具有L2-约束的非线性Choquard方程的多解性

Multiple Solutions for Nonlinear Choquard Equation with L2-Constraint

摘要: 本文考虑如下非线性Choquard方程其中a,b > 0 ，α∈(0,3)，是Riesz位势。g(ξ)∈C(ℝ, ℝ)满足Berestycki-Lions条件且其为奇或偶的。μ∈ℝ是Lagrange乘子。Wu证明了(1)关于(u,κ)等同于如下系统：在Palais-Smale-Pohozaev条件下，发展新的形变理论，使之在L²-约束问题中能应用极大极小理论并且证明该系统存在无穷多解，因此可证非线性Choquard方程也存在无穷多解。本文处理L²-约束问题，即∫_ℝ³|u|²dx=m。

Abstract: In this paper, we consider the following nonlinear Choquard equation wherea,b > 0 ，α∈(0,3)，is a Riesz potential. g(ξ)∈C(ℝ, ℝ) satisfies Berestycki-Lions condition and it is odd or even. μ∈ℝ is a Lagrange multiplier. Wu proved that (1) is equivalent to the following system with respect to (u,κ): We develop a new deformation argument under Palais-Smale-Pohozaev condition. It enables us to apply minimax argument for L²-constraint problem and we can prove the system exists infinitely many solutions, so we also prove Nonlinear Choquard Equation exists infinitely many solutions. In this paper, we deal with L²-constraint problem, i.e. ∫_ℝ³|u|²dx=m.

1. 引言

本文将证明如下非线性Choquard方程存在无穷多解 $u\in H_r^1\left({ℝ}^3\right)$ ，

$-\left(a+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta u+\mu u=\left(I_{\alpha }\ast G\left(u\right)\right)g\left(u\right),x\in {ℝ}^3,$ (1)

其中 $a,b>0$ ， $\alpha \in \left(0,3\right)$ ，且 $I_{\alpha }:{ℝ}^3\backslash \left\{0\right\}\to ℝ$ 是Riesz位势，定义如下

$I_{\alpha }\left(x\right)\text{:=}\frac{\Gamma \left(\frac{3-\alpha }{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{\alpha }{2}\right){\pi }^{\frac{3}{2}}{2}^{\alpha }}\frac{1}{{\left|x\right|}^{3-\alpha }},x\in {ℝ}^3\backslash \left\{0\right\}.$

$g\left(\xi \right)\in C\left(ℝ,ℝ\right)$ 满足Berestycki-Lions条件且其为奇或偶的， $g:=G^{\prime }$ 。 $\mu \in ℝ$ 是Lagrange乘子。 $H_r^1\left({ℝ}^3\right)$ 表示径向对称Sobolev函数空间。

考虑如下非局部源方程存在无穷多解 $u\in H_r^1\left({ℝ}^N\right)$ ，

$-\Delta u+\mu u=\left(I_{\alpha }\ast F\left(u\right)\right)f\left(u\right),x\in {ℝ}^N.$ (2)

其中 $\alpha \in \left(0,N\right)$ ，且 $I_{\alpha }:{ℝ}^N\backslash \left\{0\right\}\to ℝ$ 是Riesz位势，定义如下

$I_{\alpha }\left(x\right)\text{:=}\frac{\Gamma \left(\frac{N-\alpha }{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{\alpha }{2}\right){\pi }^{\frac{N}{2}}{2}^{\alpha }}\frac{1}{{\left|x\right|}^{N-\alpha }},x\in {ℝ}^N\backslash \left\{0\right\},$

$f\left(\xi \right)\in C\left(ℝ,ℝ\right)$ 满足Berestycki-Lions条件且其为奇或偶的， $f:=F^{\prime }$ 。 $\mu \in ℝ$ 是Lagrange乘子。 $H_r^1\left({ℝ}^3\right)$ 表示径向对称Sobolev函数空间。其中具有非局部源的半线性方程(1)和(2)有一些物理动机，通常称之为非线Choquard方程。Choquard型方程有许多物理背景，例如Pekar用方程

$\{\begin{array}{l}-\Delta u+u=\left(I_{\alpha }\ast {\left|u\right|}^2\right)u,x\in {ℝ}^N\\ u\in H^1\left({ℝ}^N\right)\end{array}$ (3)

描述了极子化的量子理论 [1] ，Choquard用方程(3)描述了电子阱模型 [2] 。

考虑(1)中G是具有如下一般假设的Berestycki-Lions型函数

(G1) $G\in C^1\left(ℝ,ℝ\right)$ ；

(G2) 存在 $C>0$ 使得对任意 $s\in ℝ$

$\left|sg\left(s\right)\right|\le C\left({\left|s\right|}^{\frac{3+\alpha }{3}}+{\left|s\right|}^{3+\alpha }\right);$

(G3)

$\underset{s\to 0}{\lim }\frac{G\left(s\right)}{{\left|s\right|}^{\frac{3+\alpha }{3}}}=0,\underset{s\to +\infty }{\lim }\frac{G\left(s\right)}{{\left|s\right|}^{3+\alpha }}=0;$

(G4) $G\left(s\right)\ne 0$ ，即存在 $s_0\in ℝ$ ， $s_0\ne 0$ 使得 $G\left(s_0\right)\ne 0$ 。

(G5) G是奇或偶的。

当 $N=3$ ， $\alpha =2$ ， $F\left(s\right)=\frac{1}{2}{\left|s\right|}^2$ ，则方程(2)可表示为如下形式

$-\Delta u+\mu u=\left(\frac{1}{4\pi \left|x\right|}\ast {\left|u\right|}^2\right)u,x\in {ℝ}^3.$ (4)

若u是(4)的解，则波函数

$\psi \left(x,t\right)={\text{e}}^{i\mu t}u\left(x\right),\left(x,t\right)\in {ℝ}^3\times \left[0,+\infty \right)$

是时变Hartree方程

$i{\psi }_t=-\Delta \psi -\left(\frac{1}{4\pi \left|x\right|}\ast {\left|\psi \right|}^2\right)\psi ,x\in {ℝ}^3\times \left[0,+\infty \right)$ (5)

的孤立波。(5)规定u的质量 $m>0$ ，即 $\psi$ 满足下式

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\psi \left(x,t\right)\right|}^2\text{d}x}=m,\forall t\in \left[0,+\infty \right),$

频率 $\mu$ 是自由的，则该问题被称为约束问题。

约束问题在物理学中具有重要的相关性，体现在量子概率的归一化，由于质量有特定的意义，如非线性光学中的电源或Bose-Einstein凝聚中的原子总数。此外，对约束问题的研究可以了解其动力学性质，如(5)的解的轨道稳定性。在局部框架中，对约束问题的研究主要由Stuart [3] 和Cazenave和Lions [4] 等人做出了重要贡献。

Kirchhoff型方程逐渐引起学者们的广泛关注。该方程源于1883年德国物理学家Kirchhoff [5] 在研究弦振动时提出的一种弹性弦方程

$\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-\left(\frac{P_0}{h}+\frac{E}{2L}{\displaystyle {\int }_0^L{\left|\frac{\partial u}{\partial x}\right|}^2\text{d}x}\right)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0,$ (6)

其中 $\rho$ 是质量密度， $P_0$ 是初始张力，h是截面面积，E是材料的杨氏模，L是绳的长度， $t\ge 0$ 是时间， $u=u\left(x,t\right)$ 表示横向位移，其最显著的特征是带有一个形如 $\left(\frac{P_0}{h}+\frac{E}{2L}{\displaystyle {\int }_0^L{\left|\frac{\partial u}{\partial x}\right|}^2\text{d}x}\right)$ 的系数，该系数通常被称为非局部系数，该系数是依赖于运动的能量(即动能) $\frac{1}{2}{\left|\frac{\partial u}{\partial x}\right|}^2$ 在区间 $\left[0,L\right]$ 上的平均值 $\frac{1}{2L}{\displaystyle {\int }_0^L{\left|\frac{\partial u}{\partial x}\right|}^2\text{d}x}$ ，同时

将带有非局部系数的方程称为非局部问题。这个方程考虑了可收缩弹性弦在横向振动过程中的长度变化影响，推广了D’Alembert的弹性管柱自由振动方程，在非牛顿力学、宇宙物理、弹性理论电磁学等诸多领域都有广泛的应用。除此之外，类似的非局部问题也用于模拟一些物理系统和生物系统，其中，u描述了一个依赖于其自身的平均过程。例如，在人口密度相关研究中，形如

$u_{tt}-\left(a+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta u=f\left(x,u\right),x\in {ℝ}^3,$

的问题已经得到了广泛的研究，关于Kirchhoff型问题的更多数学和物理背景，我们参考 [6] [7] [8] 。

2010年，He和Zou [9] 应用变分法及Ljusternik-Schnirelman畴数理论研究了形如

$\{\begin{array}{l}-\left(a+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta u+V(x)u=f(x,u)x\in {ℝ}^3,\\ u\in H^1(\; ℝ\; 3\; )\end{array}$

的Kirchhoff型方程的多重性和集中性问题。

2022年，Cingolani，Gallo和Tanaka [10] ，在几乎最优假设下，利用构造奇维多路径和增广泛函，通过形变引理、山路引理、对称山路引理、临界点理论、亏格理论等方法得到如下具有L²-约束的非线性Choquard方程有无穷多解

$\{\begin{array}{l}-\Delta u+\mu u=\left(I_{\alpha }\ast G\left(u\right)\right)g\left(u\right),x\in {ℝ}^3,\\ {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^2\text{d}x}=m,\\ u\in H_r^1\left({ℝ}^3\right),\end{array}$

假设G满足(G1)，(G4)且满足L²次临界条件，即

(CG2) 存在 $C>0$ 使得对任意 $s\in ℝ$ 使得

$\left|sg\left(s\right)\right|\le C\left({\left|s\right|}^{\frac{3+\alpha }{3}}+{\left|s\right|}^{\frac{5+\alpha }{3}}\right);$

(CG3)

$\underset{s\to 0}{\lim }\frac{G\left(s\right)}{{\left|s\right|}^{\frac{3+\alpha }{3}}}=0,\underset{s\to +\infty }{\lim }\frac{G\left(s\right)}{{\left|s\right|}^{\frac{5+\alpha }{3}}}=0.$

受上述文献的启发，一个自然的问题是：带有Choquard型的Kirchhoff方程在L²-约束条件和Berestycki-Lions条件下能否得到无穷多解？查阅相关文献，似乎还没有学者做带有Choquard型的Kirchhoff方程(具有两个非局部源项)在L²-约束条件和Berestycki-Lions条件下得到无穷多解的相关工作。因此，考虑如下具有L²-约束的非线性Choquard方程，即

$\{\begin{array}{l}-\left(a+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta u+\mu u=\left(I_{\alpha }\ast G\left(u\right)\right)g\left(u\right),x\in {ℝ}^3,\\ {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^2\text{d}x}=m,\\ u\in H_r^1\left({ℝ}^3\right).\end{array}$ (7)

方程(1)和(2)都是非局部问题。一方面，非局部源 $\left(I_{\alpha }\ast G\left(u\right)\right)g\left(u\right)$ 的存在，导致文献 [11] 中的结论不能直接应用于非线Choqquard方程，需要新的方法获得多维奇路径。为了达到这个目的，需要找到合适的环：利用对应于环上的特征函数来构造多维奇路径。另一方面，方程(1)有两个非局部源项，其中 $b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}$ 表明(1)不是点态恒等式，这导致了无法直接应用弱收敛方法，并造成了分析上的困难。因此，利用Wu在文献 [12] 中的证明，将方程(1)转化为如下关于 $\left(u,\kappa \right)$ 的系统：

$\{\begin{array}{l}-\Delta u+\mu u=\left(I_{\alpha }\ast G\left(u\right)\right)g\left(u\right),\\ \kappa -a-b{\kappa }^{\frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}=0,\end{array}\left(u,\kappa \right)\in \left({ℝ}^3\times {ℝ}^{+}\right).$ (8)

从而，只考虑卷积项带来的困难。因此，方程(7)可转化为求如下系统

$\{\begin{array}{l}-\Delta u+\mu u=\left(I_{\alpha }\ast G\left(u\right)\right)g\left(u\right),\\ \kappa -a-b{\kappa }^{\frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x=0,}\\ {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^2\text{d}x}=m,\\ u\in H_r^1\left({ℝ}^3\right).\end{array}\left(u,\kappa \right)\in \left({ℝ}^3\times {ℝ}^{+}\right)$ (9)

由于Tananka [10] 中证明了方程(9)有无穷多个解。因此，方程(7)也具有无穷多解。

令 ${ℝ}_{+}=\left(0,+\infty \right)$ ，考虑能量泛函 $I^m:{ℝ}_{+}\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)\to ℝ$ ，定义如下

$I^m\left(\mu ,u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}+\frac{\mu }{2}\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^2\text{d}x-m}\right)-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(I_{\alpha }\ast G\left(u\right)\right)G\left(u\right)\text{d}x}.$

受Pohozaev恒等式的启发，引入Pohozaev泛函 $P:{ℝ}_{+}\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)\to ℝ$ ，定义如下

$P\left(\mu ,u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}+\frac{3}{2}\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^2\text{d}x}-\frac{3+\alpha }{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(I_{\alpha }\ast G\left(u\right)\right)G\left(u\right)\text{d}x}$

并且Pohozaev水平集

$\Omega =\left\{\left(\mu ,u\right)\in {ℝ}_{+}\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)|P\left(\mu ,u\right)>0\right\}\cup \left\{\left(\mu ,0\right)|\mu \in {ℝ}_{+}\right\}.$

注意到， $\left\{\left(\mu ,0\right)|\mu \in {ℝ}_{+}\right\}\subset \mathrm{int}\Omega$ 且

$\partial \Omega =\left\{\left(\mu ,u\right)\in {ℝ}_{+}\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)|P\left(\mu ,u\right)=0,u\ne 0\right\}.$

利用Palais-Smale条件 [4] 的一个变形，它考虑了Pohozaev恒等式，这将证明新的变形定理，使得能够在乘积空间 ${ℝ}_{+}\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)$ 中应用极大极小原理。从而将证明在该乘积空间中具有极大极小结构的无穷多个L²-归一化解的存在性。

定理1 假设 $\alpha \in \left(0,3\right)$ 且(G1)-(CG2)-(CG3)-(G4)-(G5)成立。

1) 对任意 $k\in \mathbb{N}$ ，存在 $m_k\ge 0$ 使得对任意 $m>m_k$ ，问题(7)至少有k对不同的非平凡径向对称解。

2) 此外，假设在0处L2次临界增长，即

(CG4)

$\underset{s\to 0}{\lim }\frac{\left|G\left(s\right)\right|}{{\left|s\right|}^{\frac{5+\alpha }{3}}}=+\infty ;$

此外，若G是奇的，存在 ${\delta }_0>0$ ，假设 $\left|G\left(s\right)\right|$ 在 $\left[0,{\delta }_0\right]$ 是不减的，则对任意 $k\in \mathbb{N}$ ，有 $m_k=0$ ，即对任意 $m>0$ ，问题(7)有可数多对解 ${\left({\mu }_n,u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ 满足 $L\left(u_n\right)<0,n\in \mathbb{N}$ 。此外，当 $n\to +\infty$ 时，有

$L\left(u_n\right)\to 0.$

定理2 假设 $\alpha \in \left(0,3\right)$ 且(G1)-(CG2)-(CG3)-(G4)-(G5)成立。

1) 对任意 $k\in \mathbb{N}$ ，存在 $m_k\ge 0$ 使得对任意 $m>m_k$ ，问题(9)至少有k对不同的非平凡径向对称解。

2) 此外，假设在0处L²次临界增长，即

(CG4)

$\underset{s\to 0}{\lim }\frac{\left|G\left(s\right)\right|}{{\left|s\right|}^{\frac{5+\alpha }{3}}}=+\infty ;$

此外，若G是奇的，存在 ${\delta }_0>0$ ，假设 $\left|G\left(s\right)\right|$ 在 $\left[0,{\delta }_0\right]$ 是不减的，则对任意 $k\in \mathbb{N}$ ，有 $m_k=0$ ，即对任意 $m>0$ ，问题(9)有可数多对解 ${\left({\mu }_n,u_n,{\kappa }_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ 满足 $L\left(u_n\right)<0,n\in \mathbb{N}$ 。此外，当 $n\to +\infty$ 时，有

$L\left(u_n\right)\to 0.$

第二节是预备知识；第三节Palais-Smale-Pohozaev条件和形变定理相关结论；第四节关于极大极小方法，建立了多重奇路径并给出了非局部项的估计；第五节证明了主要结果。

2. 预备知识

在下文中，将使用如下记号：

$\Vert u\Vert :={\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\left|\nabla u\right|}^2+{\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}$ ，对任意 $u\in H^1\left({ℝ}^3\right)$ ；

${\Vert u\Vert }_p:={\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p}}$ ，对任意 $p\in \left[1,\infty \right)$ 且 $u\in L^p\left({ℝ}^3\right)$ ；

$B\left(x_0,r\right):=\left\{x\in {ℝ}^3:\left|x-x_0\right|<r\right\}$ ，对任意 $x_0\in {ℝ}^3$ 且 $r>0$ ；

$D_n:=\left\{x\in {ℝ}^3:\left|x\right|<1\right\},$

令

$H_r^1\left({ℝ}^3\right):=\left\{u\in H^1\left({ℝ}^3\right):u\left(x\right)=u\left(\left|x\right|\right),x\in {ℝ}^3\right\};$

此外，记q为下临界指数，p为L²-临界指数，即

$q:=\frac{3+\alpha }{3},p:=\frac{5+\alpha }{3}.$

命题2.1 ( [13] ) 设 $r,s\in \left(1,+\infty \right)$ 使得 $\frac{1}{r}-\frac{1}{s}=\frac{\alpha }{3}$ ，则映射

$L^r\left({ℝ}^3\right)\to L^s\left({ℝ}^3\right);g\mapsto I_{\alpha }\ast g$

连续。特别地，若 $r,t\in \left(1,+\infty \right)$ ，满足 $\frac{1}{r}+\frac{1}{t}=\frac{3+\alpha }{3}$ ，则存在一个常数 $C=C\left(N,\alpha ,r,t\right)>0$ 及对任意 $g\in L^r\left({ℝ}^3\right)$ 和 $h\in L^t\left({ℝ}^3\right)$ 使得

$\left|{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(I_{\alpha }\ast g\right)h\text{d}x}\right|\le C{\Vert g\Vert }_r{\Vert h\Vert }_t.$

由于技术原因，令 $\mu ={\text{e}}^{\lambda }\in \left(0,+\infty \right)$ ， $\lambda \in ℝ$ 。考虑能量泛函 $I^m:ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)\to ℝ$ ，定义如下

$I^m\left(\lambda ,u\right):=\frac{1}{2}{\Vert \nabla u\Vert }_2^2+\frac{{\text{e}}^{\lambda }}{2}\left({\Vert u\Vert }_2^2-m\right)-\frac{1}{2}D\left(u\right),$

其中 $D\left(u\right):={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(I_{\alpha }\ast G\left(u\right)\right)G\left(u\right)\text{d}x}$ 。

由命题2.1和(G1)-(G2)可得，D在 $L^2\left({ℝ}^3\right)\cap L^{2^{\ast }}\left({ℝ}^3\right)$ 中连续，因此由嵌入定理，D在 $H_r^1\left({ℝ}^3\right)$ 中连续；若满足(CG2)，则D在 $L^2\left({ℝ}^3\right)\cap L^{2+\frac{4}{3+\alpha }}\left({ℝ}^3\right)$ 中连续。因此， $I^m\in C^1\left(ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right),ℝ\right)$ 。

定义C¹-泛函 $J:ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)\to ℝ$

$J\left(\lambda ,u\right):=\frac{1}{2}{\Vert \nabla u\Vert }_2^2+\frac{{\text{e}}^{\lambda }}{2}{\Vert u\Vert }_2^2-\frac{1}{2}D\left(u\right).$

容易验证，对任意 $\left(\lambda ,u\right)\in ℝ\times H_r^1(\; ℝ\; 3\; )$

$I^m\left(\lambda ,u\right)=J\left(\lambda ,u\right)-\frac{{\text{e}}^{\lambda }}{2}m.$

对固定的 $\lambda \in ℝ$ ，u是 $J\left(\lambda ,\cdot \right)$ 的临界点当且仅当u是

$\{\begin{array}{l}-\Delta u+{\text{e}}^{\lambda }u=\left(I_{\alpha }\ast G\left(u\right)\right)g\left(u\right),x\in {ℝ}^3,\\ u\in H_r^1\left({ℝ}^3\right);\end{array}$

的解，其中u是弱解。

受Pohozaev恒等式的启发，引入Pohozaev泛函 $P:ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)\to ℝ$ ，定义如下

$P\left(\lambda ,u\right):=\frac{1}{2}{\Vert \nabla u\Vert }_2^2+\frac{3}{2}{\text{e}}^{\lambda }{\Vert u\Vert }_2^2-\frac{3+\alpha }{2}D\left(u\right).$

考虑 ${ℝ}^3$ 和 $ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)$ 上的 ${\mathbb{Z}}_2$ 作用，即

${\mathbb{Z}}_2\times {ℝ}^3\to {ℝ}^3;\left(\pm 1,\tau \right)\mapsto \pm \tau ,$

${\mathbb{Z}}_2\times \left(ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)\right)\to ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right);\left(\pm 1,\lambda ,u\right)\mapsto \left(\lambda ,\pm u\right).$

在(G5)的假设下， $I^m,J,P$ 对于u是偶的，即

$I^m\left(\lambda ,-u\right)=I^m\left(\lambda ,u\right),J\left(\lambda ,-u\right)=J\left(\lambda ,u\right),P\left(\lambda ,-u\right)=P\left(\lambda ,u\right).$

用 $P_2:ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)\to H_r^1\left({ℝ}^3\right)$ 表示第二个分量的投影，即

$P_2\left(\lambda ,u\right)=u,\forall \left(\lambda ,u\right)\in ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right).$

3. Palais-Smale-Pohozaev条件和形变定理

对任意 $c\in ℝ$ ，令

$K_c^m=\left\{\left(\lambda ,u\right)\in ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right):I^m\left(\lambda ,u\right)=c,{\partial }_{\lambda }{I}^m\left(\lambda ,u\right)=0,{\partial }_u{I}^m\left(\lambda ,u\right)=0,P\left(\lambda ,u\right)=0\right\}.$

在(G1)-(G2)的条件下，对任意 $\left(\lambda ,u\right)\in K_c^m$ ，则 $P\left(\lambda ,u\right)=0$ 。在(G5)的条件下， $K_c^m$ 在 ${\mathbb{Z}}_2$ 作用下是不变的，即

$\left(\lambda ,u\right)\in K_c^m\Rightarrow \left(\lambda ,-u\right)\in K_c^m.$

受 [3] 的启发，引入Palais-Smale-Pohozaev条件，它是比Palais-Smale条件更弱的紧性条件。应用新的紧性条件，将证明当 $c<0$ 时， $K_c^m$ 时紧的。

定义3.1 若 $\left({\lambda }_n,u_n\right)\subset ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)$ 被称为Palais-Smale-Pohozaev序列(简称 ${\left(PSP\right)}_c$ 序列)，对任意 $c\in ℝ$ ， $I^m$ 在水平c满足如下条件

$I^m\left({\lambda }_n,u_n\right)\to c,$

${\partial }_{\lambda }{I}^m\left({\lambda }_n,u_n\right)\to 0,$

${\Vert {\partial }_u{I}^m\left({\lambda }_n,u_n\right)\Vert }_{{\left(H_r^1\left({ℝ}^N\right)\right)}^{*}}\to 0,$

$P\left({\lambda }_n,u_n\right)\to 0.$

则 $\left({\lambda }_n,u_n\right)$ 在 $ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^N\right)$ 中有强收敛的子列。

命题3.2 ( [10] ) 假设(G1)-(CG2)-(CG3)成立且 $c<0$ 。则 $I^m$ 满足 ${\left(PSP\right)}_c$ 条件。

推论3.3 ( [10] ) 假设(G1)-(CG2)-(CG3)成立且 $c<0$ 。则 $K_c^m\cap \left(ℝ\times \left\{0\right\}\right)=\varnothing$ 且 $K_c^m$ 是紧的。

证明 若 $I^m\left(\lambda ,0\right)=-\frac{{\text{e}}^{\lambda }}{2}\ne 0$ ，则 $K_c^m\cap \left(ℝ\times \left\{0\right\}\right)=\varnothing$ ；由命题3.2知，在 $c=0$ 处 ${\left(PSP\right)}_0$ 不成立。事实上，当 ${\lambda }_n\to -\infty$ 时，由 ${\left(PSP\right)}_0$ 的无界序列 $\left({\lambda }_n,0\right)$ 可知， $K_c^m$ 是紧的。

由 [2] [3] ，定义

$M:=ℝ\times ℝ\times H_r^1(\; ℝ\; 3\; )$

并且引入增广泛函 $F^m:M\to ℝ$

$F^m\left(\theta ,\lambda ,u\right):=I^m\left(\lambda ,u\left({\text{e}}^{-\theta }\right)\right),\forall \left(\theta ,\lambda ,u\right)\in M.$

由 $I^m$ 的伸缩性质可得

${\partial }_{\theta }{F}^m\left(\theta ,\lambda ,u\right)=P\left(\lambda ,u\left({\text{e}}^{-\theta }\right)\right).$

考虑在M上的 ${\mathbb{Z}}_2$ 作用，即

${\mathbb{Z}}_2\times M\to M;\left(\pm 1,\theta ,\lambda ,u\right)\mapsto \left(\theta ,\lambda ,\pm u\right)$

并且由(G5)可知， $F^m$ 是 ${\mathbb{Z}}_2$ 不变的，即

$F^m\left(\theta ,\lambda ,-u\right)=F^m\left(\theta ,\lambda ,u\right).$

在M上引入一个度量

${\Vert \left(\alpha ,v,h\right)\Vert }_{\left(\theta ,\lambda ,u\right)}^2:={\left|\left(\alpha ,v,{\Vert h\left({\text{e}}^{-\theta }\right)\Vert }_{H^1}\right)\right|}^2$

对任意 $\left(\alpha ,v,h\right)\in T_{\left(\theta ,\lambda ,u\right)}M\equiv ℝ\times ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)$ ，M是Hilbert流形。用 ${\Vert \cdot \Vert }_{\left(\theta ,\lambda ,u\right),*}$ 表示 $T_{\left(\theta ,\lambda ,u\right)}^{*}M$ 上的对偶模。 ${\Vert \cdot \Vert }_{\left(\theta ,\lambda ,u\right)}$ 和 ${\Vert \cdot \Vert }_{\left(\theta ,\lambda ,u\right),*}$ 只依赖于 $\theta$ 。

定义

$D:=\left({\partial }_{\theta },{\partial }_{\lambda },{\partial }_u\right)$

是关于所有变量的梯度。直接计算可得

$D{F}^m\left(\theta ,\lambda ,u\right)\left(\alpha ,v,h\right)=P\left(\lambda ,u\left({\text{e}}^{-\theta }\right)\right)\alpha +{\partial }_{\lambda }{I}^m\left(\lambda ,u\left({\text{e}}^{-\theta }\right)\right)\nu +\langle {\partial }_u{I}^m\left(\lambda ,u\left({\text{e}}^{-\theta }\right)\right),h\left({\text{e}}^{-\theta }\right)\rangle$

对任意 $\left(\theta ,\lambda ,u\right)\in M$ 且 $\left(\alpha ,v,h\right)\in T_{\left(\theta ,\lambda ,u\right)}M$ ，因此

${\Vert D{F}^m\left(\theta ,\lambda ,u\right)\Vert }_{\left(\theta ,\lambda ,u\right),*}^2={\left|P\left(\lambda ,u\left({\text{e}}^{-\theta }\right)\right)\right|}^2+{\left|{\partial }_{\lambda }{I}^m\left(\lambda ,u\left({\text{e}}^{-\theta }\right)\right)\right|}^2+{\Vert {\partial }_u{I}^m\left(\lambda ,u\left({\text{e}}^{-\theta }\right)\right)\Vert }_{{\left(H_r^1\left({ℝ}^3\right)\right)}^{*}}^2.$

定义

${\tilde{K}}_c^m:=\left\{\left(\theta ,\lambda ,u\right)\in M:F^m\left(\theta ,\lambda ,u\right)=c,D{F}^m\left(\theta ,\lambda ,u\right)=0\right\}$

是 $F^m$ 在水平c的临界点集，并且可推出

${\tilde{K}}_c^m=\left\{\left(\theta ,\lambda ,u\left({\text{e}}^{\theta }\right)\right):\left(\lambda ,u\right)\in K_c^m,\theta \in ℝ\right\}.$

引入两点之间的标准距离作为连接两点的曲线的长度，即

$\begin{array}{l}{d}_M\left(\left({\theta }_0,{\lambda }_0,h_0\right),\left({\theta }_1,{\lambda }_1,h_1\right)\right)\\ :=\inf \left\{{\displaystyle {\int }_0^1{\Vert \stackrel{\dot{}}{\gamma }\left(t\right)\Vert }_{\gamma \left(t\right)}\text{d}t:\gamma \in C^1\left(\left[0,1\right],M\right),\gamma \left(0\right)=\left({\theta }_0,{\lambda }_0,h_0\right),\gamma \left(1\right)}=\left({\theta }_1,{\lambda }_1,h_1\right)\right\}.\end{array}$

命题3.4 ( [14] ) 令 $c<0$ 且假设(G1)-(CG2)-(CG3)成立。则 $F^m$ 满足 ${\widetilde{\left(PSP\right)}}_c$ ，即对任意 $\left\{\left({\theta }_n,{\lambda }_n,u_n\right)\right\}\subset M$ ，当 $n\to +\infty$ 时，有

$F^m\left({\theta }_n,{\lambda }_n,u_n\right)\to c,$

${\Vert D{F}^m\left({\theta }_n,{\lambda }_n,u_n\right)\Vert }_{\left({\theta }_n,{\lambda }_n,u_n\right),*}\to 0.$

在子列意义下，

$d_M\left(\left({\theta }_n,{\lambda }_n,u_n\right),{\tilde{K}}_c^m\right)\to 0.$

${\widetilde{\left(PSP\right)}}_c$ 条件不同于标准Palais-Smale-Pohozaev条件并且经过适当放缩后保证了紧性。若 ${\tilde{K}}_c^m\ne \varnothing$ ，则 ${\tilde{K}}_c^m$ 不紧。

对 $c\in ℝ$ ，记

$\left[I^m\le c\right]:=\left\{\left(\lambda ,u\right)\in ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right):I^m\left(\lambda ,u\right)\le c\right\},$

${\left[F^m\le c\right]}_M:=\left\{\left(\theta ,\lambda ,u\right)\in M:F^m\left(\theta ,\lambda ,u\right)\le c\right\}.$

命题3.5 ( [14] ) 假设(G1)-(CG2)-(CG3)。令 $c<0$ 且O为 $K_c^m$ 具有 $ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)$ 标准距离的领域。令 $\bar{\epsilon }>0$ ，则存在 $\epsilon \in \left(0,\bar{\epsilon }\right)$ 和 $\eta :\left[0,1\right]\times \left(ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)\right)\to ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)$ 连续，使得

1) $\eta \left(0,\cdot ,\cdot \right)=i{d}_{ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)}$ ；

2) 对任意 $t\in \left[0,1\right]$ ，使得 $\eta \left(t,\cdot ,\cdot \right)=i{d}_{\left[I^m\le c-\bar{\epsilon }\right]}$ ；

3) $I^m$ 沿着 $\eta$ 不增并且对任意 $t\in \left[0,1\right]$ ， $I^m\left(\eta \left(t,\cdot ,\cdot \right)\right)\le I^m\left(\cdot ,\cdot \right)$ ；

4) 若 $K_c^m=\varnothing$ ，则 $\eta \left(1,\left[I^m\le c+\epsilon \right]\right)\subset \left[I^m\le c-\epsilon \right]$ ；

5) 若 $K_c^m\ne \varnothing$ ，则

$\eta \left(1,\left[I^m\le c+\epsilon \right]\backslash {\rm O}\right)\subset \left[I^m\le c-\epsilon \right]$

并且

$\eta \left(1,\left[I^m\le c+\epsilon \right]\right)\subset \left[I^m\le c-\epsilon \right]\cup {\rm O};$

6) 若(G5)成立，则 $\eta \left(t,\cdot ,\cdot \right)$ 是 ${\mathbb{Z}}_2$ 等变的，即令 $\eta =\left({\eta }_1,{\eta }_2\right)$ ， ${\eta }_1$ 关于u是偶的， ${\eta }_2$ 关于u是奇的。

命题3.6 ( [14] ) 假设(G1)-(CG2)-(CG3)。令 $c<0$ 且 $\widetilde{{\rm O}}$ 为 ${\tilde{K}}_c^m$ 具有 $d_M$ 标准距离的领域。令 $\bar{\epsilon }>0$ ，则存在 $\epsilon \in \left(0,\bar{\epsilon }\right)$ 和 $\tilde{\eta }:\left[0,1\right]\times M\to M$ 连续，使得

1) $\tilde{\eta }\left(0,\cdot ,\cdot ,\cdot \right)=i{d}_M$ ；

2) 对任意 $t\in \left[0,1\right]$ ，使得 $\tilde{\eta }\left(t,\cdot ,\cdot ,\cdot \right)=i{d}_{{\left[F^m\le c-\bar{\epsilon }\right]}_M}$ ；

3) $F^m$ 沿着 $\tilde{\eta }$ 不增并且对任意 $t\in \left[0,1\right]$ ， $F^m\left(\tilde{\eta }\left(t,\cdot ,\cdot ,\cdot \right)\right)\le F^m\left(\cdot ,\cdot ,\cdot \right)$ ；

4) 若 ${\tilde{K}}_c^m=\varnothing$ ，则 $\tilde{\eta }\left(1,{\left[F^m\le c+\epsilon \right]}_M\right)\subset {\left[F^m\le c-\epsilon \right]}_M$ ；

5) 若 ${\tilde{K}}_c^m\ne \varnothing$ ，则

$\tilde{\eta }\left(1,{\left[F^m\le c+\epsilon \right]}_M\backslash \widetilde{{\rm O}}\right)\subset {\left[F^m\le c-\epsilon \right]}_M$

并且

$\tilde{\eta }\left(1,{\left[F^m\le c+\epsilon \right]}_M\right)\subset {\left[F^m\le c-\epsilon \right]}_M\cup \widetilde{{\rm O}};$

6) 若(G5)成立，则 $\tilde{\eta }\left(t,\cdot ,\cdot \right)$ 是 ${\mathbb{Z}}_2$ 等变的，即令 $\tilde{\eta }=\left({\tilde{\eta }}_0,{\tilde{\eta }}_1,{\tilde{\eta }}_2\right)$ ， ${\tilde{\eta }}_0,{\tilde{\eta }}_1$ 关于u是偶的， ${\tilde{\eta }}_2$ 关于u是奇的。

4. 极大极小方法

对于 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ 且 $\lambda \in ℝ$ ，引入奇路径的集合

${\Gamma }_n\left(\lambda \right):=\left\{\gamma \in C\left(D_n,H_r^1\left({ℝ}^3\right)\right):\gamma 是奇的,J\left(\lambda ,\gamma |{}_{\partial D_n}\right)<0\right\}$

和极大极小值

$a_n\left(\lambda \right):=\underset{\gamma \in {\Gamma }_n\left(\lambda \right)}{\inf }\underset{\xi \in D_n}{\sup }J\left(\lambda ,\gamma \left(\xi \right)\right).$

命题4.1 ( [10] ) 假设(G1)-(G4)成立。令 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ 且 $\lambda \in ℝ$ 。则 ${\Gamma }_n\left(\lambda \right)\ne \varnothing$ ，因此 ${\Gamma }_n\left(\lambda \right)\ne \varnothing$ 有定义。此外， $a_n\left(\lambda \right)>0$ 且 $a_n\left(\lambda \right)\le a_{n+1}\left(\lambda \right)$ 。

定理4.2 ( [10] ) 令 $u\in H_r^1\left({ℝ}^3\right)$ 是径向的且 $\alpha \in \left(0,3\right)$ 。则 $I_{\alpha }\ast u$ 是径向的且

$\left(I_{\alpha }\ast u\right)\left(r\right)=r^{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{F}_{\alpha }\left(\frac{r}{\rho }\right){\left(\frac{\rho }{r}\right)}^{\alpha }u\left(\rho \right)\frac{\text{d}\rho }{\rho }},$

其中 $F_{\alpha }>0$ 且存在 $C_{N,0},C_{N,\infty },C_{N,\alpha }>0$ ，使得

$F_{\alpha }\left(s\right)\to C_{N,0}>0,当s\to 0;\frac{F_{\alpha }\left(s\right)}{s^{\alpha -N}}\to C_{N,\infty },当s\to +\infty$

且

$\frac{F_{\alpha }\left(s\right)}{G_{\alpha }\left(s\right)}\to 1,当s\to 1,$

其中

$G_{\alpha }\left(s\right):=\{\begin{array}{ll}{C}_{N,\alpha }\hfill & 若\alpha \in \left(1,3\right),\hfill \\ C_{N,\alpha }\left|\log \left|s-1\right|\right|\hfill & 若\alpha =1,\hfill \\ C_{N,\alpha }{\left|s-1\right|}^{\alpha -1}\hfill & 若\alpha \in \left(0,1\right).\hfill \end{array}$

令

$A\left(R,h\right):=\left\{x\in {ℝ}^3:\left|x\right|\in \left[R-h,R+h\right]\right\},$

$\chi \left(R,h;x\right):=\{\begin{array}{ll}1\hfill & x\in A\left(R,h\right),\hfill \\ 0\hfill & 其他.\hfill \end{array}$

对任意 $R\gg h>0$ 。

引理4.3 ( [10] ) 当 $h\to 0$ 时，

${\displaystyle {\iint }_{{ℝ}^3\times {ℝ}^3}{I}_{\alpha }\left(x-y\right)\chi \left(1,h;x\right)\chi \left(1,h;y\right)\text{d}x\text{d}y}\sim \{\begin{array}{ll}{h}^2\hfill & 若\alpha \in \left(1,3\right)，\hfill \\ h^2\left|\log h\right|\hfill & 若\alpha =1，\hfill \\ h^{1+\alpha }\hfill & 若\alpha \in \left(0,1\right).\hfill \end{array}$

引理4.4 ( [10] ) 当 $i<j$ ，则

${\displaystyle {\iint }_{{ℝ}^3\times {ℝ}^3}{I}_{\alpha }\left(x-y\right)\chi \left(R^i,h_{R^i};x\right)\chi \left(R^j,h_{R^j};y\right)\text{d}x\text{d}y}\to 0,当R\to \infty .$

命题4.5 ( [10] ) 假设(G1)-(G4)成立且令 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ 。

1) 若(CG3)成立，则 $\underset{\lambda \to +\infty }{\lim }\frac{a_n\left(\lambda \right)}{{\text{e}}^{\lambda }}=+\infty$ 。

2) 若(CG4)成立，则 $\underset{\lambda \to -\infty }{\lim }\frac{a_n\left(\lambda \right)}{{\text{e}}^{\lambda }}=0$ 。

考虑Pohozaev水平集

$\Omega :=\left\{\left(\lambda ,u\right)\in ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right):P\left(\lambda ,u\right)>0\right\}\cup \left\{\left(\lambda ,0\right):\lambda \in ℝ\right\}.$

在(G5)的假设下， $\Omega$ 关于轴 $\left\{\left(\lambda ,0\right):\lambda \in ℝ\right\}$ 对称，即

$\left(\lambda ,u\right)\in \Omega \Rightarrow \left(\lambda ,-u\right)\in \Omega .$

引理4.6 ( [10] ) $\left\{\left(\lambda ,0\right):\lambda \in ℝ\right\}\subset \mathrm{int}\left(\Omega \right)$ 。

命题4.7 ( [10] ) 假设(G1)-(G4)。则下列性质成立

1) 若 $\left(\lambda ,u\right)\in \Omega$ ，则 $J\left(\lambda ,u\right)\ge 0$ 。

2) 若 $\left(\lambda ,u\right)\in \partial \Omega$ ，则 $J\left(\lambda ,u\right)\ge a_1\left(\lambda \right)>0$ 。

3) 假设(CG3)。对任意 $m>0$ ，令

$E^m:=\underset{\left(\lambda ,u\right)\in \partial \Omega }{\inf }{I}^m\left(\lambda ,u\right)且B^m:=\underset{\lambda \in ℝ}{\inf }\left(a_1\left(\lambda \right)-\frac{{\text{e}}^{\lambda }}{2}m\right).$

则 $E^m\ge B^m>-\infty$ 。特别地， $B^m\in ℝ$ 且对 $\left(\lambda ,u\right)\in \partial \Omega$ ，则 $I^m\left(\lambda ,u\right)\ge B^m$ 。

令 $m>0$ 且 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，

${\Gamma }_n^m:=\left\{\Theta \in C\left(D_n,ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)\right):\Theta 是{\mathbb{Z}}_2等变的,I^m\left(\Theta \left(0\right)\right)\le B^m-1,\Theta |{}_{\partial D_n}\notin \Omega ,I^m\left(\Theta |{}_{\partial D_n}\right)\le B^m-1\right\}$

且

$b_n^m:=\underset{\Theta \in {\Gamma }_n^m}{\inf }\underset{\xi \in D_n}{\sup }I\left(\Theta \left(\xi \right)\right);$

$\Theta =\left({\Theta }_1,{\Theta }_2\right)\in {\Gamma }_n^m$ 是 ${\mathbb{Z}}_2$ 等变的，即 ${\Theta }_1$ 是偶的， ${\Theta }_2$ 是奇的，此外， ${\Theta }_2\left(0\right)=0$ 蕴含着 $\Theta \left(0\right)\in \Omega$ 。

命题4.8 ( [10] ) 假设(G1)-(G2)-(CG3)-(G4)-(G5)成立。则下列性质成立：

1) 对任意 $m>0$ ， $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，则 ${\Gamma }_n^m\ne \varnothing$ 且 $\lambda \in ℝ$ 时，

$b_n^m\le a_n\left(\lambda \right)-{\text{e}}^{\lambda }\frac{m}{2}.$

此外， $b_n^m$ 关于n递增。

2) 对任意 $k\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，存在 $m_k\ge 0$ ，其中 $m_k:=2\underset{\lambda \in ℝ}{\inf }\frac{a_k\left(\lambda \right)}{{\text{e}}^{\lambda }}$ ，使得对 $m>m_k$

$b_n^m<0,n=1,2,\cdots ,k.$

此外， $m_k$ 关于k递增。

3) 若(CG4)成立，则对任意 $k\in {\mathbb{N}}^{+}$ 有 $m_k=0$ 。即对任意 $m>0$ ， $k\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，有 $b_n^m<0$ 。

推论4.9 ( [10] ) 对任意 $m>0$ ，则 $B^m=E^m=b_1^m$ 。

对 $c<0$ ， $I^m$ 满足 ${\left(PSP\right)}_c$ 条件且形变引理成立。令 $m_k\ge 0$ ，当 $m>m_k$ 时， $b_n^m<0,n=1,2,\cdots ,k$ 是 $I^m$ 的临界值。为了解决 $n\ne n^{\prime }$ 时， $b_n^m=b_{n^{\prime }}^m$ 的情况，引入了亏格理论。

设X为Banach空间，集合 $A\subset X$ 称为关于原点对称的，是指若 $x\in A$ ，则 $-x\in A$ 。记N为X中关于原点对称的闭子集的全体。非负整值函数 $g:N\to {\mathbb{Z}}_{+}\cup \left\{+\infty \right\}$ 称为N上的 ${\mathbb{Z}}_2$ 亏格，是指g满足

1) 当 $A=\varnothing$ 时， $g\left(A\right)=0$ ；

2) 当 $A\ne \varnothing$ 时， $g\left(A\right)=\min \left\{m\in {\mathbb{Z}}_{+}:存在连续的奇映射\phi :A\to {ℝ}^m\backslash \left\{0\right\}\right\}$ ；

3) 若对任何自然数m，都不存在连续奇映射 $\phi$ ，则 $g\left(A\right)=+\infty$ 。

对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，定义

${\Lambda }_n^m:=\left\{A=\Theta \overline{\left(D_{n+l}\backslash Y\right)}:l\in \mathbb{N},\Theta \in {\Gamma }_{n+l}^m,Y\subset D_{n+l}\backslash \left\{0\right\}是对称闭的,g\left(Y\right)\le l\right\}$

且

$c_n^m:=\underset{A\in {\Lambda }_n^m}{\inf }\underset{\left(\lambda ,u\right)\in A}{\sup }{I}^m\left(\lambda ,u\right).$

命题4.10 ( [10] ) 假设(G1)-(G2)-(CG3)-(G4)成立。令 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ 且 $m>0$ 。则

1) ${\Lambda }_n^m\ne \varnothing$ ；

2) ${\Lambda }_{n+1}^m\subset {\Lambda }_n^m$ ，且 $c_n^m\le c_{n+1}^m$ ；

3) $c_n^m\le b_n^m$ ；

4) $B^m=E^m\le c_1^m$ 。

令 $A\in {\Lambda }_n^m$ 且 $Z\subset ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)$ 是 ${\mathbb{Z}}_2$ 等变，闭的，使得 $0\notin \overline{P_2\left(Z\right)}$ 且 $g\left(\overline{P_2\left(Z\right)}\right)\le i<n$ 。则 $\overline{A\backslash Z}\in {\Lambda }_{n-i}^m$ 。

命题4.11 ( [10] ) 假设(G1)-(CG2)-(CG3)-(G4)-(G5)成立。固定 $k\in {\mathbb{N}}^{+}$ 且假设 $m>m_k$ 。则

$c_1^m\le c_2^m\le \cdots \le c_k^m<0$

是 $I^m$ 的临界值。此外

1) 存在 $q\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，使得

$c_n^m<c_{n+1}^m<\cdots <c_{n+q}^m<0$

则有 $q+1$ 个非零临界值，因此(7)有 $q+1$ 对不同的非平凡解。

2) 存在 $q\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，使得

$c_n^m=c_{n+1}^m=\cdots =c_{n+q}^m=:b<0$

则 $g\left(P_2\left(K_c^m\right)\right)\ge q+1$ 且 $g\left(P_2\left(K_c^m\right)\right)=+\infty$ ，这蕴含着(7)有无穷多对不同的解。

5. 主要定理证明

定理1的证明 根据命题4.11可推出(1)。通过(1)可证明(2)成立。在条件(G4)的假设下，对任意 $k\in \mathbb{N}$ ，则有 $m_k=0$ 。因此，对任意 $n\in \mathbb{N}$ ， $c_n^m$ 是 $I^m$ 的临界点且 $c_n^m\le b_n^m<0$ 。由于 $c_n^m$ 是递增列，则当 $n\to \infty$ 时， $c_n^m\to \bar{c}\le 0$ 。

现在证明 $\bar{c}=0$ 。假设 $\bar{c}<0$ 。由推论3.3，命题3.5，命题4.11以及 $q=g\left(P_2\left(N_{\delta }\left(K_{\bar{c}}^m\right)\right)\right)<\infty$ ，则

$\eta \left(1,I^{\bar{c}+\epsilon }\backslash N_{\delta }\left(K_{\bar{c}}^m\right)\right)\subset I^{\bar{c}-\epsilon }$ (10)

且当 $I^m\left(\lambda ,u\right)\le B_m-1$ 时，

$\eta \left(t,\lambda ,u\right)=\left(\lambda ,u\right).$ (11)

对充分大的 $n\in \mathbb{N}$ ，使得 $c_n^m>\bar{c}-\epsilon$ 。令 $B\in {\Lambda }_{n+i}^m$ 使得 $B\subset I^{\bar{c}+\epsilon }$ 。则

$\overline{B\backslash N_{\delta }\left(K_{\stackrel{¯}{c}}^m\right)}\in {\Lambda }_n^m.$

由(10)和(11)可得 $c_n^m<\bar{c}-\epsilon$ ，矛盾。

定理2的证明 一方面，若方程(8)有无穷多解 $\left(\mu ,u,\kappa \right)\in ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)\times {ℝ}_{+}$ ，则在弱意义下，

$-\Delta u+\mu u=\left(I_{\alpha }\ast G\left(u\right)\right)g\left(u\right),x\in {ℝ}^3$

且

$\kappa =a+b{\kappa }^{\frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}=0.$

令 $v\left(x\right)=u\left({\kappa }^{-\frac{1}{2}}x\right)=u\left(y\right)$ ，则

$\begin{array}{l}-\left(a+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla v\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta v\left(x\right)+\mu v\left(x\right)\\ =-{\kappa }^{-1}\left(a+b{\kappa }^{\frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\left(y\right)\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta u\left(y\right)+\mu u\left(y\right)\\ =\left(I_{\alpha }\ast G\left(u\left(y\right)\right)\right)g\left(u\left(y\right)\right)=\left(I_{\alpha }\ast G\left(v\left(x\right)\right)\right)g\left(v\left(x\right)\right).\end{array}$

则蕴含方程(1)有无穷多解 $\left(\mu ,u\right)$ 。

另一方面，若方程(1)有无穷多解 $\left(\mu ,u\right)\in ℝ\times H_r^1\left({ℝ}^3\right)$ ，则在弱意义下，

$-\left(a+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla v\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta v+\mu v=\left(I_{\alpha }\ast G\left(v\right)\right)g\left(v\right),x\in {ℝ}^3.$

令 $\kappa =a+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla v\right|}^2\text{d}x}$ 且 $u\left(x\right)=v\left({\kappa }^{\frac{1}{2}}x\right)=v\left(y\right)$ ，则

$\kappa =a+b{\kappa }^{\frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}$

且

$\begin{array}{c}-\Delta u\left(x\right)+\mu u\left(x\right)=-\kappa \Delta v\left(y\right)+\mu v\left(y\right)\\ =-\left(a+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla v\left(y\right)\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta v\left(y\right)+\mu v\left(x\right)\\ =\left(I_{\alpha }\ast G\left(v\left(y\right)\right)\right)g\left(v\left(y\right)\right)\\ =\left(I_{\alpha }\ast G\left(u\left(x\right)\right)\right)g\left(u\left(x\right)\right).\end{array}$

则蕴含方程(1)有无穷多解 $\left(\mu ,u,\kappa \right)$ 。此外 $u,v$ 具有相同的径向对称性。因此，定理2的证明可从定理1的证明与上述结论得到。