1. 引言
Ihara [1] 定义了Ihara Zeta函数,并证明该函数为多项式的倒数。
建立在Hashimoto [2] 工作的基础上,Bass [3] 考虑一个群G在有限树X上(不翻边)的作用,其中商图X/G和稳定化子均为有限的。他将一个Zeta函数和商X/G用非交换行列式联系起来,并表为一个显式多项式的倒数。
Stark和Terras [4] 用初等方法刻画了图的Zeta函数,将图X的Ihara Zeta函数表为图X中素元的Euler积,并重新证明了Bass的结果。因此Ihara Zeta函数
可被看成数域K上戴德金Zeta函数
的图论类比,且满足一些相似的性质。
Stark和Terras [5] [6] 考虑图的自由Galois覆盖的Zeta函数,进一步发展了图论与数论之间的类比。利用图的性质,给出二项、三项行列式来计算相应Zeta函数。Zakharov [7] 考虑了边自由作用下商图的Ihara Zeta函数。
本文定义了边加权情形下,边自由作用的商图的Ihara Zeta函数,推广了边自由商图的Zeta函数。为计算推广后的Zeta函数,给出了新的二项和三项行列式公式。
本文为研究边自由作用下,边加权的图和商图的Zeta函数的整除关系提供了工具。后续的定义和证明会在接下来的论文中给出。本文的定义和公式对于边平凡的群图这样的一般情形同样适用。
2. 基础知识
2.1. 边平凡的群图
定义1带腿(leg)的图X由下列组成:顶点集
,半边集
,根映射
,
对合映射
,使得
。
对合生成的群,其作用下的轨道有一个或两个元素。含两个元素的轨道
称为X的一个边,记所有边组成的集合为
。对边
定向,得有向边
,称
为e的起点,
为e的终点。
为与e反向的边。若
,称边
为环。若
,则轨道中只有一个元素,称h为X的腿(leg),记腿集为
。
这里只考虑连通图。下面定义边平凡的群图。
定义2图X和群
(对任意
)组成了边平凡的群图
。称
是有限的,若X是有限图且
为有限群。
序列
称为
中长度
的路P,其中
为顶点
,
,
的X中路,
。若
,称P是闭路。若P的终点等于Q的起点,可定义路的合成PQ。
对
中的路
,若
,要么
,要么
,称P为约化的。
路P称为本原路,若P是约化的闭路,且
,使得
。任一约化路都能唯一表成本原路的次幂。
称闭路
和
等价,若
,有
,
,
。等价是一个等价关系。本原路的等价类称为
中素元
,长度
是定义良好的。给定长度的素元有有限个。
2.2. 群在图上的作用
下面考虑群在图上的作用。
定义3
。图X的自同构f指
的双射,保持根映射和对合映射。
f将边映到边,将腿映到腿。X的所有自同构作成一个群
。
将同态
称为群在图上的作用。主要对2种群在图上的作用感兴趣。
定义4称G在X上的作用是边自由的,若G在
上自由作用。
定义5称G在X上的作用是自由的,若G在
和
上都是自由作用。因为腿的使用,放宽了原有的G不翻边(
,
,有
)的条件。
有了群在图上的作用,下面定义商图。
定义6群G在图X上作用。
。由自同构群的性质,
中轨道构成
的划分,
中轨道构成
的划分。顶点集为
为G作用下
的轨道,半边集
为G作用下
的轨道。G的作用保持根映射和对合映射,因此由根映射
,对合映射
,相应有
,
。记自然商映射为
。
3. 边加权的边自由商图的Zeta函数
3.1. 定义
下面定义边加权的群的边自由商图的Ihara Zeta函数。
设有群的图
,半边集
。
参照文献 [8] 和文献 [9] 的加权方式,
,对h加权
,使得
。可见对
(即h为腿,
的情形),有
。此时令
。
对路
,定义路的权
。
定义7边加权的群的边自由商图的Ihara Zeta函数如下:
3.2. 二项行列式公式
定义半边邻接权矩阵W如下:
其中
为顶点负荷,有
。
可见,对路
,
为
上的闭约化路权重之和。
下面给出边加权的群的边自由商图的Ihara Zeta函数的二项行列式公式。
定理1设
为有限边加权的边平凡的群图,其中半边个数为k。
的Ihara Zeta函数等于
其中W为
的半边邻接权矩阵。
证明:对
取log,得
对于素元
,有
个本原路相对应,且长度均为
,可见
由于任一闭约化路Q都可唯一表为本原路的次幂得
其中
为给定长度n,闭约化路权之和。
考虑半边邻接权矩阵W,可见
因此有
综上,
3.3. 三项行列式公式
记有m条边,n个顶点,l个腿,且记半边数
。定义如下矩阵。
对角价矩阵Q为
矩阵,有
其中
为顶点关于根映射的原象个数,即顶点上半边个数。
邻接权和矩阵A为
矩阵,表示u到v的边权重之和,有
对角负荷矩阵C为
矩阵表示顶点上群元素个数,如下:
其中
为顶点负荷,有
。
下面给出边加权的群的边自由商图的Ihara Zeta函数的三项行列式公式。
定理2设
为有限边加权的边平凡的群图,其中有m条边,n个顶点,l条腿,且记半边数
。
的Ihara Zeta函数满足
证明:对半边排序,记
,记
。
定义辅助矩阵如下:
定义
阶矩阵S为始矩阵,其中
定义
阶矩阵T为终矩阵,其中
定义
阶矩阵J为对合矩阵,其中
定义
阶矩阵D为半边负荷矩阵,其中
定义
阶矩阵L为半边权矩阵,其中
易证如下关系:
因此可知:
用以上关系式,证明三项行列式公式。由
,知
容易验证,
。因此
由
,易见
。带入得
由
知
由
得
由
得
又
,因此
考虑
。
由半边的顺序,可记
其中
则
取行列式得
可见
基金项目
国家自然科学基金青年项目11901390。