预解算子方法求解一类H单调变分包含组问题

Solving a Class of H Monotonic Variational Inclusion System Problems Using the Resolvent Operator Method

摘要: 本文研究了实希尔伯特空间上一类H单调变分包含组问题，并利用预解算子构造了求解该变分包含组的迭代算法，在适当的假设条件下，证明了算法的收敛性。

Abstract: In this paper, we study a class of H monotone variational inclusions in real Hilbert space, and con-struct an iterative algorithm for solving the system of variational inclusions by using resolvent operators. Under appropriate assumptions, the convergence of the algorithm is proved.

1. 引言

众所周知，变分不等式是研究经济、管理和工程中出现的各种网络均衡问题的有用工具 [1] - [6] 。因此，它引起了数学、物理学、经济学等领域大量研究人员的广泛关注。变分包含问题是变分不等式问题的一个有用且重要的推广。求解变分包含问题时，通常需要集值映射为极大单调的，相应的求解算法可以参考 [7] 。Fang和Huang [8] 提出了一种不同于极大单调的集值映射的另一种单调性-H单调。并且研究了H单调和极大单调之间的关系，并给出了其预解算子单值并且李普希兹的条件，并给出来了变分包含问题 $0\in A\left(x\right)+M\left(x\right)$ 的求解算法，其中 $A\left(x\right)$ 为H单调的集值映像， $H\left(x\right)$ 为单值映像，该变分包含问题可以作为本文研究的一个特例。此前研究变分包含组问题都是基于集值映像为极大单调的条件下，利用预解算子方法得到变分包含组问题的迭代算法。本文研究了一类变分包含组在H单调条件下的求解算法并给出来了变分包含组解存在唯一的条件。

2. 预备知识

在这篇文章中，如果没有特别说明，都记X为一实希尔伯特空间， $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 和 $\Vert \cdot \Vert$ 分别表示内积和范数。K为X上的一非空闭凸集。 $X\times X$ 上的范数取和范数，即 ${\Vert \cdot \Vert }_{K\times K}={\Vert \cdot \Vert }_K+{\Vert \cdot \Vert }_K$ 。

定义1.1 X为一实希尔伯特空间，单值映射 $T:X\times X\to X$ 和 $H:X\to X$ 。

i) H为强 $\alpha$ 单调的当且仅当

$\langle Hx-Hy,x-y\rangle \ge \alpha {\Vert x-y\Vert }^2$ ， $\forall x,y\in X$ ，其中 $\alpha >0$ 。

ii) H为L李普希兹连续的当且仅当

$\Vert Hx-Hy\Vert \le L\Vert x-y\Vert$ ， $\forall x,y\in X$ ，其中 $L>0$ 。

iii) T为关于第一变元L李普希兹连续的当且仅当

$\Vert T\left(x,-\right)-T\left(y,-\right)\Vert \le L\Vert x-y\Vert$ ， $\forall x,y\in X$ ，其中 $L>0$ 。

iv) H为严格单调的当且仅当

H为单调的且 $\langle Hx-Hy,x-y\rangle =0$ ，当且仅当 $x=y$ 。

v) T为关于第一变元依赖于H满足性质(h)当且仅当

$\langle T\left(x_1,-\right)-T\left(y_1,-\right),x_2-y_2\rangle \ge \beta \Vert x_1-x_2\Vert \Vert x_2-y_2\Vert$ ， $\forall x_1,y_1,x_2,y_2\in X$

定义1.2 集值映射 $M:X\to 2^X$

i) M为单调的当且仅当

$\langle u-v,x-y\rangle \ge 0$ ， $\forall x,y\in X$ ， $u\in Mx,v\in My$

ii) M为H单调的当且仅当M为单调的且对于任意的 $\lambda >0$ 有

$\left(H+\lambda M\right)X=X$

定义1.3 M为H单调的，预解算子 $R_{M,\lambda }^H:X\to X$ 被定义为

$R_{M,\lambda }^H\left(x\right)={\left(H+\lambda M\right)}^{-1}\left(x\right)$ ， $\forall x\in X$

定理1.1 若H为强 $\alpha$ 单调的，M为H单调的，则预解算子 $R_{M,\lambda }^H:X\to X$ 为单值的且 $1/\alpha$ 李普希兹连续的。

定理1.2 若H为严格单调的，M为H单调的， $A:X\to X$ 为一单值映射，则 $x^{*}$ 为变分包含 $0\in M\left(x\right)+A\left(x\right)$ 的解当且仅当

$x^{*}=R_{M,\lambda }^H\left(H\left(x^{*}\right)-\lambda A\left(x^{*}\right)\right)$ ， $\forall \lambda >0$ 。

3. 主要内容

X为一实希尔伯特空间， $A,B:X\times X\to X$ 为单值映射， $M:X\to 2^X$ 为一H单调的集值映射。考虑如下变分包含组问题

$\{\begin{array}{l}0\in A\left(x,y\right)+M\left(x\right)\\ 0\in B\left(x,y\right)+M(\; y\; )\end{array}$

在定义1.3中所定义的预解算子 $R_{M,\lambda }^H$ 为单值的李普希兹连续的，我们利用这个性质构造出当集值映像 $M\left(x\right)$ 为H单调时的迭代算法。

算法2.1 任取 $x_0,y_0\in X$ ，序列 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 由如下迭代格式产生

$\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}=R_{M,\lambda }^H\left(H\left(x_n\right)-\lambda A\left(x_n,y_n\right)\right)\\ y_{n+1}=R_{M,\lambda }^H\left(H\left(y_n\right)-\lambda A\left(x_n,y_n\right)\right)\end{array}$

下面两个定理分别说明了算法2.1中生成的迭代序列在不同条件下都收敛于该变分包含组问题的解，且此时解存在且唯一。

定理2.1 若H为强 $\alpha$ 单调且L李普希兹连续的，A为关于第一变元L₁李普希兹连续且关于第二变元L₂李普希兹连续的。B为关于第一变元L₃李普希兹连续且关于第二变元L₄李普希兹连续的。且满足

$\max \left\{\frac{L+\lambda L_1+\lambda L_3}{\alpha },\frac{L+\lambda L_2+\lambda L_4}{\alpha }\right\}<1$

若该变分包含组问题解存在，则算法2.1得到的序列收敛到该变分包含组的解。

证明： $\left(x^{*},y^{*}\right)$ 为该变分包含组问题的解则有

$\begin{array}{c}\Vert x_{n+1}-x^{*}\Vert =\Vert R_{M,\lambda }^H\left(H\left(x_n\right)-\lambda A\left(x_n,y_n\right)\right)-R_{M,\lambda }^H\left(H\left(x^{*}\right)-\lambda A\left(x^{*},y^{*}\right)\right)\Vert \\ \le \frac{1}{\alpha }\Vert H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right)-\lambda \left(A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\right)\Vert \\ \le \frac{1}{\alpha }\Vert H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right)\Vert +\frac{\lambda }{\alpha }\Vert A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert \\ \le \frac{1}{\alpha }\Vert H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right)\Vert +\frac{\lambda }{\alpha }\Vert A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x_n,y^{*}\right)\Vert +\frac{\lambda }{\alpha }\Vert A\left(x_n,y^{*}\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert \\ \le \frac{L+\lambda L_1}{\alpha }\Vert x_n-x^{*}\Vert +\frac{\lambda L_2}{\alpha }\Vert y_n-y^{*}\Vert \end{array}$

同理可得

$\begin{array}{c}\Vert y_{n+1}-y^{*}\Vert =\Vert R_{M,\lambda }^H\left(H\left(y_n\right)-\lambda B\left(x_n,y_n\right)\right)-R_{M,\lambda }^H\left(H\left(y^{*}\right)-\lambda B\left(x^{*},y^{*}\right)\right)\Vert \\ \le \frac{\lambda L_3}{\alpha }\Vert x_n-x^{*}\Vert +\frac{L+\lambda L_4}{\alpha }\Vert y_n-y^{*}\Vert \end{array}$

于是有

$\begin{array}{c}\Vert \left(x_{n+1},y_{n+1}\right)-\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert =\Vert x_{n+1}-x^{*}\Vert +\Vert y_{n+1}-y^{*}\Vert \\ \le \frac{L+\lambda L_1+\lambda L_3}{\alpha }\Vert x_n-x^{*}\Vert +\frac{L+\lambda L_2+\lambda L_4}{\alpha }\Vert y_n-y^{*}\Vert \\ \le \max \left\{\frac{L+\lambda L_1+\lambda L_3}{\alpha },\frac{L+\lambda L_2+\lambda L_4}{\alpha }\right\}\left(\Vert x_n-x^{*}\Vert +\Vert y_n-y^{*}\Vert \right)\\ =\max \left\{\frac{L+\lambda L_1+\lambda L_3}{\alpha },\frac{L+\lambda L_2+\lambda L_4}{\alpha }\right\}\Vert \left(x_n,y_n\right)-\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert \end{array}$

故而得证。

定理2.2 若H为强 $\alpha$ 单调且L李普希兹连续的，A为关于第一变元L₁李普希兹连续且关于第二变元L₂李普希兹连续的。B为关于第一变元L₃李普希兹连续且关于第二变元L₄李普希兹连续的。A为关于第一变元依赖于H满足性质(h)且常数为 ${\beta }_1$ 。A为关于第二变元依赖于H满足性质(h)且常数为 ${\beta }_2$ 。B为关于第一变元依赖于H满足性质(h)且常数为 ${\beta }_3$ 。B为关于第二变元依赖于H满足性质(h)且常数为 ${\beta }_4$ 。且满足 $M<1$ ，其中

$M=\max \left\{\frac{2\left(L^2+{\lambda }^2\left(L_1^2+L_3^2\right)-2\lambda {\beta }_1\right)}{{\alpha }^2},\frac{2\left(L^2+{\lambda }^2\left(L_2^2+L_4^2\right)-2\lambda {\beta }_3\right)}{{\alpha }^2},\frac{2{\lambda }^2\left(L_3{L}_4+L_1{L}_2\right)-2\lambda \left({\beta }_2+{\beta }_4\right)}{{\alpha }^2}\right\}$

若该变分包含组问题解存在，则算法2.1得到的序列收敛到该变分包含组的解。

证明： $\left(x^{*},y^{*}\right)$ 为该变分包含组问题的解则有

$\begin{array}{c}{\Vert x_{n+1}-x^{*}\Vert }^2={\Vert R_{M,\lambda }^H\left(H\left(x_n\right)-\lambda A\left(x_n,y_n\right)\right)-R_{M,\lambda }^H\left(H\left(x^{*}\right)-\lambda A\left(x^{*},y^{*}\right)\right)\Vert }^2\\ \le \frac{1}{{\alpha }^2}{\Vert H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right)-\lambda \left(A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\right)\Vert }^2\\ =\frac{1}{{\alpha }^2}\left[{\Vert H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right)\Vert }^2+{\lambda }^2{\Vert A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert }^2\right]\\ -\frac{2\lambda }{{\alpha }^2}\langle H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right),A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\rangle \end{array}$

其中

$\begin{array}{l}\langle H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right),A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\rangle \\ =\langle H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right),A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y_n\right)\rangle +\langle H\left(x_n\right)-H\left(x^{*}\right),A\left(x^{*},y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\rangle \\ \ge {\beta }_1{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2+{\beta }_2\Vert x_n-x^{*}\Vert \Vert y_n-y^{*}\Vert \end{array}$

此外还有

$\begin{array}{c}\Vert A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert \le \Vert A\left(x_n,y_n\right)-A\left(x_n,y^{*}\right)\Vert +\Vert A\left(x_n,y^{*}\right)-A\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert \\ \le L_1\Vert x_n-x^{*}\Vert +L_2\Vert y_n-y^{*}\Vert \end{array}$

因此

$\begin{array}{c}{\Vert x_{n+1}-x^{*}\Vert }^2\le \frac{L^2}{{\alpha }^2}{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2+\frac{{\lambda }^2{L}_1^2}{{\alpha }^2}{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2+\frac{{\lambda }^2{L}_2^2}{{\alpha }^2}{\Vert y_n-y^{*}\Vert }^2+\frac{2{\lambda }^2{L}_1{L}_2}{{\alpha }^2}\Vert y_n-y^{*}\Vert \Vert x_n-x^{*}\Vert \\ -\frac{2\lambda {\beta }_1}{{\alpha }^2}{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2-\frac{2\lambda {\beta }_2}{{\alpha }^2}\Vert x_n-x^{*}\Vert \Vert y_n-y^{*}\Vert \\ =\frac{L^2+{\lambda }^2{L}_1^2-2\lambda {\beta }_1}{{\alpha }^2}{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2+\frac{{\lambda }^2{L}_2^2}{{\alpha }^2}{\Vert y_n-y^{*}\Vert }^2+\frac{2{\lambda }^2{L}_1{L}_2-2\lambda {\beta }_2}{{\alpha }^2}\Vert y_n-y^{*}\Vert \Vert x_n-x^{*}\Vert \end{array}$

同理可得

${\Vert y_{n+1}-y^{*}\Vert }^2\le \frac{{\lambda }^2{L}_3^2}{{\alpha }^2}{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2+\frac{L^2+{\lambda }^2{L}_4^2-2\lambda {\beta }_3}{{\alpha }^2}{\Vert y_n-y^{*}\Vert }^2+\frac{2{\lambda }^2{L}_3{L}_4-2\lambda {\beta }_4}{{\alpha }^2}\Vert y_n-y^{*}\Vert \Vert x_n-x^{*}\Vert$

因此

$\begin{array}{l}{\Vert \left(x_{n+1},y_{n+1}\right)-\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert }^2\le 2{\Vert x_{n+1}-x^{*}\Vert }^2+2{\Vert y_{n+1}-y^{*}\Vert }^2\\ \le \frac{2\left(L^2+{\lambda }^2{L}_1^2+{\lambda }^2{L}_3^2-2\lambda {\beta }_1\right)}{{\alpha }^2}{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2+\frac{2\left(L^2+{\lambda }^2{L}_2^2+{\lambda }^2{L}_4^2-2\lambda {\beta }_3\right)}{{\alpha }^2}{\Vert y_n-y^{*}\Vert }^2\\ +\frac{2{\lambda }^2\left(L_3{L}_4+L_1{L}_2\right)-2\lambda \left({\beta }_2+{\beta }_4\right)}{{\alpha }^2}2\Vert y_n-y^{*}\Vert \Vert x_n-x^{*}\Vert \\ \le M{\Vert x_n-x^{*}\Vert }^2+M{\Vert y_n-y^{*}\Vert }^2+2M\Vert y_n-y^{*}\Vert \Vert x_n-x^{*}\Vert \\ =M{\left(\Vert x_n-x^{*}\Vert +\Vert y_n-y^{*}\Vert \right)}^2=M{\Vert \left(x_n,y_n\right)-\left(x^{*},y^{*}\right)\Vert }^2\end{array}$

故而得证。