1. 引言
本文所涉及的向量均指列向量,
,所涉及的概念可参见 [1] [2] 。
判断向量组的线性相关性,即确定向量组是线性相关还是线性无关,是线性代数课程的重点内容之一。如何判断一个向量组的线性相关性呢?关于这方面的讨论可参见 [3] [4] [5] 。本文将以下面的向量组为例介绍几种判别线性相关性的方法。
例1:判断向量组
,
,
,
的线性相关性。
记
。则
,
,
,
是矩阵A的列向量组。
下文将以例1中的向量组为例分别介绍如何用线性向量组、向量组的秩、初等变换、行列式、特征值、二次型判断向量组的线性相关性。
2. 利用线性方程组判断向量组的线性相关性
由线性无关的定义可知,向量组
线性无关当且仅当向量方程
只有零解,当且仅当齐次线性方程组
(1)
只有零解。于是,
的线性相关性可由(1)是否有非零解进行判断。
命题2 向量组
线性无关当且仅当(1)只有零解。
命题2给出了用线性方程组判断向量组线性相关性的方法。即,先用克莱姆法则判断对应的齐次线性方程组(1)是否有非零解,进而用命题2得到向量组是否线性相关。当(1)只有零解时,该向量组线性无关;当(1)有非零解时,该向量组线性相关。
例1的解法一:考虑齐次线性方程组
(2)
易知,方程组(2)的系数行列式不等于0,故由克莱姆法则知(2)只有零解。因此,由命题1知
线性无关。
3. 利用向量组的秩
向量组的秩是指它的极大无关组中向量的个数。由此可知,线性无关向量组的秩等于它的向量个数,而线性相关向量组的秩小于它的向量个数,所以有下一结论。
命题3 向量组
线性相关当且仅该向量组的秩小于n。
命题3给出了用向量组的秩判断其线性相关性的方法。即,先用该向量组的性质(比如,它与其它向量组的关系等)确定它的秩,进而用命题3得到向量组是否线性相关。当该向量组的秩等于个数时,该向量组线性无关;否则,该向量组线性相关。
例1的解法三:设
,
,
,
,而
,
则
.
由此可见,
可由
线性表示。显然,
也可由
线性表示。所以,
与
等价,进一步得知两个向量组有相同的秩。而
是线性无关的,即该向量组的秩为4,于是向量组
的秩也是4。因此,由命题3可得
线性无关。
4. 利用初等变换
对于向量组
,令
。因为
的秩等于矩阵B的秩,所以由命题3立得下一命题。
命题4 向量组
线性相关当且仅当
的秩小于n。
命题4给出了用初等变换判断向量组线性相关性的方法。即,先将该向量组按列(或行)排成一个矩阵,然后对矩阵进行初等变换将其化为行阶梯形矩阵。于是,由行阶梯形矩阵的非零行个数可以确定该矩阵的秩,进而确定出原向量组的秩。最后,再根据命题4判断向量组是否线性相关。当矩阵的秩等于向量组中向量的个数时,该向量组线性无关;否则,该向量组线性相关。
例1的解法四:对
作初等行变换,得
由此可见A的秩为4,进而由命题4知
线性无关。
5. 利用行列式
对于n维向量组
,令
。因为方阵B可逆(即B的秩等于n)当且仅当B的行列式不为零,所以由命题4进一步得到下一结论。
命题5 n维向量组
线性无关当且仅
,其中
。
当向量组中向量的个数等于维数时,命题5给出了用行列式判断向量组线性相关性的方法。即,先将该向量组按列(或行)排成一个行列式,然后计算出行列式的值。最后,再根据命题5判断向量组是否线性相关。当行列式的值为零时,该向量组线性相关;否则,该向量组线性无关。
例1的解法五:设
,则
所以,由命题5知
线性无关。
6. 利用矩阵的特征值
由于相似变换不改变矩阵的秩,故由命题4立得下一结论。
命题6 n维实向量组
线性无关当且仅矩阵
的特征值均不为零。
当向量组中向量的个数等于维数时,命题6给出了用特征值判断向量组线性相关性的方法。即,先将该向量组按列(或行)排成一个方阵,然后确定出方阵的所有特征值。最后,再根据命题6判断向量组是否线性相关。当方阵的所有特征值均不为零时,该向量组线性无关;否则,该向量组线性相关。
例1的解法六:因为A的特征多项式为
,所以A的全部特征值为1,1,1, 3。故由命题6得知
线性无关。
7. 利用二次型
对于n维向量组
,令
。如果B是对称矩阵,则B可逆(即B的秩等于n)当且仅当它的二次型
的惯性指数为n,其中
。故由命题4立得下一结论。
命题7 设
是n维向量组,且
是对称矩阵。则
线性无关当且仅二次型
的惯性指数为n。
命题7给出了用二次型判断向量组线性相关性的方法。如果向量组中向量的个数等于维数,且该向量组按列(或行)排成的方阵是对称矩阵,则对称矩阵对应于一个二次型。先将二次型用可逆线性变化化为标准形,从而确定该二次型的惯性指数。于是由命题7判断原向量组是否线性相关。当二次型的惯性指数等于向量组中向量的个数时,该向量组线性无关;否则,该向量组线性相关。
例1的解法七:显然,A的二次型为
.
先对
作非退化线性变换
可得
。再作非退化线性变换
可得
。由于该二次型的惯性指数为4,故而由命题7得知
线性无关。
基金项目
江西省教育厅基金项目GJJ2200841。