1. 问题提出
《普通高中数学课程标准(2017年版2020修订)》提出：“把握数学本质，启发思考，改进教学”的课程理念 [1] 。近年来，对数学素养以及数学核心素养的评价与探讨，基本集中于理论方面，将基础教育实践落到实处仍有很长的距离 [2] 。在课堂教学中，基于学生已有的认知水平，灵活采用适当的教学方法引导学生思考，使其在自主学习中清楚数学知识的本质是当下研究的一个重要问题。
舒尔曼于1986年提出了学科教学知识(PCK)的概念，其含义是“教师个人教学经验、教师学科内容知识和教育学的特殊整合” [3] ，即教师将学科知识加以重构、整合，使学生更容易接受、更方便理解。黄毅英在此基础上，将教学过程中所需要的知识分为数学学科知识(简称MK)、一般教学法知识(简称PK)和有关学生数学学习知识(简称CK)三类，统称为数学学科教学知识(简称MPCK) [4] 。
近年来，MPCK在数学教育领域占据着十分重要的位置，是数学教育研究的一个热点，对促进数学教学发展和教师专业发展具有极为深远的影响，并且对课堂教学发展也起到了至关重要的作用 [5] 。MK是教师对数学知识的认识，在教学设计前，教师应了解授课内容的知识背景并结合生活实际，深刻认识授课知识，为有效教学夯实根基；对一般教学法的选取是PK中最为重要的一环，在进行教学设计过程中，既对教师对常用教学方法的熟练掌握有着较高要求，还要求教师面对不同数学教学内容时能够根据教材和学生个体特点灵活选择教学方法；CK是教师对学生数学知识掌握、数学学习活动经验、数学学习心理等方面的认识，并据此调整教学方法，使数学教学设计更具目的性。
教学设计是促使教学理论和实践相结合的纽带，教师要基于学生原有认知水平、数学知识的来龙去脉及采用的教学方法综合运用MK、PK和CK进行设计。教师充分理解和使用MPCK理论，站在MPCK理论的角度对教学过程进行设计，对贯彻课程理念具有积极的作用。因此本文以人教A版“指数函数的概念”一节为例，结合数学学科特点和MPCK理论，探讨基于MPCK理论的教学设计。
2. 教学分析
指数函数的概念是人教A版数学必修第一册第四章第二小节的内容，学生在初中阶段已经对函数有了初步的了解，对函数和函数图像的关系有了一定的认识。在知识方面，已经学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数概念和性质，有一定的知识储备且具备一定的函数思想；在技能方面，通过对函数基本性质的学习，培养学生指数运算技能，为指数函数概念的学习奠定一定的基础，且为研究指数函数的性质做好准备；在数学方法方面，对特殊到一般的数学学习活动过程有过一定的体验，对数形结合思想比较熟悉。
秉持“以学生为主体，教师为主导”的课程理念，本节课主要采用谈话法、问题教学法、讨论法和练习法等教学方法进行教学，引导学生对问题深入思考，理解和学习指数函数的概念；学生分组讨论，合作交流，结合教师讲授过程完成教学目标。
3. MPCK理论视角下的指数函数教学设计
3.1. 创设情境生成问题
情境1：唐代诗人杜荀鹤的诗词“自小刺头深草里，而今渐觉出蓬蒿。时人不识凌云木，直待凌云始道高。”假设松树苗现在的高度是1个单位，每天按1%增长，请你写出x天后，松树高度y与x的函数关系式。
情境2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取之半，万世不竭”。请你写出取x次后，木棰的剩余量y与x的函数关系式。
[设计意图]通过诗句创设问题情境，提出数学问题，激发学生学习动力，活跃课堂气氛。学生可以在解决问题的过程中得到1.011，1.012，…，1.01n，…和
，
，…，
，……以及两个关系式
和
。数学教师在教学时，不要直接告诉学生得出的结果和内容，通过创设合适的教学情境，引导学生主动参与，经历探究、动手的过程，启发学生对问题的思考。
从MK的角度看，指数函数是在学习指数的基础上开展的具有探究性和创新性的教学内容，为后面学习对数和对数函数奠定基础；从PK的角度看，教师运用问题教学法的教学方法，通过提出问题、创设问题情境，引用古代诗句和生活中熟悉的实物来进行导入，能够提高学生学习的注意力，激发学习兴趣；从CK的角度看，本节所学概念与生活联系密切，将新知识与学生已有认知结构进行整合和联系，能使学生尽快进入学习状态。
3.2. 动手探索探究新知
问题1：请大家观察这两个函数
和
，你发现它们有什么共同特征呢？
[设计意图]在教学过程中，通过提出问题引发学生思考，让学生独立地观察并思考这两个函数关系式的联系之处，总结出如下结论：(1) 两个函数关系式的形式都是指数形式；(2) 底数均为常数；(3) 自变量 的位置都在指数部分。此环节运用了从特殊到一般的方法，使抽象的数学问题变得具体，培养学生的数学抽象核心素养。
问题2：这两个函数表达式均可以改写成怎么样的形式？
[设计意图]学生通过观察两个函数表达式的特征，找出两个函数表达式的相同点和不同点。在前一个问题中，学生已经观察出函数的共同特征，且可以显而易见地发现底数部分是两个函数的不同之处。在这一过程中，教师通过对学生进行适当的引导，帮助学生进行归纳概括，循序渐进地得出最后的结论：将底数用字母a表示，这两个表达式均可以改写成y = ax的形式。
问题3：这个底数a可以是任意数吗？底数a有什么范围呢？请大家动手演算一下，探讨底数a的取值情况，给出a的三种情况并分别举例讨论取值范围。
[设计意图]此阶段是本节课的重点内容。在这一过程中，教师不应该直接告诉学生结论，而是引导学生对内容进行总结，通过对数值观察发现一般规律，探索出底数a的取值范围。这样设计既能够发展学生的实际操作能力，又培养学生独立思考和总结概括的能力。
从MK的角度看，本节课的难点在于让学生自己总结出底数a的取值范围，引导学生独立思考问题。若问题难度较大，教师可给予适当的提示，将讨论范围分为a < 0、a = 0和a > 0，这样可以帮助学生理解较难的知识点，提高课堂效率；从PK的角度看，教师采用谈话法和讨论法的教学方法，教学过程中，通过提出问题引发学生思考，没有直接告诉学生底数a的取值范围，而让学生自己探索，以小组为单位进行探讨，培养学生合作交流和总结概括的能力；从CK的角度看，学生对情境有了进一步了解，已经对指数函数有了一定维度的认识，指数函数的概念呼之欲出，教学设计的关键就是一步一步引导学生给出概念。
3.3. 概念引入归纳定义
对函数y = ax，底数a要满足a > 0且 不等于1的条件，这就是本节课学习的概念，因其是以指数x为自变量的函数，所以将其称为指数函数。
教师板书：形如y = ax (a > 0，且
)的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R。
[设计意图]利用板书的形式突出本节课的重点：指数函数的定义。根据之前的归纳，给出一个概括性的数学表达式，加深学生对指数函数的理解，明确本节课的方向，有效完成教学任务。
从MK的角度看，教师教学时对指数函数的概念要有深刻理解，对学生提出的不同问题能够给予及时准确的回答，解决困惑，使学生掌握内容的本质；从PK的角度看，在概念引入环节教师应该侧重于引导学生回顾前面学习的指数内容，温故知新，让学生循序渐进地接受新知识，切忌平铺直叙地把指数函数的概念向学生讲解；从CK的角度看，学生对数学知识的理解存在较大差异，教师应根据学生的认知情况、学习能力等改善教学，让学生更好地掌握重点和难点。
3.4. 实践应用深化总结
应用1：判断下列函数是否为指数函数：
(1)
，(2)
，(3)
，(4)
。
应用2：已知函数
是指数函数，求a的值。
[设计意图]基于本节的知识点，设计由易到难的梯度练习，通过提问引导、师生互动的方式，逐步巩固学生对指数函数定义的理解。第一类问题属于函数辨析类，利用不同类型的函数解析式加强学生对指数函数定义的理解；第二类问题是利用已知条件求指数函数中的未知数，学会解简单指数函数的问题。解决这两种类型的练习题，需要明确三个关键点：(1) 系数必须为1；(2) 底数a > 0且
；(3) 指数只能为自变量x。设置练习题检验学生对知识点的应用能力，加深学生对指数函数进一步的认识。
应用3：课后阅读P115关于放射性物质衰减的问题，尝试找到一个生活中倍增的指数函数模型实例。
[设计意图]给学生布置课后任务，用一个科学问题引起学生的兴趣，调动学生的学习积极性。课后习题有很强的应用性和探索性，往往与生活实际相关，能够让学生养成主动进行观察和反思的习惯，培养学生探究归纳能力。
从PK的角度看，教师在教学过程中采用了练习法的教学方法，适当的练习有助于加深学生对知识点的理解，巩固本节课所学知识。同时，给学生留下独立解决问题的空间，培养学生解决问题的初步能力。
3.5. 归纳反思，总结升华
本节课学习了指数函数的定义，在学习的过程中运用了从特殊到一般，分类讨论等数学思想。
[设计意图]对所学知识进行梳理和回顾，学生将新学的概念与头脑中已有的知识相联系，完成知识体系的构建。
从MK的角度看，知识之间存在着相互联系，指数与指数函数、指数函数与其他函数都有关联而非相互独立。教师带领学生梳理本节课的重难点，强化对指数函数概念的理解，掌握指数函数的判断方法，做到区分出指数函数与其他函数。
从PK的角度看，教师带领学生进行总结和回顾时，仍然要以学生为主，引导学生构建自己的知识体系，即充分考虑教育的双向性，让学生成为课堂的主人。
4. 总结与启示
4.1. 总结
实践表明基于MPCK教学理论的教学设计能够使学生在探究新知的过程中感受到学习数学的乐趣，在调动学生学习积极性方面起到重要作用；教学过程中贯彻以学生为主体的教学理念，使学生的参与度得到显著提升；教学过程中渗透由特殊到一般、数学归纳等数学思想方法，有助于学生理解和掌握知识。
4.2. MPCK视角下的教学启示
4.2.1. 深挖教材，丰富MK
从MK的角度看，教师在介绍数学概念前，应了解概念的知识背景，能够解答“该知识点出自何处”，“在实际问题中有什么实际使用价值”等疑问，便于激发学生对该知识点的学习兴趣和求知欲望。每节课的知识点不是孤立的，在课堂教学中，教师要善于将每一章节的内容串联起来，对学生的疑惑要加以理解和剖析，了解学生产生这些疑问的原因，并给予及时准确的解答，帮助学生理解和掌握所学知识，这要求教师仔细钻研教材，提高对教材的掌控能力。因此，从MK的角度对“指数函数的概念”进行教学时，教师要思考：为什么要学习指数函数的概念？怎样学习指数函数的概念？教师要充分挖掘隐藏在教材背后的内容，在教与学的过程中积累自己的教学经验，深化教学内涵，发展教师的MPCK水平。
4.2.2. 立足目标，灵活选择PK
从PK的角度看，在教学过程中，教师应该站在学生的角度，立足于教学目标，审视和思考本节课的知识点，思考选用恰当的教学方法让学生更好地理解本节课的知识点，贯彻学生为教学主体的理念。本节课的教学目标为：(1) 引导学生理解指数函数的概念，掌握指数函数的判断方法，能够区分指数函数与其他函数；(2) 通过对指数函数定义的学习，渗透由特殊到一般、数学归纳等数学思想方法，培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养。教师在教学过程中应立足于教学目标，在不同的教学环节灵活选择PK。如本节课的课程教学中，在动手探索、探究新知环节，由于内容相对简单，教师可让学生独立思考观察两个函数关系式的联系；在探究底数a的取值范围时，由于问题较为抽象，学生独立解决有一定的难度，教师可以给予学生一些提示，帮助思考。
4.2.3. 以学生为主体，深度理解CK
从CK的角度看，教师在备课及上课阶段要了解学生的认知水平，教师可以采用提问、交流或布置随堂作业的方式来了解学生对本节课知识的接受程度和实际应用水平，依据不同学生的个体差异，调整教学方法，让学生学会用数学思维思考问题，发展学生的数学核心素养；在教学过程中不能直接给出问题的答案，要逐步引导，学生探究，培养学生的数学发散思维。教师要考虑高中学生的认知特点，合理进行教学设计。高中生具有浓厚的好奇心，因此在课堂结尾布置关于放射性物质衰减的问题，让学生尝试找到一个生活中倍增的指数函数模型实例，使学生感受到探索的乐趣。高中学生具有一定的抽象归纳能力，但其语言表达能力可能有所欠缺，教师可以结合最近发展区，适当调整教学设计的方式方法。