1. 引言
随着计算机技术的不断完善和发展,计算机辅助几何设计(CAGD)在航空、建筑、机械设计和制造等现代工业领域得到广泛应用。利用Bézier方法表示与逼近曲线曲面在CAGD中具有重要的应用价值。Bézier曲线的形状仅与其控制多边形的控制顶点有关,为了在不改变控制顶点的前提下自由调整曲线形状,国内外学者引入了含有一个或多个形状参数的Bézier曲线 [1] - [6] 。
Bézier曲线具有凸包性、变差缩减性、几何不变性等优点。然而,由于其单位法向量包含一个平方根,Bézier曲线并不总有有理等距曲线。1990年,Farouki [7] 引入了一种平面参数曲线Pythagorean-hodograph曲线(简称PH曲线),这类曲线的弧长和等距线可用有理多项式表示。此后,涌现了大量对PH曲线相关理论及应用的研究,文献 [7] 给出了在边角分离的条件下,三次PH曲线的控制多边形的几何特征;为了推广三次PH曲线的应用,文献 [8] 讨论了给定3个型值点插值三次PH曲线,并给出其构造方法;文献 [9] 讨论了四次PH曲线控制多边形的几何条件以及Hermite插值问题;文献 [10] 从几何结构和复分析的角度构造了Hermite插值的四次PH曲线,并给出插值逼近的误差;文献 [11] 通过引入辅助控制顶点研究了五次Bézier 曲线成为PH曲线的充要条件,得到五次PH曲线的控制多边形的几何特征;文献 [12] 给出了五次PH曲线的Bézier控制点之间的几何关系,给出了在Hermite插值条件下构造五次PH曲线的几何方法;文献 [13] 、 [14] 分别讨论了六次、七次PH曲线的构造方法以及Hermite插值问题;文献 [15] 提出了七次Bézier曲线成为PH曲线时其控制多边形满足的边角约束条件;文献 [16] 以基曲线端点、一阶导数及曲率为插值条件构造G2连续的七次PH曲线。此外,PH曲线的应用得到进一步拓展,文献 [17] 给出了三次H-Bézier曲线成为PH曲线的边角分离的几何条件,并提出一种新的几何构造法。四次PH曲线具有更多的自由度,应用更加灵活,目前为止,四次曲线的几何构造方法还没有被研究。
本文主要研究了带参数PH曲线的逼近问题,结构安排如下:首先,定义了一类含一个形状参数的四次m-Bernstein基函数,从而得到四次m-Bézier曲线;其次,通过引入辅助控制顶点的方法给出四次m-Bézier曲线成为PH曲线的边角特征;最后,进一步讨论了四次PH曲线的几何构造方法,并给出误差估计和数值实例。
2. 四次带参数的m-Bézier曲线
本节定义了一类含一个形状参数的四次m-Bernstein基函数,进而得到四次m-Bézier曲线。
定义1 对于任意的
,称关于t的多项式
(1)
为四次m-Bernstein基函数。
定义2 给定控制顶点
,对任意的
,则称
(2)
为四次m-Bézier曲线。
从四次m-Bernstein基函数的定义中,我们可以得到m-Bézier曲线与Bézier曲线有许多共同的基本性质,比如端点性、对称性、几何不变性、保凸性、变差缩减性等。另外,其速端曲线也可以表示为Bernstein形式:
(3)
其中
为控制顶点的一阶向前差分,
为控制多边形的边长。
3. 四次带参数的m-Bézier曲线成为PH曲线的几何特征条件
定义3 [6] 给定一条平面参数多项式曲线
,若存在一个实多项式
,使得
,则称该曲线为一条平面PH曲线。
引理1 [9] 一条平面参数曲线是PH曲线当且仅当其一阶导数满足
(4)
其中
为实多项式,
为复多项式。
因为四次PH曲线的导矢是三次的,所以
可写成如下形式:
(5)
将(5)式展开,得到
(6)
利用比较系数法,将(6)式与Bernstein多项式系数比较,得到
(7)
为方便讨论,令
,引入辅助控制顶点
、
,
(8)
不妨记
得到四次PH曲线的控制多边形如图1所示。
![](//html.hanspub.org/file/3-1251797x31_hanspub.png?20230313090038575)
Figure 1. Control polygon of quartic PH curve
图1. 四次PH曲线的控制多边形
(8)式可化为
(9)
即
。
由(8)、(9)式,得到
(10)
通过调整
的取值可以对曲线的形状进行调整。
从而
。
综上,我们给出四次带参数的m-Bézier曲线成为PH曲线的几何特征,得到了四次带参数的PH曲线,我们称为m-PH曲线,如定理2所述。
定理2 给定
,一个四次m-Bézier曲线是m-PH曲线当且仅当直线
经过点
,分别与
、
交于点
、
,使得
4. 四次m-PH曲线的几何构造法
基于上一节m-Bézier曲线成为m-PH曲线的关于控制多边形的几何特征条件,本节通过构造控制多边形,求解控制顶点,得到四次m-PH曲线,给出了几何构造方法。
给定始末控制点
、
和任一点O,连接
、
、
,令其长度比为
,夹角范围为
,在边
和
上取两点
和
,设
,
,则点
,
分别为:
(11)
以O为坐标原点,
为x轴建立平面直角坐标系,取线段
的中点M,则
, 连接OM,则
。过点
作一条直线EF交
、
于E、F,且使
,由(11)式,得到所构造的PH曲线的控制顶点坐标为:
(12)
为方便计算,不妨令
,由定理2,得到
(13)
、
、
满足如下约束关系:
,其中
(14)
接下来,由(12)、(13)式得到点E、F与边长及角度几何量之间的关系式:
(15)
(16)
求解得到
根据
,可得
(17)
解得
(18)
将(18)代入(14)中,得到关于参数
的方程
(19)
根据上述推导,可以求出曲线控制多边形的顶点,从而得到四次m-PH曲线,即四次m-PH曲线的几何构造法。
5. 误差分析
定义3 给定两组控制顶点
、
,四次m-Bézier曲线为
,四次m-PH曲线为
,对于任意的实数a,曲线的误差定义如下:
(20)
即
6. 数值例子
例1 给定m-Bézier曲线的控制顶点:
四次m-Bézier曲线及其控制多边形如图2所示。
![](//html.hanspub.org/file/3-1251797x92_hanspub.png?20230313090038575)
Figure 2. Quartic m-Bézier curve (The angle between two edges of the control polygon is acute)
图2. 四次m-Bézier曲线(控制多边形的两边夹角为锐角)
取
,分别代入(18)、(19)式,求得
,由(12)式可以得到m-PH
曲线的控制顶点:
四次m-PH曲线及其控制多边形如图3所示。
![](//html.hanspub.org/file/3-1251797x96_hanspub.png?20230313090038575)
Figure 3. Quartic m-PH curve (The angle between two edges of the control polygon is acute)
图3. 四次m-PH曲线(控制多边形的两边夹角为锐角)
由误差公式得到两条曲线之间的误差为
令
,则
从而
当
时,两条曲线之间的误差较小。
例2 给定m-Bézier曲线的控制顶点:
四次m-Bézier曲线及其控制多边形如图4所示。
![](//html.hanspub.org/file/3-1251797x104_hanspub.png?20230313090038575)
Figure 4. Quartic m-Bézier curve (The angle between two edges of the control polygon is obtuse)
图4. 四次m-Bézier曲线(控制多边形的两边夹角为钝角)
取
,分别代入(18)、(19)式,求得
,由(12)式可以得到m-PH
曲线的控制顶点:
四次m-PH曲线及其控制多边形如图5所示。
![](//html.hanspub.org/file/3-1251797x108_hanspub.png?20230313090038575)
Figure 5. Quartic m-PH curve (The angle between two edges of the control polygon is obtuse)
图5. 四次m-PH曲线(控制多边形的两边夹角为钝角)
由误差公式得到两条曲线之间的误差为
令
,则
从而
当
时,两条曲线之间的误差较小。
7. 总结
因为PH曲线的弧长可以用含参数的多项式精确表示,且其等距线是有理的,所以PH曲线在平面参数曲线中占有重要地位。本文基于定义的一类四次带参数的Bézier曲线,给出了m-Bézier曲线成为PH曲线的几何特征条件。本文研究的另一个问题,即将PH曲线的构造方法拓展到四次,随着次数的提高,曲线具有更高的自由度,四次m-Bézier曲线可以通过修改其中的三个控制顶点,使其成为m-PH曲线。今后将会进一步研究更高维度的曲线构造方法,还将研究四次带参数PH曲线的过渡曲线的构造。
NOTES
*通讯作者。