1. 引言
对于难以利用初等函数的性质进行求解的定积分问题,含参量积分作为一种积分工具发挥了重要的作用,而贝塔函数作为含参量积分中的重要特例,自然也为解决积分计算问题带来了极大的便利 [1] 。在日常的学习过程中,我们经常遇到形如
(其中
)的问题。一般情况下,求解这类定积分的常规方法是:结合三角函数之间的关系利用分部积分法求解出原函数,再利用牛顿莱布尼兹公式解决问题 [2] 。但在实际计算中,这种方法的适度并不高,尤其是当被积函数中的指数
不断增大时,计算过程将会非常的繁琐。本文利用第一类欧拉积分——贝塔函数的对称性、递推公式等性质得到
的递推公式和通用计算公式,从而大大地降低了计算量,有效地拓展了计算定积分的新思路。
2. 预备知识
定义1 [1] 第一类欧拉积分
也称为贝塔函数,其中
.
引理1 [1] 贝塔函数具有对称性:
。
引理2 [1] 贝塔函数的其他形式有:
(1)
引理3 [1] 贝塔函数的递推公式:
(2)
由对称性可推出也有递推公式:
(3)
3. 主要结果
为方便起见,记
(其中
),
本节首先利用贝塔函数的相关性质推导出
的递推公式,然后通过分类讨论参数
的奇偶性得到
的计算公式。
结论1设
为非负整数,则
(4)
证结合(1)和(2)可知,
在上式中,令
,
,则有
又由(1)知,
于是
因此,我们得到递推公式
(5)
同理,结合(1)和(3)可得
(6)
结合(5)和(6),我们得到
的递推公式如下:
接下来通过对m和n的奇偶性进行分类(共四类)讨论来推导出
的通项公式。
(i) 当
都是偶数时,反复应用
的递推公式(5)可得
(7)
反复应用
的递推公式(6)可得
将上式代入(7)式有
又由
可知,当m与n都是偶数时,
(ii) 当m是偶数,n是奇数时,反复应用
的递推公式(6)可得
由于m是偶数,所以(7)式仍成立。将其代入(7)式有
又由
可知,当m是偶数,n是奇数时,
(iii) 当m是奇数,n是偶数时,反复应用
的递推公式(5)可得
(8)
反复应用
的递推公式(6)可得
将上式代入(8)式有
又由
可知,当m是奇数,n是偶数时,
(iv) 当
都是奇数时,反复应用
的递推公式(6)可得
由于m是奇数,所以(8)式仍成立。将其代入(8)式有
由
可知,当m与n都是奇数时,
综合上述(i)~(iv)的结果即可得到(4)式。 □
接下来我们通过一个具体的例子来体会公式(4)的简便之处。
例1、计算积分
.
解:通常情况下,使用一般的积分计算方法时,我们可以求解出原函数并且利用牛顿莱布尼兹公式:
上述求解方法的计算过程比较复杂,不难想象当被积函数的指数再稍微增加一点,计算将更加的繁琐。文献 [3] 先将其转化为贝塔函数,然后利用贝塔函数和伽马函数之间的关系逐渐递推计算得出。但是如果通过我们上述总结的(4)式(对应于
)则可轻松的计算出结果:
将结论1进行拓展推广,不难得到被积函数
在
和
上的定积分的求解公式。
推论1 对于任意的非负整数m与n,则
推论2 对于任意的非负整数m与n,则
证利用三角函数的奇偶性与对称性即可得到推论1和推论2,这里不再详述具体推导过程。
4. 结论
本文借助贝塔函数的性质给出了形如
(其中
)的一类定积分的递推公式和通用的计算公式,并且对此公式进行了拓展,得到被积函数在积分区域
和
上的定积分的求解公式,为这类特殊的定积分的计算提供了高效的解决方法。本文的研究结果只适用于自然数,对于任意的整数推导这类定积分的计算公式将是一个新的研究方向。
致谢
作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见。
基金项目
国家自然科学基金面上项目(1197118);上海市级一流专业建设点项目。