1. 引言
1968年C.L. Chang提出不分明拓扑空间的概念,此后不分明拓扑学得到了迅速的发展,而且对问题的分析讨论也在逐步深化,各个不同方向的研究都得出了一些比较深刻的结果。应明生教授 [1] [2] [3] 提出了不分明化拓扑的概念,并从不同的角度发展了不分明集框架下的拓扑学。1982年,Dorsett C提出一般拓扑空间中的半
分离定理。1984年,胡庆平提出一般拓扑空间中
分离定理。此后,张广济和F.H. Khedr提出Fuzzifying拓扑空间中的半
分离定理和半
分离定理。同时Alkazragy A和Caldas M在一般拓扑中提出
,
,
,
,
,
,
分离定理,并展开相关研究。于是在前人基础上,如何将一般拓扑空间中
-半分离定理推广到不分明化拓扑空间中得到不分明化
-半分离定理,这对于丰富不分明化拓扑空间理论是重要的。
本文在前人工作的基础上在Fuzzifying拓扑空间中引入
-半分离定理,得到Fuzzifying
-半分离定理的一些好的性质和结论。
2. 预备知识
定理1 [4] 设
是不分明化拓扑空间,
,
。
定义1 [5] A的半闭包
定义为:
。
定义2 [5] 设
是Fuzzifying拓扑空间类,一元模糊谓词
被称为是
分离的,以下为一些等价定理:
定义3 [6] A的
-半闭包定义为对所有满足
且
的集合,表示为
,
为U的半闭包。
定义4 [7] 当存在X的一个
-开集U满足
,则子集A称为
-半开集。其中
为U的闭包。
定义5 [8] 设
是一个拓扑空间,
,
,则M称为x的
-半邻域当存在一个包含x的
-半开集A满足
。
定义6 [9] 设
是一个Fuzzifying拓扑空间,则一元模糊谓词
称为Fuzzifying半开集,若
。
定义7 [9] 设
,
表示x的半邻域系,定义为:
定理2 [10] (1)
;(2)
;(3)
。
3. 主要结果及其证明
首先,为了方便书写,下面给出一些简记记号:
定义1 设
是一个Fuzzifying拓扑空间,则称一元不分明谓词
为Fuzzifying
-半开集,若
。
定义2 设
,
表示x的Fuzzifying
-半邻域系,定义为:
定理1 对
,
。
定义3 设
是Fuzzifying拓扑空间类,分别称一元模糊谓词
为是Fuzzifying
分离的,定义为:
定义4
,Fuzzifying半
-闭包定义为:
定理2
证明
定理3
证明
定理4
证明
,则
定理5
证明 对任意
,
同理
则
反过来
所以,
。
定义5 设
是一类不分明化拓扑空间,一元模糊谓词
称为Fuzzifying
-半闭集,定义为:
,即
。
定理6
。
证明 由定义5和定理3易证。
定理7
证明
。
定理8 (1)
;(2)
证明 (1) (2)由定义显然得证。
定义6 设
是不分明化拓扑空间类,一元模糊谓词
称为Fuzzifying半
分离的,定义为:
定理9
证明
定理10
证明
所以,
。
定义7 设
是不分明化拓扑空间类,那么称一元模糊谓词
为Fuzzifying半
分离的,定义为:
定理11 设
是Fuzzifying空间,则
证明
定理12
证明
定义8 设
是不分明化拓扑空间类,那么称一元模糊谓词
为Fuzzifying
分离的,定义为:
。
定义9 设
是不分明化拓扑空间类,一元模糊谓词
称为Fuzzifying半
分离的,定义为:
。
定理13
证明
定理14
证明
定理15
证明
所以,
定理16
证明
定理17
证明 证明类似于定理16。
定理18
证明
定理19
证明 证明类似于定理15。
定理20
证明 证明类似于定理16。
定理21
证明 证明类似于定理16。