1. 引言
众所周知,变分不等式是研究经济、管理和工程中出现的各种网络均衡问题的有用工具 [1] - [11] 。因此,它引起了数学、物理学、经济学等领域大量研究人员的广泛关注。最初是Lescarret [12] 和Browder [13] 结合众多应用考虑带有非线性项的混合变分不等式,混合变分不等式是一般的变分不等式的一个有用且重要的推广。通常研究变分不等式解的存在性方法有这几种方法:其一,灵活的应用几个经典的大定理,如Brower不动点定理、KKM定理、Ky Fan极大极小原理等,这种方法可以看作是经典不动点理论的一个重要应用;其二,将变分不等式转化为等价的不动点问题,构造迭代算法,然后利用空间的完备性证明迭代点列收敛到变分不等式的解。常用技巧有投影方法、预解方程和预解算子技巧等。对于这方面的研究,可以参阅 [14] [15] 及其参考文献。本文给出了一系列MVI和MMVI的解的存在性及唯一性的定理,利用FKKM定理我们可以得到只要存在一个点使得
为紧集,MVI的解就存在。而如果空间为有限维,在有限维的希尔伯特空间中,有界闭和紧等价,而强制性条件往往可以限制该集合的有界性,此时MVI的解就存在。
2. 准备知识
定义1.1 K为H上的一非空闭凸集,
为一真凸下半连续泛函,
连续,混合变分不等式(简记为MVI)为寻找
,使得
.
定义1.2 设K是一线性空间X的非空子集,集值映射
被称为KKM映
像,如果对于K中的任意有限集
有
其中
表示集合
的凸包。
定理1.1 (FKKM定理)设K是一Hausdorff拓扑线性空间X的非空凸集,
是闭值的KKM映像。如果存在一点
使得
为K中的紧集,那么
3. 主要内容
定理2.1 在定义1.1中定义的MVI中,若存在一点
使得
为K中的紧集。则混合变分不等式有解。
证明:定义一集值映射
如下
首先证明
为KKM映像。若
不为KKM映像则存在
,满足
,使得
。其中
,
且
。
于是对于任意的
有
把n个式子求和可以得到
继而得到
故而矛盾,因此
为KKM映像。
然后我们证明对于任给的
。
为闭集。
故而
,
令
,且
。则有下面这个式子成立
对这个式子取下极限,并由T的连续性和f的下半连续性可以得到
于是我们知道
。故而
为闭集。
有条件存在一点
满足
为K中的紧集。故而由FKKM定理可知
非空,故而MVI有解。
推论2.1 若H为紧空间,则MVI的解存在。
证明:由定理2.1可知对于任意的
,
为H的闭子集,故而
为紧集,故而该变分不等式有解。
定理2.2 若H为有限维的希尔伯特空间,若满足存在一点
使得
,
则MVI解存在。且解集为有界闭集。
证明:若
无界,那么存在一个无界序列
,取一个包含于
的子序列,不失一般的我们依旧记为
。那么对于任意的
,都有
通过变型我们可以得到
让
,我们可以得到
矛盾,故而
有界,由定理2.1我们知道
为闭集,且H为有限维的希尔伯特空间,故而
为紧集,由定理2.1知混合变分不等式的解存在。
有界,易知
有界。故而MVI的解集为有界闭集。
由上面的证明过程易知如下推论
推论2.2 若MVI的解存在,且满足存在一点
使得
,
则MVI的解集为有界闭集。