1. 引言
本文的符号G均指有限群,p总代表一个素数。用符号
和
分别表示群G的不可约p-Brauer特征标和非线性不可约p-Brauer特征标组成的集合。其他符号均是标准的,可以参考文献 [1] [2] 。
Frobenius群在有限群理论的发展中有着非常重要的作用,关于Frobenius群及其推广的研究一直以来都是众多学者关注的热点问题。我们知道,以子群N为核的Frobenius群G有下列两条典型的性质:
1) 对任意的
,均有
;
2) 对于任意的
且
,均存在
,使得
。
1996年,Kuisch和Waall [3] 根据Frobenius群的特征标刻画条件,引进了p-模Frobenius群的定义,其中p是素数,定义如下:
定义0.1 [3] 设N是群G的非平凡的正规子群,
的分裂域K的特征为素数p。如果群G满足下列条件之一,则称G是以正规子群N为核的p-模Frobenius群。
1) 元素x在G中的中心化子是N的子群,也即成立
,其中x属于N,且是非平凡p-正则元。
2) 设V是不可约非平凡的
-模,V诱导到G上是不可约的。
范娟娟,杜妮,曾吉文 [4] [5] 等人在2011年利用模特征标给出了p-模Frobenius群的另一等价定义:
定义0.2 [4] 设p是某素数,非平凡子群
。如果对任意的非平凡p-Brauer特征标
,均成立
,则称G是以正规子群N为核的p-模Frobenius群。
迄今为止,关于p-模Frobenius群的研究并不多,近年来,曹慧芹、曾吉文 [6] 构造了模Frobenius群的Frobenius补的结构,进一步刻画了一类特殊的模Frobenius群。本文继续研究模Frobenius群的结构。首先概述了p-模Frobenius群的常用结论,然后考察了以
为核的p-模Frobenius群G的性质和结构,得到了本文的主要结论,即下文的定理2.2和定理2.3。
2. p-模Frobenius群的性质描述
为后续研究需要,也为了更多了解关于模Frobenius群的性质和结构,下文概述一些模Frobenius群的常用性质,下述结论来自文献 [3] [4] [5] 。
引理1.1 [3] 设G是p-模Frobenius群,其中非平凡子群
,且N是p-模Frobenius核。则要么子群N可解,要么N非可解,且当N非可解时,有下述结论成立:G是2-模Frobenius群,如果设k为某
正整数,则N的任一非循环合成因子和
同构。
引理1.2 [3] 设G是2-模Frobenius群,其中非平凡正规子群N是2-模Frobenius核,若N是非可解子群,则
是一个2-群。
引理1.3 [4] 设G是p-模Frobenius群,其中非平凡正规子群N是p-模Frobenius核,则结论
成立,并且中心且
是p-群。
引理1.4 [4] 设G是p-模Frobenius群,其中非平凡正规子群N是p-模Frobenius核,则成立
,其中n为自然数。
我们知道,如果G是以N为核的Frobenius群,则
的Sylow 2-子群是循环群或者广义四元数群。
的Sylow p-子群
均循环。对于p-模Frobenius群的广义补的Sylow子群,有下列性质。
引理1.5 [3] 设G是以N为核的p-模Frobenius群,其中N不是p-群。则
1) 当
时,
的Sylow q-子群是循环群。
2) 当p为奇素数时,
的Sylow 2-子群是循环群或者广义四元数群。
此外,如果设r为素数,则任何一个非平凡的r-群均可以同构与某个商群
,其中X是以Y为核的r-模Frobenius群。
近来,曹慧芹、曾吉文 [6] 分析了模Frobenius群的内部群结构性质,结论如下。
引理1.6设G是有限群,H是G的真子群,p-群P是H的正规子群。如果对任意的
,均成立
。并且子群H满足
,则
1)
是G的正规子群。
2) G是以N为核的p-模Frobenius群,且
。
注:由于上述引理中
,因此
可类比Frobenius群补的结构,作者在文献 [6] 把满足引理1.6条件的p-模Frobenius群G称为强p-模Frobenius群,且称
为强p-模Frobenius群G的广义模Frobenius补。
类比Frobenius群的置换群定义刻画。文献 [7] 中也利用群作用的观点刻画了上述引理中的强p-模Frobenius群。结论如下。
引理1.7有限群G是强p-模Frobenius群当且仅当G传递作用在集合
上,其中
不是p-数。且对于集合
中的点k,如果设P是稳定子群
的非平凡正规p-子群,则
中只有子群P的元素可以至少固定
中两个点。
3. 一类特殊的p-模Frobenius群的刻画
引理2.1 [8] 设有限群G存在非线性不可约p-Brauer特征标,且G的任意非线性不可约p-Brauer特征
标均为实值Brauer特征标。记
,
,则下列陈述成立。
a) 设
,则
或者存在
,使得
。特别地,如果
,则
。
b) H的任意非线性不可约p-Brauer特征标均为实值以及成立
。
c)
,其中k是自然数。
定理2.2设有限群G存在非线性不可约p-Brauer特征标,且G的任意非线性不可约p-Brauer特征标
均为实值Brauer特征标。如果
是奇数,则下列陈述成立:
a) G是可解群且G是以
为核的p-模Frobenius群。
b)
是G的正规Hall-子群以及
循环。
证明由于
是奇数,于是子群
就是上述引理2.1中的子群H。任取
的非主不可约p-Brauer特征标
,由于
是非主Brauer特征标,因此
。于是根据上述定理的结论(a)可以得到
。再利用p-模Frobenius群的定义(2),立即得证G是以
为核的p-模Frobenius群。
由于
可换,往证G可解,只需证明
可解。根据引理1.1,
作为p-模Frobenius核,当素数p是奇数时,
是可解群。下面假设
以及
不可解。由于G是以
为核的p-模Frobenius群,利用引理1.1和引理1.4可以得到,此时
一定是2-群,这与我们的已知条件
是奇数矛盾。故得证
是可解群,进而G是可解群。综上本定理的结论(a)得证。
此外,由于
作为p-模Frobenius核,显然
不能是p-群。于是结合
是奇数,利用引理1.5得到,可换群
的任意Sylow-子群均是循环群,从而得证
循环。根据引理1.4的结论,得到
,其中k是自然数。注意到
是奇数,因此
,得证
是G的正规Hall-子群。综上,本定理结论(b)得证。
定理2.3设G是以
为核的p-模Frobenius群,则下述结论等价。
a) G的任意非线性不可约p-Brauer特征标均为实值Brauer特征标。
b)
中的p-正则元素均为G的实元素。
c) 任取
的不可约p-Brauer特征标
,
和其共轭特征标
是G-共轭的。
证明首先证明(a)和(b)等价。设结论(a)成立,任取
中的p-正则元素x,往证
,其中
是群G的任意不可约p-Brauer特征标。
如果
是线性p-Brauer特征标,由于
,
因此
,这意味着
。如果
,由于条件(a),
是实值Brauer特征标,于是显然
。故定理结论(b)得证。
设结论(b)成立,任取
,往证
是实值Brauer特征标。只需要证明:任取G的p-正则元素x,均成立
即可。如果
,由于条件(b)可以知道x是群G的实元素,因此
自然成立。
如果
。注意到
,结合
,以及G是以
为核的p-模Frobenius群,因此存在
,使得
。于是成立:
,
由于
,所以
。因此
。故定理结论(a)成立。
其次证明(a)和(c)等价。设结论(a)成立。我们知道,
的主p-Brauer特征标显然是实值特征标,因此一定是G-共轭的。下面任取
的非主不可约p-Brauer特征标
。注意到G是以
为核的p-模Frobenius群,因此
。由于
,所以根据条件(a)得到
是实值不可约p-Brauer特征标。于是
,这即意味着
和
是G-共轭的,从而结论(c)得证。
设结论(c)成立。任取
,由于引理2.1结论(a)知道,一定存在
,使得
。根据条件(c),可以设
,其中
。于是
,
这意味着
是实值不可约p-Brauer特征标。根据
的任意性,得证结论(a)成立。
综上,本定理证明完毕。
4. 结语
Frobenius群在有限群论的发展中起着非常重要的作用,Frobenius群的推广形式也是众多学者研究关注的热点问题。本文研究了Frobenius群在特征为素数的域中的推广形式,即p-模Frobenius群的性质和结构。特别地,我们利用Brauer特征标的理论知识刻画了一类特殊的p-模Frobenius群的结构,这对后续研究p-模Frobenius的一般群结构或者特征标结构均提供了良好的基础。
基金项目
国家自然科学基金项目(12201553);云南民族大学教学研究项目(2022JG-032);云南省兴滇英才青年专项;云南民族大学教育教学改革研究委托项目(2002JYJXGGWT-01)。
NOTES
*通讯作者。