1. 引言
本文将研究方程
(1)
的径向解,其中
。
在最近的几十年里,关于分数阶拉普拉斯算子
,
的相关研究已经有很多,可见 [1] [2] [3] [4] 。分数阶拉普拉斯算子有关的方程也被应用到很多方面,例如金融模型,生态学,物理模型,图像加工等等。同时关于该算子的正则性、对称性以及其他性质也被广泛研究。首先回顾一下施瓦茨空间
的定义,即
上满足急速衰减的
函数,其范数形式由
产生,其中
。由 [1] 可得到分数阶拉普拉斯算子的定义形式,即对于
,
,
P.V.代表柯西主值,
,可将其视为常数值。出于对
算子奇异性的考虑,[1,引理3.2]通过变量代换给出了算子的等价形式,
并且,通过 [1] 可得傅里叶变换之下的空间
以及在该变换下算子具有等价形式
其中,对于任意的
,
表示的是
的Fourier变换。
同时由于 [5] 的贡献,作者给出对于
时的分数阶Polya-Szegӧ不等式
其中
代表f的对称径向递减重排 [6] ,通过此不等式, [7] 得到了问题
的径向解。通过约束极值等方法,在 [8] 中作者得到了方程
解的存在性以及对称性质。
另一方面随着极大值原理、移动平面法的完善和发展,也对研究分数阶拉普拉斯算子的径向解起到了很大的作用,有兴趣的可参考 [9] [10] [11] [12] 。在 [13] 中,作者研究了非局部非线性分数阶g-Laplacian算子
的极大值原理、Liouville定理以及对称结果,其中g是Young函数的导数。
关于分数阶拉普拉斯算子本身在近几年也得到了发展。由 [14] ,作者提出了
时
的相关问题。由
时
的定义可知,对于
,算子
(
)的定义为
(2)
(3)
此外,作者通过Fourier变换得到了s为更高阶数时算子
的等价形式,可见[14,命题2.1]。由于问题的需要,这里取命题中的
,即对于给定的
,
,
时
。
在得到更高的分数阶Laplacian算子的形式以后,关于该算子对应的问题的径向解便自然而然被提出,这也正是想要研究的问题。在这篇文章中我们将考虑分数阶Sobolev空间
中的满足径向对称的空间
,即
。
下面回忆一下分数Sobolev空间
(也记为
)的定义及其范数形式。基于问题的需要,这里只出示
时空间的定义,更普遍的定义形式可以参考 [1] [15] [16] 。
时,
其范数形式为
时,
其范数形式为
时,记
,其中
其范数形式为
记
。
无特殊说明外,以下均为
。
现在根据空间
的定义以及性质给出在空间
下(1)的变分。简单说,主要研究对象就是(1)所对应的变分的解的存在性和对称性质,主要结果为:
定理3.1当
,
其中
,问题(1)存在一个属于
正且为球对称的解u。
由于极大值原理等定理的缺失,关于此定理的具体证明,将选择继续沿用 [8] [17] 的办法,即对(1)的泛函进行条件约束。虽然该定理的证明沿用了 [8] [17] 的思想,但由于我们研究的是更高阶
的算子
所对应的方程的径向解,为了能够继续利用Polya-Szegӧ不等式等的相关性质,我们将给出
时算子
的所需的性质的证明。此外,出于对[8,引理2.6]相同的考虑,为了证明本文所定义的空间
中的一些估计,由于阶数s的提高,命题的证明将重新定义算子
来说明极小值集合的非空,具体证明过程将在引理2.8给出。
本文的结构安排如下:
在第二部分当中将给出所需要的空间以及与定理3.1的证明有关的定理,在第三部分将给出定理3.1的证明过程。最后一部分给出总结。
2. 预备知识
首先给出在
中
(4)
的解
的定义,其中
。
对任意的
,可测函数
称为是(4)变分问题的解,当
(5)
对任意的
成立。
正如前述,为了解决(4)就是在
中寻找与之相关的泛函J的临界点,
其中,
。因此,以下将研究具有约束的变分问题:
(6)
引理2.1
,
为(2)所定义的分数阶Laplacian算子,则对于任意的
,
(7)
证明:事实上,通过变量代换
,则有
在上述的最后一个等式中通过
可以得到
则对重新定义以后的
,
因此,重新命名y,分数阶的拉普拉斯算子(2)则可写为
对于
部分可积性说明:
因为
利用其
及其快速衰减性可得对
,有
因此,对
,就不在需要P.V.,并将其写为(7)。
命题2.2
,
为(2)所定义的分数阶的拉普拉斯算子,则对于任意的
,
(8)
证明:通过[14,命题2.1],
时
,则
即得对
,
。
命题2.3
,则分数阶Sobolev空间
可等价于
。特别地,对任意的
其中
如(3)所定义。
证明:对于每一个固定的
,通过令
,可以得到
由(3)得
命题2.4
,
,则
其中
如(3)所定义。
证明:
在介绍下一个引理之前先回顾一下有关知识。如果
是可测函数,则u的分布函数 [18] [19] 被定义为
其中
表示勒贝格测度。并且
是非增的,右连续的。u的递减重排为
函数
被定义为u的施瓦茨对称化,它关于原点是球对称的,并且沿
递减。此外在 [5] ,Polya-Szegӧ不等式指出对称递减重排函数f在
范数下有
(9)
成立。其中
表示f的径向递减重排。
引理2.5 [5,定理1.1]
.
是f的径向对称径向递减重排函数,则有
成立。在这个意义上,右边的有限性意味着左边的有限性,并且可以得到径向递减函数以及最佳常数为1。
引理2.6 [17引理2.1]
。假设
是
中的可积函数,
是非负非减函数,则
1)
.
2) 如果
,则
3) 如果
,则
,并且
其中
代表的是u的径向对称递减重排。
注记2.7 [5] 以上说明分数阶Sobolev空间
对称递减重排的非扩张性。
引理2.8 [8,引理2.4]若u是
中的非负径向递减函数,则
其中
表示的是单位球在
中的勒贝格测度。
引理2.9 [8,引理2.5]
是满足
的两个连续函数,
是能够使得
和
在
上几乎处处成立的可测函数列,则对于任意一个有界的博雷尔集B,有
进一步,如果假设
及关于n,有
一致成立,则
在
内收敛到v。
为证明下面的引理,先引入
,
引理2.10设
,对
有
以及对任意固定的常数
,
那么对任意的
,
,
进一步可得
证明:由于
,不妨设
,
为实数集中的常数。
首先声明
其中
,
。另一方面,
其中,
为实数集中的常数。
从
的定义可得:
综合上述不等式,得
注记 2.11通过引理2.10,(6)是非空的。事实上,如
,则
所以一定存在常数
使得
因此,当
充分大时,
。
由上述,现在做一个变换
,并通过对
的适当选择,能够使得
定理2.12 [15,定理4.6]若
,
,则
,且
其中
。
3. 主要定理的证明
定理3.1当
,
其中
,方程(1)存在一个属于
正且为球对称的解u。
证明:第一步:极小化序列
。考虑序列
,使其满足
以及
(10)
由于讨论空间为
,因此
在空间
下的半范数不会超过
,可得
也是极小化序列。
不失一般性,假设
是非负的,
表示
的径向对称递减重排,则
以上过程说明可以选择一组函数序列
,并且
是非负的、球对称的以及在
方向是递减的。
第二步:对
的先验估计。通过获得
和
的有界性,得到
的有界性,其中
。
由(10)得
。因此以下主要证明
是有界的。为此,设
则
以及
(11)
因为
,所以对任意一个
存在一个正常数
能够使得
,这可以推出
。取
,有
(12)
现在由条件
可以得到
(13)
由(12)和(13)得到
(14)
现在由[1,推论2.3,定理6.5]得
其中C是不依赖于n的常数。因为是极小化序列,可以得到
的有界性可以被
控制,即可以被
控制。另一方面,
取
,则对
的估计为
由
和
的有界性以及定理2.12不等式得到
,其中
。
第三步:因为
是
中的非负径向递减函数,通过引理2.8得到
(15)
由于
在
中的有界性,所以在
时,
。如前所证,可以得到
在
中是有界的,所以
会在
中弱收敛到
,在
上几乎处处收敛到
,并且
是球对称的在r方向是递减的。现在为了应用引理2.9,定义
由于
在
和
中的有界性,Q满足
并由
的定义,对于
,可得
通过
在
上几乎处处收敛性,得到
。最后通过事实
,
以及引理2.9,可得到当
时,
对(13)使用Fatou引理,得
(16)
也就是
再用一次Fatou引理,
(17)
为完成证明,下面说明
不成立。假设
,则通过变量代换
,得
(18)
(19)
且由(17)
以及(18),得
借助上述最后两个不等式,可得
。由(19)得
所以
,
与(16)矛盾。
因此可以得到
和
,也就是说
是问题(6)的极小值。
4. 总结
在本文中我们主要解决了一类径向解的问题。随着定义的分数阶Laplacian算子
指标的提高,通过Fourier变换获得了
和
分数阶Laplacian算子
之间的关系,进而探究了
时相关分数阶Laplacian算子
方程的径向解问题。关于更多的径向问题可参考 [20] [21] 。