二重积分计算的变量变换法

Variable Transformation Method for Double Integral Calculation

摘要: 重积分是微积分重要概念之一，在各学科领域都有重要应用。变量变换是计算重积分的重要方法与技巧，本文从重积分计算，积分等式或积分不等式的证明，以及曲线围成的面积计算与曲面围成的体积计算角度说明变量变换法的重要性以及计算的便捷性。

Abstract: Multiple integral is one of the important concepts of calculus and has important applications in var-ious disciplines. Variable transformation is an important method and technique to calculate the double integral. This paper explains the importance and convenience of variable transformation method from the calculation of double integral, the proof of integral equality or integral inequality, the calculation of the area enclosed by curves and the calculation of the volume enclosed by surfac-es.

1. 引言

二重积分是微积分重要概念之一，其概念与性质在物理学、力学、工程以及金融等学科领域都有广泛应用 [1] [2] 。然而重积分在不规则积分区域或被积函数比较复杂情况下，其通过直角坐标系重积分计算公式往往计算量比较大或者难于计算。我们知道极坐标变换是一种特殊的变量变换，然而极坐标变换计算方法往往针对于积分区域是圆域、扇形域、环域或其中部分区域。换言之，经典极坐标变换计算方法也只能计算某类特殊情形的重积分。实际上，对于更一般化的积分区域或者更复杂的被积函数，可进行变量变换法进行计算 [1] [2] [3] [4] 。文献 [3] 研究了二重积分与定积分的变量替换公式的比较，文献 [4] 从线性变换与非线性变换角度研究了重积分的变量变换选取方法。文献 [5] 研究了变量变换法在重积分计算中的应用。文献 [6] 研究了重积分与课程思政元素的融合与映射。

本文通过典型例题，给出变量变换在重积分计算，积分等式或积分不等式的证明，以及曲线围成的面积计算与曲面围成的体积计算的应用。为方便叙述，下面先介绍x型区域或y型区的重积分计算公式以及变量变换的重积分计算公式。

定理1 [1] 1) 若 $f\left(x,y\right)$ 在 $D=\left\{\left(x,y\right)|y_1\left(x\right)\le y\le y_2\left(x\right),a\le x\le b\right\}$ 上连续，其中 $y_1\left(x\right),y_2\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上连续，则 ${\displaystyle \underset{D}{\iint }f\left(x,y\right)\text{d}\sigma }={\displaystyle {\int }_a^b\text{d}}x{\displaystyle {\int }_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}f}\left(x,y\right)\text{d}y$ 。

2) 若 $f\left(x,y\right)$ 在 $D=\left\{\left(x,y\right)|x_1\left(y\right)\le x\le x_2\left(y\right),c\le y\le d\right\}$ 上连续，其中 $x_1\left(y\right),x_2\left(y\right)$ 在 $\left[c,d\right]$ 上连续，则 ${\displaystyle \underset{D}{\iint }f\left(x,y\right)\text{d}\sigma }={\displaystyle {\int }_c^d\text{d}}y{\displaystyle {\int }_{x_1\left(y\right)}^{x_2\left(y\right)}f}\left(x,y\right)\text{d}x$ 。

定理2 [1] 设 $f\left(x,y\right)$ 在有界闭区域D上可积，变换 $T:x=x\left(u,v\right),y=y\left(u,v\right)$ 将uv平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域 $\Delta$ 一对一地映成xy平面上的闭区域D，函数 $x\left(u,v\right),y\left(u,v\right)$ 在 $\Delta$ 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 $J\left(u,v\right)=\frac{\partial \left(x,y\right)}{\partial \left(u,v\right)}\ne 0$ ， $\left(u,v\right)\in \Delta$ ，则 ${\displaystyle \underset{D}{\iint }f\left(xy\right)\text{d}\sigma }={\displaystyle \underset{\Delta }{\iint }f\left(x\left(u,v\right),y\left(u,v\right)\right)\left|J\left(u,v\right)\right|\text{d}u\text{d}v}$ 。

2. 重积分计算

变量变换的典型应用就是重积分或多重积分的计算。特别是针对被积函数 $f\left(x,y\right)$ 可以看成函数 $g\left(x,y\right),h\left(x,y\right)$ 的四则远算或符合运算而成，积分区域D又由两族曲线族 $g\left(x,y\right)=c,h\left(x,y\right)=c^{\prime }$ 的若干曲线围成，则在某种程度上可由变量变换法可简化计算。

例1：计算 ${\displaystyle \underset{D}{\iint }{\left(x+y\right)}^2\text{d}\sigma }$ ，其中D由 $\left|x\right|+\left|y\right|=1$ 围成。

解法1： $\left|x\right|+\left|y\right|=1$ (如图1所示)可看成如下4条直线组成：

$x+y=1,x+y=-1,x-y=1,x-y=-1.$

因此，可将D分成两个x型区域：

$D_1=\left\{\left(x,y\right)|0\le x\le 1,-1+x\le y\le 1-x\right\},D_2=\left\{\left(x,y\right)|-1\le x\le 0,-1-x\le y\le 1+x\right\}.$

从而，

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{D}{\iint }{\left(x+y\right)}^2\text{d}\sigma }={\displaystyle \underset{D_1}{\iint }{\left(x+y\right)}^2\text{d}\sigma }+{\displaystyle \underset{D_2}{\iint }{\left(x+y\right)}^2\text{d}\sigma }\\ ={\displaystyle {\int }_0^1\text{d}x}{\displaystyle {\int }_{-1+x}^{1-x}{\left(x+y\right)}^2\text{d}y}+{\displaystyle {\int }_{-1}^0\text{d}x}{\displaystyle {\int }_{-1-x}^{1+x}{\left(x+y\right)}^2\text{d}y}\\ =\frac{1}{3}{\displaystyle {\int }_0^1\left[1-{\left(2x-1\right)}^3\right]\text{d}x}+\frac{1}{3}{\displaystyle {\int }_{-1}^0\left[{\left(2x+1\right)}^3-1\right]\text{d}x}\\ =\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.\end{array}$

Figure 1. Example 1

图1. 例1

解法2：为了简化积分区域，令 $u=x+y,v=x-y$ ，由区域D可知， $-1\le u\le 1,-1\le v\le 1$ 。作变换 $T:x=\frac{1}{2}\left(u+v\right),y=\frac{1}{2}\left(u-v\right)$ ，可得 $\frac{\partial \left(x,y\right)}{\partial \left(u,v\right)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right|=-\frac{1}{2}$ 。

从而 ${\displaystyle \underset{D}{\iint }{\left(x+y\right)}^2\text{d}\sigma }={\displaystyle {\int }_{-1}^1\text{d}v}{\displaystyle {\int }_{-1}^1{u}^2\left|\frac{\partial \left(x,y\right)}{\partial \left(u,v\right)}\right|\text{d}u}={\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{1}{2}\text{d}v}{\displaystyle {\int }_{-1}^1{u}^2\text{d}u}={\frac{1}{3}{u}^3|}_{u=-1}^1=\frac{2}{3}$ 。

注：比较上述两解法，可知变量变换可以简化计算。

例2：计算 ${\displaystyle \underset{D}{\iint }\sin \frac{y}{x+y}\text{d}x\text{d}y}$ ，其中D由 $x+y=1,x=0,y=0$ 围成。

分析：尽管积分区域可看成x型区域或y型区域，但考虑到被积函数比较复杂，利用定理1的直角坐标系计算公式比较复杂，计算量大，显然利用变量变换比较合适。

解：作变量变换 $T:x^{\frac{1}{2}}=r^{\frac{1}{2}}\cos \theta ,y^{\frac{1}{2}}=r^{\frac{1}{2}}\sin \theta$ ，即 $x=r{\cos }^2\theta ,y=r{\sin }^2\theta$ ，则

$J=\left|\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta & -2r\cos \theta \sin \theta \\ {\sin }^2\theta & 2r\sin \theta \cos \theta \end{array}\right|=2r\sin \theta \cos \theta$ .

在变换T作用下，D变换为 $\Delta =\left\{\left(\theta ,r\right)|0\le \theta \le \frac{\pi }{2},0\le r\le 1\right\}$ 。从而

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\sin \frac{y}{x+y}\text{d}x\text{d}y}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\text{d}\theta {\displaystyle {\int }_0^1\sin \left({\sin }^2\theta \right)2r\sin \theta \cos \theta \text{d}r}}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \left({\sin }^2\theta \right)2r\sin \theta \cos \theta \text{d}\theta }$

在进行换元积分，令 $u={\sin }^2\theta$ ，则 $\sin \theta =\sqrt{u},\cos \theta =\sqrt{1-u},\theta =\text{arcsin}\sqrt{u},\text{d}\theta =\frac{1}{2\sqrt{1-u}\sqrt{u}}\text{d}u$ 。故而， ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \left({\sin }^2\theta \right)2r\sin \theta \cos \theta \text{d}\theta }={\displaystyle {\int }_0^1\left(\sin u\right)\sqrt{u}\sqrt{1-u}\frac{1}{2\sqrt{1-u}\sqrt{u}}\text{d}u}=\frac{1-\cos 1}{2}$ 。

因此， ${\displaystyle \underset{D}{\iint }\sin \frac{y}{x+y}\text{d}x\text{d}y}=\frac{1-\cos 1}{2}$ 。

注：当积分区域可看成 $x+y\le a$ 或其一部分时，可由变量变换 $T:x^{\frac{1}{2}}=r^{\frac{1}{2}}\cos \theta ,y^{\frac{1}{2}}=r^{\frac{1}{2}}\sin \theta$ 简化重积分的计算。

3. 积分等式或积分不等式的证明

积分中值定理以及积分估值定理在证明积分等式或积分不等式的往往具有重要应用。对于被积函数比较复杂或者积分区域不规则，或者被积函数与积分区域有某种关联关系时，积分中值定理以及积分估值定理的使用可能并不是特别适用。而此时，若能使用变量变换，则往往能柳暗花明。

例3：设 $f\left(x\right)$ 为连续的奇函数，证明 ${\displaystyle \underset{D}{\iint }{\text{e}}^{f\left(x+y\right)}\text{d}\sigma }\ge 2$ ，其中D由 $\left|x\right|+\left|y\right|=1$ 围成。

分析：由直角坐标系公式，则 ${\displaystyle \underset{D}{\iint }{\text{e}}^{f\left(x+y\right)}\text{d}\sigma }={\displaystyle {\int }_0^1\text{d}x}{\displaystyle {\int }_{-1+x}^{1-x}{\text{e}}^{f\left(x+y\right)}\text{d}y}+{\displaystyle {\int }_{-1}^0\text{d}x}{\displaystyle {\int }_{-1-x}^{1+x}{\text{e}}^{f\left(x+y\right)}\text{d}y}$ ，考虑到 $f\left(x\right)$ 是一般抽象函数，如用直角坐标系计算公式，证明过程的计算量一般会比较复杂。为此，可变量变换进一步化简证明。

证明：使用变量变换进行证明积分不等式，令 $u=x+y,v=x-y$ ，由例1可知 $-1\le u\le 1,-1\le v\le 1$ 。从而，

${\displaystyle \underset{D}{\iint }{\text{e}}^{f\left(x+y\right)}\text{d}\sigma }={\displaystyle {\int }_{-1}^1\text{d}v}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{1}{2}{\text{e}}^{f\left(u\right)}\text{d}u}={\displaystyle {\int }_{-1}^1{\text{e}}^{f\left(u\right)}\text{d}u}={\displaystyle {\int }_{-1}^0{\text{e}}^{f\left(u\right)}\text{d}u}+{\displaystyle {\int }_0^1{\text{e}}^{f\left(u\right)}\text{d}u}$ .

令 $u=-t,u\in \left[-1,0\right]$ ，并考虑奇函数性质，则

${\displaystyle {\int }_{-1}^0{\text{e}}^{f\left(u\right)}\text{d}u}={\displaystyle {\int }_0^1{\text{e}}^{f\left(-t\right)}\text{d}t}={\displaystyle {\int }_0^1{\text{e}}^{-f\left(t\right)}\text{d}t}={\displaystyle {\int }_0^1{\text{e}}^{-f\left(u\right)}\text{d}u}$ ,

因此， ${\displaystyle \underset{D}{\iint }{\text{e}}^{f\left(x+y\right)}}\text{d}\sigma ={\displaystyle {\int }_0^1{\text{e}}^{-f\left(u\right)}\text{d}u}+{\displaystyle {\int }_0^1{\text{e}}^{f\left(u\right)}\text{d}u}={\displaystyle {\int }_0^1\left[{\text{e}}^{-f\left(u\right)}+{\text{e}}^{f\left(u\right)}\right]\text{d}u}\ge {\displaystyle {\int }_0^{1}2\sqrt{{\text{e}}^{-f\left(u\right)}{\text{e}}^{f\left(u\right)}}\text{d}u}={\displaystyle {\int }_0^{1}2\text{d}u}=2$ 。

例4：证明等式 ${\left({\displaystyle {\int }_0^a{\text{e}}^{-x^2}\text{d}x}\right)}^2+{\displaystyle {\int }_0^1{\text{e}}^{-a^2\left(1+t^2\right)}/\left(1+t^2\right)\text{d}t}=\frac{\pi }{4}$ 成立。

证明：对于积分 ${\displaystyle {\int }_0^1{\text{e}}^{-a^2\left(1+t^2\right)}/\left(1+t^2\right)\text{d}t}$ ，可作变量替换 $\alpha =\arctan t$ ，则

${\displaystyle {\int }_0^1{\text{e}}^{-a^2\left(1+t^2\right)}/\left(1+t^2\right)\text{d}t}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\text{e}}^{-a^2/{\cos }^2\alpha }\text{d}\alpha }$ .

另一方面， ${\left({\displaystyle {\int }_0^a{\text{e}}^{-x^2}\text{d}x}\right)}^2={\displaystyle \underset{D}{\iint }{\text{e}}^{-\left(x^2+y^2\right)}\text{d}x\text{d}y}$ ，其中D为 $\left[0,a\right]\times \left[0,a\right]$ 。

作极坐标变换 $x=r\cos \alpha ,y=r\sin \alpha$ ，可得

${\left({\displaystyle {\int }_0^a{\text{e}}^{-x^2}\text{d}x}\right)}^2=2{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\text{d}\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{\frac{a}{\cos \alpha }}{\text{e}}^{-r^2}r\text{d}r}=\frac{\pi }{4}-{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\text{e}}^{-a^2/{\cos }^2\alpha }\text{d}\alpha }$ .

4. 曲线围成的面积与曲面围成的体积计算

由重积分的几何意义可知，曲线围成的面积与曲面围成的体积的计算可由重积分来计算。重积分的计算方法也比较多，这里不一一赘述。然而对于复杂曲线或复杂曲面由直角坐标系计算公式并不容易，此时往往可借助极坐标变换或更一般化的变量变换进行重积分简化计算。

例5：求曲线 ${\left(y-x\right)}^2+x^2=a^2\left(a>0\right)$ 围成的面积。

解法1：计算曲边梯形的面积可通过定积分计算，曲线如图2所示，该曲线(椭圆)方程可看成两个函数 $y=x+\sqrt{a^2-x^2}$ 以及 $y=x-\sqrt{a^2-x^2}$ 组成。因此，所求曲线围成图形(椭圆)的面积为

$S={\displaystyle {\int }_{-a}^a\left[\left(x+\sqrt{a^2-x^2}\right)-\left(x-\sqrt{a^2-x^2}\right)\right]\text{d}x}=2{\displaystyle {\int }_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}}\text{d}x=\pi a^2$ .

Figure 2. Example 2

图2. 例2

解法2：借助重积分也可以计算曲线围成图形的面积，即 $S={\displaystyle \underset{D}{\iint }\text{d}x\text{d}y}$ ，其中D为曲线围成的区域。结合曲线的表达式，我们可进行变量变换，不妨令 $x=r\cos \theta ,y=r\left(\sin \theta +\cos \theta \right),\theta \in \left[0,2\pi \right]$ 。易知， $J=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta +\cos \theta & r\left(\cos \theta -\sin \theta \right)\end{array}\right|=r\left(1-2\sin \theta \cos \theta \right)$ ，从而

$S={\displaystyle \underset{D}{\iint }\text{d}x\text{d}y}={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\text{d}\theta }{\displaystyle {\int }_0^{a}r\left(1-2\sin \theta \cos \theta \right)\text{d}r}={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2}{a}^2\left(1-2\sin \theta \cos \theta \right)\text{d}\theta }=\pi a^2$ .

例6：求由椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 与圆锥面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}\left(z>0;a,b,c>0\right)$ 围成的立体体积V

解：两曲面的交线在xoy平面的投影为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{1}{2}$ ，记其所围区域为D。由重积分的几何意义可知， $V={\displaystyle \underset{D}{\iint }\left[c\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}-c\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}\right]\text{d}x\text{d}y}$ 。采用广义极坐标变换，令 $x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta$ ，从而 $V={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\text{d}\theta {\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}abr\left(c\sqrt{1-r^2}-cr\right)\text{d}r}}=\frac{\pi }{3}abc\left(2-\sqrt{2}\right)$ 。

通过上述例题，我们发现在重积分计算，积分等式或积分不等式的证明，以及曲线围成的面积计算与曲面围成的体积计算上，变量变换法都具有重要应用，并在某种程度上，也可简化计算过程。

基金项目

广西高等教育本科教学改革工程项目(2020JGA155)，广西民族大学高等教育教学改革工程项目(2019XJGY40)和广西自然科学基金(AD21159013, 2021GXNSFAA220033)。