加权Sasaki空间的曲率形式和测地线

Curvature Form and Geodesics on the Weighted Sasaki Space

摘要: 本文给出了加权Sasaki度量的局部表示，利用Kozul公式研究了加权Sasaki空间的切丛几何性质，建立了加权Sasaki空间形式中具有常截面曲率的测地线结构。

Abstract: In this paper, the local representation of the weighted Sasaki metric is given, the geometric proper-ties of the tangent bundle equipped with weighted Sasaki metric is studied by using Kozul formula, and the geodesic structure with constant sectional curvature in the weighted Sasaki space form is established.

1. 引言

有关切丛上几何与拓扑的研究一直受到众多数学家的注意，有了许多重要的结果。在文献 [1] 和 [2] 中，为了刻画一般黎曼流形的切丛和单位切向量组成的切球面丛上的几何结构，Sasaki引入了切丛和切球面丛上的典型黎曼度量(称之为Sasaki度量)，已成为微分几何中的一种重要度量结构。进一步，在文献 [3] 中，作者详细研究了切球面丛上的几何性质及其表示方法，并给出了配置Sasaki度量下的切丛上的曲率形式。另一方面，在文献 [3] [4] [5] 中，作者刻画了切丛和切球面丛上的几何性质和测地线的结构。进一步，Gudmundsson和Kappos等作者考虑了带有Sasaki度量的切丛上的几何性质，并给出了李括号、Levi-Civita联络以及黎曼曲率的计算方法 [6] [7] [8] [9] [10]。

基于这些研究，本文主要考虑加权Sasaki空间的曲率形式和测地线结构。首先，给出加权Sasaki度量的基本定义和相关理论；其次，利用Kozul公式刻画了加权Sasaki空间的曲率形式，建立了加权Sasaki空间形式中具有常截面曲率的测地线结构。

2. 加权Sasaki度量基本形式

本节主要介绍黎曼流形 $\left(M,g\right)$ 的切丛TM上的加权Sasaki度量。给定m维的光滑流形M，其光滑结构为 $\mathcal{A}=\left\{\left(U_{\alpha },x_{\alpha }\right)|\alpha \in I\right\}$。对于点 $p\in M$，设 $T_{p}M$ 为M在p处的切空间。对于M在点p的局部坐标系 $\left(U,x\right)$ 和 $p\in U$，定义

${\left(\frac{\partial }{\partial x_k}\right)}_p:f\mapsto \frac{\partial f}{\partial x_k}\left(p\right)={\partial }_{e_k}\left(f\circ x^{-1}\right)\left(x\left(p\right)\right),$ (2.1)

其中 $\left\{e_k|k=1,\cdots ,m\right\}$ 是m维欧式空间的标准基底，则 $\left\{{\left(\frac{\partial }{\partial x_k}\right)}_p|k=1,\cdots ,m\right\}$ 是 $T_{p}M$ 的一组基底。集合 $TM=\left\{\left(p,u\right)|p\in M,u\in T_{p}M\right\}$ 称为M的切丛，光滑映射 $\pi :TM\to M$ 为丛投影。对于局部坐标系 $\left(U,x\right)\in \mathcal{A}$，定义 $\bar{x}:{\pi }^{-1}\left(U\right)\to U\times {ℝ}^m$ 满足

$\bar{x}:\left(p,{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{u}_k\frac{\partial }{\partial x_k}|{}_p}\right)\mapsto \left(p,\left(u_1,\cdots ,u_m\right)\right)$. (2.2)

在切空间 $T_{p}M$ 上的限制 ${\bar{x}}_p=\bar{x}|{}_{T_{p}M}:T_{p}M\to \left\{p\right\}\times {ℝ}^m$ 满足

${\bar{x}}_p:{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{u}_k}\frac{\partial }{\partial x_k}|{}_p\mapsto \left(u_1,\cdots ,u_m\right)$. (2.3)

切空间 $T_{\left(p,u\right)}TM$ 在点 $\left(p,u\right)$ 处分解为水平子空间 $H_{\left(p,u\right)}$ 和垂直子空间 $V_{\left(p,u\right)}$ 两部分:

$T_{\left(p,u\right)}TM=H_{\left(p,u\right)}\oplus V_{\left(p,u\right)}$. (2.4)

对于向量 $X\in T_{p}M$，X到点 $\left(p,u\right)\in TM$ 的水平提升对应向量 $X^h\in H_{\left(p,u\right)}$，满足 ${\pi }_{\ast }{X}^h=X$ ；垂直提升对应向量 $X^v\in V_{\left(p,u\right)}$，使得对所有M上的光滑函数f， $X^v\left(df\right)=Xf$。

根据文献 [3]，对于TM上包含垂直提升的向量场的运算，我们得到

i) $\left[X^h,Y^h\right]={\left[X,Y\right]}^h-{\left(R\left(X,Y\right)u\right)}^v,$ (2.5)

ii) $\left[X^h,Y^v\right]={\left({\nabla }_{X}Y\right)}^v,$ (2.6)

iii) $\left[X^v,Y^v\right]=0.$ (2.7)

下面给出加权Sasaki度量的基本形式。

定义2.1. 设 $\left(M,g\right)$ 是一个黎曼流形，对应切丛上任意点 $\left(p,u\right)\in TM$ 的Sasaki度量 $\hat{g}$ 定义为

i) ${\hat{g}}_{\left(p,u\right)}\left(X^h,Y^h\right)=g_p\left(X,Y\right),$ (2.8)

ii) ${\hat{g}}_{\left(p,u\right)}\left(X^h,Y^v\right)=0,$ (2.9)

iii) ${\hat{g}}_{\left(p,u\right)}\left(X^v,Y^v\right)=g_p\left(X,Y\right),$ (2.10)

对于任意的向量场 $X,Y\in C^{\infty }\left(TM\right)$ 和 $\left(p,u\right)\in TM$。

定义2.2. 设 $\left(M,g\right)$ 是黎曼流形。设 $f_1>0$， $f_2>0$， $f_1,f_2\in C^{\infty }\left(M\right)$。则M上切丛TM的加权Sasaki度量 ${\hat{g}}^f$ 定义如下

i) ${\hat{g}}_{\left(x,u\right)}^{f_1,f_2}\left(X^h,Y^h\right)=f_1\left(p\right)g_p\left(X,Y\right),$ (2.11)

ii) ${\hat{g}}_{\left(x,u\right)}^{f_1,f_2}\left(X^v,Y^h\right)=0,$ (2.12)

iii) ${\hat{g}}_{\left(x,u\right)}^{f_1,f_2}\left(X^v,Y^v\right)=f_2\left(p\right)g_p\left(X,Y\right),$ (2.13)

对于任意的向量场 $X,Y\in C^{\infty }\left(TM\right)$。

3. 加权Sasaki空间的切丛几何性质

设g是流形M上的黎曼度量，记 $\nabla$ 为对应的Levi-Civita联络。下面给出相关引理:

引理3.1. 设 $\left(M,g\right)$ 是黎曼流形， ${\hat{\nabla }}^{f_1,f_2}$ 是带有加权Sasaki度量 ${\hat{g}}^{f_1,f_2}$ 的切丛TM的Levi-Civita联络。那么

i) $\begin{array}{c}{\left({\hat{\nabla }}_{X^h}^{f_1,f_2}{Y}^h\right)}_{\left(p,u\right)}={\left({\nabla }_{X}Y\right)}_{\left(p,u\right)}^h+\frac{1}{2f_1\left(p\right)}{\left(X\left(f_1\right)Y+Y\left(f_1\right)X-g\left(X,Y\right)\circ \pi {\left(d\left(f_1\circ \pi \right)\right)}^{\ast }\right)}_p^h\\ -\frac{1}{2}{\left(R_p\left(X,Y\right)u\right)}^v,\end{array}$ (3.1)

ii) ${\left({\hat{\nabla }}_{X^h}^{f_1,f_2}{Y}^v\right)}_{\left(p,u\right)}=\frac{X\left(f_2\right)}{2f_2\left(p\right)}{Y}^v+{\left({\nabla }_{X}Y\right)}_{\left(p,u\right)}^v+\frac{f_2}{2f_1\left(p\right)}{\left(R_p\left(u,Y\right)X\right)}^h,$ (3.2)

iii) ${\left({\hat{\nabla }}_{X^v}^{f_1,f_2}{Y}^h\right)}_{\left(p,u\right)}=\frac{Y\left(f_2\right)}{2f_2\left(p\right)}{X}^v+\frac{f_2}{2f_1\left(p\right)}{\left(R_p\left(u,X\right)Y\right)}^h,$ (3.3)

iv) ${\left({\hat{\nabla }}_{X^v}^{f_1,f_2}{Y}^v\right)}_{\left(p,u\right)}=\frac{-g\left(X,Y\right)}{2f_1\left(p\right)}{\left(grad{f}_2\right)}^h,$ (3.4)

对于任意的 $X,Y\in C^{\infty }\left(TM\right),\xi =\left(p,u\right)\in TM$。

下面考虑带有加权Sasaki度量的切丛TM的黎曼曲率张量 ${\hat{R}}^{f_1,f_2}$。

命题3.2. 设 $\left(M,g\right)$ 是黎曼流形， ${\hat{R}}^{f_1,f_2}$ 是带有加权Sasaki度量 ${\hat{g}}^{f_1,f_2}$ 的切丛 $\left(TM,{\hat{g}}^{f_1,f_2}\right)$ 的黎曼曲率张量。那么下面的公式成立

i) $\begin{array}{c}{\hat{R}}_{\left(p,u\right)}^{f_1,f_2}\left(X^v,Y^v\right)Z^v=\frac{-g\left(Y,Z\right)}{2f_1}\left(\frac{grad{f}_2\left(f_2\right)X^v}{2f_2}+\frac{f_2}{2f_1}{\left(R_p\left(U,X\right)grad{f}_2\right)}^h\right)\\ +\frac{g\left(X,Z\right)}{2f_1}\left(\frac{grad{f}_2\left(f_2\right)Y^v}{2f_2}+\frac{f_2}{2f_1}{\left(R_p(U,Y)grad{f}_2\right)}^h\right),\end{array}$ (3.5)

ii) $\begin{array}{c}{\hat{R}}_{\left(p,u\right)}^{f_1,f_2}\left(X^h,Y^h\right)Z^h={\nabla }_X{\left({\nabla }_{Y}Z+A_{f_1}\left(Y,Z\right)\right)}^h+A_{f_1}{\left(X,{\nabla }_{Y}Z+A_{f_1}\left(Y,Z\right)\right)}^h-\frac{1}{2}{\left(R_p\left(X,{\nabla }_{Y}Z+A_{f_1}\left(Y,Z\right)\right)u\right)}^v\\ -{\nabla }_Y{\left({\nabla }_{X}Z+A_{f_1}\left(X,Z\right)\right)}^h-A_{f_1}{\left(Y,{\nabla }_{X}Z+A_{f_{{}_1}}\left(X,Z\right)\right)}^h+\frac{1}{2}{\left(R_p\left(Y,{\nabla }_{X}Z+A_{f_1}\left(X,Z\right)\right)u\right)}^v\\ -\frac{X\left(f_2\right)}{4f_2}{\left(R_p\left(Y,Z\right)u\right)}^v-{\left({\nabla }_X\left(\frac{1}{2}{R}_p\left(Y,Z\right)u\right)\right)}^v-\frac{f_2}{2f_1}{\left(R_p\left(u,\frac{1}{2}\left(R_p\left(Y,Z\right)u\right)X\right)\right)}^h\\ +\frac{Y\left(f_2\right)}{4f_2}{\left(R_p\left(X,Z\right)u\right)}^v+{\left({\nabla }_Y\left(\frac{1}{2}{R}_p\left(X,Z\right)u\right)\right)}^v+\frac{f_2}{2f_1}{\left(R_p\left(u,\frac{1}{2}\left(R_p\left(X,Z\right)u\right)Y\right)\right)}^h\\ -{\left({\nabla }_{\left[X,Y\right]}Z\right)}^h+\frac{1}{2}{\left(R_p\left(\left[X,Y\right],Z\right)u\right)}^v-A_{f_1}{\left(\left[X,Y\right],Z\right)}^h+\frac{Z\left(f_2\right)}{2f_2}{\left(R_p\left(X,Y\right)u\right)}^v\\ +\frac{f_2}{2f_1}{\left(R_p\left(u,R_p\left(X,Y\right)u\right)Z\right)}^h,\end{array}$ (3.6)

其中 $A_{f_1}\left(X,Y\right)=\frac{1}{2f_1}{\left(X\left(f_1\right)Y+Y\left(f_1\right)X-g\left(X,Y\right)\circ \pi {\left(d\left(f_1\circ \pi \right)\right)}^{\ast }\right)}^h$， $X,Y,Z\in T_{p}M$。

定理3.3. 设 $\left(M,g\right)$ 是黎曼流形，TM是带加权Sasaki度量 ${\hat{g}}^{f_1,f_2}$ 的切丛。那么TM是平坦的当且仅当M是平坦的且 $f_1=C$ (常数)。

证明：根据命题3.2和 $A_{f_1}=0$，我们有

$X\left(f_1\right)Y+Y\left(f_1\right)X-g\left(X,Y\right)\circ \pi {\left(d\left(f_1\circ \pi \right)\right)}^{\ast }=0,$ (3.7)

根据黎曼曲率为零得到 ${\hat{R}}^{f_1,f_2}\equiv 0$。反之假设 ${\hat{R}}^{f_1,f_2}\equiv 0$ 并计算三个水平向量场在 $\left(p,0\right)$ 的黎曼曲率张量，可得

$\begin{array}{c}{\hat{R}}_{\left(p,0\right)}^{f_1,f_2}\left(X^h,Y^h\right)Z^h=R_{\left(p,0\right)}\left(X,Y\right)Z+A_{f_1}{\left(Y,Z\right)|}_{\left(p,0\right)}-A_{f_1}{\left(X,Z\right)|}_{\left(p,0\right)}+A_{f_1}\left(X,{\nabla }_{Y}Z+A_{f_1}\left(Y,Z\right)\right)|{}_{\left(p,0\right)}\\ -A_{f_1}\left(Y,{\nabla }_{X}Z+A_{f_1}\left(X,Z\right)\right)|{}_{\left(p,0\right)}-A_{f_1}\left(\left[X,Y\right],Z\right)|{}_{\left(p,0\right)}\\ =0,\end{array}$ (3.8)

则 $R=0$ 且 $f_1=C$ (常数)。

推论3.4. 设 $\left(M,g\right)$ 是黎曼流形，TM是其带加权Sasaki度量 ${\hat{g}}^{f_1,f_2}$ 的切丛。如果 $f_1\ne C$ (常数)，则 $\left(TM,{\hat{g}}^{f_1,f_2}\right)$ 不平坦。

4. 加权Sasaki空间的测地线

本节主要考虑 $\left(TM,{\hat{g}}^{f_1,f_2}\right)$ 上的测地线结构。

首先定义向量空间中一个点的邻域的概念。假设 $\left\{x^1,x^2,\cdots ,x^n\right\}$ 是M的一组基， $\left\{y^1,y^2,\cdots ,y^n\right\}$ 是每个切空间 $T_p\left(M\right)$ 和 $p\in M$ 关于自然基 $\frac{\partial }{\partial x^i}$ 的笛卡尔坐标。给定基底对应开单位球 $\mathcal{B}\left\{x^1,x^2,\cdots ,x^n\right\}$ 为

$\mathcal{B}\left\{x^1,x^2,\cdots ,x^n\right\}=\left\{{\alpha }_1{x}^1+{\alpha }_2{x}^2+\cdots +{\alpha }_n{x}^n:{\alpha }_j\in ℝ,{\alpha }_1^2+{\alpha }_2^2+\cdots +{\alpha }_n^2<1\right\}.$ (4.1)

那么包含 $\mathcal{B}\left\{x^1,x^2,\cdots ,x^n\right\}$ 的 $U\left(p\right)$ 称为点p的邻域，直观上表示在向量空间中完全包含给定点的集合。定义投影 $\pi$ 为

$\pi \left(x^i,y^i\right)=\left(x^i\right),i,j=1,2,\cdots ,2n,$ (4.2)

其中局部坐标 $\left(x^i,y^i\right)$ 在开集 ${\pi }^{-1}\left(U\right)\subset TM$ 中。

切丛中的任何曲线 $\hat{\gamma }=\left(x\left(t\right),V\left(t\right)\right)$ 都可以被视为基流形M中的曲线 $x\left(t\right)$ 以及沿其的单位向量场 $V\left(t\right)$。如果我们用带有加权Sasaki度量 ${\hat{g}}^{f_1,f_2}$ 的TM，那么曲线 $\hat{\gamma }=\left(x\left(t\right),V\left(t\right)\right)$ 是TM的测地线当且仅当 ${\nabla }_{x^{\prime }}{x}^{\prime }=0$。结合 ${\pi }^{-1}\left(U\right)\subset T\left(M_n\right)$ 中的诱导坐标 $\left\{\frac{\partial }{\partial x^i}\right\}$，可以得到切向量场的基本表示:

$T=\left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t},\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)={x^{\prime }}^h+{\left({\nabla }_{x^{\prime }}y\right)}^v.$ (4.3)

对应测地线 $\gamma$ 可以说是TM上测地线 $\hat{\gamma }$ 的 $\pi$ 下的图像。设 $\pi \circ \hat{\gamma }$ 是M上的浸入测地线，则 ${\hat{\nabla }}_T^{f_1,f_2}T=0$。利用这个条件，我们得到

${\left({\nabla }_{x^{\prime }}{x}^{\prime }\right)}^h=\frac{g\left({\nabla }_{x^{\prime }}y,{\nabla }_{x^{\prime }}y\right)}{2f_1}{\left(grad{f}_2\right)}^h-\frac{f_2}{f_1}{\left(R\left(u,{\nabla }_{x^{\prime }}y\right)x^{\prime }\right)}^h-\frac{x^{\prime }\left(f_2\right)}{f_2}{\left({\nabla }_{x^{\prime }}y\right)}^v-A_{f_1}{\left(x^{\prime },x^{\prime }\right)}^h,$ (4.4)

且

${\nabla }_{x^{\prime }}{\nabla }_{x^{\prime }}y=0.$ (4.5)

假设 $\langle A_{f_1}\left(x^{\prime },x^{\prime }\right),x^{\prime }\rangle =0$，我们得到

$2x^{\prime }\left(f_1\right)g\left(x^{\prime },x^{\prime }\right)-g\left(x^{\prime },x^{\prime }\right)\circ \pi {\left(d\left(f_1\circ \pi \right)\right)}^{\ast }=0.$ (4.6)

从而

$x^{\prime }\left(f_1\right)=0,\text{i}\text{.e}\text{.}\frac{\text{d}{f}_1\left(x\left(t\right)\right)}{\text{d}t}=0.$ (4.7)

对应M上的任何测地线满足条件 $f_1=c$ (常数)。最后，我们得到了

定理3.10. 如果 $\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)$ 是测地线且 $\left|y\left(t\right)\right|=c$ (常数)，则 ${\nabla }_{x^{\prime }}{x}^{\prime }=-A_{f_1}\left(x^{\prime },x^{\prime }\right)$。

定理3.11. 设 ${\gamma }_1$ 和 ${\gamma }_2$ 是 $M_n$ 上从同一任意点出发的两个测地线，且它们最初的切向量是不平行的。如果M上两个测地线的提升是带有度量 ${\hat{g}}^{f_1,f_2}$ 的TM的测地线，那么 $f_1=c$ (常数)。

5. 结论

本文主要对加权Sasaki空间的曲率形式和测地线结构进行讨论。给出加权Sasaki度量的局部表示，利用Kozul公式刻画了加权Sasaki空间的曲率形式，并建立了加权Sasaki空间形式中具有常截面曲率的测地线结构。在微分几何中对加权Sasaki空间的研究，对微分流形的切丛在数学和物理学的研究有促进意义。

NOTES

^*通讯作者。