基于一类Bazykin型功能反应扩散捕食模型解的性质分析

Property Analysis of Prey-Predator Model Based on Bazykin Functional Response Diffusion

摘要: 考虑了一维空间域中基于Bazykin型功能反应的自我记忆扩散当时间延迟τ=0时候的捕食者反应扩散模型。研究该模型其经典局部解的存在性和L¹边界估计，进一步讨论了整体经典解的存在性以及有界性。重点分析其解的L^∞边界估计，通过半群参数的方法证明了其解L^∞边界有界。

Abstract: This article considers a predator-prey response diffusion model based on Bazykin type functional response in a one-dimensional spatial domain for self memory diffusion with time delay τ=0. The existence and L¹ boundary estimation of the classical local solutions are studied, and the existence and boundedness of the global classical solutions are further discussed. The solution L^∞ boundary estimation is analyzed and the solution L^∞ boundary is proved to be bounded by semigroup parameter method.

1. 引言

自然界中捕食者与被捕食者之间的相互作用是复杂生态系统丰富多样性的主要原因。最初，Lotka和Volterra在 [1] 和 [2] 中提出了描述捕食者–食饵相互作用的相同模型，它被命名为Lotka Volterra模型。之后，Holling [3] 提出了不同的功能反应函数，对该模型进行了改进，更加准确地描述了捕食者和被捕食者的动态行为。而Bazykin功能反应可以描述捕食者饱和的不稳定力量与猎物竞争的稳定力量，对于它的研究更有实际意义。

除捕食在生态学中能产生影响外，人们也考虑到扩散和趋化对其产生的影响。在空间捕食者–被捕食者相互作用中，捕食者和被捕食物的运动一般为随机行走，这由扩散方程表示。除了捕食者的随机扩散外，捕食者和食饵之间的空间运动也可能具有定向性。生命系统在化学刺激下的定向运动称为趋化作用 [4] ，此类系统已经被进行了很多研究。此外，一些聪明的捕食者还会具有记忆效应和认知行为，比如蓝鲸是靠记忆迁徙的。在文献 [5] 中，提出了描述具有空间记忆的单个种群运动的模型，研究结果表明基于记忆的扩散可能对种群的分布产生很大的影响。而后文献 [6] 将基于记忆的扩散纳入了经典的扩散模型来描述两个物种的相互作用。此时通常有两种类型的记忆和认知：基于交叉记忆的扩散和自我记忆的扩散。文献 [7] 研究了基于交叉记忆的扩散的捕食模型，目前对于自记忆扩散的捕食模型研究较少。从数学的角度看，这类模型具有丰富的结构，对于这类系统的研究具有现实的生物学意义。可能会对种群的分布产生很大的影响。因此本文在研究Bazykin功能反应扩散的基础上加入记忆扩散项来研究该系统解的相关性质。

2. 模型建立

本文针对一维空间域上 $\Omega =\left(0,l\pi \right)$ ， $l\in R^{+}$ 上的如下反应扩散捕食模型进行解的研究。

$\{\begin{array}{ll}{u}_t=d_1{u}_{xx}+ru\left(1-\frac{u}{K}\right)-\frac{uv}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)},\hfill & x\in \left(0,l\pi \right),t>0,\hfill \\ v_t=d_2{v}_{xx}+d_3{\left(v{v}_x\left(x,t-\tau \right)\right)}_x-c\frac{v^2}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)}+\gamma v,\hfill & x\in \left(0,l\pi \right),t>0,\hfill \\ u_x\left(x,t\right)=0,v_x\left(x,t\right)=0,\hfill & x=0,l\pi ,t>0,\hfill \\ u\left(x,t\right)=u_0\left(x\right)\ge 0,v\left(x,t\right)=v_0\left(x\right)\ge 0,\hfill & x\in \left[0,l\pi \right].\hfill \end{array}$ (1)

其中， $u=u\left(x,t\right)$ 和 $v=v\left(x,t\right)$ 分别表示食饵和捕食者在位置x和时间t时的群体密度。 $ru(1-u/K)$ 表示食饵的logistic增长，其中r表示食饵的出生率；K表示环境承载率；c表示食饵到捕食者的转化率( $0<c<1$ )； $d_1,d_2,d_3$ 表示空间扩散项， $d_3{\left(v{v}_x\left(x,t\right)\right)}_x,d_3>0$ 是捕食者的记忆扩散项，表示捕食者离开其过去分布的较高密度位置转向低密度位置。

为了简化分析，对系统(1)作尺度伸缩变换，令：

$\hat{u}=\frac{u}{K},\hat{v}=\frac{1}{r}v,\hat{t}=rt.$

设

${\hat{d}}_1=\frac{d_1}{r},{\hat{d}}_2=\frac{d_2}{r},{\hat{d}}_3=d_3,\hat{\gamma }=\frac{1}{r}\gamma ,\hat{\alpha }=K\alpha ,\hat{\beta }=r\beta .$

代入原系统，可得到关于新的变量关系式。为简化系统，可去掉^标志，系统(1)可化为以下形式：

$\{\begin{array}{ll}{u}_t=d_1{u}_{xx}+u\left(1-u\right)-\frac{uv}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)},\hfill & x\in \left(0,l\pi \right),t>0,\hfill \\ v_t=d_2{v}_{xx}+d_3{\left(v{v}_x\left(x,t-\tau \right)\right)}_x-c\frac{v^2}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)}+\gamma v,\hfill & x\in \left(0,l\pi \right),t>0,\hfill \\ u_x\left(x,t\right)=0,v_x\left(x,t\right)=0,\hfill & x=0,l\pi ,t>0,\hfill \\ u\left(x,t\right)=u_0\left(x\right)\ge 0,v\left(x,t\right)=v_0\left(x\right)\ge 0,\hfill & x\in \left[0,l\pi \right].\hfill \end{array}$ (2)

式中所有参数均为负。

3. 问题(2)当 $\tau =0$ 时的模型研究

定义1 定义实值Sobolev空间

$\chi =\left\{\left(u,v\right)\in H^2\left(0,l\pi \right)\times H^2\left(0,l\pi \right):{\left(u_x,v_x\right)|}_{x=0,l\pi }=0\right\}.$

首先给出系统(2)在空间 $\chi$ 的经典解的局部间存在性以及有界性结论。

3.1. 系统(2)经典解的局部间存在性以及有界性

命题2.1 已知系统(2)的初值函数 $\left(u_0\left(x\right),v_0\left(x\right)\right)\in \chi$ 。则存在一个最大存在时间 $T_{\max }>0$ ，使得系统有一个非负的唯一经典解 $\left(u\left(x,t\right),v\left(x,t\right)\right)$ ，满足

$\left(u\left(x,t\right),v\left(x,t\right)\right)\in {\left(C\left(\left[0,T_{\max }\right);H^2\left(0,l\pi \right)\right)\cap C^{2,1}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,T_{\max }\right)\right)\right)}^2.$

且 $u\left(x,t\right),v\left(x,t\right)$ 有界。其中

$0\le u\left(x,t\right)\le 1,v\left(x,t\right)\ge 0.$

$x\in \bar{\Omega },t\in \left(0,T_{\max }\right)$ 。并且若 $\left(u,v\right)$ 满足

${\Vert u\left(t\right),v\left(t\right)\Vert }_{L^{\infty }}\le c\left(T\right),0\le t\le T<\infty ,t<T_{\max },$

则

$T_{\max }=\infty .$

证明：令 $U=\left(v,u\right)$ ，则系统(2)可写为

$\{\begin{array}{ll}{U}_t={\left(A\left(U\right)U_x\right)}_x+f\left(U\right),\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ U_x=0,\hfill & x=0,l\pi ,t>0,\hfill \\ U\left(\cdot ,0\right)=\left(u_0,v_0\right)\hfill & x\in \Omega .\hfill \end{array}$ (3)

其中

$A\left(U\right)=\left(\begin{array}{cc}{d}_1& 0\\ d_2& d_{3}v\end{array}\right),f\left(U\right)=\left(\begin{array}{c}u\left(1-u\right)-\frac{uv}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)}\\ -c\frac{v^2}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)}+\gamma v\end{array}\right).$

满足文献 [8] 中的第17页定理假设，可知系统(2)存在一个局部的时间解

$U\left(\cdot ,U_0\right)\in C^{2,1}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,t^{+}\left(U_0\right)\right)\right)\cap C\left(\left[0,t^{+}\left(U_0\right)\right);H^2\left(\Omega \right)\right).$

其中 $0<t^{+}\left(U_0\right)\le \infty$ 。

令 $t^{+}\left(U_0\right)=T_{\max }$ ，则

$\begin{array}{l}u\left(x,t\right)\in C^{2,1}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,T_{\max }\right)\right)\cap C\left(\left[0,T_{\max }\right);H^2\left(\Omega \right)\right).\\ v\left(x,t\right)\in C^{2,1}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,T_{\max }\right)\right)\cap C\left(\left[0,T_{\max }\right);H^2\left(\Omega \right)\right).\end{array}$

对于系统(2)的食饵密度u，其满足

$\{\begin{array}{ll}{u}_t-d_1{u}_{xx}=u\left(1-u\right)-\frac{uv}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)}\le u\left(1-u\right),\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ u_x\left(x,t\right)=0,\hfill & x=0,l\pi ,t>0,\hfill \\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right)\ge 0,\hfill & x\in \Omega .\hfill \end{array}$ (4)

已知如下系统

$\{\begin{array}{ll}{u}_t-d_1{u}_{xx}=u\left(1-u\right),\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ u_x\left(x,t\right)=0,\hfill & x=0,l\pi ,t>0,\hfill \\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right)\ge 0,\hfill & x\in \Omega .\hfill \end{array}$

的解 $u^{*}\left(x,t\right)$ 满足

$\underset{t\to +\infty }{\lim }\sup u^{*}\left(x,t\right)=1.$

由抛物型方程的比较原理，可得系统(4)的解 $u\left(x,t\right)$ 满足

$u\left(x,t\right)\le 1.$

对于系统(2)的捕食者密度v所满足的系统，由于 $v=0$ 是它的一个下解，由抛物型方程的极大值原理可得 $v\left(x,t\right)\ge 0$ 。同理可得 $u\left(x,t\right)\ge 0$ 。即

$0\le u\left(x,t\right)\le 1,v\left(x,t\right)\ge 0.$

若 $\left(u,v\right)$ 满足

${\Vert u\left(t\right),v\left(t\right)\Vert }_{L^{\infty }}\le c\left(T\right),0\le t\le T<\infty ,t<T_{\max },$

由文献 [9] 的定理15.5可得

$T_{\max }=\infty .$

引理2.2 如果满足 $\beta \left(1+\alpha \right)<c/\gamma$ ，系统(2)的解分量 $v\left(x,t\right)$ 满足如下估计：

${\Vert v\left(x,t\right)\Vert }_{L^1\left(\Omega \right)}\le \frac{\gamma \left(1+\alpha \right)}{c-\beta \gamma \left(1+\alpha \right)},$ 对于所有的 $t\in \left(0,T_{\max }\right).$

证明：由于

$\gamma v-c\frac{v^2}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)}\le v\frac{\gamma \left(1+\alpha \left(1+\epsilon \right)\right)-\left[c-\beta \gamma \left(1+\alpha \left(1+\epsilon \right)\right)\right]v}{\left[1+\alpha \left(1+\epsilon \right)\right]\left(1+\beta v\right)},$

设 $v^1\left(t\right)$ 是以下系统的解

$\{\begin{array}{ll}{v}_t=d_2{v}_{xx}+d_3{\left(v{v}_x\right)}_x+v\frac{\gamma \left(1+\alpha \left(1+\epsilon \right)\right)-\left[c-\beta \gamma \left(1+\alpha \left(1+\epsilon \right)\right)\right]v}{\left[1+\alpha \left(1+\epsilon \right)\right]\left(1+\beta v\right)},\hfill & x\in \left(0,l\pi \right),t>0,\hfill \\ v_x\left(x,t\right)=0,\hfill & x=0,l\pi ,t>0.\hfill \end{array}$

其中

$0<\epsilon <\frac{c-\gamma \beta \left(1+\alpha \right)}{\gamma \alpha \beta },$

当 $t\to +\infty$ 时，有

$v^1\left(t\right)\to \frac{\gamma \left[1+\alpha \left(1+\epsilon \right)\right]}{c-\beta \gamma \left(1+\alpha \left(1+\epsilon \right)\right)}.$

由抛物型方程的比较原理可得对于上述给定的 $\epsilon$ ，当时间 $T\to T_{\max }$ 时有

$v\left(t\right)\le \frac{\gamma \left[1+\alpha \left(1+\epsilon \right)\right]}{c-\beta \gamma \left(1+\alpha \left(1+\epsilon \right)\right)}+\epsilon ,$

由 $\epsilon$ 的任意性可得

$\underset{t\to \infty }{\lim }\sup \underset{\bar{\Omega }}{\max }v\left(x,t\right)\le \frac{\gamma \left(1+\alpha \right)}{c-\beta \gamma \left(1+\alpha \right)}.$

即可得

${\Vert v\left(x,t\right)\Vert }_{L^1\left(\Omega \right)}\le \frac{\gamma \left(1+\alpha \right)}{c-\beta \gamma \left(1+\alpha \right)},$

对于所有的 $t\in \left(0,T_{\max }\right)$ 。

注：在 $\beta \left(1+\alpha \right)<c/\gamma$ 条件的限制下，才能得出捕食者 $v\left(x,t\right)$ 的 $L^1$ 边界估计。以下讨论都假设满足此条件。

3.2. 系统(2)的全局存在性以及有界性

首先推导一些先验估计。由文献 [10] 的Lemma 3.1可知，对捕食者密度的 $L^{\infty }$ 有界性估计，只要证明它的 $L^p$ ( $p>n/2$ ，n为系统的维数)的有界性估计即可。所以对于捕食者密度 $u\left(x,t\right)$ ，对其在空间 $L^{2n}\left(\Omega \right)$ 建立一个一致界。其建立方法可以参考文献 [11] ，其主要思想是通过构造合适的有界权函数来实现。下面在进行有界性估计时使用与文献 [12] [13] 中类似的权重函数。这里，需要两个重要的引理。

引理3.1 [14] 假设 $y\left(t\right)\ge 0$ 满足

$\{\begin{array}{ll}{y}^{\prime }\left(t\right)\le -a_1{y}^b\left(t\right)+a_{2}y\left(t\right)+a_3,\hfill & t>0,\hfill \\ y\left(0\right)=y_0,\hfill & \hfill \end{array}$

其中 $a_1,a_2,a_3>0$ ， $b>1$ 。则存在常数 $b_1\left(y_0\right)$ 和 $b_2\left(a_1,a_2,a_3,b\right)$ 使得

$y\left(t\right)\le \max \left\{b_1\left(y_0\right),b_2\left(a_1,a_2,a_3,b\right)\right\}.$ (5)

引理3.2 [15] 假设 $m=0,1$ 。 $p\in \left[1,\infty \right]$ ， $q\in \left(1,\infty \right)$ ，则存在常数 $D_1$ ，有

${\Vert v\Vert }_{m,p}\le D_1{\Vert {\left(-\Delta +1\right)}^{\theta }v\Vert }_q,$ (6)

对于任意 $v\in D\left({\left(-\Delta +1\right)}^{\theta }\right),\theta \in \left(0,1\right)$ 满足 $m-n/p<2\theta -n/q$ 。

1) 若 $p\le q$ ，则存在 $D_2>0$ ， $\zeta >0$ ，使得

${\Vert {\left(-\Delta +1\right)}^{\theta }{\text{e}}^{t\left(\Delta -1\right)}v\Vert }_q\le D_2{t}^{-\theta -n/2\left(1/p-1/q\right)}{\text{e}}^{-\zeta t}{\Vert v\Vert }_p,$ (7)

对于任意的 $v\in L^p\left(\Omega \right)$ 。

2) 对于任何 $p\in \left(1,\infty \right)$ ， $\epsilon >0$ ，存在 $D_3>0$ ， $\mu >0$ ，使得

${\Vert {\left(-\Delta +1\right)}^{\theta }{\text{e}}^{t\Delta }\nabla v\Vert }_p\le D_3{t}^{-\theta -1/2-\epsilon }{\text{e}}^{-\mu t}{\Vert v\Vert }_p,$ (8)

对于任意的 $v\in L^p\left(\Omega \right)$ 。

下面我们给出 $v\left(x,t\right)$ 的 $L^{2n}$ 估计。

引理3.3系统(2)的解分量 $v\left(x,t\right)$ 满足

${\Vert v\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{2n}}\le D.$ (9)

对于 $t\in \left(0,T_{\max }\right)$ 。

证明：记 $k:=2n$ 。定义权重函数 $\phi \left(u\right)$ ：

$\phi \left(u\right):={\text{e}}^{{\left(au\right)}^2},$ (10)

其中

$a=\sqrt{\frac{2d_1\left(k-1\right)}{k\left[4{\left(d_1+d_2\right)}^2-d_2\right]}},0\le u\le 1.$

则可得

$1\le \phi \left(u\right)\le {\text{e}}^{a^2},0\le u\le 1.$ (11)

根据系统(2)计算可得

$\begin{array}{l}\frac{1}{k}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}=\frac{1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{\left(v^k\phi \left(u\right)\right)}_t\text{d}x}={\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}{v}_t\phi \left(u\right)\text{d}x}+\frac{1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{\prime }\left(u\right)u_t\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}\phi \left(u\right)\left[d_2{v}_{xx}+d_3{\left(v{v}_x\right)}_x-c\frac{v^2}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)}+\gamma v\right]\text{d}x}\\ +\frac{1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{\prime }\left(u\right)\left[d_1{u}_{xx}+u\left(1-u\right)-\frac{uv}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)}\right]\text{d}x}\\ =d_2{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}\phi \left(u\right)v_{xx}\text{d}x}+d_3{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}\phi \left(u\right){\left(v{v}_x\right)}_x\text{d}x}-c{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}\phi \left(u\right)\frac{v^2}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)}\text{d}x+\gamma }{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}\phi \left(u\right)v\text{d}x}\\ +\frac{d_1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{\prime }\left(u\right)u_{xx}\text{d}x}+\frac{1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{\prime }\left(u\right)u\left(1-u\right)\text{d}x}-\frac{1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{\prime }\left(u\right)\frac{uv}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)}\text{d}x}.\end{array}$ (12)

由于

$d_2{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}\phi \left(u\right)v_{xx}\text{d}x}=-d_2\left(k-1\right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-2}\phi \left(u\right)}{\left|v_x\right|}^2\text{d}x-d_2{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}{\phi }^{\prime }\left(u\right)u_x}{v}_x\text{d}x.$ (13)

$d_3{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}\phi \left(u\right){\left(v{v}_x\right)}_x\text{d}x}=-d_3\left(k-1\right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}\phi \left(u\right)}{\left|v_x\right|}^2\text{d}x-d_3{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{\prime }\left(u\right)u_x}{v}_x\text{d}x.$ (14)

$\frac{d_1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{\prime }\left(u\right)u_{xx}\text{d}x}=-d_1{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}{\phi }^{\prime }\left(u\right)u_x{v}_x}\text{d}x-\frac{d_1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{″}\left(u\right)}{\left|u_x\right|}^2\text{d}x.$ (15)

把(13)，(14)，(15)代入(12)化简可得

$\begin{array}{c}\frac{1}{k}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}=-\left(d_2+d_1\right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}{\phi }^{\prime }\left(u\right)u_x}{v}_x\text{d}x-d_3\left(k-1\right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}\phi \left(u\right)}{\left|v_x\right|}^2\text{d}x\\ -d_3{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{\prime }\left(u\right)u_x}{v}_x\text{d}x-d_2\left(k-1\right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-2}\phi \left(u\right)}{\left|v_x\right|}^2\text{d}x-\frac{d_1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{″}\left(u\right)}{\left|u_x\right|}^2\text{d}x\\ -c{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}\phi \left(u\right)\frac{v^2}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)}\text{d}x+\gamma }{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}\phi \left(u\right)v\text{d}x}\\ +\frac{1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{\prime }\left(u\right)u\left(1-u\right)\text{d}x}-\frac{1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{\prime }\left(u\right)\frac{uv}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)}\text{d}x}.\end{array}$ (16)

由于

$\begin{array}{l}c{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}\phi \left(u\right)\frac{v^2}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)}\text{d}x\ge 0,}\\ \frac{1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{\prime }\left(u\right)u\left(1-u\right)\text{d}x}\le \frac{2a^2}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x},\\ \frac{1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{\prime }\left(u\right)\frac{uv}{\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)}\text{d}x}\ge 0.\end{array}$ (17)

则有

$\begin{array}{c}\frac{1}{k}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}\le -\left(d_2+d_1\right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}{\phi }^{\prime }\left(u\right)u_x}{v}_x\text{d}x-d_3\left(k-1\right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}\phi \left(u\right)}{\left|v_x\right|}^2\text{d}x\\ -d_3{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{\prime }\left(u\right)u_x}{v}_x\text{d}x-d_2\left(k-1\right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-2}\phi \left(u\right)}{\left|v_x\right|}^2\text{d}x\\ -\frac{d_1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{″}\left(u\right)}{\left|u_x\right|}^2\text{d}x+\left(\frac{2a^2}{k}+\gamma \right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}.\end{array}$ (18)

通过使用杨氏不等式，可得(18)式中的

$-\left(d_2+d_1\right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}{\phi }^{\prime }\left(u\right)u_x{v}_x\text{d}x}\le \frac{d_2\left(k-1\right)}{4}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-2}\phi \left(u\right){\left|v_x\right|}^2\text{d}x}+\frac{{\left(d_2+d_1\right)}^2}{k-1}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\frac{{{\phi }^{\prime }}^2\left(u\right)}{\phi \left(u\right)}{\left|u_x\right|}^2\text{d}x.}$ (19)

$-d_3\left(k-1\right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-1}\phi \left(u\right)}{\left|v_x\right|}^2\text{d}x\le \frac{d_2\left(k-1\right)}{4}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-2}\phi \left(u\right){\left|v_x\right|}^2\text{d}x}+\frac{d_3^2\left(k-1\right)}{d_2}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right){\left|v_x\right|}^2\text{d}x.}$ (20)

$-d_3{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{\prime }\left(u\right)u_x}{v}_x\text{d}x\le \frac{d_2}{4\left(k-1\right)}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\frac{{{\phi }^{\prime }}^2\left(u\right)}{\phi \left(u\right)}{\left|u_x\right|}^2\text{d}x}+\frac{d_3^2\left(1-k\right)}{d_2}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right){\left|v_x\right|}^2\text{d}x.}$ (21)

把(19)，(20)，(21)上述三个不等式代入(18)式可得

$\begin{array}{l}\frac{1}{k}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}+d_2\left(k-1\right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-2}\phi \left(u\right)}{\left|v_x\right|}^2\text{d}x+\frac{d_1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{″}\left(u\right)}{\left|u_x\right|}^2\text{d}x\\ \le \frac{d_2\left(k-1\right)}{2}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-2}\phi \left(u\right){\left|v_x\right|}^2\text{d}x}+\frac{{\left(d_2+d_1\right)}^2}{k-1}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\frac{{{\phi }^{\prime }}^2\left(u\right)}{\phi \left(u\right)}{\left|u_x\right|}^2\text{d}x}\\ +\frac{d_2}{4\left(k-1\right)}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\frac{{{\phi }^{\prime }}^2\left(u\right)}{\phi \left(u\right)}{\left|u_x\right|}^2\text{d}x}+\left(\frac{2a^2}{k}+\gamma \right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}.\end{array}$ (22)

化简(22)得

$\begin{array}{l}\frac{1}{k}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}+\frac{d_2\left(k-1\right)}{2}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-2}\phi \left(u\right){\left|v_x\right|}^2\text{d}x}+\frac{d_1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k{\phi }^{″}\left(u\right)}{\left|u_x\right|}^2\text{d}x\\ \le \frac{4{\left(d_2+d_1\right)}^2-d_2}{4\left(k-1\right)}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\frac{{{\phi }^{\prime }}^2\left(u\right)}{\phi \left(u\right)}{\left|u_x\right|}^2\text{d}x}+\left(\frac{2a^2}{k}+\gamma \right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}.\end{array}$ (23)

令

$F_1\left(u\right)=\frac{4{\left(d_2+d_1\right)}^2-d_2}{4\left(k-1\right)}\frac{{{\phi }^{\prime }}^2\left(u\right)}{\phi \left(u\right)},F_2\left(u\right)=\frac{d_1}{k}{\phi }^{″}\left(u\right).$ (24)

已知

$\phi \left(u\right)={\text{e}}^{{\left(au\right)}^2},a=\sqrt{\frac{2d_1\left(k-1\right)}{k\left[4{\left(d_1+d_2\right)}^2-d_2\right]}},0\le u\le 1.$

则

$\begin{array}{l}\frac{{{\phi }^{\prime }}^2\left(u\right)}{\phi \left(u\right)}=\frac{{\left(2a^{2}u{\text{e}}^{{\left(au\right)}^2}\right)}^2}{{\text{e}}^{{\left(au\right)}^2}}=4a^4{u}^2{\text{e}}^{{\left(au\right)}^2}.\\ {\phi }^{″}\left(u\right)=2a^2{\text{e}}^{{\left(au\right)}^2}+4a^4{u}^2{\text{e}}^{{\left(au\right)}^2}.\end{array}$ (25)

由(24)和(25)可得

$\begin{array}{c}\frac{F_1\left(u\right)}{F_2\left(u\right)}=\frac{\frac{4{\left(d_2+d_1\right)}^2-d_2}{4\left(k-1\right)}\cdot 4a^4{u}^2{\text{e}}^{{\left(\alpha u\right)}^2}}{\frac{d_1}{k}\left[2a^2{\text{e}}^{{\left(\alpha u\right)}^2}+4a^4{u}^2{\text{e}}^{{\left(\alpha u\right)}^2}\right]}\le \frac{\frac{4{\left(d_2+d_1\right)}^2-d_2}{k-1}\cdot a^4{u}^2{\text{e}}^{{\left(\alpha u\right)}^2}}{\frac{2d_1}{k}{a}^2{\text{e}}^{{\left(\alpha u\right)}^2}}\\ =\frac{k\left[4{\left(d_2+d_1\right)}^2-d_2\right]}{2d_1\left(k-1\right)}{a}^2{u}^2=u^2\le 1.\end{array}$ (26)

即

$F_1\left(u\right)\le F_2\left(u\right).$

上式两边同乘 $v^k{\left|u_x\right|}^2$ 并在 $\left(0,l\pi \right)$ 上积分可得

$\frac{4{\left(d_2+d_1\right)}^2-d_2}{4\left(k-1\right)}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k}\frac{{{\phi }^{\prime }}^2\left(u\right)}{\phi \left(u\right)}{\left|u_x\right|}^2\le \frac{d_1}{k}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k}{\phi }^{″}\left(u\right){\left|u_x\right|}^2\text{d}x.$ (27)

把(27)代入(23)得

$\frac{1}{k}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}+\frac{d_2\left(k-1\right)}{2}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-2}\phi \left(u\right){\left|v_x\right|}^2\text{d}x}\le \left(\frac{2a^2}{k}+\gamma \right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}.$ (28)

对于 $t\in \left(0,T_{\max }\right)$ 。

由(11)可得

${\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-2}\phi \left(u\right){\left|v_x\right|}^2\text{d}x}\ge {\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-2}{\left|v_x\right|}^2\text{d}x}=\frac{4}{k^2}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{\left|v^{k/2}{}_x\right|}^2\text{d}x}.$ (29)

${\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}\le {\text{e}}^{a^2}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\text{d}x}={\text{e}}^{a^2}{\Vert v^{k/2}\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2.$ (30)

由 [15] Gagliardo-Nirenberg插值不等式

${\Vert v\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\le \kappa {\Vert v\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)}^b\cdot {\Vert v\Vert }_{L^r\left(\Omega \right)}^{1-b},\forall v\in W^{1,p}\left(\Omega \right).$ (31)

其中 $p,q\ge 1$ ， $p\left(n-q\right)<nq$ ， $r\in \left(0,p\right)$ 且

$b=\frac{n/r-n/p}{1-n/q+n/r}\in \left(0,1\right).$

取 $v\in H^2\left(\Omega \right)$ ，则 $p=2$ ，令 $q=2$ ，取 $r=2/k\in \left(0,2\right)$ ，则

$b=\frac{k/2-1/2}{1-1/2+k/2}\in \left(0,1\right).$

即

${\Vert v\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}\le \kappa {\Vert v\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}^b\cdot {\Vert v\Vert }_{L^{2/k}\left(\Omega \right)}^{1-b}.$ (32)

两边平方得

${\Vert v\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2\le {\kappa }^2{\Vert v\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}^{2b}\cdot {\Vert v\Vert }_{L^{2/k}\left(\Omega \right)}^{2\left(1-b\right)}.$

由 [15] 庞加莱不等式的推导式

${\Vert v\Vert }_{W^{1,p}\left(\Omega \right)}\le \eta \left({\Vert \nabla v\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}+{\Vert v\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}\right),\forall v\in W^{1,p}\left(\Omega \right),\forall p>1,q>0.$ (33)

可得

${\Vert v\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}\le \eta \left({\Vert \nabla v\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}+{\Vert v\Vert }_{L^{2/k}\left(\Omega \right)}\right).$

即

${\Vert v\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}^{2b}\le {\eta }^{2b}{\left({\Vert \nabla v\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}+{\Vert v\Vert }_{L^{\frac{2}{k}}\left(\Omega \right)}\right)}^{2b}.$ (34)

则

${\Vert v\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}^{2b}\le {\eta }^{2b}{\left({\Vert \nabla v\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}+{\Vert v\Vert }_{L^{2/k}\left(\Omega \right)}\right)}^{2b}.$ (35)

把(35)代入(30)可得

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}\le {\text{e}}^{a^2}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\text{d}x}={\text{e}}^{a^2}{\Vert v^{k/2}\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2\\ \le {\text{e}}^{a^2}{c}_1{\left(c_2\left(\frac{k}{2}\right)\right)}^{2b}{\left({\Vert \nabla v^{k/2}\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}+{\Vert v^{k/2}\Vert }_{L^{2/k}\left(\Omega \right)}\right)}^{2b}\cdot {\Vert v^{k/2}\Vert }_{L^{k/2}\left(\Omega \right)}^{2\left(1-b\right)}\\ =C_1{\left({\Vert \nabla v^{k/2}\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}+{\Vert v\Vert }_{L^1\left(\Omega \right)}^{k/2}\right)}^{2b}{\Vert v\Vert }_{L^1\left(\Omega \right)}^{k\left(1-b\right)}\\ \le C_2{\left({\Vert \nabla v^{k/2}\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2+1\right)}^b.\end{array}$ (36)

其中 $b=\frac{k/2-1/2}{1-1/2+k/2}\in \left(0,1\right)$ 。

把(36)代入(29)得

${\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-2}\phi \left(u\right){\left|v_x\right|}^2\text{d}x}\ge {\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^{k-2}{\left|v_x\right|}^2\text{d}x}=C_3{\left({\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{b}}-\frac{4}{k^2}.$ (37)

把(37)代入(28)得

$\frac{1}{k}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}\le -\frac{d_2\left(k-1\right)}{2}{\left(C_3{\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{b}}+\left(\frac{2a^2}{k}+\gamma \right){\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}+\frac{2d_2\left(k-1\right)}{k^2}.$ (38)

由引理3.1可得存在一个常数 $D>0$ ，使得

${\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}\le D.$ (39)

由(39)和(11)即可得结果

${\Vert v\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^k}={\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\text{d}x}\le {\displaystyle {\int }_0^{l\pi }{v}^k\phi \left(u\right)\text{d}x}\le D.$

下面证明系统存在全局解需要分别对食饵密度和捕食者密度进行 $L^{\infty }$ 边界估计。对于食饵密度 $u\left(x,t\right)$ 的 $L^{\infty }$ 边界估计可以参考文献 [10] 的方法，对于 $v\left(x,t\right)$ 的估计要用到引理3.3的结果。

定理3.1 假设系统(2)的参数都为正，则任意给定的非负初值函数 $\left(u_0,v_0\right)\in H^2\left(\Omega \right)\times H^2\left(\Omega \right)$ ，其中 $u_0,v_0\ge 0$ 且不恒等于0，则系统(2)存在一个唯一的全局经典解：

$\left(u\left(x,t\right),v\left(x,t\right)\right)\in {\left(C\left(\left[0,\infty \right);H^2\left(\Omega \right)\right)\cap C^{2,1}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,\infty \right)\right)\right)}^2,$

并且 $\left(u\left(x,t\right),v\left(x,t\right)\right)$ 在 $\Omega \times \left(0,\infty \right)$ 是一致有界的，即存在一个常数 $C>0$ ，使得

${\Vert u\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert v\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le C,$ (40)

对于任意的 $t\in \left(0,+\infty \right)$ 。

证明：由 [10] 可以得到 $u\left(x,t\right)$ 的 $L^{\infty }$ 边界估计如下：

${\Vert u\left(x,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le C\left(\tau \right),\tau \in \left(0,T_{\max }\right).$

考虑v上的 $L^{\infty }$ 边界估计，利用 [16] 中半群参数方法来建立v上的 $L^{\infty }$ 边界估计。

通过常数变易公式可得

$\begin{array}{c}v\left(\cdot ,t\right)=V_1\left(\cdot ,t\right)+V_2\left(\cdot ,t\right)+V_3\left(\cdot ,t\right)\\ ={\text{e}}^{d_{2}t\left(\Delta -1\right)}{v}_0+d_3{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{d_2\left(t-s\right)\left(\Delta -1\right)}{\left(v{v}_x\right)}_x\text{d}s}\\ +{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{d_2\left(t-s\right)\left(\Delta -1\right)}\left(d_{2}v\left(x,t\right)-c{v}^2/\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)+\gamma v\right)\text{d}s.}\end{array}$

其中

$\begin{array}{l}{V}_1\left(\cdot ,t\right)={\text{e}}^{d_{2}t\left(\Delta -1\right)}{v}_0,\\ V_2\left(\cdot ,t\right)=d_3{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{d_2\left(t-s\right)\left(\Delta -1\right)}{\left(v{v}_x\right)}_x\text{d}s},\\ V_3\left(\cdot ,t\right)={\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{d_2\left(t-s\right)\left(\Delta -1\right)}\left(d_{2}v\left(x,t\right)-c{v}^2/\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)+\gamma v\right)\text{d}s.}\end{array}$

下面对 $V_1,V_2,V_3$ 进行估计：

1) $V_1$ 的 $L^{\infty }$ 边界估计如下：

由引理3.2，令 $m=0$ ， $p=\infty$ ， $g=2n$ ， $g\le q$ ， $\omega =\theta +n/2\left(1/g-1/q\right)$ ，则存在常数 $D_1,D_2,E$ 使得

$\begin{array}{c}{\Vert V_1\Vert }_{L^{\infty }}\le D_1{\Vert {\left(\Delta -1\right)}^{\theta }{V}_1\Vert }_q\\ \le D_2{t}^{-\theta -n/2\left(1/g-1/q\right)}{\text{e}}^{-\zeta t}{\Vert v\Vert }_g\\ =D_2{t}^{-\omega }{\text{e}}^{-\zeta t}{\Vert v\Vert }_g\\ \le E{t}^{-\omega }.\end{array}$ (41)

对于所有的 $t\in \left(\tau ,T_{\max }\right)$ 。其中 $\varsigma >0$ ， $\theta \in \left(0,1\right)$ 且满足 $2\theta -n/q>0$ 。即 $\omega \in \left(n/2g,1\right)$ 。

2) $V_2$ 的 $L^{\infty }$ 边界估计如下：

由引理3.2，令 $m=0$ ， $p=\infty$ ， $q=2n$ ，则存在常数 $D_1,D_4,D_5,D_6$ 使得

$\begin{array}{c}{\Vert V_2\Vert }_{L^{\infty }}\le D_1{\Vert {\left(\Delta -1\right)}^{\sigma }{V}_2\Vert }_q\le d_3{D}_1{\Vert {\displaystyle {\int }_0^t{\left(\Delta -1\right)}^{\sigma }{\text{e}}^{d_2\left(t-s\right)\left(\Delta -1\right)}{\left(v{v}_x\right)}_x}\Vert }_q\text{d}s\\ \le d_3{D}_1{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{d_2\left(t-s\right)}}{\Vert {\left(\Delta -1\right)}^{\sigma }{\text{e}}^{d_2\left(t-s\right)\Delta }{\left(v{v}_x\right)}_x\Vert }_q\text{d}s\\ \le D_4{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{-\sigma -1/2-\epsilon }{\text{e}}^{\left(d_2-\mu \right)\left(t-s\right)}{\Vert v{v}_x\Vert }_q\text{d}s}\\ \le D_5{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{-\sigma -1/2-\epsilon }{\text{e}}^{\left(d_2-\mu \right)\left(t-s\right)}\text{d}s}\\ \le D_5{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\gamma }^{-\sigma -1/2-\epsilon }{\text{e}}^{\left(d_2-\mu \right)\gamma }\text{d}s}\\ \le D_6\Gamma \left(1/2-\epsilon -\sigma \right).\end{array}$ (42)

对于所有的 $t\in \left(\tau ,T_{\max }\right)$ 。其中 $\sigma \in \left(0,1\right)$ 且满足 $2\sigma -n/q>0$ 。 $\epsilon >0$ 。 $\Gamma \left(1/2-\epsilon -\sigma \right)$ 为伽马函数，即 $\epsilon \in \left(0,1/2-\sigma \right)$ 。

3) $V_3$ 的 $L^{\infty }$ 边界估计如下：

由引理3.2，令 $m=1$ ， $q=2n$ ， $p\in \left(n,\infty \right]$ 。则存在常数 $D_1,D_7,D_8,D_9,D_{10}$ 使得

$\begin{array}{c}{\Vert V_3\Vert }_{W^{1,p}}\le D_1{\Vert {\left(\Delta -1\right)}^{\rho }{V}_3\Vert }_q\\ =D_1{\Vert {\displaystyle {\int }_0^t{\left(\Delta -1\right)}^{\rho }{\text{e}}^{d_2\left(t-s\right)\left(\Delta -1\right)}\left(d_{2}v\left(x,t\right)-c{v}^2/\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)+\gamma v\right)\text{d}s}\Vert }_q\\ \le D_7{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{-\rho }{\text{e}}^{-\vartheta \left(t-s\right)}{\Vert d_{2}v\left(x,t\right)-c{v}^2/\left(1+\alpha u\right)\left(1+\beta v\right)+\gamma v\Vert }_q\text{d}s}\\ \le D_8{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{-\rho }{\text{e}}^{-\vartheta \left(t-s\right)}{\Vert v\left(x,t\right)\Vert }_q\text{d}s}\\ \le D_9{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{-\rho }{\text{e}}^{-\vartheta \left(t-s\right)}\text{d}s}\\ \le D_{10}\Gamma \left(1-\rho \right).\end{array}$ (43)

对于所有的 $t\in \left(\tau ,T_{\max }\right)$ 。且满足 $1-n/p<2\rho -n/q$ 。即 $\rho \in \left(1-n/p+n/q,1\right)$ 。 $\alpha >0$ ，且对于p，由索伯列夫嵌入理论，有

${\Vert V_3\Vert }_{L^{\infty }}\le D_{11}\Gamma \left(1-\rho \right).$ (44)

由(41)、(42)和(44)可得

${\Vert V\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }}\le I.$

对于 $t\in \left(\tau ,T_{\max }\right)$ 。

又因为 $T_{\max }=+\infty$ ， $\tau \in \left(0,T_{\max }\right)$ ，所以上式对 $t\in \left(0,\infty \right)$ 成立。

即存在 $C=I+C\left(\tau \right)$ ，使得

${\Vert u\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert v\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le C,$

对于任意的 $t\in \left(0,\infty \right)$ 。

4. 结语

本文首先考虑了基于Bazykin型功能反应的具有记忆扩散项的捕食者–食饵相互作用的扩散模型，首先证明了食饵和捕食者其解的局部稳定性 $L^1$ 有界性，其中捕食者的 $L^1$ 有界性受到了一定参数条件的限制，更进一步对捕食者进行了2n次边界估计，最后得到了捕食者的 $L^{\infty }$ 边界估计。然后证明了系统其全局有界性和稳定性，结果表明在有记忆扩散捕食者和被捕食者相互作用下，在一维域 $x\in \left(0,l\pi \right)$ 中且受到诺依曼边界条件的影响，具有Bazykin型功能反应扩散作用的捕食系统的全局解存在且一致有界，这与生物学直观感觉一致，并且有助于后续对于具有记忆扩散的系统其解的稳定性和分支研究。

NOTES

^*通讯作者。