带有分数阶耗散的MHD方程在Besov空间的正则性准则

Regularity Criteria for MHD Equations with Fractional Laplacian Dissipation in Besov Spaces

摘要: 本文主要研究了不带密度且速度场带有分数阶耗散的三维MHD流体方程组在齐次Besov空间中的一个正则性准则。证明了当方程组(1.1)的弱解 满足条件(2.1)时，方程组(1.1)在(0,T]上是正则的。

Abstract: In this paper, we study the regularity criterion for 3D MHD equations without density and with frac-tional dissipation in homogeneous Besov space. It is proved that when the weak solution of equa-tions (1.1) satisfies condition (2.1), equations (1.1) is regular on (0,T] .

1. 引言

本文我们考虑了在 ${ℝ}^3$ 空间中带有速度分数阶耗散的非齐次不可压磁流体方程组(MHD)的正则性问题：

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}u+u\cdot \nabla u+\mu {\Lambda }^{2\alpha }u+\nabla \Pi =b\cdot \nabla b,\\ {\partial }_{t}b+u\cdot \nabla b+\sigma {\Lambda }^{2\beta }b=b\cdot \nabla u,\\ \text{div}u=0,\text{div}b=0,\\ {\left(u,b\right)|}_{t=0}=\left(u_0,b_0\right).\end{array}$ (1.1)

其中u表示速度场，b表示磁场， $\Pi =\left(x,t\right)$ 表示压强。正常数 $\mu ,\sigma$ 分别表示粘性系数和磁扩散系数。 $\left(\alpha ,\beta \right)\in {\left[0,2\right]}^2$ ，Zygmund算子 $\Lambda =\sqrt{-\Delta }$ 通过Fourier变换定义为

$\mathcal{F}\left({\Lambda }^{2\alpha }f\right)\left(\xi \right)={\left|\xi \right|}^{2\alpha }\hat{f}\left(\xi \right),\hat{f}\left(\xi \right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\text{e}}^{-i\langle x|\xi \rangle }f\left(x\right)\text{d}x}.$

经典磁流体方程描述了诸如液态金属、等离子体、电解质等导电流体的运动。此方程在天体物理学，工程学等一系列重要领域中发挥着重要作用。

当方程组(1.1)中 $b=0$ 时，我们发现磁流体方程就退化成我们所熟悉的Navier-Syokes方程组。国内外已经有了关于Navier-Stokes方程适定性问题的研究的丰富文献，具体可参考 [1] [2] [3] 。跟Navier-Stokes方程大初值适定性问题的发展历程类似，MHD 方程的大初值适定性问题被许多学者所研究。Abidi，Paicu [4] 在临界Besov空间中得到了在小初值的条件假设下MHD方程的强解的全局适定性。随后，Zhai等人在文献 [5] 中改善了文献 [4] 中的小初值条件，在只需要水平速度场和水平磁场初值小的情况下，他们得到了MHD方程的全局适定性。关于MHD方程的其他适定性问题，可以参考文献 [6] [7] 。

关于MHD方程的数学研究也包括了弱解的正则性。目前，关于MHD方程组(1.1)中在幂次 $\alpha$ 和 $\beta$ 受限时：1) $\alpha >0,\beta =1$ ；2) $\alpha =0,\beta >1$ ；3) $\alpha =2,\beta =0$ ，MHD方程拥有全局正则性。具体参考文献 [8] [9] [10] 。据我们所知，除上述情形外，其余情形是否存在全局正则解仍是未知的。其他关于MHD方程的正则性问题，请参考文献 [11] [12] 。受文献 [14] 在Besov空间中研究Micropolar方程的正则性准则和文献 [15] 研究带有分数耗散的Boussinesq方程的正则性准则的启发，本文考虑了当 $0<\alpha <1/2,\beta =1$ 时：

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}u+u\cdot \nabla u+\mu {\Lambda }^{2\alpha }u+\nabla \Pi =b\cdot \nabla b,\\ {\partial }_{t}b+u\cdot \nabla b-\sigma \Delta b=b\cdot \nabla u,\\ \text{div}u=0,\text{div}b=0,\\ {\left(u,b\right)|}_{t=0}=\left(u_0,b_0\right)\text{.}\end{array}$ (1.2)

(1.2)方程组的对数型正则性准则，我们的主要的结论如下。

2. 主要定理

定理2.1 设方程(1.2)的初值 $\left(u_0,b_0\right)\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^1\left({ℝ}^3\right)\times {\stackrel{\dot{}}{H}}^1\left({ℝ}^3\right)$ ， $\left(u,b\right)$ 是MHD方程组的一组弱解。若 $\left(u,b\right)$ 满足

${\displaystyle {\int }_0^T\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2\alpha }{2\alpha -\gamma }}+{\Vert \nabla b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}\text{d}t}<\infty .$ (2.1)

其中 $0<\gamma <2\alpha$ ，则弱解在区间 $\left(0,T\right]$ 上是正则的。

3. 预备知识

首先我们回顾齐次Besov空间的定义。

定义3.1 设 $\left(p,r\right)\in {\left[1,\infty \right)}^2$ ， $s\in ℝ$ 。所有在 ${S^{\prime }}_h\left({ℝ}^3\right)$ 中的分布函数u组成齐次Besov空间： ${\stackrel{\dot{}}{B}}_{p,r}^s$ ，其中 $u\in {S^{\prime }}_h$ 满足 ${\lim }_{j\to -\infty }{\Vert S_{j}u\Vert }_{L^{\infty }}=0$ 。齐次 Besov 空间的范数为：

${\Vert u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{p,r}^s}={\Vert {\left(2^{js}{\Vert {\stackrel{\dot{}}{\Delta }}_{j}u\Vert }_{L^p}\right)}_{j\in \mathbb{Z}}\Vert }_{l^r\left(�\right)}.$

我们再给出分数阶MHD方程的弱解的定义。

定义3.2 设方程(1.2)的初值 $\left(u_0,b_0\right)\in L^2\left({ℝ}^3\right)\times L^2\left({ℝ}^3\right)$ 。若作用在 ${ℝ}^3\times \left(0,T\right]$ 上的 $\left(u,b\right)$ 满足

1) $u\in L^{\infty }\left(0,T;L^2\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L^2\left(0,T;{\stackrel{\dot{}}{H}}^{\alpha }\left({ℝ}^3\right)\right)$ ， $b\in L^{\infty }\left(0,T;L^2\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L^2\left(0,T;{\stackrel{\dot{}}{H}}^1\left({ℝ}^3\right)\right)$ ；

2) $\left(u,b\right)$ 在分布意义下满足 (1)，即对 $\forall \varphi ,\phi \in C_0^{\infty }\left({ℝ}^3\times \left(0,T\right)\right)$ ，都有等式

${\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(u_t+u\cdot \nabla u+\mu {\Lambda }^{2\alpha }u+\nabla \Pi \right)\varphi \text{d}x\text{d}t}}={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(b\cdot \nabla b\right)\varphi \text{d}x\text{d}t}}$

和

${\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(b_t+u\cdot \nabla b-\sigma \Delta b\right)\phi \text{d}x\text{d}t}}={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(b\cdot \nabla u\right)\phi \text{d}x\text{d}t}}$

则我们称 $\left(u,b\right)$ 为三维MHD方程组(1.1)的弱解。

引理3.1 ( [13] ) 设 $1\le q<p<\infty$ ， $\alpha$ 是一个正实数。则存在一个常数C，使得

${\Vert u\Vert }_{L^p}\le C{\Vert u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\alpha }}^{1-\theta }{\Vert u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{q,q}^{\beta }}^{\theta }$

其中 $\beta =\alpha \left(\frac{p}{q}-1\right)$ 和 $\theta =\frac{q}{p}$ 。

注：从上述引理可知，当 $q=2,p=3$ 时，我们有

${\Vert u\Vert }_{L^3}\le C{\Vert u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\alpha }}^{\frac{1}{3}}{\Vert u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^{\frac{\gamma }{2}}}^{\frac{2}{3}}.$ (3.1)

当 $q=2,p=4,\beta =1$ 时，则 $\alpha =1$ ，且有不等式

${\Vert u\Vert }_{L^4}\le C{\Vert u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^{\frac{1}{2}}{\Vert u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^1}^{\frac{1}{2}}.$ (3.2)

4. 主要定理证明

首先，我们在方程(1.2)₁两边同时作用 $\nabla$ ，再与 $\nabla u$ 作内积后有

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\mu {\Vert {\Lambda }^{1+\alpha }u\Vert }_{L^2}^2=-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }\left(u\cdot \nabla u\right)\cdot \nabla u\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }\left(b\cdot \nabla b\right)\cdot \nabla u\text{d}x.$ (4.1)

对方程(1.2)₂两边同时作用 $\nabla$ ，再与 $\nabla u$ 作内积后有

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla b\Vert }_{L^2}^2+\sigma {\Vert \Delta b\Vert }_{L^2}^2=-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }\left(u\cdot \nabla b\right)\cdot \nabla b\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }\left(b\cdot \nabla u\right)\cdot \nabla b\text{d}x.$ (4.2)

现将(4.1)，(4.2)相加后有

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla b\Vert }_{L^2}^2\right)+\mu {\Vert {\text{Λ}}^{1+\alpha }u\Vert }_{L^2}^2+\sigma {\Vert \text{Δ}b\Vert }_{L^2}^2\\ =-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }\left(u\cdot \nabla u\right)\cdot \nabla u\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }\left(b\cdot \nabla b\right)\cdot \nabla u\text{d}x\\ -{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }\left(u\cdot \nabla b\right)\cdot \nabla b\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }\left(b\cdot \nabla u\right)\cdot \nabla b\text{d}x\\ =K_1+K_2+K_3+K_4\text{.}\end{array}$ (4.3)

对于 $K_1$ ，因为

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }\left(u\cdot \nabla u\right)\cdot \nabla u\text{d}x={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\nabla u:\nabla u\right)}\cdot \nabla u\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(u\cdot \nabla \nabla u\right)}\cdot \nabla u\text{d}x\\ ={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\nabla u:\nabla u\right)}\cdot \nabla u\text{d}x.\end{array}$

同理，我们也能通过同样的计算来处理 $K_2$ ， $K_3$ ， $K_4$ 。

对于 $K_1$ ，利用估计式(3.1)，Hölder不等式，Young不等式和插值不等式有

$\begin{array}{c}{K}_1\le \left|{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\nabla u:\nabla u\right)\cdot \nabla u\text{d}x}\right|\\ \le {\Vert \nabla u\Vert }_{L^3}^3\\ \le {\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^{\frac{\gamma }{2}}}^2\\ \le {\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{2-\frac{\gamma }{\alpha }}{\Vert {\Lambda }^{1+\alpha }u\Vert }_{L^2}^{\frac{\gamma }{\alpha }}\\ \le C{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2\alpha }{2\alpha -\gamma }}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\frac{\mu }{4}{\Vert {\Lambda }^{1+\alpha }u\Vert }_{L^2}^2\\ \le C\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2\alpha }{2\alpha -\gamma }}}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\left(1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)\right)+\frac{\mu }{4}{\Vert {\Lambda }^{1+\alpha }u\Vert }_{L^2}^2,\end{array}$

其中 $0<\gamma <2\alpha$ 。同样的，对于 $K_2$ ，利用估计式(3.2)，我们有

$\begin{array}{c}{K}_2\le \left|{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\nabla b:\nabla b\right)\cdot \nabla u\text{d}x}\right|\\ \le C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla b\Vert }_{L^4}^2\\ \le C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}{\Vert \nabla b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^1}\\ \le C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2{\Vert \nabla b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2+\frac{\sigma }{4}{\Vert \Delta b\Vert }_{L^2}^2\\ \le C\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\left(1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)\right)+\frac{\sigma }{4}{\Vert \Delta b\Vert }_{L^2}^2.\end{array}$

我们需要指出的是 $K_3$ 与 $K_4$ 的估计与 $K_2$ 的估计相同。接下来我们将 $K_1$ ， $K_2$ ， $K_3$ ， $K_4$ 的估计代入(4.3)中有

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla b\Vert }_{L^2}^2\right)+\mu {\Vert {\Lambda }^{1+\alpha }u\Vert }_{L^2}^2+\sigma {\Vert \Delta b\Vert }_{L^2}^2\\ \le C\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2\alpha }{2\alpha -\gamma }}}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\left(1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)\right)+\frac{\mu }{4}{\Vert {\Lambda }^{1+\alpha }u\Vert }_{L^2}^2\\ +C\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\left(1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)\right)+\frac{\sigma }{4}{\Vert \Delta b\Vert }_{L^2}^2\\ \le C\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2\alpha }{2\alpha -\gamma }}+\nabla b_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla b\Vert }_{L^2}^2\right)\left(1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla b\Vert }_{L^2}^2\right)\right).\end{array}$

即我们有

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla b\Vert }_{L^2}^2\right)\le C\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2\alpha }{2\alpha -\gamma }}+{\Vert \nabla b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla b\Vert }_{L^2}^2\right)\left(1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla b\Vert }_{L^2}^2\right)\right).$

对于上式，我们可以运用Gronwall不等式得到

${\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla b\Vert }_{L^2}^2\le \left({\Vert \nabla u_0\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla b_0\Vert }_{L^2}^2\right)\exp \left\{C{\displaystyle {\int }_0^T\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2\alpha }{2\alpha -\gamma }}+{\Vert \nabla b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}}\left(1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla b\Vert }_{L^2}^2\right)\right)\text{d}t\right\}.$

我们可以确定上式中的指数函数是大于1的，所以再次利用上式，我们不难得出

$\begin{array}{l}\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla b\Vert }_{L^2}^2\right)\\ \le \ln \left(e+{\Vert u_0\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^1}^2+{\Vert b_0\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^1}^2\right)+C{\displaystyle {\int }_0^T\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2\alpha }{2\alpha -\gamma }}+{\Vert \nabla b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}}\left(1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla b\Vert }_{L^2}^2\right)\right)\text{d}t.\end{array}$

对于上式，我们再次运用Gronwall不等式，可以得到

$\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla b\Vert }_{L^2}^2\right)\le C\left(u_0,b_0\right)\exp \left\{C{\displaystyle {\int }_0^T\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2\alpha }{2\alpha -\gamma }}+{\Vert \nabla b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}\text{d}t}\right\}.$

由条件(2.1)我们得出结论

$\text{ess}\underset{0<t<T}{\sup }\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla b\Vert }_{L^2}^2\right)<\infty .$

5. 总结

由于MHD方程在物理学中有极重要的地位，所以站在数学的角度上来研究MHD方程解的适定性与解的性质是十分有必要的。对于正则性问题，目前众多学者的研究工作主要集中在保证弱解正则性的基础上，寻找更弱的附加条件。这是一个具有挑战性的开放问题。本文旨在更具有优势的空间：Besov空间中来研究MHD方程对数型正则性准则，丰富了此研究领域的研究成果。