1. 引言
20世纪60年代,Arnold,Magri等学者为了研究Maxwell方程,Schrödinger方程和KdV方程等以力学问题为应用背景的偏微分方程,引进了无穷维Hamilton正则系统,在此基础上Gel’fand等人引进了无穷维Hamilton算子的概念。直到1991年,钟万勰院士利用结构力学与最优控制的模拟理论,将无穷维Hamilton系统与弹性力学方程相结合,利用无穷维Hamilton算子特征函数系的辛正交性对无穷维Hamilton正则系统进行分离变量导出横向本征值问题,开创了弹性力学求解新体系,为解决应用力学中的非对称问题提供了统一方法(见 [1] )。然而,在Hamilton体系下采用分离变量法是否可行问题的理论基础是无穷维Hamilton算子谱分布问题。于是,无穷维Hamilton算子谱理论研究受到了国内外学者的广泛关注(见 [2] [3] [4] [5] )。在线性算子谱理论的研究中,线性算子数值域是刻画算子谱集分布范围的有力工具。因为有界线性算子数值域闭包包含谱集。类似于有界线性算子的谱半径,可以定义刻画有界线性算子数值域分布的数值半径,并利用有界线性算子的数值半径可以刻画该算子的谱集分布范围。因此,本文研究了有界无穷维Hamilton算子的数值半径不等式问题,利用数值半径的酉相似不变性得到有界无穷维Hamilton算子的数值半径上下界估计式,为刻画有界无穷维Hamilton算子谱的分布问题奠定了理论基础。
2. 预备知识
下面给出一些在本文中所用到的符号和定义。
本文中H代表Hilbert空间,
代表H中有界线性算子的全体。若
,则
为其数值半径,
为算子范数,定义如下:
对于有界线性算子而言,数值半径描述的是包含有界线性算子数值域的最小闭圆盘半径,利用数值半径可以刻画有界线性算子谱集分布范围。
例2.1 令
,其中I表示Hilbert空间H中的恒等算子。经计算,易得算子X的谱集为
。数值半径为
。很显然,算子X的谱集包含于
为半径的圆盘内。
关于数值半径,首先提及的一个性质是它与算子范数是等价范数,即,对于
,有
(2.1)
且
(2.2)
特别的,当
时,有
。当X为正常算子时
。
给定
,如果存在一个酉算子
使得
,
则称算子X和Y是酉相似。数值半径的另外一个非常重要的性质就是酉相似不变性,即,令
,则
(2.3)
其中
是酉算子。
定义 [6] :如果
且Y,Z为自伴算子,则称分块算子矩阵
为有界无穷维Hamilton算子。如果
,则称H为非负Hamilton算子。
3. 主要结论
引理3.1
,则有
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
特别的
。
引理3.2. 若
,则
。
证明:首先证明左边的不等式。由引理3.1 (4)及引理3.1 (3)可知
所以有
同理对于
有
故而,综上所述有
下面证明右边的不等式,令酉算子
,则
证毕。
引理3.3. 若
,则有
且
。
引理3.4. 若
且非负,则
当且仅当
。
定理3.5. 若
,且
为自伴算子,则
。
且
。
证明:由引理3.3可知
。
由引理3.1 (1)有
又由定理3.2有
由引理3.1 (1)以及定理3.2我们可以得到
考虑到
是自伴算子,结论得证。
定理3.6设
,
为非负Hamilton算子,且
,则H的数值半径不等式满足
且
。
证明:由引理3.4可知
,
即
。再由定理3.5,结论得证。
下面将给出具体例子加以说明判别准则的有效性。
例3.1 给定无穷维Hamilton算子
,则由定理3.5可知
。
另一方面,由于H是自伴算子,故数值半径与算子范数相等,即
。
结论吻合。
4. 总结
本文主要发现点是利用数值半径的酉相似不变性得到了有界无穷维Hamilton算子的数值半径上下界的估计式。该结论为刻画有界无穷维Hamilton算子谱的分部范围提供了重要依据。关于无穷维Hamilton算子数值半径有很多问题可以进一步研究。比如,二次数值半径的上下界估计以及二次数值半径的幂不等式等等。
基金项目
内蒙古大学大创项目资金支持,项目编号为202211215。
参考文献