1. 引言
Bloch曾经提出:相应于每一个Picard型定理,必有一个相应的正规定则。这个原理对正规族理论的发展起到了重要的作用,以色列数学家L. Zalcman在一定条件下证明了这个原理。在此基础上,庞学诚曾对Bloch原理进行了研究,主要讨论正规定则和正规函数的联系。
W. Schwick [1] 曾经证明:
定理1 设
为单位圆盘
上的一族亚纯函数,
为互不相同的有限复数,若对
,
则称
在
上正规。
注1 庞学诚和Zalcman [2] 证明了在f和
分担两个有限复数的条件下,定理结论仍然成立。
庞学诚 [3] 在此基础上证明了:
定理2 设
为单位圆盘
上的一族亚纯函数,
为互不相同的有限复数,若对每一个
,
在
内成立,则存在正数M,使得对每一个
,有
,
其中M仅与
有关。
本文主要证明了:
定理 设
是
上的一族亚纯函数,
,
,
在D上全纯,且满足
,
。若对
,有
,则
在D上正规。
该定理推广了以上两个定理,将正规族与小函数和分担值联系在一块,为再深入的研究正规族理论提供了思路和方法,不过可惜的是,由于正规族较抽象,在本文中没有找到合适的例子。
本文安排如下:第二节介绍有关定义和概念,第三节介绍主要引理,第四节为本文定理的证明。
2. 定义与概念
首先,我们回顾一些关于
的定义与符号。
是N维复射影空间,且对任意的
,
,
当且仅当存在某个
,使得
。
的等价类记作
,则
。
定义2.1 设
为单位圆盘
上的一个亚纯函数,若存在正数M,使得
称
为单位圆盘
上的一个正规函数。
定义2.2 设
为区域D上的两个亚纯函数,若对复数c,
称f与g在D上分担c,其中
。
3. 主要引理
引理3.1 [4] 设
是一族从
中的双曲区域
映到
的全纯映射。
在
上不正规当且仅当存在子列
,点列
满足
,正数列
满足
,使得
在
上内闭一致收敛于从
映到
的非常值全纯映射
。
在证明主要定理的过程中,还需要如下Hurwitz定理。
引理3.2 [5] 设
是定义在区域
内的一列全纯函数,
是任意一个复数,且设
在D的任意一个紧子集上一致收敛于非常值的全纯函数
。若存在点
,使得
,则对于每一个充分大的n,方程
在D内有根。此外,存在
的某领域U,使得
在U内根的总数与
在U内根的总数相同(计重数)。
注1 当
时,
在U的所有零点都会收敛到
。
由Nevanlinna第二基本定理,有如下引理:
引理3.3 [6] 设
为
内非常数亚纯函数。又设
为
个互不相同的复数(有穷或者无穷)。若
及
,则
其中
,
,
。
注2 定理中
称为余项,若去掉定理中函数
在
的限制,结论仍然成立,只需改变余项
中的常数部分。
4. 定理的证明
倘若不然,不妨假设
在点
处不正规。由引理3.1可得,存在点列
满足
,全纯曲线列
,正数列
,使得
,
其中g是
上的非常值全纯曲线。
因
,故
互不相同。
假设
,使
,则有
由定理条件,有
则
令
,
,则
取
为重值,
。
下证:当
,
若不然,设其为
重零点
因为
,
所以有
则
记
,令
,则有
则
是
的m个简单零点,矛盾。
故
。
若
的重数
,则由引理3.3,可得
其中
为
的重数,
,
即
,矛盾。
故
不取
为重值
则
在D上正规。
致谢
作者衷心感谢刘晓俊老师的指导和建议。