埃尔米特流形上的光滑函数的有界性

The Boundedness of Smooth Functions on Hermite Manifolds

摘要: 本文研究完备埃尔米特流形上的光滑函数的有界性质。特别地，如果完备埃尔米特流形上的一个正的光滑函数的复拉普拉斯满足一个基本不等式，那么可以证明该函数有有限的上界值。

Abstract: In this paper, we study the boundedness of smooth functions on complete Hermitian manifolds. If the complex Laplacian of a positive smooth function on a complete Hermitian manifold satisfies a fundamental inequality, we can prove that the function has a finite upper bound.

1. 引言

利用极值原理，我们可推得在紧致流形上的光滑函数一定有有限的界。但是对于完备非紧的流形而言，其上的光滑函数一般是无界的。1975年，丘成桐在 [1] 证明了完备黎曼流形上的极值原理，进而可以研究完备流形上的光滑函数的有界性质。利用该极值原理，丘成桐在 [2] 中证明了复流形上的施瓦茨引理，即：从里奇曲率有下界的完备凯勒流形到有负的界的双全纯截面曲率的埃尔米特流形的全纯映射，它的距离减少。最近，通过改变曲率条件或者去掉凯勒条件，这些工作有了新的突破 [3] 。特别地，倪磊在 [4] 和 [5] 中研究了凯勒流形之间的全纯映射，给出了不同曲率条件下新的施瓦茨估计。这些定理证明的主要想法是构造一个特殊的光滑函数，然后运用丘成桐的极值原理，给出该函数的上界估计。

本文参考前人的工作，考虑完备非紧的埃尔米特流形上的任意非负的光滑函数，给出其上界估计。

定理1.1.设 $\left(M^m,g\right)$ 是一个完备的埃尔米特流形，其上的Gauduchon1-形式有界，且 $\left(M,g\right)$ 作为黎曼流形时，里奇曲率有一致的下界。如果对于任意正的光滑函数f，满足如下不等式：

${\square }_{g}f\ge a{f}^{c+1}-bf$

其中 $a,b,c$ 为正的常数，则有

$f\le {\left(\frac{b}{a}\right)}^{\frac{1}{c}}$

特别地，f在流形M上有有限的上界。

因为凯勒流形是特殊的埃尔米特流形，且Gauduchon1-形式为0，故定理1.1对凯勒流形也成立。利用定理1.1也可推出丘成桐的施瓦茨引理 [2] ，为了方便我们给出该定理的描述：

定理1.2.设 $\left(M,h\right)$ 是完备的凯勒流形，且里奇曲率 $r\ge a$ 。 $\left(N,g\right)$ 是埃尔米特流形，且全纯双截面曲率 $B\le b<0$ 。其中a和b都是常数。如果 $f:M\to N$ 是非常值的全纯映射，那么有

$f^{\ast }g\le \frac{a}{b}h$

2. 预备知识

关于黎曼流形的基本内容可参考 [6] 。这里我们给出埃尔米特流形的一些基本概念和性质，更多详细的知识可参考 [7] 。

不妨设 $N^n$ 是n维埃尔米特流形， J为近复结构，埃尔米特度量记为h。定义h对应的一个2-形式的 ${\omega }_h$ (也记 $\omega$ )：

$\omega \left(X,Y\right)=h\left(JX,Y\right),$

称 ${\omega }_h$ 为凯勒形式。令 $\left(z_1,\cdots ,z_n\right)$ 是局部的全纯坐标，则

$h=h_{i\bar{j}}d{z}^i\otimes d{\bar{z}}^j,\omega =\sqrt{-1}{h}_{i\bar{j}}d{z}^i\wedge d{\bar{z}}^j.$

如果 $d\omega =0$ ， $\omega$ 称为凯勒度量。

若 $\nabla$ 表示陈联络，则 $\nabla$ 的挠率张量T和曲率张量R定义为：

$T\left(X,Y\right)={\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X-\left[X,Y\right];$

$R\left(X,Y\right)Z={\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{\left[X,Y\right]}Z.$

在局部坐标下，挠率张量T的分量可表示为：

$T_{ij}^k=h^{k\bar{l}}\left(\frac{\partial h_{j\bar{l}}}{\partial z^i}-\frac{\partial h_{i\bar{l}}}{\partial z^j}\right).$

当h是凯勒度量时，有 $T_{ij}^k=0$ 。记 $\eta$ 为Gauduchon1-形式，则有

$\eta ={\displaystyle \underset{j}{\sum }{\eta }_j}d{z}^j={\displaystyle \underset{i,j}{\sum }{T}_{ij}^i}d{z}^j.$

曲率张量R的分量表达式为

$R_{i\bar{j}k\bar{l}}=-\frac{{\partial }^2{h}_{k\bar{l}}}{\partial z^i\partial {\bar{z}}^j}+h^{p\bar{q}}\frac{\partial h_{k\bar{q}}}{\partial z^i}\frac{\partial h_{p\bar{l}}}{\partial {\bar{z}}^j}.$

对曲率张量求迹，可推得

$R_{i\bar{j}}^{\left(1\right)}=h^{k\bar{l}}{R}_{i\bar{j}k\bar{l}}=-\frac{{\partial }^2}{\partial z^i\partial {\bar{z}}^j}\log {\omega }^n.$

称 $R_{i\bar{j}}^{\left(1\right)}$ 为第一里奇曲率张量。第一陈里奇形式为

$Ri{c}^{\left(1\right)}=\sqrt{-1}{R}_{i\bar{j}}d{z}^i\wedge d{\bar{z}}^j\in \Gamma \left(N,{\wedge }^{1,1}{T}^{\ast }N\right).$

它是闭的实(1,1)形式，并且是第一陈类 $c_1\left(N\right)\in H^2\left(N,2\pi \mathbb{Z}\right)$ 的代表元。

曲率张量R满足对称性：

$\overline{R\left(X,\stackrel{¯}{Y},Z,\stackrel{¯}{W}\right)}=R\left(Y,\bar{X},W,\bar{Z}\right),X,Y,Z,W\in T^{1,0}N.$

若h是凯勒度量，则R也有交换性： $R\left(X,\bar{Y},Z,\bar{W}\right)=R\left(Z,\bar{Y},X,\bar{W}\right)$ 。

用 ${\square }_{h}f$ 表示函数f相对于度量h的复拉普拉斯算子，且定义为：

${\square }_{h}f=T{r}_h\left(\sqrt{-1}\partial \bar{\partial }f\right)=h^{i\bar{j}}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^i\partial {\bar{z}}^j}$

在定理1.1的证明中，需要用到丘成桐的极值原理。

定理2.1 ( [1] ). 设 $\left(M,g\right)$ 是完备的黎曼流形，且黎曼度量g的里奇曲率有下界。如果v是M上有下界的光滑函数，则对于任意的 $\epsilon >0$ ，在M上都存在一点 $p_{\epsilon }$ ，使得在点 $p_{\epsilon }$ ，有如下不等式成立：

$\left|\nabla v\right|<\epsilon ,\Delta v>-\epsilon ,v\left(p_{\epsilon }\right)<\inf v+\epsilon .$

这里 $\Delta$ 是拉普拉斯–贝尔特拉米算子， $\nabla$ 是列维–奇维塔联络。

3. 主要结果的证明

在给出定理1.1的证明之前，我们先给出一个复几何中大家熟知的引理：

引理3.1.设 $\left(M^m,g\right)$ 是埃尔米特流形，且v是流形M上的光滑函数，则函数v的复拉普拉斯和拉普拉斯–贝尔米特算子满足如下关系式：

$\Delta v=2{\square }_{g}v+2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\left(v_i{\bar{\eta }}_i+v_{\bar{i}}{\eta }_i\right)}$

其中 $\eta$ 是度量g下的Gauduchon1-形式，且 $v_i=e_i\left(v\right)$ ， $v_{\bar{i}}={\bar{e}}_i\left(v\right)$ ，e是酉标架。

如果 $\left(M^m,g\right)$ 是凯勒流形，则Gauduchon1-形式为0，故v的拉普拉斯–贝尔米特等于2倍的复拉普拉斯，即： $\Delta v=2{\square }_{g}v$ 。

下面我们证明定理1.1。

证明.由定理已知条件可知，Gauduchon1-形式有界，不妨设 $\left|\eta \right|<D$ ，D是大于0的常数。由于非负光滑函数f满足

${\square }_{g}f\ge a{f}^{c+1}-bf$ (3.1)

且由引理3.1可知f也满足：

$\Delta f=2{\square }_{g}f+2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\left(f_i{\bar{\eta }}_i+f_{\bar{i}}{\eta }_i\right)}$ (3.2)

故结合(3.1)和(3.2)可得

$\Delta f\ge 2a{f}^{c+1}-2bf+2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\left(f_i{\bar{\eta }}_i+f_{\bar{i}}{\eta }_i\right)}$ (3.3)

由 $\left|\eta \right|<D$ ，可推出

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\left(f_i{\bar{\eta }}_i+f_{\bar{i}}{\eta }_i\right)}\ge -2D\left|\nabla f\right|$ (3.4)

故(3.4)代入(3.3)得到

$\Delta f\ge 2a{f}^{c+1}-2bf-4D\left|\nabla f\right|$ (3.5)

我们现在构造一个新的函数v，即 $v={\left(f+1\right)}^{-\frac{1}{2}c}=\frac{1}{{\left(f+1\right)}^{\frac{1}{2}c}}$ 。故由 $f>0$ ，可知v也是流形M上的光滑的正函数。且有 $f=v^{-\frac{2}{c}}-1$ 。我们把v看成自变量是f的函数，则有

$\begin{array}{c}v\prime =-\frac{1}{2}c{\left(f+1\right)}^{-\frac{1}{2}c-1}\\ =-\frac{1}{2}c{v}^{1+\frac{2}{c}}\end{array}$

同理计算也有

$v^{″}=\frac{1}{4}c\left(c+2\right)v^{1+\frac{4}{c}}$

因为 $\nabla v=v\prime \nabla f$ ，即： $\left|\nabla f\right|=\frac{\left|\nabla v\right|}{\left|v\prime \right|}$ ，则

$\begin{array}{c}\Delta v=v^{″}{\left|\nabla f\right|}^2+v\prime \Delta f\\ =\frac{1}{4}c\left(c+2\right)v^{1+\frac{4}{c}}{\left(\frac{1}{v\prime }\right)}^2{\left|\nabla v\right|}^2+v\prime \Delta f\\ =\frac{c+2}{c}\frac{1}{v}{\left|\nabla v\right|}^2-\frac{1}{2}c{v}^{1+\frac{2}{c}}\Delta f\end{array}$

即：

$\Delta f=\frac{2\left(c+2\right)}{c^2}\frac{1}{v^{2+\frac{2}{c}}}{\left|\nabla v\right|}^2-\frac{2}{c}\frac{1}{v^{1+\frac{2}{c}}}\Delta v$ (3.6)

把(3.6)代入(3.5)可得到

$\begin{array}{c}2a{f}^{c+1}-2bf\le 4D\left|\nabla f\right|+\Delta f\\ \le \frac{8D}{c{v}^{1+\frac{2}{c}}}\left|\nabla v\right|+\frac{2\left(c+2\right)}{c^2}\frac{1}{v^{2+\frac{2}{c}}}{\left|\nabla v\right|}^2-\frac{2}{c}\frac{1}{v^{1+\frac{2}{c}}}\Delta v\end{array}$ (3.7)

现在我们对光滑函数v利用丘成桐的极值原理。对于任意的 $\epsilon >0$ ，在流形M上存在点 $p_{\epsilon }$ ，使得在点 $p_{\epsilon }$ 处，恒有

$\left|\nabla v\right|<\epsilon ,\Delta v>-\epsilon ,v\left(p_{\epsilon }\right)<\inf v+\epsilon .$

那么在点 $p_{\epsilon }$ ，由(3.7)得到

$\begin{array}{c}2a{f}^{c+1}-2bf\le \frac{2\left(c+2\right)}{c^2{v}^{2+\frac{2}{c}}}{\epsilon }^2+\frac{8D}{c{v}^{1+\frac{2}{c}}}\epsilon +\frac{2}{c{v}^{1+\frac{2}{c}}}\epsilon \\ =\frac{2\left(c+2\right){\epsilon }^2}{c^2}{\left(f+1\right)}^{c+1}+\frac{2\left(4D+1\right)\epsilon }{c}{\left(f+1\right)}^{\frac{1}{2}c+1}\end{array}$ (3.8)

若令 $\epsilon \to 0$ ，则由丘成桐的极值原理中的不等式可知， $v\to \inf v$ 。因为 $f=\frac{1}{v^{\frac{2}{c}}}-1$ ，故此时 $f\to \sup f$ 。下面我们用反证法证明 $\sup f$ 是有限值。不妨假设 $\sup f=+\infty$ 。那么我们把不等式(3.8)的两边同时除以 ${\left(f+1\right)}^{c+1}$ ，故有

$2a{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{f}}\right)}^{c+1}-2b\left[\frac{1}{{\left(f+1\right)}^c}-\frac{1}{{\left(f+1\right)}^{c+1}}\right]\le \frac{2\left(c+2\right){\epsilon }^2}{c^2}+\frac{2\left(4D+1\right)\epsilon }{c}\frac{1}{{\left(f+1\right)}^{\frac{1}{2}c}}$ (3.9)

故由假设 $\epsilon \to 0$ 时，有 $\sup f=+\infty$ ，此时由不等式(3.9)可推得 $2a\le 0$ ，这与已知条件 $a>0$ 矛盾。故可得 $\sup f$ 是有限值。

因为 $\sup f$ 是有限值，那么令 $\epsilon \to 0$ ，此时由(3.8)式可得：

$2a{\left(\sup f\right)}^{c+1}-2b\left(\sup f\right)\le 0.$

故有 $\sup f\le {\left(\frac{b}{a}\right)}^{\frac{1}{c}}$ 。 $\square$

下面我们再利用定理1.1给出丘成桐的施瓦茨引理(定理1.2)的证明。

证明：令 $u=t{r}_h\left(f^{\ast }g\right)$ ，易得u是流形M上的非负光滑函数。由定理1.2的条件可以得到Lu-不等式 [8] ：

${\square }_{h}u\ge au-b{u}^2.$

由定理1.2的条件，可知流形M也满足定理1.1的条件，且此时的 $c=1$ ，故运用定理1.1可推得：

$u\le \frac{a}{b}$ $\square$

4. 总结

本文的定理1.1的证明主要是利用已知函数满足的复拉普拉斯算子不等式，结合丘成桐的极值原理，利用反证法给出了我们想要的结论。我们知道，复几何中对研究一般的厄尔米特流形的几何性质和拓扑性质是比较困难的，并且已知的结果也不是很多。相较于凯勒几何而言，其上的厄尔米特度量的挠率不为零，故很多经典的性质和结论在厄尔米特流形上不一定成立。该定理考虑的是一般的完备厄尔米特流形，并且是任意的光滑函数，这对研究一般的复流形的光滑函数有重要的借鉴意义。当然，定理1.1的函数需要假设一个基本不等式，这是一个比较强的假设条件，是否能够改进该不等式的各项条件是今后的研究重点。比如，不等式的常数 $a,b,c$ 能否改成一般的正函数。另外，研究哪些几何性质能够刚好满足此不等式也是我们重点考虑的一个方向。