1. 引言
本文研究了有序Banach空间X中带积分边界条件的分数阶发展方程
(1)
mild解存在性。其中
是
阶Caputo型分数阶导数;
是稠定闭线性算子,
生成正C0-半群
,
是给定的函数。
分数阶微分方程是整数阶微分方程的推广。除了在数学方面的应用外,它还在流体力学,分数控制系统与分数控制器,各种电子回路,电分析化学,生物系统的电传导等方面有广泛的应用。因此,分数阶问题引起了许多学者的关注。近年来,带有积分边界条件的微分方程已有不少研究成果 [1] [2] [3] 。问题(1)是含时间t的带积分边界条件的分数阶偏微分方程初值问题的抽象模型 [4] [5] ,这类问题的研究成果较少。在文献 [6] 中,作者用逐次逼近的方法获得了问题(1)在实Banach空间X中mild解存在的充分条件。在文献 [7] 中,作者用增算子不动点定理的方法证明了方程
在Banach空间X中ω-周期解的存在性,其中要求
生成正C0-半群
为紧半群。随后,在文献 [8] 中,作者用Sadovskii不动点定理证明了初值问题
在Banach空间X中mild解的存在性。
受上述工作的启发,本文在有序Banach空间中,用非紧性测度条件代替了文献 [7] 中的紧半群条件,将文献 [8] 中的初值条件
演化为非局部条件
,利用增算子不动点定理讨论了问题(1) mild解的存在性。证明了当问题(1)中的非线性项
和非局部函数
只需满足容易验证的序条件时,问题(1) mild解的存在性,并且给出了计算该mild解的迭代序列。
2. 预备知识
设X为Banach空间,其范数为
,
为定义于I取值于X的连续函数之集,按范数
构成Banach空间。本文记N为正整数集。
设K为X中的闭凸锥,
生成的C0-半群为正算子半群,即对
,有
。不失一般性,设
,使得
。
下面介绍分数阶微积分的概念:
定义1. 定义在区间I上的函数f的
阶分数阶积分定义为
,
其中
是Gamma函数。
定义2. 定义在区间I上的函数f的
阶Riemann-Liouville型分数阶导数定义为
,
其中
,
。
定义3. 定义在区间I上的函数f的
阶Caputo型分数阶导数定义为
,
其中
,
。
注1:(1) Riemamn-Liouville型分数阶导数和Caputo型分数阶导数有下列关系:
。
(2) 常数的Caputo型导数为0。
(3) 如果f是X中的抽象函数,则定义1,2,3中的积分为Bochner意义下的积分。
首先,对
,考虑问题(1)相应的线性问题
(2)
由定义1,2,3可知,问题(2)可化为下列积分方程
与文献 [9] 中引理3.1中的证明方法类似,可以证明下列引理:
引理1. 设
是问题(2)的mild解,当x且仅当满足积分方程
,
其中
,
,
,
,
,
是定义在
上的单边概率密度函数,且
,
。
注2:由算子半群
的正性易知,对
,有
,
。
引理2. [9] 对任意给定的
,
,
是有界线性算子,即对
,有
,
,
其中
。
设
为X中的非空有界集的Kuratowski非紧性测度,
为
中非空有界集的Kuratowski非紧性测度。本文将用到关于非紧性测度的如下重要引理:
引理3. [10] 设X为Banach空间,若
为有界且等度连续集,则
在I上连续,且
。
引理4. [11] 设X为Banach空间,
为可列集,若存在
,使得
,
,
,则
在I上Lebesgae可积,且
。
引理5. [7] 设X是Banach空间,
有界,则存在可列子集
,使得
。
设X是Banach空间,K为X中的一个锥,则K确定了X中的一个半序“
”。下面给出问题(1)上下解的定义:
定义4. 若
,满足
则称
为问题(1)的下解。若
,满足
则称
为问题(1)的上解。
本文主要定理的证明基于如下不动点定理:
引理6. [12] (增算子不动点定理) 设X是实Banach空间,K是正规锥,
是凝聚映射,并且是增算子。又设
,
那么F在
中必有最大不动点
与最小不动点
(即若
为F在
中的任一不动点,必有
),并且
,
其中
,
,满足
。
为了证明主要结论,我们给出下列假设:
(P1) 函数
是连续函数,存在
,对
,
,当
时,有
。
(P2) 函数
是连续函数,存在
,对
,
,当
时,有
。
(P3) 对
,存在常数
,
,使得
,
其中
为非空有界集。
注3:若非线性函数
,
满足Lipschitz条件,则
,
满足条件(P3)。
3. 主要结果及其证明
定理1. 设X是有序Banach空间,
为正规锥,
生成X中的正C0-半群
,若问题(1)存在下解
和上解
,使得
,函数
,
满足条件(P1)~(P3),且
, (3)
则问题(1)在
上存在最大mild解
及最小mild解
,且
,
其中
,
,
满足
。
证明:定义算子
如下:
。
记
。首先证明F是增算子。对
,
,
,由条件(P1),(P2),有
故F是增算子。
接下来证明
,即证明
,
。因为
为问题(1)的下解,由定义4知,
,
。记上式的左端为
,则由线性方程解的表示,有
故
,同理可证明
。
最后证明
是凝聚映射。因为
为非空有界集,由引理5,存在
为可列集,使得
。
进而,由引理4及条件(P3),有
所以,由引理4可知,
因此,由(3)式可知,
。所以,
是凝聚映射。故由引理6可知,算子F在
上存在最大不动点
和最小不动点
。易知
,
分别为问题(1)在
中的最大mild解和最小mild解。证毕。
定理2. 设K为X中的正则锥,
生成X中的正C0-半群
,若问题(1)存在下解
和上解
,使得
,函数
,
满足条件(P1),(P2),则问题(1)在
上存在最大mild解
及最小mild解
,且
,
其中
,
,满足
。
证明:设F为定理1中定义的算子,由于条件(P1),(P2),成立,则按照定理1的证明可知,F为连续的增算子,且有
,
成立。作迭代
,
,由于F是增算子,则有
。
故序列
,
为X中的单调序列。按锥K的正则性可知,
。
在
,
,两边取极限,注意到F的连续性可知,
,
。证毕。
注4:当
时,
。问题(1)退化为Banach空间中的常微分方程,故本文的结论是带积分边界条件的分数阶常微分方程的推广。
4. 应用
例 考虑如下带积分边界条件的分数阶偏微分方程
(4)
mild解存在性,其中
是
阶Caputo型分数阶导数,
,
,
,
为边界
充分光滑的有界区域。
定理3. 若问题(4)存在下解
和上解
,则问题(4)在
上存在最大mild解
及最小mild解
。
证明:设
,
,则K为X中的正规锥。作X中的算子A:
,
按文献 [13] ,
生成X中的解析半群
。设
,
,
,这样问题(4)可化为形如问题(1)的分数阶发展方程。由抛物型方程的极大值原理易知,
为正C0-半群。下面验证非线性函数满足Lipschitz条件。对
,
,y,
,满足
,有
其中
。故非线性函数
满足Lipschitz条件。类似地,可以验证存在
使得
亦满足Lipschitz条件。从而,条件(P1)~(P3)成立,其中
,
使得当
时,(3)式成立。由定理1可知,问题(4)在
上存在最大mild解
及最小mild解
。证毕。
基金项目
伊犁师范大学校级资助项目(2021YSYB078)。
参考文献
NOTES
*通讯作者。