函数域上双重酉欧拉函数的均值

The Average Value of Bi-Unitary Euler Function in the Function Fields

摘要: 本文给出了函数域F_q(T)中双重酉欧拉函数Φ^∗∗(f)的定义，研究了其可乘性，并给出了双重酉欧拉函数Φ^∗∗(f)的一个渐近公式。

Abstract: In this paper, we give the definition of bi-unitary Euler function Φ^∗∗(f) in function field F_q(T), study its multiplicativity, and give an asymptotic formula of bi-unitary Euler function Φ^∗∗(f).

1. 引言

作为数学中一个重要的分支——数论，欧拉函数是数论中非常重要的一个算数函数，它对素数分解、公钥加密、广义费马大定理等方面都有着非常重要的应用，而欧拉函数的均值估计也具有着非常重要的研究意义。

对于任意正整数n，我们令欧拉函数 $\phi \left(n\right)$ 表示为小于等于n的正整数中与n互素的个数。对于任意的 $\epsilon >0$ ，Mentens [1] 证明了

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }\phi }\left(n\right)=\frac{3}{{\pi }^2}{x}^2+R\left(x\right),$

其中 $R\left(x\right)\ll x^{1+\epsilon }$ 。对于 $R\left(x\right)$ 的估计，Walfisz [2] 和Carella [3] 分别证明了

$R\left(x\right)\ll x{\left(\log x\right)}^{2/3}{\left(\log \log x\right)}^{4/3},R\left(x\right)\ll x.$

对于欧拉函数 $\phi \left(n\right)$ 的倒数的均值估计，Carellan还证明了

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }\frac{1}{\phi \left(n\right)}}=c_0+c_1\log x+O\left(\frac{\log x}{x}\right),$

其中 $c_0$ 和 $c_{\text{1}}$ 是两个常数。

设 $n\ge 1$ 为正整数，若 $d|n$ 且 $\gcd \left(d,n/d\right)=1$ ，则称d是n的一个酉除数，记为 $d\left|\right|n$ 。令 ${\left(k,n\right)}_{\ast }:=\max \left\{d\in \mathbb{N}:d|k,d\parallel n\right\}$ ，定义酉欧拉函数 ${\phi }^{\ast }\left(n\right)$ 为

${\phi }^{\ast }\left(n\right):=♯\left\{k\in \mathbb{N}:1\le k\le n,{\left(k,n\right)}_{\ast }=1\right\}.$

Cohen [4] 证明了酉欧拉函数 ${\phi }^{\ast }\left(n\right)$ 是一个可乘函数，并且给出了 ${\phi }^{\ast }\left(n\right)$ 的一个均值估计

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{\phi }^{\ast }}\left(n\right)=\frac{\alpha x^2}{2}+O\left(x{\log }^{2}x\right),$ (1.1)

其中 $\alpha ={\displaystyle {\prod }_p\left(1-\frac{1}{p\left(p+1\right)}\right)}$ 。对于酉欧拉函数 ${\phi }^{\ast }\left(n\right)$ 的其他性质可以参看文献 [5] [6] [7] [8] 。随后，Sitaramachandrarao和Suryanareynan [9] 改进了(1.1)的余项，得到

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{\phi }^{\ast }}\left(n\right)=\frac{\alpha x^2}{2}+O\left(x{\log }^{\frac{5}{3}}x{\left(\log \log x\right)}^{\frac{4}{3}}\right),$

其中 $\alpha$ 与(1)一致。

令

${\left(k,n\right)}_{\ast \ast }:=\max \left\{d\in \mathbb{N}:d\parallel k,d\parallel n\right\}$

为k和n的最大酉公因式，我们定义双重酉欧拉函数 ${\phi }^{\ast \ast }\left(n\right)$ 为

${\phi }^{\ast \ast }\left(n\right):=♯\left\{k\in \mathbb{N}:1\le k\le n,{\left(k,n\right)}_{\ast \ast }=1\right\}.$

Haukkanen [10] 证明了

${\phi }^{\ast \ast }\left(n\right)={\displaystyle \underset{d\parallel n}{\sum }{\mu }^{\ast }}\left(d\right)\phi \left(d,\frac{n}{d}\right),$

其中

$\phi \left(d,\frac{n}{d}\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}1\le \delta \le \frac{n}{d}\\ \left(\delta ,d\right)=1\end{array}}{\sum }1},{\mu }^{\ast }\left(n\right)={\left(-1\right)}^{\omega \left(n\right)},$

$\omega \left(n\right)$ 为n的不同素因子的个数。Subbarao和Suranarayana [11] 给出了 ${\phi }^{\ast \ast }\left(n\right)$ 的一个均值估计

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{\phi }^{\ast \ast }}\left(n\right)=\frac{A{x}^2}{2}+O\left(x{\log }^{2}x\right),$

其中

$A={\displaystyle \underset{p}{\prod }\left(1-\frac{p-1}{p^2\left(p+1\right)}\right)}=\zeta \left(2\right){\displaystyle \underset{p}{\prod }\left(1-\frac{2}{p^2}+\frac{2}{p^3}-\frac{1}{p^4}\right)}.$

受上述研究的启发，我们在函数域中考虑类似的问题。设 ${\mathbb{F}}_q$ 为q元有限域，在函数域 ${\mathbb{F}}_q\left(T\right)$ 中，令 $\mathcal{M}$ 为一元多项式环 $\mathcal{A}$ 中所有首一多项式构成的集合。对于任意的 $f\in \mathcal{M}$ ，称首一多项式d为f的酉因式，如果 $d|f$ 且 $\left(d,f/d\right)=1$ ，记为 $d{|}^{\ast }f$ 。若d满足 $d{|}^{\ast }f$ 且 $d{|}^{\ast }g$ ，则称d为f与g的酉因式，记f与g的次数最大的酉因式为 ${\left(f,g\right)}^{\ast \ast }$ 。特别地，当 ${\left(f,g\right)}^{\ast \ast }=1$ 时，称f与g是酉互素的。我们定义函数域上双重酉欧拉函数 ${\Phi }^{\ast \ast }\left(f\right)$ 为 $\mathcal{M}$ 中次数小于f的次数且与f是酉互素的多项式的个数，即

${\Phi }^{\ast \ast }\left(f\right)=♯\left\{g\in {\mathbb{F}}_q\left(T\right):{\left(f,g\right)}^{\ast \ast }=1,\mathrm{deg}g<\mathrm{deg}f\right\}.$

对于双重酉欧拉函数 ${\Phi }^{\ast \ast }\left(f\right)$ 我们有下面的定理。

定理1.1 对于任意的正整数 $n\ge 1$ ， $0<\epsilon <1/2$ ，设 $\mathcal{M}$ 为一元多项式环 $\mathcal{A}$ 中所有的首一多项式构成的集合， ${\Phi }^{\ast \ast }\left(f\right)$ 为 ${\mathbb{F}}_q\left(T\right)$ 上的双重酉欧拉函数。我们有

${\displaystyle \underset{f\in {\mathcal{M}}_n}{\sum }{\Phi }^{\ast \ast }}\left(f\right)=q^{2n}+O\left(q^{2n-1+\epsilon }\right).$ (1.2)

符号说明：

2. 预备知识与引理

2.1. 函数域上的zeta函数

为了证明定理1，我们首先介绍函数域上的zeta函数的定义和性质。函数域 ${\mathbb{F}}_q\left(T\right)$ 上的zeta函数定义为(见文献 [2] )

${\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{1}{{\Vert f\Vert }^s}},\Re \left(s\right)>1.$ (2.1)

其欧拉乘积为

${\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s\right)={\displaystyle \underset{\text{irr}\text{.}P\in \mathcal{M}}{\prod }{\left(1-\frac{1}{{\Vert P\Vert }^s}\right)}^{-1}},\Re \left(s\right)>1.$ (2.2)

由(2.1)，我们有

${\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s\right)=\frac{1}{1-q^{1-s}},\Re \left(s\right)>1,$ (2.3)

即函数域上的zeta函数可解析延拓到整个复平面上除 $s=1$ 点外。

下面我们给出证明定理1所需的几个引理。

2.2. 预备引理

在数论中有一类非常重要的函数——乘性函数，它具有非常良好的性质即它在一个整数上的函数值等于对该整数做素幂因子分解后所有素数幂上的函数值之积。下面我们证明函数域上的双重酉欧拉函数 ${\Phi }^{\ast \ast }\left(f\right)$ 也是一个乘性函数。

引理2.1：对任意 $f=P_1^{{\alpha }_1}{P}_2^{{\alpha }_2}\cdots P_s^{{\alpha }_s}\in {\mathbb{F}}_q\left[T\right]$ ，其中 $P_i^{{\alpha }_i}$ 是两两互素的首一的不可约多项式， ${\alpha }_i=1,\cdots ,s$ ，我们有

${\Phi }^{\ast \ast }\left(f\right)={\Phi }^{\ast \ast }\left(P_1^{{\alpha }_1}\right){\Phi }^{\ast \ast }\left(P_2^{{\alpha }_2}\right)\cdots {\Phi }^{\ast \ast }\left(P_s^{{\alpha }_s}\right).$

证明：首先定义如下的一些集合，

$U_f=\left\{g|0\le \mathrm{deg}g<\mathrm{deg}f,g\in \mathcal{M}\right\},$

$U_{P_i^{{\alpha }_i}}=\left\{g|0\le \mathrm{deg}g<\mathrm{deg}{P}_i^{{\alpha }_i},g\in \mathcal{M}\right\},i=1,\cdots ,s,$

$U=\left\{h|{\left(h,f\right)}^{\ast \ast }=1,h\in U_f\right\},$

$U^{\prime }=\left\{\left(h_1,\cdots ,h_s\right)|{\left(h_i,P_i^{{\alpha }_i}\right)}^{\ast \ast }=1,h_i\in U_{P_i^{{\alpha }_i}},i=1,\cdots ,s\right\}.$

令 $\tau$ 是集合U到集合 $U^{\prime }$ 的一个映射

$\begin{array}{l}\tau :U\to U^{\prime }\\ h\mapsto \left(h_1,h_2,\cdots ,h_s\right),h_i\equiv h\left(\mathrm{mod}{P}_i^{{\alpha }_i}\right),i=1,2,\cdots ,s.\end{array}$

下面证明映射 $\tau$ 为一个双射。

映射 $\tau$ 为单射。设对于任意的 $h,h^{\prime }\in U$ ，有 $\tau \left(h\right)=\left(h_1,h_2,\cdots ,h_s\right)$ ， $\tau \left(h^{\prime }\right)=\left({h^{\prime }}_1,{h^{\prime }}_2,\cdots ,{h^{\prime }}_s\right)$ 。若 $\left(h_1,h_2,\cdots ,h_s\right)=\left({h^{\prime }}_1,{h^{\prime }}_2,\cdots ,{h^{\prime }}_s\right)$ ，则 $h\equiv h^{\prime }\left(\mathrm{mod}{P}_1^{{\alpha }_1}\right)$ ， $h\equiv h^{\prime }\left(\mathrm{mod}{P}_2^{{\alpha }_2}\right)$ ， $\cdots$ ， $h\equiv h^{\prime }\left(\mathrm{mod}{P}_s^{{\alpha }_s}\right)$ 。从而有 $h=h^{\prime }\left(\mathrm{mod}{P}_1^{{\alpha }_1}{P}_2^{{\alpha }_2}\cdots P_s^{{\alpha }_s}\right)$ 。因为 $\mathrm{deg}h<\mathrm{deg}f$ ， $\mathrm{deg}{h}^{\prime }<\mathrm{deg}f$ ，所以 $h=h^{\prime }$ ，故映射 $\tau$ 为单射。

映射 $\tau$ 为一个满射。对于集合 $U^{\prime }$ 中任意的元素 $\left(h_1,h_2,\cdots ,h_s\right)$ ，假设满足条件 $h_1\equiv h\left(\mathrm{mod}{P}_1^{{\alpha }_1}\right)$ ， $h_2\equiv h\left(\mathrm{mod}{P}_1^{{\alpha }_2}\right)$ ， $\cdots$ ， $h_s\equiv h\left(\mathrm{mod}{P}_s^{{\alpha }_s}\right)$ 的 $h\notin U$ 。于是有 ${\left(h,f\right)}^{\ast }>1$ ，即存在某个 $i\left(1\le i\le s\right)$ ，使得 $P_i^{{\alpha }_i}{|}^{\ast }h$ 。又因为h满足 $h\equiv h_i\left(\mathrm{mod}{P}_i^{{\alpha }_i}\right)$ ，从而有 $h_i=P_i^{{\alpha }_i}$ ，这与 ${\left(h_i,P_i^{{\alpha }_i}\right)}^{\ast }=1$ 矛盾。所以 $h\in U$ ，从而有映射 $\tau$ 是满射。故映射 $\tau$ 是双射。

因为集合U与集合 $U^{\prime }$ 之间存在一个双射，则 $♯\left\{U\right\}=♯\left\{U^{\prime }\right\}$ 。从而由双重酉欧拉函数的定义有

${\Phi }^{\ast \ast }\left(f\right)={\Phi }^{\ast \ast }\left(P_1^{{\alpha }_1}\right){\Phi }^{\ast \ast }\left(P_2^{{\alpha }_2}\right)\cdots {\Phi }^{\ast \ast }\left(P_s^{{\alpha }_s}\right).$

设 $s\in ℂ$ ，对于任意的 $0<\epsilon <1/2$ ，定义

$G\left(s\right):={\displaystyle \underset{\text{irr}.P\in \mathcal{M}}{\prod }\left(1-\frac{2}{{\Vert P\Vert }^s}+\frac{1}{{\Vert P\Vert }^{2s-1}}\right)},\Re \left(s\right)>1+\epsilon .$

对于 $G\left(s\right)$ 我们有下面的一个引理。

引理2.2 对于任意的 $0<\epsilon <1/2$ ，当 $\Re \left(s\right)>1+\epsilon$ 时，存在与 $\epsilon$ 有关的常数 $C\left(\epsilon \right)$ ，使得

$\left|G\left(s\right)\right|\le \left|C\left(\epsilon \right)\right|.$

证明：当 $\Re \left(s\right)>1+\epsilon$ 时，由 $G\left(s\right)$ 的定义有

$G\left(s\right)={\displaystyle \underset{\text{irr}.P\in \mathcal{M}}{\prod }\left(1-\frac{2}{{\Vert P\Vert }^s}+\frac{1}{{\Vert P\Vert }^{2s-1}}\right)}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\prod }}{\displaystyle \underset{\text{irr}.P\in {\mathcal{M}}_n}{\prod }\left(1-\frac{2}{{\Vert P\Vert }^s}+\frac{1}{{\Vert P\Vert }^{2s-1}}\right)}}.$

由于 ${\Vert P\Vert }^s=q^{ns},P\in {\mathcal{M}}_n$ ，于是

$G\left(s\right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\prod }}{\displaystyle \underset{\text{irr}.P\in {\mathcal{M}}_n}{\prod }\left(1-\frac{2}{q^{ns}}+\frac{1}{q^{n\left(2s-1\right)}}\right)}}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\prod }}{\left(1-\frac{2}{q^{ns}}+\frac{1}{q^{n\left(2s-1\right)}}\right)}^{a_n}},$

其中 $a_n$ 表示 ${\mathcal{M}}_n$ 中首一的不可约多项式的个数，从而有

$\left|G\left(s\right)\right|={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\prod }}{\left|1-\frac{2}{q^{ns}}+\frac{1}{q^{n\left(2s-1\right)}}\right|}^{a_n}}\le {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\prod }}{\left(1+\frac{3}{q^{n\Re \left(s\right)}}\right)}^{a_n}}.$

因为存在常数 $C_1>\epsilon$ ，使得 $a<\frac{C_1{q}^n}{n}$ (见文献 [12] )，所以对 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\prod }}{\left(1+\frac{3}{q^{n\Re \left(s\right)}}\right)}^{a_n}}$ 取对数并且进行泰勒展开有

$\left|G\left(s\right)\right|\le \exp \left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{C_1{q}^n}{n}}\log \left(1+\frac{3}{q^{n\Re \left(s\right)}}\right)\right)\le \exp \left(O\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{n{q}^{n\left(\Re \left(s\right)-1\right)}}}\right)\right).$

而当 $\Re \left(s\right)>1+\epsilon$ 时， ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{n{q}^{n\left(Re\left(s\right)-1\right)}}}$ 是收敛的，所以存在 $C\left(\epsilon \right)>0$ ，使得

$\left|G\left(s\right)\right|\le C\left(\epsilon \right).$

当 $\Re \left(s\right)>1+\epsilon$ 时， $\left|G\left(s\right)\right|$ 是收敛的。考虑将 $G\left(s\right)$ 可以写成Dirichlet级数的形式

$G\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{h\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}},\Re \left(s\right)>1+\epsilon ,$

$G\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{h\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}},$

其中 $h\left(f\right)$ 是由 $G\left(s\right)$ 所确定的可乘函数。由 ${\Vert f\Vert }^s=q^{ls},f\in {\mathcal{M}}_l$ ，则有

$G\left(s\right)={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{f\in {\mathcal{M}}_l}{\sum }h}}\left(f\right)q^{-ls}.$ (2.4)

在(2.3)中，令 $u=q^{-s}$ ，我们有

$\hat{G}\left(u\right):={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}{h}_l}{u}^l,\left|u\right|\le q^{-\left(1+\epsilon \right)}.$ (2.5)

其中 $h_l={\displaystyle \underset{f\in {\mathcal{M}}_l}{\sum }h}\left(f\right)$ ，特别地， $h_0=1$ 。下面我们给出 $h_l$ 的一个界。

引理2.3 对于任意的 $\epsilon >0$ ，有

$\left|h_l\right|\le C\left(\epsilon \right)q^{l\left(1+\epsilon \right)}.$

其中常数 $C\left(\epsilon \right)$ 与引理2.2中的常数一致。

证明：由Laurent定理 [13] 有

$h_l=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\frac{\hat{G}\left(u\right)}{u^{l+1}}\text{d}u},$

其中围道取为 $\Gamma :\left|u\right|=q^{-\left(1+\epsilon \right)}$ ，从而我们有

$\begin{array}{c}\left|h_l\right|=\left|\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\frac{\hat{G}\left(u\right)}{u^{l+1}}\text{d}u}\right|\le \frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\frac{\left|\hat{G}\left(u\right)\right|}{\left|u^{l+1}\right|}}\left|\text{d}u\right|\le \frac{1}{2\pi }C\left(\epsilon \right)q^{\left(1+\epsilon \right)\left(l+1\right)}{\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\left|\text{d}u\right|}\\ =\frac{1}{2\pi }C\left(\epsilon \right)q^{\left(1+\epsilon \right)\left(l+1\right)}2\pi q^{-\left(1+\epsilon \right)}=C\left(\epsilon \right)q^{l\left(1+\epsilon \right)}.\end{array}$

为了证明定理1.1，我们定义

$F\left(s\right):={\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{{\Phi }^{\ast \ast }\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}},\Re \left(s\right)>1.$ (2.6)

对于 $F\left(s\right)$ 我们有如下的引理。

引理2.4 对于 $\Re \left(s\right)>1$ ，有

$F\left(s\right)={\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s\right){\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s-1\right)G\left(s\right).$

证明：根据 $\Vert f\Vert =q^{\mathrm{deg}f}$ 和引理2.1，可得 $F\left(s\right)$ 的欧拉乘积为

$\begin{array}{c}F\left(s\right)={\displaystyle \underset{\text{irr}.P\in \mathcal{M}}{\prod }\left(1+\frac{{\Phi }^{\ast \ast }\left(P\right)}{{\Vert P\Vert }^s}+\frac{{\Phi }^{\ast \ast }\left(P^2\right)}{{\Vert P\Vert }^{2s}}+\cdots \right)}\\ ={\displaystyle \underset{\text{irr}.P\in \mathcal{M}}{\prod }\left(1+\frac{\Vert P\Vert -1}{{\Vert P\Vert }^s}+\frac{{\Vert P\Vert }^2-1}{{\Vert P\Vert }^{2s}}+\cdots \right)}\\ ={\displaystyle \underset{\text{irr}.P\in \mathcal{M}}{\prod }\left(\frac{{\Vert P\Vert }^{s-1}}{{\Vert P\Vert }^{s-1}-1}-\frac{1}{{\Vert P\Vert }^s-1}\right)}.\end{array}$

当 $\Re \left(s\right)>1$ 时，根据函数域上的zeta函数的欧拉乘积(2.2)，有

${\zeta }_A\left(s\right)={\displaystyle \underset{\text{irr}.P\in \mathcal{M}}{\prod }{\left(1-\frac{1}{{\Vert P\Vert }^s}\right)}^{-1}},$

${\zeta }_A\left(s-1\right)={\displaystyle \underset{\text{irr}.P\in \mathcal{M}}{\prod }{\left(1-\frac{1}{{\Vert P\Vert }^{s-1}}\right)}^{-1}}.$

于是

$\begin{array}{l}F\left(s\right){\zeta }_A^{-1}\left(s\right){\zeta }_A^{-1}\left(s-1\right)\\ ={\displaystyle \underset{\text{irr}.P\in \mathcal{M}}{\prod }\left(\frac{{\Vert P\Vert }^{s-1}}{{\Vert P\Vert }^{s-1}-1}-\frac{1}{{\Vert P\Vert }^s-1}\right)}\left(1-\frac{1}{{\Vert P\Vert }^s}\right)\left(1-\frac{1}{{\Vert P\Vert }^{s-1}}\right)\\ ={\displaystyle \underset{\text{irr}.P\in \mathcal{M}}{\prod }\left(1-\frac{2}{{\Vert P\Vert }^s}+\frac{1}{{\Vert P\Vert }^{2s-1}}\right)}=G\left(s\right).\end{array}$

3. 定理1.1的证明

令 $u=q^{-s}$ ，由(2.5)有

$\hat{F}\left(u\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{f\in {\mathcal{M}}_n}{\sum }{\Phi }^{\ast \ast }}}\left(f\right)u^n.$ (3.1)

由(2.3)有

${\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s-1\right)=\frac{1}{1-q^{2-s}}.$ (3.2)

于是，在(2.3)和(3.2)中令 $u=q^{-s}$ 并分别进行泰勒展开，我们得到

${\hat{\zeta }}_{\mathcal{A}}\left(u\right)={\displaystyle \underset{r=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^r}{u}^r,$ (3.3)

${\hat{\zeta }}_{\mathcal{A}}\left(u-1\right)={\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^{2m}}{u}^m.$ (3.4)

根据引理2.4，合并(2.4)，(3.3)和(3.4)我们有

$\hat{F}\left(u\right)={\hat{\zeta }}_{\mathcal{A}}\left(u\right){\hat{\zeta }}_{\mathcal{A}}\left(u-1\right)\hat{G}\left(u\right)=\left({\displaystyle \underset{r=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^r}{u}^r\right)\left({\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^{2m}}{u}^m\right)\left({\displaystyle \underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}{h}_l}{u}^l\right).$ (3.5)

对于 ${\hat{\zeta }}_A\left(u-1\right)\hat{G}\left(u\right)$ ，我们有

${\hat{\zeta }}_{\mathcal{A}}\left(u-1\right)\hat{G}\left(u\right)={\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^{2m}}{u}^m{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}{h}_l}{u}^l={\displaystyle \underset{t=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m+l=t}{\sum }{q}^{2m}}}{h}_l{u}^t.$ (3.6)

于是令 $T_t={\displaystyle \underset{m+l=t}{\sum }{q}^{2m}}{h}_l$ ，则有

$T_t={\displaystyle \underset{m+l=t}{\sum }{q}^{2m}}{h}_l={\displaystyle \underset{m+l=t}{\sum }{q}^{2\left(t-l\right)}}{h}_l=q^{2t}{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{t}{\sum }}\frac{h_l}{q^{2l}}}=q^{2t}\left(1+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}\frac{h_l}{q^{2l}}}\right).$

其中

$\begin{array}{c}\left|{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}\frac{h_l}{q^{2l}}}\right|\le {\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}C}\left(\epsilon \right)q^{l\left(\epsilon -1\right)}=C\left(\epsilon \right)q^{\epsilon -1}{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{t-1}{\sum }}{q}^{l\left(\epsilon -1\right)}}\\ \le C\left(\epsilon \right)q^{\epsilon -1}{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^{l\left(\epsilon -1\right)}}=C\left(\epsilon \right)q^{\epsilon -1}\frac{1}{1-q^{\epsilon -1}}.\end{array}$

而当 $0<\epsilon <1/2$ 时，

$\frac{1}{1-q^{\epsilon -1}}\le \frac{1}{1-2^{-\frac{1}{2}}},$

从而

${\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}\frac{h_l}{q^{2l}}}=O\left(q^{\epsilon -1}\right).$

故

$T_t=q^{2t}\left(1+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}\frac{h_l}{q^{2l}}}\right)=q^{2t}\left(1+O\left(q^{\epsilon -1}\right)\right)=q^{2t}+O\left(q^{2t+\epsilon -1}\right).$ (3.7)

由(3.5)和(3.6)，有

$\hat{F}\left(u\right)={\displaystyle \underset{r=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^r}{u}^r{\displaystyle \underset{t=0}{\overset{\infty }{\sum }}{T}_t}{u}^t={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{r+t=n}{\sum }{q}^r}}{T}_t{u}^n.$ (3.8)

对比(3.1)和(3.8)，我们得到

${\displaystyle \underset{f\in {\mathcal{M}}_n}{\sum }{\Phi }^{\ast \ast }}\left(f\right)={\displaystyle \underset{r+t=n}{\sum }{q}^r}{T}_t={\displaystyle \underset{r+t=n}{\sum }{q}^{n-t}}{T}_t=q^n{\displaystyle \underset{t=0}{\overset{n}{\sum }}\frac{T_t}{q^t}}.$

根据(3.7)，有

${\displaystyle \underset{t=0}{\overset{n}{\sum }}\frac{T_t}{q^t}}={\displaystyle \underset{t=0}{\overset{n}{\sum }}{q}^t}+O\left({\displaystyle \underset{t=0}{\overset{n}{\sum }}{q}^{t+\epsilon -1}}\right)=\frac{q^{n+1}}{q-1}+O\left(q^{\epsilon -1}\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\right),$

其中

$O\left(q^{\epsilon -1}\frac{q^{n+1}}{q-1}\right)=O\left(q^{\epsilon -1}\left(\frac{q}{q-1}{q}^n-\frac{1}{q-1}\right)\right)=O\left(q^{n-1+\epsilon }\right).$

因此

${\displaystyle \underset{f\in {\mathcal{M}}_n}{\sum }{\Phi }^{\ast \ast }}\left(f\right)=q^n\left(\frac{q}{q-1}{q}^n+O\left(q^{n-1+\epsilon }\right)\right)=q^n\left(\frac{1}{1-\frac{1}{q}}{q}^n+O\left(q^{n-1+\epsilon }\right)\right).$

最后由 $\frac{1}{1-\frac{1}{q}}$ 的泰勒展开

$\frac{1}{1-\frac{1}{q}}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(\frac{1}{q}\right)}^n}=1+O\left(\frac{1}{q}\right).$

有

${\displaystyle \underset{f\in {\mathcal{M}}_n}{\sum }{\Phi }^{\ast \ast }}\left(f\right)=q^n\left(q^n+O\left(q^{n-1}\right)+O\left(q^{n-1+\epsilon }\right)\right)=q^{2n}+O\left(q^{2n-1+\epsilon }\right).$