_{P} (A - B)$ 是实数，又由于 $C o r r_{P}^{G} (\cdot, \cdot)$ 是矩阵空间 $M_{n}$ 上的一个半内积，则由引理3 (1)知，

$C o r r_{P}^{G} (A, B) \leq | C o r r_{P}^{G} (A, B) | \leq \sqrt{C o r r_{P}^{G} (A, A)} \sqrt{C o r r_{P}^{G} (B, B)} = \sqrt{I_{P} (A)} \sqrt{I_{P} (B)}$ 。即

$\frac{1}{16} {(I_{P} (A + B) - I_{P} (A - B))}^{2} \leq I_{P} (A) I_{P} (B)$ 。

另一方面，由于 $\sqrt{I_{P} (\cdot)}$ 是由矩阵空间 $M_{n}$ 上的一个半内积 $C o r r_{P}^{G} (\cdot, \cdot)$ 诱导出来的半范数，满足平行四边形法则，于是 $2 \sqrt{I_{P} (A) I_{P} (B)} \leq I_{P} (A) + I_{P} (B) = \frac{1}{2} (I_{P} (A + B) + I_{P} (A - B))$ ，即有 $I_{P} (A) I_{P} (B) \leq \frac{1}{16} {(I_{P} (A + B) + I_{P} (A - B))}^{2}$ ，所以综上，有 $\frac{1}{16} {(I_{P} (A + B) - I_{P} (A - B))}^{2} \leq I_{P} (A) I_{P} (B) \leq \frac{1}{16} {(I_{P} (A + B) + I_{P} (A - B))}^{2}$

注意：不一定有 $I_{P} (A) I_{P} (B) \geq \frac{{| T r (P [A, B]) |}^{2}}{4}$ 成立。

例3 设 $P = (\begin{matrix} \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & \frac{4}{5} \end{matrix})$ ， $A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ ， $B = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix})$ 。 $I_{P} (A) I_{P} (B) \geq \frac{{| T r (P [A, B]) |}^{2}}{4}$ 不成立。

由 $I_{P} (A) = (1 - 2 \sqrt{λ_{1} λ_{2}}) {| a_{12} |}^{2}$ 知， $I_{P} (A) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} = I_{P} (B)$ 。由 ${| T r (P [A, B]) |}^{2} = 4 {(λ_{1} - λ_{2})}^{2} {| I m (a_{12} \bar{b_{12}}) |}^{2}$ 知， $\frac{1}{4} {| T r (P [A, B]) |}^{2} = \frac{9}{25}$ ，则 $I_{P} (A) I_{P} (B) - \frac{{| T r (P [A, B]) |}^{2}}{4} = \frac{1}{25} - \frac{9}{25} = \frac{- 8}{25} < 0$ ，即有 $I_{P} (A) I_{P} (B) < \frac{{| T r (P [A, B]) |}^{2}}{4}$ 。

例4 对于给定的密度矩阵P，不一定有 $C o r r_{P}^{G} (X, Y) = C o r r_{P} (X, Y)$ ， $X, Y \in M_{n}$ 。

当P为纯态时，设 $P = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ ， $X = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ ， $Y = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix})$ ，可得 $X Y^{*} = (\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & - i \end{matrix})$ ， $Y^{*} X = (\begin{matrix} - i & 0 \\ 0 & i \end{matrix})$ ， $T r (P X Y^{*}) = i$ ， $T r (P Y^{*} X) = - i$ ，于是 $C o r r_{P}^{G} (X, Y) = \frac{1}{2} T r (P X Y^{*} + P Y^{*} X) - T r (\sqrt{P} X \sqrt{P} Y^{*}) = - T r (\sqrt{P} X \sqrt{P} Y^{*})$ ， $C o r r_{P} (X, Y) = T r (P X Y^{*}) - T r (\sqrt{P} X \sqrt{P} Y^{*}) = i - T r (\sqrt{P} X \sqrt{P} Y^{*})$ ，所以 $C o r r_{P}^{G} (X, Y) \neq C o r r_{P} (X, Y)$ 。

4. 总结

本文首先对Hermite矩阵组成的实线性空间H_n上的一些数字特征进行了数值计算，并且给出了一个具体的例子，通过例子体现了矩阵数字特征与量子信息中的不确定性关系密切相关。其次对原有的WY相关系数进行改造，使其成为矩阵空间M_n上的内积并且通过矩阵范数、矩阵迹以及矩阵数字特征的性质，得出了改造后的WY相关系数与原WY相关系数和斜信息之间的关系以及矩阵协方差，原WY相关系数和斜信息的一些性质，并且给出了改造后的WY相关系数的一个应用以及斜信息不一定满足Heisenberger不确定性关系的一个例子。所获得的结果充实并完善了矩阵数字特征的性质，为矩阵在量子信息中的研究和应用提供了理论资源。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(批准号：11471200)。

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