具有二次相互作用的非线性薛定谔方程组的爆破解

Explosive Solution of Nonlinear Schr?dinger Equations with Quadratic Interactions

摘要: 本文研究了具有一般二次型非线性的薛定谔方程组的爆破结果。我们证明了六维圆柱对称的有限时间爆破解。主要研究方法是基于非质量共振条件下的圆柱对称维里估计。

Abstract: In this paper, we study the blow-up results of Schrödinger’s equations with general quadratic non-linearity. We prove the finite-time blow-up solution of Six-dimensional cylindrical symmetry. The main research method is based on the virial estimation of cylindrical symmetry under the condition of massless resonance.

1. 引言

非线性薛定谔方程是量子力学的基本方程，它来源于量子场论。从数学的角度来看，它同时拥有与抛物线方程和双曲线方程类似的性质。今年来，非线性薛定谔方程受到了许多数学工作者的广泛关注。不仅因为它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，在非线性光学领域有着广泛的应用，而且因为有很多模型经简化后，都是一些确定的非线性薛定谔方程。利用数学工具，我们可以研究二次相互作用下一类非线性薛定谔方程。现在，许多学者开始研究了一类非线性薛定谔方程解的爆破性质和散射性质，并取得了重要的研究成果。

2022年，N. Noguera和A. Pastor ( [1] )研究了非线性薛定谔方程组(1.1)的解的存在性，他们证明了在5维和6维下，该系统方程组的爆破解的存在性，基于相关基态的质量和能量为系统的解的存在提供了足够的条件。在之前的研究成果中，已经证明了在6维下解的存在性。在过去的几年里，越来越多的人对具有二次相互作用的非线性薛定谔系统感兴趣(更具体地说，如 [2] [3] [4] )。

本文主要研究了如下的柯西问题：

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}i{\alpha }_k{\partial }_t{u}_k+{\gamma }_k\Delta u_k-{\beta }_k{u}_k+f_k\left(u_1,\cdots ,u_l\right)=0,\left(x,t\right)\in {ℝ}^n\times ℝ,\\ \left(u_1\left(x,0\right),\cdots ,u_l(x,0)\right)=(u_{10},\cdots ,u_{l0}),k=1,\cdots ,l,\end{array}\hfill \end{array}$ (1.1)

在 $n=6$ 时，即 $L^2$ 次临界情况下，当该方程的初始解属于圆柱对称空间时，方程组的解在有限时间上爆破。这里 $u_k:{ℝ}^n\times ℝ\to ℂ$ 都是复函数，并且 $\Delta$ 表示为拉普拉斯算子， ${\alpha }_k,{\gamma }_k>0,{\beta }_k\ge 0$ 都是实的常数，此外， $f_k$ 为非线性二次型增长函数。

2. 准备工作

本节为了更好地研究方程组(1.1)的爆破解，我们有以下假设(见 [1] )：

(H1) $f_k\left(0,\cdots ,0\right)=0,k=1,\cdots ,l.$

(H2) 对于任意的 $\left(z_1,\cdots ,z_l\right)$ ， $\left({z^{\prime }}_1,\cdots ,{z^{\prime }}_l\right)\in {ℂ}^l$ ，并且存在一个常数 $C>0$

$\left|\frac{\partial }{\partial z_m}\left[f_k\left(z_1,\cdots ,z_l\right)-f_k\left({z^{\prime }}_1,\cdots ,{z^{\prime }}_l\right)\right]\right|\le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{l}{\sum }}\left|z_j-{z^{\prime }}_j\right|},k,m=1,\cdots ,l,$

$\left|\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_m}\left[f_k\left(z_1,\cdots ,z_l\right)-f_k\left({z^{\prime }}_1,\cdots ,{z^{\prime }}_l\right)\right]\right|\le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{l}{\sum }}\left|z_j-{z^{\prime }}_j\right|},k,m=1,\cdots ,l.$

(H3) 存在一个函数 $F:{ℂ}^l\to ℂ$ ，使得

$f_k\left(z_1,\cdots ,z_l\right)=\frac{\partial F}{\partial {\bar{z}}_k}\left(z_1,\cdots ,z_l\right)+\overline{\frac{\partial F}{\partial z_k}}\left(z_1,\cdots ,z_l\right),k=1,\cdots ,l.$

(H4) 存在一系列正常数 ${\sigma }_1,\cdots ,{\sigma }_l$ ，并且对任意的 $\left(z_1,\cdots ,z_l\right)\in {ℂ}^l$ ，

$Im{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\sigma }_k}{f}_k\left(z_1,\cdots ,z_l\right)\left({\bar{z}}_k\right)=0.$

(H5) 如果F是3次的齐次函数，因此，对任意的 $\lambda >0$ 和 $\left(z_1,\cdots ,z_l\right)\in {ℂ}^l$ ，

$F\left(\lambda z_1,\cdots ,\lambda z_l\right)={\lambda }^{3}F\left(z_1,\cdots ,z_l\right).$

(H6) 下列不等式成立

$\left|Re{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}F}\left(u_1,\cdots ,u_l\right)\text{d}x\right|\le {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}F}\left(\left|u_1\right|,\cdots ,\left|u_l\right|\right)\text{d}x.$

(H7) 如果函数F在 ${ℝ}^l$ 上是实值函数，也就是说，如果 $\left(y_1,\cdots ,y_l\right)\in {ℝ}^l$ ，那么

$F\left(y_1,\cdots ,y_l\right)\in ℝ.$

更重要的是， $f_k$ 在 ${ℝ}^l$ 的正锥上的非负函数，也就是说，对于 $y_i\ge 0$ ， $i=1,\cdots ,l$ ，

$f_k\left(y_1,\cdots ,y_l\right)\ge 0.$

(H8) 函数F可以写成 $F_1+\cdots +F_m$ 的和，这里 $F_s,s=1,\cdots ,m$ 在 ${ℝ}_{+}^d,1\le d\le l$ ，并且消失在超平面上，也就是说，对于任意的 $i,j\in \left\{1,\cdots ,d\right\}$ ， $i\ne j$ ，并且 $k,h\le 0$ ，我们能得到

$F_s\left(y+h{e}_i+k{e}_j\right)+F_s\left(y\right)\ge F_s\left(y+h{e}_i\right)+F_s\left(y+k{e}_j\right),y\in {ℝ}_{+}^d\text{,}$

以及 $F_s\left(y_1,\cdots ,y_l\right)=0$ ，如果 $y_j=0$ 对于 $j\in \left\{1,\cdots ,d\right\}$ 。

尽管我们不需要结果中的所有假设，但我们也假设(H1)~(H8)在本文中同样成立。特别的是，N。Noguera and A. Pastor [1] 已经研究了一些成果。假设(H1)和(H2)成立，则能得到系统(1.1)在五维和六维上的局部和全局适定性。更多的详细的细节在 [5] 里的定理3.9和定理3.10。通过假设(H3)~(H5)成立，我们可以建立以下质量的守恒：

$Q\left(u\left(x,t\right)\right):={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}\frac{{\alpha }_k{\sigma }_k}{2}}{\Vert u_k\left(x,t\right)\Vert }_{L^2}^2,$

和能量的守恒：

$E\left(u\left(x,t\right)\right):={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\gamma }_k}{\Vert \nabla u_k\left(x,t\right)\Vert }_{L^2}^2+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\beta }_k}{\Vert u_k\left(x,t\right)\Vert }_{L^2}^2-2Re{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}F}\left(u\left(x,t\right)\right)\text{d}x,$

这里的符号 $u\left(x,t\right)=\left(u_1\left(x,t\right),\cdots ,u_l\left(x,t\right)\right)$ 。

在介绍本文的主要结果之前，我们回顾了 $f_k$ 是2次的齐次函数，并且在以下的伸缩变换中

$u_k^{\lambda }\left(x,t\right)={\lambda }^2{u}_k\left(\lambda x,{\lambda }^{2}t\right),k=1,\cdots ,l,$

我们可以知道，当 ${\beta }_k=0$ 时，Sobolev空间 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^{n/2-2}$ 对于方程组(1.1)是临界的，因为它通过上述缩放会保持不变。为了继续我们的介绍，我们回顾了方程组(1.1)的解所需要满足的维里型恒等式。事实上，对于1 ≤ n ≤ 6，我们设 $\Gamma :=\left\{u\in H^1\left({ℝ}^n\right);xu\in L^2\left({ℝ}^n\right)\right\}$ ，其中 $xu=\left(x{u}_1,\cdots ,x{u}_l\right)$ ，并回顾以下的维里函数

$V\left(t\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}\frac{{\alpha }_k^2}{{\gamma }_k}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{\left|x\right|}^2}{\left|u_k\left(x,t\right)\right|}^2\text{d}x,$

这里 $u\left(t\right)$ 是方程组(1.1)的相关解，当初始数据 $u_0\in \Gamma$ 。因此，可以很清晰的得到

$\begin{array}{c}{V}^{″}\left(t\right)=2nE\left(u_0\right)-2n{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\beta }_k}{\Vert u_k\Vert }_{L^2}^2+2\left(4-n\right){\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\gamma }_k}{\Vert \nabla u_k\Vert }_{L^2}\\ -4\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{\left|x\right|}^{2}Im{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{m}_k}{f}_k\left(u\right){\bar{u}}_k\text{d}x}\right],\end{array}$

只要方程组(1.1)的解存在。

接下来，我们回顾了与方程组(1.1)相关的质量共振条件的概念。我们清楚地看到质量共振条件在方程组(1.1)的解所满足的维里型恒等式中起着重要作用。在 [1] 中，随着(H4)的一些修改，我们将有如下的假设，系统(1.1)满足所提供的质量共振的条件(参见( [1] )中的定义1.1)，

$Im{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{m}_k}{f}_k\left(z\right){\bar{z}}_k=0,z\in {ℂ}^l,$ (MR)

这里 $m_k:=\frac{{\alpha }_k}{2{\gamma }_k}$ 。

正如我们所看到的，质量共振条件是系统质量之间的一种特殊关系，它在系统的求解中非常重要。例如，假设(MR)成立，则(1.5)右边的最后一项消失。因此，在质量共振条件下，可以简化维里恒等式的计算过程(例如，详见 [6] [7] [8] 和 [9] )。

我们使用C来定义一些常数，这些常数可能会逐行的变化。我们假设一个集合A，然后我们定义一个乘积 $A$ (或者 $A^l=A\times \cdots \times A$ )。如果A是范数为 $\Vert \cdot \Vert$ 的一个Banach空间，那么 $A$ 也是一个其标准范数由其和给出的一个Banach间。对于任何的复数 $z\in ℂ$ ， $Rez$ 和 $Imz$ 分别代表它的实部和虚部。此外， $\bar{z}$ 表示其复数共轭部分。同时，我们设 $\left|z\right|=\left(\left|z_1\right|,\cdots ,\left|z_l\right|\right)$ 。并且可以清晰的得到 $\left|z\right|:=\sqrt{{\left|z_1\right|}^2+\cdots +{\left|z_l\right|}^2}$ ，这代表在 ${ℂ}^l$ 中的矢量 $z$ 的标准范数。对于 $z=\left(z_1,\cdots ,z_l\right)\in {ℂ}^l$ ，我们有 $z_m=x_m+i{y}_m$ ，其中 $x_m=Re{z}_m$ 和 $y_m=Im{z}_m$ 。

这里变量 $\frac{\partial }{\partial z_m}$ 和 $\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_m}$ 分别定义为：

$\frac{\partial }{\partial z_m}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x_m}-i\frac{\partial }{\partial y_m}\right),\text{and}\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_m}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x_m}+i\frac{\partial }{\partial y_m}\right).$

这里空间定义为 $L^p=L^p\left({ℝ}^n\right),1\le p\le +\infty$ ，并且符号 $W_p^s=W_p^s\left({ℝ}^n\right)$ 代表了一般的Lebesgue空间和Sobolev空间。在 $p=2$ 的情况下，我们将使用标准的符号即 $H^s=W_2^s$ 。假设 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^1={\stackrel{\dot{}}{H}}^1\left({ℝ}^n\right)$ 定义为一阶齐

次的Sobolev空间。在 $n\; \ge \; 3$ 的情况下， $2^{*}=\frac{2n}{n-2}$ 表示为临界的Sobolev指数。如果我们给出一个时间间隔I，则混合的空间 $L^p\left(I;L^q\left({ℝ}^n\right)\right)$ 将通过以下范数得到：

${\Vert f\Vert }_{L^p\left(I;L^q\right)}={\left({\displaystyle {\int }_I{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{\left|f\left(x,t\right)\right|}^q\text{d}x}\right)}^{\frac{p}{q}}}\text{d}t\right)}^{\frac{1}{p}},$

当 $p=\infty$ 和 $q=\infty$ 时，有一些明显的修改。如果时间间隔I是隐藏的，则可以清晰的可以得到，我们通过 $L^p\left(L^q\right)$ 可以简便的定义 $L^p\left(I;L^q\left({ℝ}^n\right)\right)$ 空间，其中它的范数是 ${\Vert \cdot \Vert }_{L^p\left(L^q\right)}$ 。

接下来，为了更好的陈述我们的结果，我们引入一个圆柱对称的概念，在这里，我们定义

${\Sigma }_n:=\left\{f\in H^1\left({ℝ}^n\right)\text{s}\text{.t}\text{.}f\left(y,x_n\right)=f\left(\left|y\right|,x_n\right),x_{n}f\in L^2\left({ℝ}^n\right)\right\},$

这里 $x=\left(y,x_n\right),y=\left(x_1,\cdots ,x_{n-1}\right)\in {ℝ}^{n-1}$ ，并且 $x_n\in ℝ$ 。这里 ${\Sigma }_n$ 代表在最后一个方向上具有有限方差的圆柱对称函数的空间。

下面给出本文需要的引理和假设条件(H1)~(H8)的重要结果。

引理2.1 (见 [5] )假设(H1)~(H7)成立。

1) 可以得到

$\left|ReF\left(z\right)-ReF\left(z^{\prime }\right)\right|\le C{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{l}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{l}{\sum }}\left({\left|z_j\right|}^2+{\left|{z^{\prime }}_j\right|}^2\right)}}\left|z_m-{z^{\prime }}_m\right|,$ (2.1)

特别的是，

$\left|ReF\left(z\right)\right|\le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{l}{\sum }}{\left|z_j\right|}^3}.$

2) 设 $u$ 是定义在 ${ℝ}^n$ 上的一个复数函数，则

$Re{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{f}_k}\left(u\right){\bar{u}}_k=\mathrm{Re}\left[3F\left(u\right)\right].$

3) 存在

$f_k\left(x\right)=\frac{\partial F}{\partial x_k}\left(x\right),x\in {ℝ}^l.$ (2.2)

除此之外，F在 ${ℝ}^l$ 的正锥上是正的。

在 [1] 中，当 $n=6$ 时，他们证明了当初始数据足够小时全局解的存在性。因此，我们需要选择具体的基态解。

首先，事实上，当 $n=6$ 时，方程组(1.1)的驻波解是具有以下形式的特殊解

$u_k\left(x,t\right)={\text{e}}^{i\frac{{\sigma }_k}{2}\omega t}{\psi }_k\left(x\right),k=1,\cdots ,l,$ (2.3)

其中 $w\in ℝ$ ，并且 ${\psi }_k$ 是实值函数，在无穷大处衰减为零。特别的是，在 $f_k,k=1,\cdots ,l$ 的规范不变条件的假设下，对于 $\omega \in ℝ$ ，可以得到

$f_k\left({\text{e}}^{i\frac{{\alpha }_1}{{\gamma }_1}\omega t}{\psi }_1,\cdots ,{\text{e}}^{\frac{{\alpha }_l}{{\gamma }_l}\omega it}{\psi }_l\right)={\text{e}}^{i\frac{{\alpha }_k}{{\gamma }_k}\omega t}{f}_k\left(\psi \right),$

其中 $\psi =\left({\psi }_1,\cdots ,{\psi }_l\right)$ 。此外，通过将(3.1)程组(1.1)中，我们知道 ${\psi }_k\left(x\right)$ 一定满足以下的半线性椭圆系统

$-{\gamma }_k\Delta {\psi }_k=f_k\left(\psi \right),k=1,\cdots ,l,$ (2.4)

通过引理2.1 (3)，则(2.4)的能量泛函为

$I\left(\psi \right)=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\gamma }_k}{\Vert \nabla {\psi }_k\Vert }_{L^2}^2-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^6}F}\left(\psi \right)\text{d}x.$

半线性椭圆系统(2.4)的基态解是能量泛函(2.5)的临界值。在继续之前，先引入以下方程

$\mathcal{Q}\left(\psi \right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}\left(\frac{{\sigma }_k{\alpha }_k}{2}\omega +{\beta }_k\right)}{\Vert {\psi }_k\Vert }_{L^2}^2,$ (2.5)

$K\left(\psi \right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\gamma }_k}{\Vert \nabla {\psi }_k\Vert }_{L^2}^2,P\left(\psi \right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^5}F}\left(\psi \right)\text{d}x,$ (2.6)

这里，我们设

$\mathcal{P}:=\left\{\psi \in H^1;P\left(\psi \right)>0\right\},H^1=H^1\times \cdots \times H^1.$

本节的重点是证明方程组(1.1)爆破解的存在。为了给出我们结果的准确陈述。更准确地说，在( [1] )和( [5] )中，我们选择了一个特殊集合下的基态解，

当 $n=6$ 时，我们设 $\omega =0$ ， $\beta =\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_l\right)=\left(0,\cdots ,0\right)$ 。并且因此我们得到了6维下的所有基态的集合 ${\mathcal{G}}_6\left(0,0\right)$ 。通过( [1] Lemma3.1)，我们引入以下相关的方程：

$\mathcal{E}\left(\psi \right):=K\left(\psi \right)-2P\left(\psi \right),\psi \in {\stackrel{\dot{}}{H}}^1\left({ℝ}^6\right).$

3. 维里分析和维里估计

在本节中，我们陈述当 $n=6$ 时，与方程组(1.1)相关的基态的一些必要的前提条件。然后利用它们得到Pohozaev泛函方程和Sobolev型不等式的一些估计。

首先，我们假设向量 $u$ 的所有分量都是实值函数，通过使用引理2.1，我们将获得以下一般的临界Sobolev型不等式( [10] )：

$P\left(u\right)\le C_6^{opt}K{\left(u\right)}^{\frac{3}{2}},\forall u\in \mathcal{T},$ (4.6)

这里 $\mathcal{T}:=\left\{\psi \in {\stackrel{\dot{}}{H}}^1\left({ℝ}^6\right);P\left(\psi \right)>0\right\}$ 。那么我们得到 $\mathcal{C}\subset \mathcal{T}$ 。在论文 [1] 中，这里最佳常数是

$C_6^{opt}=\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}\frac{1}{\mathcal{E}{\left(\psi \right)}^{\frac{1}{2}}},$ (4.7)

这里 $\psi$ 是式(4.2)的基态解， $\psi \in {\mathcal{G}}_6$ 。

接下来，我们继续引入以下的Pohozaev泛函方程：

${\mathcal{T}}_n\left(u\left(t\right)\right)=K\left(u\left(t\right)\right)-\frac{n}{2}P\left(u\left(t\right)\right),n=5,6.$ (3.3)

因此，我们可以得到以下引理。

引理3.1 ( [5] )假设 $n=6$ 时，并且 $\psi$ 是方程(2.3)的一个弱解。则我们有以下的等式成立：

$P\left(\psi \right)=2I\left(\psi \right),$ (3.4)

$K\left(\psi \right)=5I\left(\psi \right),$ (3.5)

和

$Q\left(\psi \right)=I\left(\psi \right).$ (3.6)

其次，通过Pohozaev泛函方程(3.3)和能量泛函的定义，通过简便的计算，我们可以得到：

${\mathcal{T}}_n\left(u\left(t\right)\right)=\frac{n}{4}E\left(u\left(t\right)\right)-\left(\frac{n-4}{4}\right)K\left(u\left(t\right)\right)-\frac{n}{4}L\left(u\left(t\right)\right),n=5,6,$ (3.7)

其中

$L\left(u\right):={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\beta }_k}{\Vert u_k\Vert }_{L^2}^2.$ (3.8)

因此，基于上述等式的基础上，可以得到，Pohozaev泛函方程(3.5)是严格负的。则引出以下引理。

引理3.2 ( [1] )当 $n=5,6$ 时，在主要定理的假设下，存在 $\delta >0$ ，使得

${\mathcal{T}}_n\left(u\left(t\right)\right)\le -\delta <0,t\in I.$ (3.9)

最后，介绍本节所需要的有关维里估计的主要引理。

引理3.3 ( [2] )设 $n\ge 1$ ，并且 $\phi :{ℝ}^n\to ℝ$ 是一个足够的平滑和衰减的函数。假设 $I=\left(-T_{*},T^{*}\right)$ 是一个最大的存在区间。令 $u$ 是方程组(1.1)的解，定义

$V\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\phi }\left(x\right)\left({\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}\frac{{\alpha }_k^2}{{\gamma }_k}}{\left|u_k\right|}^2\right)\text{d}x.$ (3.10)

则我们有对于所有的 $t\in I$ ，

$\begin{array}{l}{V}^{\prime }\left(t\right)=2{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\alpha }_k}Im{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\nabla }\phi \cdot \nabla u_k{\bar{u}}_k\text{d}x-4{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\phi }\left(x\right)Im{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{m}_k}{f}_k\left(u\right){\bar{u}}_k\text{d}x\\ =:{\mathcal{M}}_{\phi }\left(t\right)-4{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\phi }\left(x\right)Im{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{m}_k}{f}_k\left(u\right){\bar{u}}_k\text{d}x,\end{array}$ (3.11)

其中 $m_k:=\frac{{\alpha }_k}{2{\gamma }_k}$ ，并且我们设

${\mathcal{M}}_{\phi }\left(t\right):=2{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\alpha }_k}Im{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\nabla }\phi \cdot \nabla u_k{\bar{u}}_k\text{d}x.$

通过简便的计算，我们可以改写 $\frac{\text{d}}{\text{d}t}{M}_{\phi }\left(t\right)$ 为

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{M}_{\phi }\left(t\right)=4{\displaystyle \underset{1\le m,j\le n}{\sum }Re}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\frac{{\partial }^2\phi \left(x\right)}{\partial x_m\partial x_j}}\left[{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\gamma }_k}\partial x_m{\bar{u}}_k\partial x_j{u}_k\right]\text{d}x\\ -{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left({\Delta }^2\phi \right)}\left({\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\gamma }_k}{\left|u_k\right|}^2\right)\text{d}x-2Re{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left(\Delta \phi \right)F\left(u\right)\text{d}x}.\end{array}$ (3.12)

现在，介绍应用维里恒等式的主要引理。根据上述维里估计。我们得到了以下精细的圆柱对称局部维里估计。

引理3.5 假设 $n=6$ ，并且 $u$ 是方程组(1.1)定义在I上的一个 ${{\displaystyle \sum }}_n$ 解，并且设 ${\phi }_R$ 是定义在式(3.15)上的函数，定义 $M_{\phi }\left(t\right)$ 是式(3.11)中的函数。则我们对于所有的 $t\in I$ ，

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{M}_{\phi }\left(t\right)\le 8T_n\left(u\left(t\right)\right)+C{R}^{-2}\mathcal{Q}\left(u_0\right)+C{R}^{-\frac{n-2}{2}}\mathcal{Q}\left(u_0\right)\left({\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\Vert {\nabla }_y{u}_k\Vert }_{L_{x^2}}^2}+1\right).$ (3.13)

4. 在L2次临界情况下的薛定谔方程组

在有限时间内爆破

本节讨论了当 $n=6$ 时，方程组(1.1)的解在有限时间上爆破。

定理4.1 假设 $u_0=\left(u_{10},\cdots ,u_{l0}\right)\in {\Sigma }_6\times \cdots \times {\Sigma }_6$ ，并且设 $u$ 是方程组(1.1)定义在存在的最大时间间隔的相关的解，定义时间I，这里 $\psi$ 是式(3.2)在基态 ${\mathcal{G}}_6\left(0,0\right)$ 上的基态解。

当 $n=6$ 时，假设

$E\left(u_0\right)<\mathcal{E}\left(\psi \right),$

和

$K\left(u_0\right)>K\left(\psi \right),$

则方程组(1.1)的解在有限时间上爆破。

定理4.1的证明：假设 $u_0=\left(u_{10},\cdots ,u_{l0}\right)\in {\Sigma }_6\times \cdots \times {\Sigma }_6$ ，并且满足其爆破条件，我们能得到 $T^{*}<\infty$ 。我们将用反证法来证明我们的定理。

首先，假设 $T^{*}=\infty$ 。通过引理3.2，则存在一个正常数 $\delta$ 使得

$T_6\left(u\left(t\right)\right)\le -\delta <0,$ (4.1)

对于所有的 $t\in I$ 。此外，通过引理3.5，我们可以得到对所有的 $t\in I$ ，都有对任意的 $\epsilon >0$ ，

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{M}_{\phi }\left(t\right)\le 8T_6\left(u\left(t\right)\right)+C{R}^{-2}\mathcal{Q}\left(u_0\right)+C{R}^{-\frac{3}{2}}\mathcal{Q}\left(u_0\right)\left({\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\Vert {\nabla }_{y}u\Vert }_{L_{x^2}}^2}+1\right)\\ \le 8T_6\left(u\left(t\right)\right)+C{R}^{-2}\mathcal{Q}\left(u_0\right)+C{R}^{-\frac{3}{2}}\mathcal{Q}\left(u_0\right)+6\epsilon K\left(u\right).\end{array}$ (4.2)

假设 $0<\epsilon <1$ ，通过引理3.1和式(3.7)，我们得到

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{M}_{\phi }\left(t\right)\le -8\left(1-\epsilon \right)\delta +10\epsilon \left|E\left(u_0\right)\right|+C{R}^{-\frac{3}{2}}Q\left(u_0\right)+C{R}^{-2}Q\left(u_0\right),$

对于所有的 $t\in I$ 都成立。这里我们选择 $R>1$ ，使其足够大，并且选择足够小的 $\epsilon$ 使得 $\frac{\text{d}}{\text{d}t}{M}_{{\phi }_R}\left(t\right)\le -2\delta$ 。接下来，我们整合 $\left[0,t\right)$ 上的不等式，则能得到

$M_{\phi }\left(t\right)\le -2\delta t+M_{{\phi }_R}\left(0\right).$ (4.3)

另一方面，通过Hölder不等式，以及质量的守恒定律，我们可以得到

$\begin{array}{l}\left|M_{\phi }\left(t\right)\right|\le 2{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\alpha }_k}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left|\nabla {\phi }_R\right|\cdot \left|\nabla u_k{u}_k\right|\text{d}x}\\ \le CR{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l}{\sum }}{\alpha }_k}{\Vert u_k\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla u_k\Vert }_{L^2}.\end{array}$ (4.4)

现在，我们可以选择足够大的 $T_0>0$ ，使得 $M_{\phi }\left(0\right)<T_0\delta$ 。从式(3.15)和方程组(1.1)，我们可以得到

$M_{\phi }\left(t\right)\le -\delta t,t\ge T_0.$ (4.5)

因此，从式(4.3)和式(4.4)，可以得到

$\delta t\le -M_{\phi }\left(t\right)=\left|M_{{\phi }_R}\left(t\right)\right|\le CRQ{\left(u_0\right)}^{\frac{1}{2}}K{\left(u\right)}^{\frac{1}{2}},$

和

$K\left(u\left(t\right)\right)\ge C_0{t}^2,t\ge T_0,$ (4.6)

这里的一些正常数 $C_0$ 是和C，R， $\delta$ 和 $Q\left(u_0\right)$ 有关。

其次，我们考虑当 $\epsilon$ 充分小时(小于 $\frac{1}{3}$ )，由式(3.4)和(4.2)，我们有

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{M}_{\phi }\left(t\right)\le 8T_6\left(u\left(t\right)\right)+C{R}^{-2}\mathcal{Q}\left(u_0\right)+C{R}^{-\frac{3}{2}}\mathcal{Q}\left(u_0\right)+6\epsilon K\left(u\right)\\ \le 10E\left(u\right)-2K\left(u\right)-10L\left(u\right)+K\left(u\right)+C{R}^{-2}\mathcal{Q}\left(u_0\right)+C{R}^{-\frac{3}{2}}\mathcal{Q}\left(u_0\right)\\ \le -K\left(u\right)+10E\left(u_0\right)+C{R}^{-2}\mathcal{Q}\left(u_0\right)+C{R}^{-\frac{3}{2}}\mathcal{Q}\left(u_0\right),\end{array}$ (4.7)

接下来，我们根据能量的守恒定律以及事实 $L\left(u\right)\ge 0$ 。并且注意到在式(4.7)中的后三项并不依赖于t的选取。因此，我们选择 $T_1>T_0$ ，使得

$10E\left(u_0\right)+C{R}^{-2}\mathcal{Q}\left(u_0\right)+C{R}^{-\frac{3}{2}}\mathcal{Q}\left(u_0\right)\le \frac{1}{2}{C}_0{T}_1^2,$

这里的 $C_0$ 是在式(4.6)中的常数。因此，从式(4.6)和(4.7)中，我们获得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{M}_{\phi }\left(t\right)\le -\frac{1}{2}K\left(u\left(t\right)\right),t>T_1.$ (4.8)

因此，通过以上式子我们推断出

$M_{\phi }\left(t\right)\le -\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{T_1}^{t}K}\left(u\left(s\right)\right)\text{d}s.$ (4.9)

从式(3.16)和(4.9)中，可以得到

$\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{T_1}^{t}K}\left(u\left(s\right)\right)\text{d}s\le -M_{\phi }\left(t\right)=\left|M_{\phi }\left(t\right)\right|\le CRQ{\left(u_0\right)}^{\frac{1}{2}}K{\left(u\right)}^{\frac{1}{2}},$ (4.10)

对于所有的 $t>T_1$ ，我们设

$h\left(t\right):={\displaystyle {\int }_{T_1}^{t}K}\left(u\left(s\right)\right)\text{d}s,t>T_1.$ (4.11)

这不难看出 $h\left(t\right)$ 是非递减和非负的，通过(3.26)，然后我们得到

$A{h}^2\left(t\right)\le K\left(u\right),$

这里设 $A:=\frac{1}{4C^2{R}^2\mathcal{Q}\left(u_0\right)}$ 。通过式(4.10)，我们有

$A{h}^2\left(t\right)\le h^{\prime }\left(t\right),\forall t>T_1.$

最后，对 $T^{\prime }>T_1$ ，我们对式(4.11)在 $\left[T^{\prime },t\right)$ 上进行整理，获得了

$h\left(t\right)\ge \frac{h\left(T^{\prime }\right)}{1-Ah\left(T^{\prime }\right)\left(t-T^{\prime }\right)},\forall t>T^{\prime }.$

这里，可以看出当 $t\to t^{*}$ 时， $h\left(t\right)\to \infty$ ，这里

$t^{*}=T^{\prime }+\frac{1}{Ah\left(T^{\prime }\right)}>T^{\prime }.$

因此，当 $n=6$ 时，方程组(1.1)的爆破解不在全体时间 $t\to \infty$ 上存在，换句话说，方程组(1.1)的解在有限时间上爆破。定理3.1得证。