1. 引言
本文考虑如下时间分数阶Burgers方程 [1] :
(1)
其中
。
满足初始条件
以及合适的边界条件,其中
,
为给定函数,
为
阶Caputo分数阶导数,
为Gamma函数。
近十年来,许多学者运用不同的数值方法对粘性时间分数阶Burgers方程进行了求解,例如,Duangpan运用了有限积分法结合移位Chebyshev多项式 [2] ,Akram等提出了有限差分格式 [3] ,Esen和Tasbozan提出了三次b样条有限元搭配方法 [4] 等等。
2. 有限体积法离散
设
是两个正整数,定义空间步长
,空间网格节点
,其中
;
定义空间半节点
,得到
个有限体单元
。
定义时间步长
,时间网格节点
,其中
。对于函数
,使用如下简写形式:
在
处计算式(1)并在单元
上对方程进行积分,得到
(2)
其中
表示
在区间
上的平均值。
令
表示
的数值近似,对式(2)的等式左端第一项运用
公式逼近 [5] ,取
:
(3)
其中(2)式中的通量近似为
(4)
(5)
结合式(2)、(3)、(4)及(5),可以得到最终的离散形式为
(6)
(6)式中的
是Lax-Friedrichs通量,即
(7)
其中,取
为
,
,
分别表示在节点
上的左近似与右近似,对于左近似和右近似,在下一节中将详细阐述。
3. 5阶WENO格式
对于上一节中的左近似与右近似:
,
,我们用5阶WENO格式重构近似计算,该算法是将
和
分别利用一系列偏左、右侧的点值重构得到的。经典的五阶WENO格式如图1所示。
Figure 1. The model of the fifth-order WENO scheme
图1. 5阶WENO示意图
是利用图1一系列偏左侧的点重构得到的(即图1中的
),
是利用图1一系列偏右侧的点重构得到的(即图1中的
),这里
表示r的初始点。为了简化描述,在不引起混淆的情况下,省去
和
的上标“+”,“−”和“n”。
的五阶WENO重构可表示为:
(8)
(8)式中的
可写为
,非线性权重
为
(9)
其中,
,通常取
,
是线性权重。上述中系数
和
的选取可参见文献 [6] 。
光滑指示因子
可以表示为:
4. 多重网格方法
本文使用多重网格迭代方法,由于空间系统是强非线性的,我们将使用非线性多重网格方法——FAS多重网格方法 [7] 。
假设三个正整数
满足式:
构建一个空间网格体系
,假设最细网格
的网格大小为
,对于
,
的网格大小为
,其中
表示
的网格数量,下文中与
有关的量以上标
的形式书写,例如
。
在每一层网格上,对问题采用如下不动点迭代方法求解:
(10)
其中
,
和
分别为一次迭代过程中的新近似解和旧近似
解,
为一个能够保证迭代方法收敛性的合适的正数。
下面提出求解方程的两层多重网格迭代方法,我们定义延拓和限制算子来实现相邻网格之间的数据传输,其中,延拓算子定义为
,即
定义为:
限制算子定义为
,即
定义为:
以下提出求解方程的多重网格迭代方法步骤:
步1:在细网格上运用(8)式计算离散方程
,一般迭代次数为2~3次;
步2:细网格上的残差和近似解均限制到粗网格上,并求解细网格上离散方程:
步3:作粗网格修正:
5. 数值实验
算例1令计算域为
,初始条件为
,边值条件为
,取
,
,当
时方程(1)的数值解如下图2:
Figure 2. Numerical results of example 1
图2. 算例1的数值结果
算例2令计算域为
,初始条件为
,边值条件为
,取
,当
时方程(1)的数值解如下图3:
根据图2和图3,我们可以看出:算例1中的初始条件是连续函数,随着时间的推进,数值解演化成激波;算例2中的初始条件是分段函数,然而随着时间的推进,数值解演化成稀疏波。
Figure 3. Numerical results of example 2
图3. 算例2的数值结果
6. 总结
本文运用多重网格迭代方法求解时间分数阶Burgers方程,对于对流项中的通量,我们运用Lax-Friedrichs通量近似计算,并对于通量中的左近似和右近似采用5阶WENO格式重构近似。文中计算了两个算例在
时方程的数值解,可以看出该方法模拟间断的效果很好。
NOTES
*通讯作者。