带有奇异非线性项的加权(p, q)-Laplace方程正解的存在性

Existence of Positive Solutions of Weighted (p, q)-Laplace Equation with Singular Nonlinear Terms

摘要: 该文研究了W₀^1,H中一类带有奇异的非线性项的加权(p,q)-Laplace方程正解的存在性和多重性。利用纤维映射和变分法等技巧，在参数较小的情况下，得到方程至少有两个正解。

Abstract: This paper investigates the existence and multiplicity of positive solutions of a class of weighted (p,q-Laplace equations with singular nonlinear terms in W₀^1,H. Using techniques such as fiber mapping and variational methods, at least two positive solutions of the equation are obtained under small parameters.

1. 引言及主要结果

在参数 $\lambda >0$ 且较小的情形下，本文研究如下带有奇异的非线性项的加权 $\left(p,q\right)$ -Laplace方程

$\{\begin{array}{l}-div\left({\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u+w\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^{q-2}\nabla u\right)=a\left(x\right)u^{-\gamma }+\lambda b\left(x\right)u^{r-1},x\in \Omega ,\\ {u|}_{\partial \Omega }=0\end{array}$ (1.1)

正解的存在性。

众所周知， $\left(p,q\right)$ -Laplace方程与流体力学密切相关，来源于非牛顿流体问题的研究，并与拟正则性和拟投影映射的相关理论有密切联系(见 [1] )。

在过去几十年中， $\left(p,q\right)$ -Laplace方程等相关问题得到广泛研究，并取得许多重要结果，比如 [2] [3] ；对于含有形如(1.1)的加权 $\left(p,q\right)$ -Laplace方程解的存在性也有一些研究成果(见 [4] [5] [6] 等)；对于非线性项具有奇异的情形研究，近年来已取得一定进展(见 [7] - [12] )。

定义1.1 如果存在 $u\ge 0$ ， $u\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)$ ，且对任意 $h\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)$ 成立

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u+w\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^{q-2}\nabla u\right)\cdot \nabla h\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)u^{-\gamma }h\text{d}x}+\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }b\left(x\right)u^{r-1}h\text{d}x},$

则称函数u为问题(1.1)的弱解。

我们知道问题(1.1)的弱解与下列能量泛函 $I_{\lambda }\left(u\right):D\left(I\right)\to ℝ$

$I_{\lambda }\left(u\right)=\frac{1}{p}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\frac{1}{q}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\frac{1}{1-\gamma }{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x-\frac{\lambda }{r}{\Vert u\Vert }_{r,b}^r$

的临界点一致，其中， $D\left(I\right)=\left\{u\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right):{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x<\infty \right\}$ 。

由于奇异项的出现，泛函 $I_{\lambda }\left(u\right)$ 不是 $C^1$ 的，我们想利用纤维映射克服这个困难。首先定义集合

$N_{\lambda }=\left\{u\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)\backslash \left\{0\right\}:{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q={\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)u^{1-\gamma }\text{d}x}+\lambda {\Vert u\Vert }_{r,b}^r\right\}.$

容易看出 $N_{\lambda }$ 包含了问题(1.1)的弱解。为了获得(1.1)的多重解，我们将 $N_{\lambda }$ 分解成 $N_{\lambda }^{+}$ 、 $N_{\lambda }^0$ 和 $N_{\lambda }^{-}$ ：

$\begin{array}{l}{N}_{\lambda }^{+}=\left\{u\in N_{\lambda }:\left(p+\gamma -1\right){\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(q+\gamma -1\right){\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\lambda \left(r+\gamma -1\right){\Vert u\Vert }_{r,b}^r>0\right\},\\ N_{\lambda }^0=\left\{u\in N_{\lambda }:\left(p+\gamma -1\right){\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(q+\gamma -1\right){\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\lambda \left(r+\gamma -1\right){\Vert u\Vert }_{r,b}^r=0\right\},\\ N_{\lambda }^{-}=\left\{u\in N_{\lambda }:\left(p+\gamma -1\right){\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(q+\gamma -1\right){\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\lambda \left(r+\gamma -1\right){\Vert u\Vert }_{r,b}^r<0\right\}.\end{array}$

注记：设 $h_u\left(t\right)=I_{\lambda }\left(tu\right)$ ， $t\ge 0$ ， $u\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)\backslash \left\{0\right\}$ ，则下列结论成立：

(1) $u\in N_{\lambda }\iff {h^{\prime }}_u\left(1\right)=0$ ；

(2) 若 $u\in N_{\lambda }^{+}$ ，那么 $t=1$ 是 $h_u\left(t\right)$ 的极小值点；

(3) 若 $u\in N_{\lambda }^{-}$ ，那么 $t=1$ 是 $h_u\left(t\right)$ 的极大值点。

为了得到问题(1.1)具有多个正解，我们需要对(1.1)中的相关函数和参作如下假设：

$\begin{array}{l}(\text{H})(1)1<p<q<N,\frac{q}{p}<1+\frac{1}{N},0\le w\left(x\right)\in C^{0,1}\left(\bar{\Omega }\right);\\ (2)0<\gamma <1,q<r<p^{*}=\frac{Np}{N-p};\\ (3)a\left(x\right)\in L^{\infty }\left(\Omega \right),a\left(x\right)\ge 0,a.e.x\in \Omega ;\\ (4)0<b_0\le b\left(x\right)\in L^{\infty }\left(\Omega \right).\end{array}$

本文的主要结果如下：

定理1.1 假设条件(H)成立，则存在 ${\lambda }^{*}>0$ ，对任意 $\lambda \in \left(0,{\lambda }^{*}\right)$ ，问题(1.1)至少有两个正解 $u^{*},v^{*}\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)$ ，并且 $I_{\lambda }\left(u^{*}\right)<0<I_{\lambda }\left(v^{*}\right)$ 。

本文共分为三个部分，第一部分介绍引言及主要结果，第二部分介绍基本知识，第三部分介绍相关引理和主要结果的证明。

2. 预备知识及相关结果

本节首先介绍一些记号，然后陈述加权Sobolev空间的相关结果。

记

$L^H\left(\Omega \right)=\left\{u|u:\Omega \to ℝ是可测的,{\rho }_H\left(u\right)\mathrm{<mo>\; <\; </mo>}\infty \right\},$

在 $L^H\left(\Omega \right)$ 上定义范数

${\Vert u\Vert }_H=\inf \left\{\tau >0:{\rho }_H\left(\frac{u}{\tau }\right)\le 1\right\},$

其中 $H\left(x,t\right)=t^p+w\left(x\right)t^q$ ，

${\rho }_H\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }H\left(x,\left|u\right|\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\left|u\right|}^p+w\left(x\right){\left|u\right|}^q\right)\text{d}x}.$ (2.1)

记

$L_w^q\left(\Omega \right)=\left\{u\mathrm{<mo>\; |\; </mo>}u\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\Omega \to ℝ是可测的,{\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}\mathrm{<mo>\; <\; </mo>}\infty \right\},$

在 $L_w^q\left(\Omega \right)$ 上定义范数

${\Vert u\Vert }_{q,w}={\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{q}}<\infty .$

同样的方法定义 $L_b^r\left(\Omega \right)$ 。

记

$W^{\mathrm{1,}H}\left(\Omega \right)=\left\{u\mathrm{<mo>\; |\; </mo>}u\in L^H\left(\Omega \right),\left|\nabla u\right|\in L^H\left(\Omega \right)\right\},$

在 $W^{\mathrm{1,}H}\left(\Omega \right)$ 上定义范数

${\Vert u\Vert }_{1,H}={\Vert u\Vert }_H+{\Vert \nabla u\Vert }_H.$

记 $W_0^{\mathrm{1,}H}\left(\Omega \right)$ 是 $C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$ 在 $W^{\mathrm{1,}H}\left(\Omega \right)$ 中的闭包。根据(H-1)和Poincaré不等式可以得到定义在 $W_0^{\mathrm{1,}H}\left(\Omega \right)$ 上的范数 ${\Vert u\Vert }_{1,H}$ 与 ${\Vert \nabla u\Vert }_H$ 等价(见 [13] )。

命题2.1 (见 [4] )假设条件(H)成立，有下列性质成立：

(1) $L^H\left(\Omega \right)$ ↪ $L^r\left(\Omega \right)$ 和 $W_0^{\mathrm{1,}H}\left(\Omega \right)$ ↪ $W_0^{\mathrm{1,}r}\left(\Omega \right)$ 是连续的，其中 $r\in \left[\mathrm{1,}p\right]$ ；

(2) $W_0^{\mathrm{1,}H}\left(\Omega \right)$ ↪ $L^r\left(\Omega \right)$ 是连续的，其中 $r\in \left[\mathrm{1,}{p}^{\ast }\right]$ ；

(3) $W_0^{\mathrm{1,}H}\left(\Omega \right)$ ↪ $L^r\left(\Omega \right)$ 是紧嵌入的，其中 $r\in \left[\mathrm{1,}{p}^{\ast }\right)$ ；

(4) $L^H\left(\Omega \right)$ ↪ $L_w^q\left(\Omega \right)$ 是连续的；

(5) $L^q\left(\Omega \right)$ ↪ $L^H\left(\Omega \right)$ 是连续的。

命题2.2 (见 [4] )假设条件(H)成立，设 $u\in L^H\left(\Omega \right)$ 和 ${\rho }_H\left(u\right)$ 如(2.1)式所定义，那么有：

(1) 如果 $u\ne 0$ ，则 $\Vert u\Vert =\lambda$ 的充要条件是 ${\rho }_H\left(\frac{u}{\lambda }\right)=1$ 。

(2) ${\Vert u\Vert }_H<1$ 充要条件是 ${\rho }_H\left(u\right)<1$ ；

${\Vert u\Vert }_H>1$ 充要条件是 ${\rho }_H\left(u\right)>1$ ；

${\Vert u\Vert }_H=1$ 充要条件是 ${\rho }_H\left(u\right)=1$ 。

(3) 如果 ${\Vert u\Vert }_H<1$ ，则 ${\Vert u\Vert }_H^q\le {\rho }_H\left(u\right)\le {\Vert u\Vert }_H^p$ 。

(4) 如果 ${\Vert u\Vert }_H>1$ ，则 ${\Vert u\Vert }_H^p\le {\rho }_H\left(u\right)\le {\Vert u\Vert }_H^q$ 。

(5) ${\Vert u\Vert }_H\to 0$ 充要条件是 ${\rho }_H\left(u\right)\to 0$ 。

(6) ${\Vert u\Vert }_H\to +\infty$ 充要条件是 ${\rho }_H\left(u\right)\to +\infty$ 。

命题2.3 (见 [4] )设非线性映射 $A:W_0^{1,H}\left(\Omega \right)\to W_0^{1,H}{\left(\Omega \right)}^{\ast }$ 定义为

$\langle A\left(u\right),v\rangle ={\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(a\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u+b\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^{q-2}\nabla u\right)\cdot \nabla v\text{d}x}\forall u,v\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right),$

那么A是有界的､连续的､严格单调的，且为 $\left(S_{+}\right)$ 型。

3. 主要结果的证明

引理3.1 假设条件(H)成立，则 $I_{\lambda }\left(u\right)$ 在 $N_{\lambda }$ 上是强制的。

证：设 $u\in N_{\lambda }$ ，不妨设 ${\Vert u\Vert }_{1,H,0}>1$ 。由 $N_{\lambda }$ 的定义可知

$-\lambda {\Vert u\Vert }_{r,b}^r=-{\Vert \nabla u\Vert }_p^p-{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q+{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x.$ (3.1)

由Hölder不等式，命题2.1和命题2.2有

$\begin{array}{c}{I}_{\lambda }\left(u\right)=\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{r}\right){\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{r}\right){\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q+\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{1-\gamma }\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x\\ \ge \left(\frac{1}{q}-\frac{1}{r}\right){\rho }_H\left(\nabla u\right)+\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{1-\gamma }\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x\\ \ge c{\Vert u\Vert }_{1,H}^P-c{\Vert u\Vert }_{1,H}^{1-\gamma }.\end{array}$

因为 $1-\gamma <1<p$ ，所以 $I_{\lambda }\left(u\right)$ 在 $N_{\lambda }$ 是强制的。证毕。

引理3.2 假设条件(H)成立，则存在 ${\lambda }_1^{\ast }>0$ ，对于任意 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_1^{\ast }\right)$ ，有 $N_{\lambda }^0=\varnothing$ 。

证：用反证法。假设对于任意 ${\lambda }_1^{\ast }>0$ ，存在 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_1^{\ast }\right)$ ，有 $N_{\lambda }^0\ne \varnothing$ ，即存在 $u\in N_{\lambda }^0$ ，成立

$\left(p+\gamma -1\right){\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(q+\gamma -1\right){\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\lambda \left(r+\gamma -1\right){\Vert u\Vert }_{r,b}^r=0.$ (3.2)

因为 $u\in N_{\lambda }$ ，那么

${\Vert \nabla u\Vert }_p^p+{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q={\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x+\lambda {\Vert u\Vert }_{r,b}^r.$ (3.3)

由(3.2)和(3.3)可得

$\left(r-p\right){\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(r-q\right){\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q=\left(r+\gamma -1\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x.$ (3.4)

利用Hölder不等式和命题2.1得到

$\min \left\{{\Vert u\Vert }_{1,H}^p,{\Vert u\Vert }_{1,H}^q\right\}\le c{\Vert u\Vert }_{1,H}^{1-\gamma }.$

因为 $1-\gamma <1<p<q$ ，所以

${\Vert u\Vert }_{1,H}\le c$ . (3.5)

另一方面，由(3.2)式，利用Hölder不等式和命题2.1，我们有

$\min \left\{{\Vert u\Vert }_{1,H}^p,{\Vert u\Vert }_{1,H}^q\right\}\le \lambda c{\Vert u\Vert }_{1,H}^r.$

因此

${\Vert u\Vert }_{1,H}^q\ge {\left(\frac{1}{\lambda c}\right)}^{\frac{1}{r-q}}.$

注意到 $p<q<r$ ，若 $\lambda \to 0^{+}$ ，便得到 $\Vert u\Vert \to +\infty$ ，与(3.5)式矛盾。证毕。

引理3.3 假设条件(H)成立，则下列结论成立：

(1) 存在 ${\lambda }_2^{\ast }\in \left(0,{\lambda }_1^{\ast }\right)$ ，当 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_2^{\ast }\right)$ 时， $N_{\lambda }^{+}\ne \varnothing$ ，其中 ${\lambda }_1^{\ast }$ 是由引理3.2给出。

(2) 对任意 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_2^{\ast }\right)$ ，存在 $u^{\ast }\in N_{\lambda }^{+}$ ， $u^{\ast }\left(x\right)\ge 0$ ， $a.e.x\in \Omega$ ，使得 $I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)=m_{\lambda }^{+}<0$ ，其中 $m_{\lambda }^{+}={\inf }_{N_{\lambda }^{+}}{I}_{\lambda }$ 。

证 (1) 设 $u\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)\backslash \left\{0\right\}$ ，定义函数 $f_u\left(t\right):\left(0,+\infty \right)\to ℝ$

$f_u\left(t\right)=t^{p-r}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p-t^{-r-\gamma +1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x.$

由于

${f^{\prime }}_u\left(t\right)=\left(p-r\right)t^{p-r-1}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(r+\gamma -1\right)t^{-r-\gamma }{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x,$

令 ${f^{\prime }}_u\left(t\right)=0$ ，得到唯一驻点

$t_{u,1}={\left[\frac{\left(r+\gamma -1\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x}{\left(r-p\right){\Vert \nabla u\Vert }_p^p}\right]}^{\frac{1}{p+\gamma -1}},$

且当 $0<t<t_{u,1}$ 时， ${f^{\prime }}_u\left(t\right)>0$ ；当 $t>t_{u,1}$ 时， ${f^{\prime }}_u\left(t\right)<0$ 。因此 $f_u\left(t_{u,1}\right)=\underset{t>0}{\max }{f}_u\left(t\right)$ 。

又 $f_u\left(t\right)=t^{p-r}\left({\Vert \nabla u\Vert }_p^p-t^{-p-\gamma +1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x\right)$ ，所以存在 $T_u$ ，当 $t>T_u$ 时，有 $f_u\left(t\right)>0$ ，从而 $f_u\left(t_{u,1}\right)=\underset{t>0}{\max }f\left(t\right)>0$ 。

经过简单计算得到

$\begin{array}{c}{f}_u\left(t_{u,1}\right)=\frac{{\left[\left(r-p\right){\Vert \nabla u\Vert }_p^p\right]}^{\frac{r-p}{p+\gamma -1}}}{{\left[\left(r+\gamma -1\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x\right]}^{\frac{r-p}{p+\gamma -1}}}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p\\ -\frac{{\left[\left(r-p\right){\Vert \nabla u\Vert }_p^p\right]}^{\frac{r+\gamma -1}{p+\gamma -1}}}{{\left[\left(r+\gamma -1\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x\right]}^{\frac{r+\gamma -1}{p+\gamma -1}}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x\\ =\frac{p+\gamma -1}{r-p}{\left[\frac{r-p}{r+\gamma -1}\right]}^{\frac{r+\gamma -1}{p+\gamma -1}}{\Vert \nabla u\Vert }_p^{\frac{p\left(r+\gamma -1\right)}{p+\gamma -1}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x\right)}^{\frac{p-r}{p+\gamma -1}}.\end{array}$ (3.6)

由Sobolev嵌入定理及Hölder不等式知，存在常数 $C_1$ ，使得

${\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x\le C_1{\Vert u\Vert }_{p^{\ast }}^{1-\gamma }.$ (3.7)

由(3.6)，(3.7)和条件(H-4)知，存在正常数 $C_2$ ， $C_3$ 和 $C_4$ ，成立

$\begin{array}{c}{f}_u\left(t_{u,1}\right)-\lambda {\Vert u\Vert }_{r,b}^r=\frac{p+\gamma -1}{r-p}{\left[\frac{r-p}{r+\gamma -1}\right]}^{\frac{r+\gamma -1}{p+\gamma -1}}{\Vert \nabla u\Vert }_p^{\frac{p\left(r+\gamma -1\right)}{p+\gamma -1}}{\left[{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x\right]}^{\frac{p-r}{p+\gamma -1}}-\lambda {\Vert u\Vert }_{r,b}^r\\ \ge \frac{p+\gamma -1}{r-p}{\left[\frac{r-p}{r+\gamma -1}\right]}^{\frac{r+\gamma -1}{p+\gamma -1}}{C}_2{\left({\Vert u\Vert }_{p^{\ast }}^p\right)}^{\frac{r+\gamma -1}{p+\gamma -1}}{\left(C_1{\Vert u\Vert }_{p^{\ast }}^{1-\gamma }\right)}^{\frac{p-r}{p+\gamma -1}}-\lambda C_3{\Vert u\Vert }_{p^{\ast }}^r\\ =\left(C_4-\lambda C_3\right){\Vert u\Vert }_{p^{\ast }}^r.\end{array}$ (3.8)

因此存在 ${\lambda }_2^{\ast }\in \left(0,{\lambda }_1^{\ast }\right)$ ，且 ${\lambda }_2^{\ast }$ 与u无关，当 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_2^{\ast }\right)$ ，有

$f_u\left(t_{u,1}\right)-\lambda {\Vert u\Vert }_{r,b}^r>0.$ (3.9)

进一步考虑函数 $g_u\left(t\right):\left(0,+\infty \right)\to ℝ$

$g_u\left(t\right)=t^{p-r}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+t^{q-r}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-t^{-r-\gamma +1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x.$

由于

$\begin{array}{c}{g^{\prime }}_u\left(t\right)=\left(p-r\right)t^{p-r-1}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(q-r\right)t^{q-r-1}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\left(-r-\gamma +1\right)t^{-r-\gamma }{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x\\ =t^{-r-\gamma }\left[\left(r+\gamma -1\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x-\left(r-p\right)t^{p\text{+}\gamma -1}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p-\left(r-q\right)t^{q+\gamma -1}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q\right].\end{array}$ (3.10)

因为 $1-\gamma <p<q$ ，我们有 $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{g^{\prime }}_u\left(t\right)=+\infty ,\underset{t\to +\infty }{\lim }{g^{\prime }}_u\left(t\right)=0$ ；且当t充分大时， ${g^{\prime }}_u\left(t\right)<0$ 。

令

$g_{*}\left(t\right)=\left(r+\gamma -1\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x-\left(r-p\right)t^{p\text{+}\gamma -1}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p-\left(r-q\right)t^{q+\gamma -1}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q,$

那么

${g^{\prime }}_{*}\left(t\right)=-\left(r-p\right)\left(p+\gamma -1\right)t^{p\text{+}\gamma -2}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p-\left(r-q\right)\left(q+\gamma -1\right)t^{q+\gamma -2}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q<0.$

因此存在唯一 $t_{u,2}>0$ ，使得

$g_u\left(t_{u,2}\right)=\underset{t>0}{\max }{g}_u\left(t\right)>0,{g^{\prime }}_u\left(t_{u,2}\right)=0,$

且当 $0<t<t_{u,2}$ 时， ${g^{\prime }}_u\left(t\right)>0$ ；当 $t>t_{u,2}$ 时， ${g^{\prime }}_u\left(t\right)<0$ 。

因为 $g_u\left(t\right)\ge f_u\left(t\right)$ ，所以由(3.9)可知对任意 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_2^{\ast }\right)$ ，有

$g_u\left(t_{u,2}\right)>\lambda {\Vert u\Vert }_{r,b}^r>0.$

另外，由于 $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{g}_u\left(t\right)=-\infty$ ，故存在唯一 $t_{u,3}\in \left(0,t_{u,2}\right)$ ，使得

$g_u\left(t_{u,3}\right)=\lambda {\Vert u\Vert }_{r,b}^r,{g^{\prime }}_u\left(t_{u,3}\right)>0$ . (3.11)

接下来我们考虑纤维映射 $h_u\left(t\right)=I_{\lambda }\left(tu\right)$ ， $t\ge 0$ ， $u\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)\backslash \left\{0\right\}$ 。

首先，因为 $h_u\left(t\right)\in C^2\left(0,+\infty \right)$ ，那么

${h^{\prime }}_u\left(t\right)=t^{p-1}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+t^{q-1}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-t^{-\gamma }{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x-\lambda t^{r-1}{\Vert u\Vert }_{r,b}^r,$

${h^{″}}_u\left(t\right)=\left(p-1\right)t^{p-2}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(q-1\right)t^{q-2}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q+\gamma t^{-\gamma -1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x-\lambda \left(r-1\right)t^{r-2}{\Vert u\Vert }_{r,b}^r.$ (3.12)

利用(3.11)得到

$\gamma t_{u,3}^{p-2}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\gamma t_{u,3}^{q-2}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\gamma \lambda t_{u,3}^{r-2}{\Vert u\Vert }_{r,b}^r=\gamma t_{u,3}^{-\gamma -1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x$ (3.13)

和

$-\left(r-1\right)t_{u,3}^{p-2}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p-\left(r-1\right)t_{u,3}^{q-2}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q+\left(r-1\right)t_{u,3}^{-\gamma -1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x=-\lambda \left(r-1\right)t_{u,3}^{r-2}{\Vert u\Vert }_{r,b}^r.$ (3.14)

把(3.13)代入(3.12)得

$\begin{array}{c}{h^{″}}_u\left(t_{u,3}\right)=\left(p+\gamma -1\right)t_{u,3}^{p-2}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(q+\gamma -1\right)t_{u,3}^{q-2}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\lambda \left(r+\gamma -1\right)t_{u,3}^{r-2}{\Vert u\Vert }_{r,b}^r\\ =t_{u,3}^{-2}\left[\left(p+\gamma -1\right)t_{u,3}^p{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(q+\gamma -1\right)t_{u,3}^{{}^q}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\lambda \left(r+\gamma -1\right)t_{u,3}^r{\Vert u\Vert }_{r,b}^r\right].\end{array}$ (3.15)

把(3.14)代入(3.12)，并借助(3.11)可得

$\begin{array}{c}{h^{″}}_u\left(t_{u,3}\right)=\left(p-r\right)t_{u,3}^{p-2}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(q-r\right)t_{u,3}^{q-2}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q+\left(r+\gamma -1\right)t_{u,3}^q{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x\\ =t_{u,3}^{1-r}{g^{\prime }}_u\left(t_{u,3}\right)>0.\end{array}$ (3.16)

结合(3.15)和(3.16)，我们有

$\left(p+\gamma -1\right)t_{u,3}^p{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(q+\gamma -1\right)t_{u,3}^q{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\lambda \left(r+\gamma -1\right)t_{u,3}^r{\Vert u\Vert }_{r,b}^r>0,$

故对于任意 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_2^{\ast }\right)$ ，有 $t_{u,3}u\in N_{\lambda }^{+}$ ，所以 $N_{\lambda }^{+}\ne \varnothing$ 。

(2) 对此部分证明分为两步。

第一步，证明 ${\inf }_{N_{\lambda }^{+}}{I}_{\lambda }=m_{\lambda }^{+}<0$ 。

假设 $u\in N_{\lambda }^{+}$ ，由于 $N_{\lambda }^{+}\subseteq N_{\lambda }$ ，因此

$-{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x=-{\Vert \nabla u\Vert }_p^p-{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q+\lambda {\Vert u\Vert }_{r,b}^r.$ (3.17)

另一方面，由 $N_{\lambda }^{+}$ 的定义可得

$\lambda {\Vert u\Vert }_{r,b}^r<\frac{p+\gamma -1}{r+\gamma -1}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\frac{q+\gamma -1}{r+\gamma -1}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q.$ (3.18)

由(3.17)和(3.18)，注意到 $p<q<r$ ， $0<\gamma <1$ ，我们有

$\begin{array}{c}{I}_{\lambda }\left(u\right)=\frac{1}{p}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\frac{1}{q}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\frac{1}{1-\gamma }{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x-\frac{\lambda }{r}{\Vert u\Vert }_{r,b}^r\\ =\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{1-\gamma }\right){\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{1-\gamma }\right){\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q+\lambda \left(\frac{1}{1-\gamma }-\frac{1}{r}\right){\Vert u\Vert }_{r,b}^r\\ \le -\frac{\left(p+\gamma -1\right)\left(r-p\right)}{\left(1-\gamma \right)pr}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p-\frac{\left(q+\gamma -1\right)\left(r-q\right)}{\left(1-\gamma \right)qr}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q\\ <0,\end{array}$

故 $m_{\lambda }^{+}<0$ 。

第二步，证明存在 $u^{\ast }$ ，使得 $I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)=m_{\lambda }^{+}$ 。

首先选取 $I_{\lambda }\left(u\right)$ 极小化序列 $\left\{u_n\right\}\subset N_{\lambda }^{+}$ ，即

$I_{\lambda }\left(u_1\right)\ge I_{\lambda }\left(u_2\right)\ge \cdots \ge I_{\lambda }\left(u_n\right)\ge \cdots ,$

且当 $n\to \infty$ ，有

$I_{\lambda }\left(u_n\right)\to m_{\lambda }^{+}<0.$ (3.19)

由引理3.1知 $\left\{u_n\right\}$ 是有界的。因此，存在 $\left\{u_n\right\}$ 的子列(仍记为其本身)和 $u^{*}\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)$ ，成立

$\{\begin{array}{l}{u}_n\rightharpoonup u^{\ast }\left(在W_0^{1,H}\left(\Omega \right)中\right),\\ u_n\to u^{\ast }\left(在L^r\left(\Omega \right)中\right),r\in \left[1,p^{\ast }\right),\\ u_n\to u^{\ast }a.e.x\in \Omega .\end{array}$ (3.20)

由(3.19)和(3.20)知

$I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)\le \underset{n\to \infty }{\lim \inf }{I}_{\lambda }\left(u_n\right)<0=I_{\lambda }\left(0\right).$

故 $u^{\ast }\ne 0$ 。

为了证明 $\underset{n\to \infty }{\lim \inf }{I}_{\lambda }\left(u_n\right)=I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)$ ，只需要证明：

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\left|\nabla u_n\right|}^p+w\left(x\right){\left|\nabla u_n\right|}^q\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\left|\nabla u^{*}\right|}^p+w\left(x\right){\left|\nabla u^{*}\right|}^q\right)\text{d}x}.$ (3.21)

用反证法。假设

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\left|\nabla u_n\right|}^p+w\left(x\right){\left|\nabla u_n\right|}^q\right)\text{d}x}>{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\left|\nabla u^{*}\right|}^p+w\left(x\right){\left|\nabla u^{*}\right|}^q\right)\text{d}x}.$ (3.22)

如果(3.22)成立，那么

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u_n\right|}^p\text{d}x}>{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u^{*}\right|}^p\text{d}x}$

与

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }{\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(x\right){\left|\nabla u_n\right|}^q\text{d}x}>{\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(x\right){\left|\nabla u^{*}\right|}^q\text{d}x}$

至少一个成立。不妨设

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u_n\right|}^p\text{d}x}>{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u^{*}\right|}^p\text{d}x}$

成立。利用下极限的性质和范数的弱下半连续性，对任意正常数A，B，成立

$\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim \inf }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(A{\left|\nabla u_n\right|}^p+Bw\left(x\right){\left|\nabla u_n\right|}^q\right)\text{d}x}\\ \ge \underset{n\to \infty }{\lim \inf }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(A{\left|\nabla u_n\right|}^p\right)\text{d}x}+\underset{n\to \infty }{\lim \inf }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(Bw\left(x\right){\left|\nabla u_n\right|}^q\right)\text{d}x}\\ =A\underset{n\to \infty }{\lim \inf }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u_n\right|}^p\text{d}x}+B\underset{n\to \infty }{\lim \inf }{\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(x\right){\left|\nabla u_n\right|}^q\text{d}x}\\ >A{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u^{*}\right|}^p\text{d}x}+B{\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(x\right){\left|\nabla u^{*}\right|}^q\text{d}x}.\end{array}$ (3.23)

另外，对于 $u^{\ast }\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)$ ，根据(3.11)，存在唯一 $t_{u^{*},3}>0$ ，使得

$g_{u^{\ast }}\left(t_{u^{*},3}\right)=\lambda {\Vert u^{\ast }\Vert }_{r,b}^r,{g^{\prime }}_{u^{\ast }}\left(t_{u^{*},3}\right)>0.$ (3.24)

利用(3.23)和(3.24)，我们得到

$\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim \inf }{h^{\prime }}_{u_n}\left(t_{u^{*},3}\right)\\ =\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\left[{\left(t_{u^{*},3}\right)}^{p-1}{\Vert \nabla u_n\Vert }_p^p+{\left(t_{u^{*},3}\right)}^{q-1}{\Vert \nabla u_n\Vert }_{q,w}^q-{\left(t_{u^{*},3}\right)}^{-\gamma }{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u_n\right|}^{1-\gamma }\text{d}x-\lambda {\left(t_{u^{*},3}\right)}^{r-1}{\Vert u_n\Vert }_{r,b}^r\right]\\ >{\left(t_{u^{*},3}\right)}^{p-1}{\Vert \nabla u^{\ast }\Vert }_p^p+{\left(t_{u^{*},3}\right)}^{q-1}{\Vert \nabla u^{\ast }\Vert }_{q,w}^q-{\left(t_{u^{*},3}\right)}^{-\gamma }{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u^{\ast }\right|}^{1-\gamma }\text{d}x-\lambda {\left(t_{u^{*},3}\right)}^{r-1}{\Vert u^{\ast }\Vert }_{r,b}^r\\ ={h^{\prime }}_{u^{\ast }}\left(t_{u^{*},3}\right)={\left(t_{u^{*},3}\right)}^{r-1}\left[g_{u^{\ast }}\left(t_{u^{*},3}\right)-\lambda {\Vert u^{\ast }\Vert }_{r,b}^r\right]=0,\end{array}$

故存在 $n_0\in \mathbb{N}$ ，对于任意 $n>n_0$ 有

${h^{\prime }}_{u_n}\left(t_{u^{*},3}\right)>0.$ (3.25)

因为 $u_n\in N_{\lambda }^{+}\subset N_{\lambda }$ ，故

${h^{\prime }}_{u_n}\left(t\right)=t^{r-1}\left[g_{u_n}\left(t\right)-\lambda {\Vert u_n\Vert }_{r,b}^r\right],{h^{\prime }}_{u_n}\left(1\right)=0,$

这样便有

$g_{u_n}\left(1\right)=\lambda {\Vert u_n\Vert }_{r,b}^r,$

即有 $t_{u_n,3}=1$ 。由于 $0<t_{u_n,3}\le t_{u_n,2}$ ，根据对函数 $g_{u_n}\left(t\right)$ 的讨论知，当 $0<t<t_{u_n,2}$ 时，我们有 ${g^{\prime }}_{u_n}\left(t\right)>0$ ，所以对于任意 $t\in \left(0,1\right)$ ，有 ${h^{\prime }}_{u_n}\left(t\right)<0$ 和 ${h^{\prime }}_{u_n}\left(1\right)=0$ ，因此 $t_{u^{*},3}>1$ 。

由于

${h^{\prime }}_{u^{*}}\left(t\right)=t^{r-1}\left[g_{u^{*}}\left(t\right)-\lambda {\Vert u^{\ast }\Vert }_{r,b}^r\right],g_{u^{*}}\left(t_{u^{*},3}\right)=\lambda {\Vert u^{\ast }\Vert }_{r,b}^r.$

从而 ${h^{\prime }}_{u^{*}}\left(t_{u^{*},3}\right)=0$ 。注意到 $1<t_{u^{*},3}\le t_{u^{*},2}$ 和当 $0<t<t_{u^{*},2}$ 时有 ${g^{\prime }}_{u^{*}}\left(t\right)>0$ ，这样我们得到当 $0<t<t_{u^{*},3}$ 时有 ${h^{\prime }}_{u^{*}}\left(t\right)<0$ ，故 $h_{u^{\ast }}\left(t\right)$ 在 $\left[1,t_{u^{*},3}\right]$ 上单调递减，结合(3.22)便有

$I_{\lambda }\left(t_{u^{*},3}{u}^{\ast }\right)\le I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)<m_{\lambda }^{+}.$ (3.26)

另一方面，因为 $t_{u^{*},3}{u}^{\ast }\in N_{\lambda }^{+}$ ，又可以得到

$m_{\lambda }^{+}={\inf }_{N_{\lambda }^{+}}{I}_{\lambda }\le I_{\lambda }\left(t_{u^{*},3}{u}^{\ast }\right).$ (3.27)

显然(3.26)与(3.27)是矛盾的。所以(3.21)成立。

由(3.21)知，我们可以找到一个子序列(仍记为其本身)满足

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u_n\right|}^p+w\left(x\right){\left|\nabla u_n\right|}^q\text{d}x}\to {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u^{*}\right|}^p+w\left(x\right){\left|\nabla u^{*}\right|}^q\text{d}x}.$

由Brezis-Lieb引理知在 $W_0^{1,H}\left(\Omega \right)$ 中 $u_n\to u^{\ast }$ 。所以 $I_{\lambda }\left(u_n\right)\to I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)$ 。故 $I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)=m_{\lambda }^{+}$ 。

由于 $u_n\in N_{\lambda }^{+}$ ，因此对于任意 $n\in \mathbb{N}$ ，有

$\left(p+\gamma -1\right){\Vert \nabla u_n\Vert }_p^p+\left(q+\gamma -1\right){\Vert \nabla u_n\Vert }_{q,w}^q-\lambda \left(r+\gamma -1\right){\Vert u_n\Vert }_{r,b}^r>0.$

令 $n\to +\infty$ 得

$\left(p+\gamma -1\right){\Vert \nabla u^{\ast }\Vert }_p^p+\left(q+\gamma -1\right){\Vert \nabla u^{\ast }\Vert }_{q,w}^q-\lambda \left(r+\gamma -1\right){\Vert u^{\ast }\Vert }_{r,b}^r\ge 0.$ (3.28)

由引理3.2知(3.28)不能取等号，所以 $u^{\ast }\in N_{\lambda }^{+}$ 。因为 $\left|u^{\ast }\right|$ 也满足(3.28)，所以我们可以认为 $u^{\ast }\ge 0a.e.x\in \Omega$ 且 $u^{\ast }\ne 0$ 。证毕。

引理3.4 假设条件(H)成立，则下列结论成立：

(1) 令 $u\in N_{\lambda }^{+}$ ，则存在 $\epsilon >0$ 和连续函数 $\theta :B_{\epsilon }\left(9\right)\to \left(0,\infty \right)$ ，对任意 $y\in B_{\epsilon }\left(0\right)$ ，有 $\theta \left(0\right)=1$ 和 $\theta \left(y\right)\left(u+y\right)\in N_{\lambda }^{+}$ 成立，其中 $B_{\epsilon }\left(0\right)=\{u\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right):{\Vert u\Vert }_{1,H}<\epsilon \}$ 。

(2) 令 $h\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)$ ， $\lambda \in \left(0,{\lambda }_2^{\ast }\right)$ ，则存在 $b>0$ ，对于任意 $t\in \left[0,b\right]$ ，有 $I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)\le I_{\lambda }\left(u^{\ast }+th\right)$ ，其中 $u^{\ast }$ 由引理3.3中给出。

(3) 当 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_2^{\ast }\right)$ ，则 $u^{\ast }$ 是问题(1.1)的正解，并且 $I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)<0$ 。

证 (1) 首先给定函数 $\zeta :W_0^{1,H}\left(\Omega \right)\times \left(0,+\infty \right)\to ℝ$

$\zeta \left(y,t\right)=t^{p+\gamma -1}{\Vert \nabla \left(u+y\right)\Vert }_p^p+t^{q+\gamma -1}{\Vert \nabla \left(u+y\right)\Vert }_{q,w}^q-{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u+y\right|}^{1-\gamma }\text{d}x-\lambda t^{r+\gamma -1}{\Vert u+y\Vert }_{r,b}^r,$

因为 $u\in N_{\lambda }^{+}\subset N_{\lambda }$ ，所以 $\zeta \left(0,1\right)=0$ 。又因为 $u\in N_{\lambda }^{+}$ ，成立

${{\zeta }^{\prime }}_t\left(0,1\right)=\left(p+\gamma -1\right){\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(q+\gamma -1\right){\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\lambda \left(r+\gamma -1\right){\Vert u\Vert }_{r,b}^r>0.$

然后，由隐函数定理(见 [14] )知，存在 $\epsilon >0$ 和连续函数 $\theta :B_{\epsilon }\left(0\right)\to \left(0,\infty \right)$ ，满足 $\theta \left(0\right)=1$ ，且对于任意 $y\in B_{\epsilon }\left(0\right)$ ，成立

$\theta \left(y\right)\left(u+y\right)\in N_{\lambda }.$

最后，选择 $\epsilon$ 足够小时，对于任意 $y\in B_{\epsilon }\left(0\right)$ ，也成立

$\theta \left(0\right)=1$ 和 $\theta \left(y\right)\left(u+y\right)\in N_{\lambda }^{+}.$

(2) 给定函数 ${\eta }_h:\left[0,+\infty \right)\to ℝ$

$\begin{array}{l}{\eta }_h\left(t\right)=\left(p-1\right){\Vert \nabla u^{\ast }+t\nabla h\Vert }_p^p+\left(q-1\right){\Vert \nabla u^{\ast }+t\nabla h\Vert }_{q,w}^q\\ +\gamma {\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right){\left|u^{\ast }+th\right|}^{1-\gamma }\text{d}x}-\lambda \left(r-1\right){\Vert u^{\ast }+th\Vert }_{r,b}^r.\end{array}$ (3.29)

因为 $u^{\ast }\in N_{\lambda }^{+}\subset N_{\lambda }$ ，有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left(u^{\ast }\right)}^{1-\gamma }\text{d}x={\Vert \nabla u^{\ast }\Vert }_p^p+{\Vert \nabla u^{\ast }\Vert }_{q,w}^q-\lambda {\Vert u^{\ast }\Vert }_{r,b}^r$ (3.30)

和

$\left(p+\gamma -1\right){\Vert \nabla u^{\ast }\Vert }_p^p+\left(q+\gamma -1\right){\Vert \nabla u^{\ast }\Vert }_{q,w}^q-\lambda \left(r+\gamma -1\right){\Vert u^{\ast }\Vert }_{r,b}^r>0,$ (3.31)

结合(3.29)，(3.30)和(3.31)，有 ${\eta }_h\left(0\right)>0$ 。又因为 ${\eta }_h:\left[0,+\infty \right)\to ℝ$ 是连续函数，由连续函数的局部保号性知，存在 $b_0$ 大于零，使得对于任意 $t\in \left[0,b_0\right]$ ，存在 $\theta \left(t\right)>0$ 成立

$\theta \left(t\right)\left(u^{\ast }+th\right)\in N_{\lambda }^{+}$

和

当 $t\to 0^{+}$ 时 $\theta \left(t\right)\to 1.$ (3.32)

因此，由 $m_{\lambda }^{+}$ 的定义知，对任意 $t\in \left[0,b_0\right]$ ，有

$m_{\lambda }^{+}=I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)\le I_{\lambda }\left(\theta \left(t\right)\left(u^{\ast }+th\right)\right).$ (3.33)

由 ${h^{″}}_{u^{\ast }}\left(1\right)>0$ ， ${h^{″}}_{u^{\ast }+th}\left(1\right)$ 关于t的连续性可知，存在 $t\in \left[0,b\right]$ ，其中 $b\in \left[0,b_0\right]$ ，有 ${h^{″}}_{u^{\ast }+th}\left(1\right)>0$ 。由(3.33)知，对于任意的 $t\in \left[0,b\right]$ ，成立

$m_{\lambda }^{+}=I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)\le I_{\lambda }\left(\theta \left(t\right)\left(u^{\ast }+th\right)\right)=h_{u^{\ast }+th}\left(\theta \left(t\right)\right)\le h_{u^{\ast }+th}\left(1\right)=I_{\lambda }\left(u^{\ast }+th\right).$

(3) 对此部分证明分为三步。

第一步，证明对于任意 $h\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)$ ，成立

$a\left(x\right){\left(u^{\ast }\right)}^{-\gamma }h\in L^1\left(\Omega \right)$ (3.34)

和对于任意 $h\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)$ ， $h\ge 0$ ，成立

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{p-2}\nabla u^{\ast }+w\left(x\right){\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{q-2}\nabla u^{\ast }\right)\cdot \nabla h\text{d}x}\\ \ge {\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left(u^{\ast }\right)}^{-\gamma }h\text{d}x+\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }b\left(x\right){\left(u^{\ast }\right)}^{r-1}h\text{d}x}.\end{array}$ (3.35)

令 $h\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)$ ， $h\ge 0$ 。给定一个递减序列 $\left\{t_n\right\}\subseteq \left(0,1\right]$ 且 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{t}_n=0$ 。记

${\varphi }_n\left(x\right)=a\left(x\right)\frac{{\left(u^{\ast }\left(x\right)+t_{n}h\left(x\right)\right)}^{1-\gamma }-u^{\ast }{\left(x\right)}^{1-\gamma }}{t_n},$

我们知道 ${\varphi }_n\left(x\right)$ 是非负可测的，当 $n\to \infty$ 时，有

${\varphi }_n\left(x\right)\to \left(1-\gamma \right)a\left(x\right)u^{\ast }{\left(x\right)}^{-\gamma }h\left(x\right)a.e.x\in \Omega .$

利用Fatou引理得到

${\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right){\left(u^{\ast }\right)}^{-\gamma }h\text{d}x}\le \frac{1}{1-\gamma }\underset{n\to \infty }{\lim \inf }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_n\text{d}x.}$ (3.36)

借助引理3.4 (2)可知，当n充分大时，有

$\begin{array}{l}\frac{I_{\lambda }\left(u^{\ast }+t_{n}h\right)-I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)}{t_n}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p}\frac{{\left|\nabla u^{\ast }+t_n\nabla h\right|}^p-{\left|\nabla u^{\ast }\right|}^p}{t_n}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{w\left(x\right)}{q}}\frac{{\left|\nabla u^{\ast }+t_n\nabla h\right|}^q-{\left|\nabla u^{\ast }\right|}^q}{t_n}\text{d}x\\ -\frac{1}{1-\gamma }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_n}\text{d}x-\frac{\lambda }{r}\frac{{\Vert u^{\ast }+t_{n}h\Vert }_{r,b}^r-{\Vert u^{\ast }\Vert }_{r,b}^r}{t_n}\\ \ge 0.\end{array}$

结合(3.36)，有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right){\left(u^{\ast }\right)}^{-\gamma }}h\text{d}x\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{p-2}\nabla u^{\ast }\nabla h}\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(x\right)}{\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{q-2}\nabla u^{\ast }\nabla h\text{d}x-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }b\left(x\right)}{\left(u^{\ast }\right)}^{r-1}h\text{d}x.$

这就证明(3.34)和(3.35)。

第二步，证明 $u^{\ast }\left(x\right)>0$ ， $a.e.x\in \Omega$ 。

由引理3.3 (2)知 $u^{\ast }\left(x\right)>0$ ， $a.e.x\in \Omega$ ，并且 $I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)<0$ 。定义 $D=\left\{u^{\ast }\left(x\right)=0,a.e.x\in \Omega \right\}$ ，并假设 $\left|D\right|>0$ 。令 $h\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)$ ，且 $h>0$ ，设b由引理3.4 (2)给出。由引理3.4 (2)可得，对于任意 $0<t<b$ ，有

$\frac{I_{\lambda }\left(u^{\ast }+th\right)-I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)}{t}\ge 0.$ (3.37)

另一方面，我们又可以得到

$\begin{array}{l}\frac{I_{\lambda }\left(u^{\ast }+th\right)-I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)}{t}\\ =\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|\nabla u^{\ast }+t\nabla h\right|}^p-{\left|\nabla u^{\ast }\right|}^p}{t}\text{d}x}+\frac{1}{q}{\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(x\right)}\frac{{\left|\nabla u^{\ast }+t\nabla h\right|}^q-{\left|\nabla u^{\ast }\right|}^q}{t}\text{d}x\\ -\frac{1}{\left(1-\gamma \right)t^{\gamma }}{\displaystyle {\int }_{D}a\left(x\right)h^{1-\gamma }\text{d}x}-\frac{1}{1-\gamma }{\displaystyle {\int }_{\Omega \backslash D}a\left(x\right)}\frac{{\left(u^{\ast }+th\right)}^{1-\gamma }-{\left(u^{\ast }\right)}^{1-\gamma }}{t}\text{d}x\\ -\frac{\lambda }{r}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{b\left(x\right)\left({\left(u^{\ast }+th\right)}^r-{\left(u^{\ast }\right)}^r\right)}{t}\text{d}x}.\end{array}$ (3.38)

由于

$\begin{array}{l}\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|\nabla u^{\ast }+t\nabla h\right|}^p-{\left|\nabla u^{\ast }\right|}^p}{t}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{p-2}\nabla u^{\ast }\nabla h\text{d}x},\\ \underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{q}{\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(x\right)}\frac{{\left|\nabla u^{\ast }+t\nabla h\right|}^q-{\left|\nabla u^{\ast }\right|}^q}{t}\text{d}x={\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(x\right){\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{q-2}\nabla u^{\ast }\nabla h\text{d}x},\\ \underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{\lambda }{r}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{b\left(x\right)\left({\left(u^{\ast }+th\right)}^r-{\left(u^{\ast }\right)}^r\right)}{t}\text{d}x}=\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }b\left(x\right){\left(u^{\ast }\right)}^{r-1}h\text{d}x}\end{array}$

及由第一步证明知

$0\le \underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{1-\gamma }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}\left({\left(u^{\ast }+th\right)}^{1-\gamma }-{\left(u^{\ast }\right)}^{1-\gamma }\right)\text{d}x={\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left(u^{\ast }\right)}^{-\gamma }h\text{d}x<\infty ,$

再根据条件(H-3)，从(3.38)便可以得到

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{I_{\lambda }\left(u^{\ast }+th\right)-I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)}{t}\mathrm{<mo>\; =\; </mo>}-\infty .$

这与(3.37)矛盾，所以 $u^{\ast }\left(x\right)>0$ ， $a.e.x\in \Omega$ 。

第三步，证明 $u^{\ast }$ 是问题(1.1)的正解。

令 $y\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)$ ， $\epsilon >0$ 。取 $h={\left(u^{\ast }+\epsilon y\right)}_{+}$ 作为(3.36)测试函数，结合 $u^{\ast }\in N_{\lambda }^{+}\subset N_{\lambda }$ 和 $u^{\ast }>0$ ，有

$\begin{array}{l}0\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{p-2}\nabla u^{\ast }+w\left(x\right){\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{q-2}\nabla u^{\ast }\right)\cdot \nabla {\left(u^{\ast }+\epsilon y\right)}_{+}\text{d}x}\\ -{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left(u^{\ast }\right)}^{-\gamma }{\left(u^{\ast }+\epsilon y\right)}_{+}\text{d}x-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }b\left(x\right){\left(u^{\ast }\right)}^{r-1}{\left(u^{\ast }+\epsilon y\right)}_{+}\text{d}x}\\ \le \epsilon \{{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{p-2}\nabla u^{\ast }+w\left(x\right){\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{q-2}\nabla u^{\ast }\right)\cdot \nabla y\text{d}x}\\ -{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left(u^{\ast }\right)}^{-\gamma }y\text{d}x-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }b\left(x\right){\left(u^{\ast }\right)}^{r-1}y\text{d}x}\\ -{\displaystyle {\int }_{\left\{u^{\ast }+\epsilon y<0\right\}}\left({\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{p-2}\nabla u^{\ast }+w\left(x\right){\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{q-2}\nabla u^{\ast }\right)\cdot \nabla y\text{d}x}\}.\end{array}$

因为 $\left|\left\{u^{\ast }+\epsilon y<0\right\}\right|\to 0$ ( $\epsilon \to 0$ )，从而对上面不等式同时除以 $\epsilon >0$ ，并令 $\epsilon \to 0$ ，得到

$\begin{array}{l}0\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{p-2}\nabla u^{\ast }\cdot \nabla y}\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(x\right)}{\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{q-2}\nabla u^{\ast }\cdot \nabla y\text{d}x\\ -{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left(u^{\ast }\right)}^{-\gamma }y\text{d}x-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }b\left(x\right){\left(u^{\ast }\right)}^{r-1}y}\text{d}x.\end{array}$

用−y代替y，重复上述证明过程可以得到相反的不等式，故

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left(u^{\ast }\right)}^{-\gamma }y\text{d}x+\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }b\left(x\right){\left(u^{\ast }\right)}^{r-1}y\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{p-2}\nabla u^{\ast }\cdot \nabla y\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(x\right)}{\left|\nabla u^{\ast }\right|}^{q-2}\nabla u^{\ast }\cdot \nabla y\text{d}x.\end{array}$

因此， $u^{\ast }$ 是问题(1.1)的正解，且 $I_{\lambda }\left(u^{\ast }\right)<0$ 。证毕。

引理3.5 假设条件(H)成立，则下列结论成立：

(1) 当 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_2^{\ast }\right)$ 时， $N_{\lambda }^{-}\ne \varnothing$ ，其中 ${\lambda }_2^{\ast }$ 由引理3.3给出。

(2) 存在 ${\lambda }_3^{\ast }\in \left(0,{\lambda }_2^{\ast }\right)$ ，当 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_3^{\ast }\right)$ 时，存在 $v^{\ast }\in N_{\lambda }^{-}$ ，使得 $I_{\lambda }\left(v^{\ast }\right)=m_{\lambda }^{-}>0$ ，其中 $m_{\lambda }^{-}={\inf }_{N_{\lambda }^{-}}{I}_{\lambda }\left(v\right)$ 。

证 (1) 设 $u\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)\backslash \left\{0\right\}$ ，然后从引理3.3 (1)的证明过程可知，对任意 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_2^{\ast }\right)$ ，有

$g_u\left(t_{u,2}\right)>\lambda {\Vert u\Vert }_{r,b}^r>0,$

且当 $0<t<t_{u,2}$ 时， $g_u\left(t\right)$ 单调递增；当 $t>t_{u,2}$ 时， $g_u\left(t\right)$ 单调递减。

又由于 $\underset{t\to +\infty }{\lim }{g}_u\left(t\right)=0$ ，故存在唯一 $t_{u,4}\in \left(t_{u,2},+\infty \right)$ ，使得

$g_u\left(t_{u,4}\right)=\lambda {\Vert u\Vert }_{r,b}^r,{g^{\prime }}_u\left(t_{u,4}\right)<0$ . (3.39)

利用(3.39)得到

$\gamma t_{u,4}^{p-2}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\gamma t_{u,4}^{q-2}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\gamma \lambda t_{u,4}^{r-2}{\Vert u\Vert }_{r,b}^r=\gamma t_{u,4}^{-\gamma -1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x$ (3.40)

和

$\begin{array}{l}-\left(r-1\right)t_{u,4}^{p-2}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p-\left(r-1\right)t_{u,4}^{q-2}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q+\left(r-1\right)t_{u,4}^{-\gamma -1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x\\ =-\lambda \left(r-1\right)t_{u,4}^{r-2}{\Vert u\Vert }_{r,b}^r.\end{array}$ (3.41)

把(3.40)代入(3.41)得

$\begin{array}{c}{h^{″}}_u\left(t_{u,4}\right)=\left(p+\gamma -1\right)t_{u,4}^{p-2}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(q+\gamma -1\right)t_{u,4}^{q-2}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\lambda \left(r+\gamma -1\right)t_{u,4}^{r-2}{\Vert u\Vert }_{r,b}^r\\ =t_{u,4}^{-2}[\left(p+\gamma -1\right)t_{u,4}^p{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(q+\gamma -1\right)t_{u,4}^q{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\lambda \left(r+\gamma -1\right)t_{u,4}^r{\Vert u\Vert }_{r,b}^r].\end{array}$ (3.42)

把(3.42)代入(3.12)，并借助(3.39)可得

$\begin{array}{c}{h^{″}}_u\left(t_{u,4}\right)=\left(p-r\right)t_{u,4}^{p-2}{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(q-r\right)t_{u,4}^{q-2}{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q+\left(r+\gamma -1\right)t_{u,4}^q{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)}{\left|u\right|}^{1-\gamma }\text{d}x\\ =t_{u,4}^{1-r}{g^{\prime }}_u\left(t_{u,4}\right)<0.\end{array}$ (3.43)

结合(3.42)和(3.43)，我们有

$\left(p+\gamma -1\right)t_{u,4}^p{\Vert \nabla u\Vert }_p^p+\left(q+\gamma -1\right)t_{u,4}^q{\Vert \nabla u\Vert }_{q,w}^q-\lambda \left(r+\gamma -1\right)t_{u,4}^r{\Vert u\Vert }_{r,b}^r<0,$

故对于任意 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_2^{\ast }\right)$ ，有 $t_{u,4}u\in N_{\lambda }^{-}$ ，所以 $N_{\lambda }^{-}\ne \varnothing$ 。

(2) 此部分的证明与引理3.3中类似，此处省略，证毕。

引理3.6 假设条件(H)成立，那么有下列结论成立：

(1) 令 $v\in N_{\lambda }^{-}$ ，则存在 $\epsilon >0$ 和连续函数 $\theta :B_{\epsilon }\left(0\right)\to \left(0,\infty \right)$ ，对任意 $y\in B_{\epsilon }\left(0\right)$ 有 $\theta \left(0\right)=1$ 和 $\theta \left(y\right)\left(v+y\right)\in N_{\lambda }^{-}$ 成立，其中 $B_{\epsilon }\left(0\right)=\{v\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right):{\Vert v\Vert }_{1,H}<\epsilon \}$ 。

(2) 令 $h\in W_0^{1,H}\left(\Omega \right)$ ， $\lambda \in \left(0,{\lambda }_3^{\ast }\right)$ ，则存在 $b>0$ ，对于任意 $t\in \left[0,b\right]$ ，有 $I_{\lambda }\left(v^{\ast }\right)\le I_{\lambda }\left(\theta \left(t\right)\left(v^{\ast }+th\right)\right)$ 。

(3) 当 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_3^{\ast }\right)$ ，则 $v^{\ast }$ 是问题(1.1)的正解，并且 $I_{\lambda }\left(v^{\ast }\right)>0$ 。

该引理的证明与引理3.4完全类似，此处不再重复。

定理1.1的证明：取 ${\lambda }^{\ast }={\lambda }_3^{\ast }$ ，由于 $0<{\lambda }^{\ast }<{\lambda }_2^{\ast }<{\lambda }_1^{\ast }$ ，因此当 $\lambda \in \left(0,{\lambda }^{\ast }\right)$ 时，根据引理3.3~3.6知问题(1.1)存在两个正解 $u^{\ast }$ 和 $v^{\ast }$ ，并且满足 $I_{\lambda }\left(u^{*}\right)<0<I_{\lambda }\left(v^{*}\right)$ 。