1. 引言
为方便研究,本文假设所有的图都是有限、简单、连通和无向的。
设
是一个图,
、
、
和
分别代表图的顶点集、边集、弧集和全自同构群,
表示图
的度数。
设
,s是一个正整数。一个图
被称为是
-弧传递的,如果X传递作用在
的s-弧集上,其中,s-弧是一个由
个顶点组成的
-数组,且对于
,满足
。称图
为s-弧正则图,如果它的全自同构群在其弧集上是正则的。
设G是有限群,其单位元素是1,一个图
被称为G的一个Cayley图,如果在G中有一个子集S,满足
,且
,使得
其中
。我们用
表示Cayley图
,Cayley图
的度数为
,另外,G可以被看作
的一个正则子群,其中G右乘作用在
上。为了方便,我们仍然用G代表这个正则子群,则Cayley图是点传递的;相反,一个点传递图
是群G的一个Cayley图,当且仅当
包含同构于G的一个正则子群。一个Cayley图
被称为G的一个正规Cayley图,如果G是
的一个正规子群;称
是无核的,如果G在某些
中是无核的,即
。
正则Cayley图是一类对称性较高的点传递图,代数图论中对这类图的研究一直是一个热门问题。图论学者最初从3度1-正则图开始研究,R.Frucht在文献 [1] 中构造出第一个3度1-正则图的例子;Li和Lou等在文献 [2] 中证明了如果一个5度的
-正则Cayley图不是正规的或双正规的;Ling和Lou在文献 [3] 中给出了连通无核5度1-传递Cayley图的特征和分类;Li和Lou在文献 [4] 中给出了7度无核1-正则Cayley图的一个分类;奇素数度的1-正则Cayley图的完全分类及其相关结论可参见文献 [5] ;另外,关于5度图的更多性质和分类结果可参见文献 [6] [7] [8] [9] [10] 。
本文主要针对点稳定子为F20的5度无核2-正则Cayley图进行研究和分类,考虑前10种共轭类的情况,得到以下主要结果:
定理1.1 设
是无核5度2-正则Cayley图,
是1在
中的稳定子,且同构于F20,则下列之一成立:
1)
同构于表1中的一个图;
2) 存在一个
的子群X,使得
,且G在X中无核。进一步,G和X的描述见表2。
Table 1. Core-free pentavalent 2-regular Cayley graphs with vertex stabilizer F20
表1. 点稳定子为F20的5度无核2-正则Cayley图
Table 2. Candidates for core-Free pentavalent 2-regular Cayley graphs with vertex stabilizer F20
表2. 点稳定子为F20的5度无核2-正则Cayley图的候选
2. 预备知识
设X是有限群,H是X的无核子群,对于一个元素
,定义图
,顶点集
是H在X中的右陪集,使得Hx和Hy相邻当且仅当
,则
在它的弧集上传递,其中X右乘作用在
上,这样的图叫做陪集图,且
连通当且仅当
,
的度为
。另外,若有一个正则子群G,则
。
对于一个无核X-弧传递Cayley图
,其中
,设
,
是v在X中的稳定子群,假设
,考虑X在
上的右乘作用,则X是对称群
的一个子群,在这个作用下,H是
的一个正则子群,且G是X中
的一个稳定子,不失一般性,我们可以假设G稳定1。由(文献 [11] ,命题3.2),我们有以下结论:
引理2.1 设
一个无核X-弧传递Cayley图,
,设
,
是v在X中的稳定子群,假设
,则X是
的一个子群,且H正则作用在
上。另外,若S包含一个对合
,则
,
,
,
,
。
对于连通5度
-传递图,由文献 [12] 和 [13] ,我们有以下引理:
引理2.2 设
是一个5度
-传递图,
,且
,设
,F20表示20阶的Frobenius群,则:
1) 如果
是可解的,则
,且
,其中,
在表3中;
2) 如果
是不可解的,则
,且
,其中,
在表4中。
Table 3. The soluble vertex stabilizer
表3. 可解的点稳定子
Table 4. The insoluble vertex stabilizer
表4. 不可解的点稳定子
3. 主要结论
设
是无核5度2-正则Cayley图,则S中一定包含一个对合
,由引理2.1可知,H是
的一个正则子群。我们可以假设
,其中
,
。假设
,则
,其中
,
,
,
。由Magma (文献 [14] )易计算出
有846种选择,它们在
中被分为159种共轭类。本文仅考虑前10种共轭类,它们的代表元如下:
现在设
,
,
,其中
。设
,
。注意到,H是
的一个正则子群,
是
作用在
上的1的点稳定子。由此,
,且
,则
正则作用在
上,进而得
。本文主要结论如下:
引理3.1 对于
,如果
是2-正则图,则:
1)
,
,
,
,且
;
2)
,
,
,
,且
;
其中
,
,
,
,
。
证明:首先,我们可由Magma (文献 [14] )分别计算出
和
的阶以及
中的元素。
对于一个顶点
,由Magma (文献 [14] )计算得,
,
,
,则由引理2.2,这些图都不是2-正则图。
当
时,由Magma (文献 [14] )计算可得,
有一个4阶的正规子群是初等交换群
,且它的补与
同构;
存在一个正规子群是初等交换群
,它的补是一个120阶的非交换群,易验证其与
同构。所以,我们得
,
。
当
时,由Magma (文献 [14] )易得,
的阶为720,它有6个正规子群,其中阶为12的正规子群和阶为60的正规子群的交为1,且这两个正规子群分别同构于
和
,从而得
。另外,
有一个阶为3600的正规子群,它显然同构于
,且它的补是阶为4的交换群,与
同构,因此
,引理得证。
引理3.2
,
,且
,其中
,
,
。
证明:假设
,由Magma (文献 [14] )可以直接计算出Cayley子集
中的元素,且
有一个同构于
的正规子群,它在
中的补同构于
,进而我们得
。
另外,由于
,我们由Magma (文献 [14] )可以计算出
的正规子群有4个,其中一个正规子群的阶为3292047360000,易验证它是
和
的直积,进一步地,我们得到它的补与
同构,最终我们有
,引理得证。
引理3.3
,
,且
,其中
,
,
,
。
证明:假设
,由Magma (文献 [14] ),我们可以直接计算出Cayley子集
中的元素,且
有一个阶为512的正规子群是初等交换群,即
,它在
中的补的阶为362880,易验证其与
同构,从而得
。
进一步地,因
,我们可得
有9个正规子群,由Magma (文献 [14] )验证其中一个阶为1024的正规子群是初等交换群
,它的补同构于
,从而得
,引理得证。
引理3.4
,
,且
,
,其中
,
,
,
,
,
。
证明:首先,我们可以由Magma (文献 [14] )直接计算出Cayley子集
和
中的元素。
假设
,由Magma (文献 [14] ),我们可以得到
的3个正规子群,易验证
的非单位真正规子群是单群,且与
同构,它在
中的补同构于
,因此
。
另外,因
,我们可由Magma (文献 [14] )计算出
的阶和正规子群,从而得到
的非单位真正规子群同构于
,它的补与
同构,因此
。
进一步,由Magma (文献 [14] ),我们有
,且
,引理得证。
对于点稳定子为F20的无核5度2-正则Cayley图
,其Cayley子集S中包含的对合
在
中共有159种共轭类,本文在定理1.1中仅描述前10种共轭类的情况。综合引理3.1、引理3.2、引理3.3和引理3.4的证明,定理1.1得证。