1. 引言
在二阶椭圆型偏微分方程的研究过程中,边值问题的解的存在性是最重要的问题之一。而边值问题主要分为Dirichlet问题,Neumann问题与斜导数问题,解决边值问题解的存在性问题的关键在于先验估计,即解的梯度估计,最大模估计等。即使最简单的偏微分方程,例如波动方程、Laplace方程,求解都是有难度的,对其不同的边值问题有不同的求解方法。
2018年,Ma [1] 研究了如下平均曲率方程的Neumann问题:
通过引入一个特殊标架,构造了一个新的辅助函数,利用极值原理得到了平均曲率方程Neumann问题的梯度估计,从而得到平均曲率方程Neumann问题解的存在性,证明综合利用Spruck [2],Wang [3],Liebeman [4] 等人的技巧。
对于上述Ma [1] 研究的平均曲率方程的Neumann问题中f依赖于x,u时,徐金菊 [5] 得到了他的梯度估计。
2021年,刘晋鹏 [6] 研究如下拟线性方程Neumann边值问题的梯度估计,即:
受刘晋鹏文章的启发,本文考虑如下形式的拟线性方程Neumann边值问题的梯度估计:
其中
是
中的有界区域,
,
,
是
的单位内法向。f为定义在
上给定的有界可微函数。鉴于椭圆型偏微分方程解的梯度估计证明 [7] [8],本文目的是利用刘晋鹏所使用的Bernstein技巧,从而推出方程中关于f依赖于x,u,时Neumann问题的解的边界梯度估。本文第二节主要给出证明所需的一些基本概念,第三节综合利用Spruck [2],Wang [3],Liebeman [4] 等人的技巧,用极值原理证明了一类拟线性方程Neumann问题的边界梯度估计,从而得到了一个存在性定理。
2. 预备知识
为了证明简便,本节将介绍一些基本概念及性质。设
是
中的有界区域
,
,
且
,
是
的单位内法向。令
则存在常数
使得
。由Simon-Spruck [9] 可知,在
内可取
,并且
是
向量场。且具有以下性质:
(1)
引入记号:
。对任一
中向量
,记
为
的切向部分,其第i个分量定义为
梯度
的切向量记为
,则
(2)
3. 主要结果
考虑如下椭圆方程的Neumann问题:
(3)
其中
是
中的有界区域,
,
,
且
,
是
的单位内法向。f和
为定义在
上给定的有界可微函数,设存在正常数
使得
(4)
(5)
(6)
我们的主要结果为如下定理:
定理1设
为方程(3)的解且满足式(4)。若
满足式(5),(6)则存在小的正常数
使得
其中
为正常数只依赖于
,来自于梯度内估计;
为正常数只依赖于
。
因为边界梯度估计依赖于梯度内估计,所以首先叙述梯度内估计。
引理1 [10] 设
为方程
。
的解,对于
,有
其中
只依赖于
。
证明:令
,并选取如下辅助函数
其中
,
为正常数,只依赖于
;为了简化计算,我们令
其中
(7)
设
在
点达到极大值,其中
为充分小常数,将在后面确定。下面分三种情形证明定理1。
情形1:
,由Hopf引理得
有界,对
求法向导数,再利用边界点性质即可得到,过程与参考文献6的情形1完全相同,可参照文献。
情形2:若
则归结为内部梯度估计。由引理1,可得
其中
只依赖于
。
情形3:若
,证明
有界。
在
点选择标准坐标系,设
,
,
。进一步设矩阵
是对角的。取
则
,从而
(8)
选取
为简化计算,令
则有
因为在
点,
由以上关系式,在
点,可设
则有
由
的选取和式(7),我们得到
此种证明较长,下面分两步完成定理的证明,以下计算均在
点进行。
第一步:先推导
,对
微分两次,并由
,可得
从而可得
(9)
其中
由
,
,以及坐标系的选取和方程(3)式(7)可得
其中
为正常数只依赖于
,下面计算
。
对
微分两次,我们有
(10)
将式(10)代入
中,可重写为
下面我们处理
,因为我们已经令
则有
因此
对方程
,求导可得
且
,我们设
,因此
将
和
代入式(9),我们可以得到
其中
包含
所有二次项,
包含
所有的一次项,其他剩余项记为
对
的估计有
其中
为正常数只依赖于
。
第二步:记
,利用一阶导数条件化简
、
中的每一项,由条件
,和坐标系的选取得
其中
(11)
从而
其中
为正常数只依赖于
。
处理
、
每一项
所以得到
其中
只包含含有
的项,其他剩余项记为
有
根据方程(3)和式(11)得
由
的估计以及
得到
的估计
由
的估计和
的估计
从而存在正常数
使得
(12)
由情形1,情形2,和式(12),得到
其中以上正常数
。只依赖于
。因为
,
则存在正常数
使得
因此,最后得到估计
其中
为正常数只依赖于
,它来自于梯度内估计;
为正常数只依赖于
。由此,定理得证。
4. 总结
研究结果主要推广了刘晋鹏的一类拟线性方程中f只依赖于x时的Neumann问题梯度估计,即方程中关于f依赖于x,u时,利用极值原理得到了这类方程解的梯度估计,给出了其解的存在性。
参考文献