1. 引言
极小曲面的研究与发展有着其独特的魅力,例如Plateau的肥皂膜实验,引发了许多数学家对该问题不断地探索与发现。我们普遍认为极小曲面的研究开始于Lagrange和Euler寻找平面上某区域给定边界值的极小图并给出方程。随后极小曲面开始迅速发展,大致经历了三个黄金发展期,数学家们极大的丰富了极小曲面及其例子,到现在,我们甚至可以在计算机的帮助下找到更多新的嵌入极小曲面的例子,推动数学物理等方面的发展,同时我们也通过复分析、泛函分析、几何测度论等其他数学分支给极小曲面理论提供了新方法。
极小曲面是微分几何中的重要课题,其理论也成为微分几何中内容丰富的分支,推动着共形几何、可积系统等其他数学分支的发展;但是由于极小曲面的许多问题来源于自然界,所以它也有着结论虽易于见到和想象,却很难证明的迷人性质,吸引了许多学者进行深入研究。
1954年,Calabi [1] 提出以下两个猜想:
猜想1 包含于
的半空间中的完备极小曲面一定是平面。
猜想2
中的完备极小曲面是
中的无界子集。
1980年,F. Xavier和L. M. Jorge [2] 证明了
中两个平行曲面间的完全极小曲面的存在性,即在
中存在非平坦的完备极小曲面完全包含在两个平行的平面之间。1996年,N. Nadirashvili [3] 证明了存在极小浸入到
中单位球的具有负Gauss曲率的完备极小曲面。
从而说明Calabi的两个猜想对浸入极小曲面均是错误的,但是他们的证明只是表明存在相应的完备极小曲面,他们的证明过程并没有给出具体的构造此类完备极小曲面的方法。
1992年Francisco. Fortes. De. Brito [4] 巧妙解决了这个难题,他通过使用具有Hadamard间隙的特殊幂级数构造了
中位于两个平行平面间的完备极小曲面族,并给出了实例,因此得到如下定理。
定理1 [4] 若
是一个Hadamard缺项幂级数,其中,
,
,且满足下列条件:
(a)
收敛;
(b)
;
(c)
发散;
则对于单位圆盘
内的任意发散曲线
,有
,
令Weierstrass表示 [5] 中的
且
,即可得到
中两个平行平面间的完备极小曲面族。
但是可以发现定理中条件(b)要求较高,这意味着
的收敛于零的速度远远慢于
趋于
的速度,因此限制了
与
的取值。2022年,张建肖 [6] 减弱此条件,限定
后项与前项的比值,并受孙道椿 [7] 证明方法的启发,扩大了条件(b)的范围,得到定理2。
定理2 [6] 若
是一个Hadamard缺项幂级数,其中,
,
,且满足下列条件:
(a)
,
;
(b) 对于充分大的
,满足
且
,其中
且
;
(c)
发散;
则对于单位圆盘
内的任意发散曲线
,有
。
2023年,董丽丽 [8] 在此基础上进一步做出了改进,得到定理3。
定理3 [8] 若
是一个Hadamard缺项幂级数,其中,
,
,
,假设
为
,且
满足下列条件:
(a)
,
;
(b) 对于充分大的
,满足
,
;
(c)
发散;
则对于单位圆盘
内的任意发散曲线
,有
。
继续修正并精确范围得到定理4。
定理4 若
是一个Hadamard缺项幂级数,其中,
,
,
,且
满足下列条件:
(a)
,
;
(b) 对于充分大的
,满足
,
;
(c)
发散;
则对于单位圆盘
内的任意发散曲线
,有
。
2. 相关定义
设
为复平面
中的单位圆盘,本文我们讨论
参数化下的完备极小曲面。
定义1 [4] 给定
是一个收敛半径为1的幂级数,其中,
,若
,
,则称
为Hadamard缺项幂级数。
定义2 [9]
中平均曲率
的曲面称为极小曲面。
定义3 [9] 设Ω是
中的开子集。称连续曲线
是发散的,如果对Ω的任意紧子集K,存在
,使得对任意的
,
。
定义4 [9] 设
是一个浸入,且
具有诱导度量,即
,这里
是浸入I的切映射。我们称
是完备的,如果任意光滑的发散曲线
有无限长度。
定义5 [9] 设
是单连通的极小曲面,由黎曼映射定理,可以设Ω共形于
。如果Ω共形于
,则称Ε为双曲的。
3. 定理4证明
对任意
,令
(1)
每一个
是半径为
的圆环,当k充分大时,
互不相交。
由
(2)
对任意固定的
,令
,
,
,
则有
(3)
现假设k充分大,
当
时,由(1),有
。
因为
,所以,存在
,
,有
(4)
另一方面,由定理4的条件(b),存在
,
,有
(5)
当
时,
,所以当
时,
(6)
由定理4条件(a)中的
,得到
(7)
再由Cauchy-Schwarz不等式 [10] ,有
(8)
下面对
进行放缩,
当只提出第
项时,有
(9)
因为当
时,函数
是单调递减函数,故当
时,
则有
故
(10)
又
(11)
故
(12)
所以
(13)
当
时,
(14)
当提出第
项和第
项时,有
(15)
同理,有
(16)
因此
(17)
因为
,所以对比(13)和(17)式可知(17)式的结果更为精确,再由定理4条件(b)中
,得到
(18)
由(3)、(4)、(5)、(18)可得,存在
,
使得
取
内的发散曲线
,对任意的
,
,
必定穿过
,则
虽然定理2与定理3都对条件(b)进行了减弱,但是张建肖的证明方法在对
进行放缩时速度太快,导致结论误差较大,董丽丽在证明过程中改善了证明方法,但是在对
的放缩过程中出现了偏差,结果不够精确。因此定理4在董丽丽证明方法的基础上对
放缩进行修正并进一步精确了范围。
4. 举例说明
设
,
。
当
,
时,此时
,
。此时该例子满足文中
条件,但是不满足定理3中的条件(b)。
当
,
时,此时
,
。易得此时
满足定理4中条件(a)~(c),但不满足文中
条件及定理3中的条件(b)。
5. 推论
设
是单位圆盘
中解析函数构成的集合。
推论1 存在
,使得
是
中一个完备极小曲面M的Gauss映射,其中M位于
中两平行平面之间。
证明 设M是
中的一个完备极小曲面,取Weierstrass表示中的
,
,其中h满足定理4条件,则
。由于
,由定理4可得此度量是完备的,所以
是
中一个完备极小曲面M的Gauss映射。又由
,所以M位于
中两平行平面之间。
注:推论1的证明过程与Brito [4] 的推论相同。