1. 引言
生产系统在运行过程中,由于受到内外部环境因素的影响,会出现退化现象,从而对生产有效性造成不利影响。为了提高生产系统的运行效益,必须对生产和维修进行合理规划。生产和维修规划是制造过程中非常重要的管理流程,将它们联合处理可以降低运行成本,提高收益。Jafari等(2015) [1] 研究了经济生产批量和预防性维修的联合优化问题。Guo等(2022) [2] 在考虑缺货损失的情况下,研究了生产批量和非周期预防性维修联合优化问题。Hosseini等(2020) [3] 在综合各类成本基础上,提出生产批量和维修周期优化方案,使长期运行单位时间平均成本最小。Bouslah等(2018) [4] 针对多部件串联系统,提出一种集生产、质量和维修计划联合控制的经济模型。Peng等 [5] 利用更新理论计算退化系统的长期平均成本,提出基于状态的维修方案,并确定最佳的生产批量。Cheng等(2018) [6] 建立了基于状态维修和经济生产批量联合优化模型,通过确定生产批量、库存和维修阈值,使单位时间总成本最小。Zheng等(2021) [7] 针对生产系统的退化,以成本最小为目标,提出基于状态维修的经济生产批量模型。Khatab等(2019) [8] 提出了一种生产质量与基于状态维修相结合的优化模型,以确定最优的检查周期和退化阈值水平。以上研究大都仅考虑了生产批量的优化问题,而生产计划的制定,除了批量还要考虑生产进度或生产率,以尽可能少的成本达到期望的生产效果。Bouslah等(2013) [9] 以批量和生产率为决策变量,建立了相关成本最小化问题的随机动态规划模型。制定生产计划是一项复杂的任务,包括多个与生产阶段相关的决策问题,如产能与需求相匹配、批量大小、维修方案,同时考虑较低的成本或较大的利润等。本文以批产品生产及系统维修为研究对象,在分析系统随机退化过程对产品质量和运行状态影响的基础上,考虑预防性维修和纠正性维修两种维修方案,通过确定最佳的批量和生产率,使生产系统在单位时间内平均收益最大。
2. 问题描述及模型假设
2.1. 问题描述
考虑产品的生产加工过程,由于受磨损、劣化、应力等诸多因素影响,生产系统会出现退化现象,退化量是随机变量且与系统运行时间有关。当累积退化量达到阈值时,系统发生故障。系统退化会影响加工的产品质量,退化程度越高,产品的不合格品率越大。生产企业对加工的产品进行全检,将合格品以固定价格在市场上销售,不合格品作报废处理。以批量产品的生产为研究对象,在生产过程中,根据退化量是否达到阈值,系统的运行可能会出现两种情形:1) 退化量小于阈值,系统没有发生故障;2) 退化量达到阈值,系统发生故障。考虑两种维修方案,如果系统没有发生故障,则在生产加工结束时,进行预防性维修,以修复系统已有的退化,否则进行纠正性维修。为了实现生产效益最大化,需要在综合考虑各类成本的基础上,制定最佳的批量和生产率决策方案。
2.2. 模型假设
1) 产品以批为单位组织生产,固定的生产成本忽略不计;
2) 产品的市场需求率为固定常数。生产过程中,只有合格品销往市场且不允许缺货,次品作报废处理;
3) 系统退化是单调递增的随机过程,且服从伽马过程。随着系统的退化,次品率会增加 [6];
4) 系统只有在加工运行时才可能退化,停机维修时不发生退化。当退化达到临界阈值时,系统故障并停止运行;
5) 预防性维修成本与退化量有关,纠正性维修成本为固定常数。两类维修均可使系统恢复到初始状态,即修旧如新;
6) 预防性维修和纠正性维修的时长均为随机变量,且服从威布尔分布 [4]。
3. 模型构建
生产运行过程中,系统在t时的累积退化量
为随机变量,且服从伽马分布,其概率密度为:
。系统退化对加工的产品质量产生不利影响,在t时的次品率
是退化量
的指数函数 [10],其表达式为:
,其中
是零退化时的次品率,
为非负常数。基于生产经济性考虑,同时也有利于合理组织生产和维修资源,提高过程管理的有效性。在生产加工前,生产部门需要确定生产批量Q和生产率P,以实现生产效益最大化。
根据生产过程中系统的运行状态,分两种情形分别计算涉及的各类成本损失。
3.1. 情形1:系统没有发生故障
在批量产品加工完成时,由于系统没有发生故障,故批量产品能够被全部生产,生产加工的计划时长为
,系统的累积退化量
。此时,对系统进行预防性维修,修复已有的退化。将系统从开始生产到销售或维修结束记作一个生产周期,则一个生产周期内涉及的各类成本包括:次品报废成本
、库存成本
、预防性维修成本
、缺货损失
和产品检验成本
。故,总成本为:
(1)
1) 次品报废成本
在一个生产周期内,生产的次品总数由生产率P及次品率
决定,且为随机变量,其表达式为:
。故,次品报废成本可表示为:
,其中
为单位次品报废成本,
。
由于对
,都有
。在
的条件下,记
其中
由伽马过程的独立增量性,得
,从而
(2)
其中
为上不完全
函数。
对式(2)两边同时求微分,得:
,
又,
。带入
右边表达式中,得:
(3)
故,次品报废的平均成本为:
(4)
其中
为情形1下生产的平均次品总数。
2) 库存成本
在生产过程中,为了满足市场需求,将合格品以市场需求率D发往市场,多余的产品将积压库存,从而产生库存成本。由于次品直接作报废处理,故本文不考虑次品的库存问题。另外,在生产加工结束后的系统维修期间,产品仍以速率D发往市场,由于清空库存需要时间,故还需要考虑生产加工结束后的库存成本。因此,将库存成本分为生产过程中库存成本和生产结束后库存成本两部分。
在生产过程中,
时的合格品产出率为
。因此,在t时的库存速率为
。故,生产过程中的库存成本可表示为:
(5)
其中
为单位时间库存成本,
为随机变量。
对式(5)两边同时求期望,得出生产过程中的平均库存成本为:
(6)
在生产过程结束时,产品的库存数等于合格品总数减去已销售产品数。此时的库存数达到最大,其最大平均库存数为:
,销售清空最大库存的平均时长为:
。因此,在生产过程结束后,销售清空最大库存的平均库存成本为:
(7)
故,平均总库存成本为:
。
3) 预防性维修成本
预防性维修是在批量产品生产加工结束时进行,维修成本与系统的退化量
有关。由于退化程度越高,将会给修复退化造成更大的难度。因此,本文假设预防性维修成本是退化量
的线性函数,即
,其中
和a为非负常数。在
的条件下,由于
,所以,预防性维修的平均
成本为:
(8)
4) 缺货损失
在生产结束时停机进行预防性维修,停机的时间取决于预防性维修的时间
。另外,库存产品被销售清空的平均时间为
。分两种情况:a) 如果
,在库存产品被销售清空前,已完成预防性维修,缺货的产品数为0;b) 如果
,在库存产品被销售清空后,预防性维修还将延续时长
,故缺货的产品总数为
。因此,缺货损失可表示为:
(9)
其中
为单位产品缺货损失。
设预防性维修时长
服从威布尔分布,其概率密度为
。对式(9)求期望,得平均缺货损失为:
(10)
5) 检验成本
在情形1下,批量产品能够全部被生产加工,由于执行全检,故检验成本
等于单位产品检验成本
和批量Q的乘积,即
。
3.2. 情形2:系统发生故障
当系统发生故障时,通过纠正性维修使系统恢复至初始状态。故障的发生取决于退化量是否大于故障阈值L,由于退化是随机的,所以故障发生的时间是随机的,故障前产品的次品率也是随机的。为了能够对这种高度随机的生产模型进行求解,本文采用近似的处理方法,首先确定系统故障的平均时间,然后据此求解各类成本、生产利润和周期时长。
假设在
时,退化量
首次大于L。记
是系统故障时已运行的时长,即
。则,在
内系统发生故障的条件下,
的分布函数为:
(11)
的期望为:
. (12)
在系统发生故障的情况下,一个生产周期内涉及的各类成本包括:次品报废成本
、库存成本
、纠正性维修成本
、缺货损失
和产品检验成本
。故,总成本为:
. (13)
1) 次品报废成本
在情形2下,一个生产周期内的平均生产时长为
。因此,次品报废成本可表示为:
(14)
由于
,且当
时,
。故在
的条件下,有:
(15)
其中
,
由伽马过程的独立增量性,
。从而
(16)
于是,
。
代入式(15),求得在
的条件下,有:
(17)
对式(14)两边同时求期望,得次品的平均报废成本为:
(18)
其中
为情形2下生产的平均次品总数。
2) 库存成本
与情形1类似,库存分为生产过程中库存和生产结束后库存两部分。在生产过程中,库存成本可表示为:
(19)
故,生产过程中的平均库存成本为:
(20)
当系统故障时,生产停止运行。此时,最大的平均库存产品数为:
。与情形1类似,在生产过程结束后,销售清空最大库存的平均库存成本为:
(21)
故,总库存成本为:
(22)
3) 纠正性维修成本
在系统发生故障时,通过纠正性维修对其进行彻底修复,将纠正性维修成本记为常数
。
4) 缺货损失
由于系统发生故障后,立即进行纠正性维修。因此,停机的时间取决于纠正性维修持续的时长
和库存产品被销售清空的时间
。
设纠正性维修时长
服从威布尔分布,其概率密度为
。与情形1类似,平均缺货损失为:
(23)
5) 检验成本
在情形2下,批量产品被部分生产,检验成本
等于单位产品检验成本
和生产的产品总数
的乘积,即
,
为随机变量。故,平均检验成本为:
(24)
4. 平均利润模型
生产加工的合格品按需求率全部发往市场销售。在情形1下,平均销售的产品总数为:
;在情形2下,平均销售的产品总数为:
。记单位产品的销售价格为R,则,一个生产周期内获得的利润是销售额和总成本的差,平均利润为:
(25)
另外,在情形1下,一个生产周期的时长可表示为
,这是一个随机变量,对
求期望,得情形1下一个生产周期的平均时长为:
(26)
情形2下,一个生产周期的时长可表示为
。
故,情形2下一个生产周期的平均时长为:
(27)
因此,一个生产周期的平均时长为:
(28)
综上所述,一个生产周期内,单位时间获取的平均利润为:
(29)
5. 数值计算
假定某产品的市场需求一直比较稳定,在生产加工过程中,系统随着运行逐渐发生退化,退化服从伽马过程。根据退化量是否达到故障阈值,分别采用预防性维修和纠正性维修两种方案,维修时长服从威布尔分布。以批量产品为单位组织生产。为了制定最佳的生产计划,先确定模型参数值,如表1所示。
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 1. Model parameters and their values
表1. 模型参数及其取值
根据式(29),寻找最优的ERT及对应的Q,P,寻优算法步骤如下:
Input:
,
,D,
,
,
,a,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,R。
Step 1:设置Q和P的搜索范围
,
;
Step 2:令
,
;
Step 3:分别计算
;
Step 4:根据式(25)、(28)、(29)分别计算
、
和ERT;
Step 5:记录ERT及Q,P;
Step 6:如果
,则令
,
,并返回Step 3;
Step 7:如果
,则令
,
,并返回Step 3;
output:输出最大的单位时间平均利润
及对应的Q,P。
![](//html.hanspub.org/file/9-2623082x176_hanspub.png?20230118080700028)
Figure 1. The effect of batch and productivity on average profit per unit time
图1. 批量、生产率对单位时间平均利润的影响
批量、生产率对单位时间平均利润的影响关系如图1所示。由图1知,单位时间平均利润ERT的最大值是存在的。将表1中的参数值代入式(29),采用for循环遍历搜寻方法,遍历网格内的所有的参数点,找到全局最优解,通过MATLAB编程计算得:最佳批量
,最佳生产率
,单位时间平均利润
。
6. 灵敏度分析
为了进一步分析模型参数变化对最佳决策方案的影响,作灵敏度分析如下。
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 2. The influence of L on decision variables
表2. L对决策变量的影响
由表2知,当故障临界阈值L减小时,最佳批量
逐渐减小,最佳生产率
逐渐增大,计划生产加工的时长
逐渐减小,单位时间平均利润ERT逐渐减小。
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 3. The influence of ch on decision variables
表3. ch对决策变量的影响
由表3知,当单位时间库存成本
增大时,最佳批量
先逐渐减小,然后逐渐增大,最佳生产率
逐渐减小,计划生产加工的时长
逐渐增大,单位时间平均利润ERT逐渐减小。
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 4. The influence of cs on decision variables
表4. cs对决策变量的影响
由表4知,当单位产品缺货损失
增大时,最佳批量
逐渐增大,最佳生产率
保持不变,计划生产加工的时长
逐渐增大,单位时间平均利润ERT逐渐减小。
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 5. The influence of cre on decision variables
表5. cre对决策变量的影响
由表5知,当单位次品报废成本
增大时,最佳批量
逐渐减小,最佳生产率
保持不变,计划生产加工的时长Δ逐渐减小,单位时间平均利润ERT逐渐减小。
7. 总结
本文研究了在市场需求率不变的情况下,生产计划和维修方案的决策问题。讨论了系统的随机退化过程对运行状态及产品质量的影响,根据退化是否导致系统故障,分别采用预防性维修和纠正性维修两种方案。为了能够对这种高度随机的生产模型进行数值求解,通过计算各类成本的均值及生产周期的平均时长,提出以批量和生产率为决策变量的平均利润模型。灵敏度分析讨论了模型参数对决策变量和单位时间平均利润的影响。研究表明:故障阈值、单位时间库存成本的变化对最佳批量、最佳生产率都有较大影响;单位产品缺货损失、单位次品报废成本的变化对最佳批量的影响较大,对最佳生产率没有影响。