一类三阶变参数中立型奇性微分方程周期正解的存在性

Existence of Positive Periodic Solutions for a Third-Order Neutral Singular Differential Equation with Time-Dependent Parameter

摘要: 本文利用Leray-Schauder型不动点定理和中立型算子的性质，我们证明了三阶变参数中立型奇性微分方程T-周期正解的存在性，其非线性项可以满足次线性、半线性和超线性条件。

Abstract: By using the fixed point theorem of Leray-Schauder type and the properties of neutral operators, we prove that the existence of positive T-periodic solutions for a third-order neutral singular differen-tial equation with time-dependent parameter, the nonlinear term may satisfy sub-linearity, semi-linearity and super-linearity conditions.

1. 引言

在本文中，我们考虑了三阶变参数中立型奇性微分方程

${\left(u\left(t\right)-c\left(t\right)u\left(t-\sigma \left(t\right)\right)\right)}^{\prime \text{}\prime \text{}\prime }+a\left(t\right)u\left(t\right)=f\left(t,u\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)$ (1.1)

至少存在一个T-周期正解，其中 $a\in C\left(ℝ,\left(0,+\infty \right)\right)$， $\sigma \in C^1\left(ℝ,ℝ\right)$， $\delta \in C\left(ℝ,ℝ\right)$， $a,\sigma$ 和 $\delta$ 是T-周期函数且T是正常数， $c\in C^2\left(ℝ,ℝ\right)$ 是T-周期函数，非线性项 $f\left(t,u\right)\in Car\left(ℝ\times \left(0,+\infty \right),ℝ\right)$ 是一个L²-Carathéodory函数且关于t是T-周期的， $f\left(t,u\right)$ 在原点具有排斥型奇性，即

$\underset{u\to 0^{+}}{\lim }f\left(t,u\right)=+\infty$，关于t一致。

中立型微分方程大多来源于自然科学和工程领域，可用于描述许多自然现象，并已广泛应用于物理学、生物学、生态学等诸多领域。例如，造血模型 [1]，Nicholson绿头苍蝇模型 [2] 等都是中立型微分方程。由于中立项的出现，与传统的常微分方程相比，研究中立型微分方程更具有难度，并且中立型微分方程能更加精确地描述客观事物的发展规律。近年来，中立型奇性微分方程的研究引起了许多学者的广泛关注。在2006年，李志祥和王晓 [3] 证明了下列一阶中立型微分方程

${\left(u\left(t\right)-cu\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)}^{\prime }+a\left(t\right)u\left(t\right)=f\left(t,u\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)$ (1.2)

T-周期正解的存在性，其中c为常数且 $c\in \left(0,1\right)$， $f\left(t,u\right)\in C\left(ℝ\times \left(0,+\infty \right),\left(0,+\infty \right)\right)$。利用Krasnoselskii

不动点定理，他们得到了方程(1.2) T-周期正解的存在性，其非线性项 $f\left(t,u\right)$ 满足次线性和超线性条件。在2009年，张荣森、任景莉和韩卫卫 [4] 研究了下列二阶中立型微分方程

${\left(u\left(t\right)-cu\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)}^{\prime \text{}\prime }+a\left(t\right)u\left(t\right)=f\left(t,u\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)$ (1.3)

T-周期正解的存在性，其中 $c\in \left(-1,1\right)$。利用Krasnoselskii不动点定理和限制非线性项 $F\left(t,u\right):=f\left(t,u\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)-ca\left(t\right)u\left(t-\delta \left(t\right)\right)$，他们得到了方程(1.3) T-周期正解的存在性，其非线性项 $f\left(t,u\right)$ 满足次线性条件。在2019年，吕丽莎和程志波 [5] 研究了下列二阶变参数中立型微分方程

${\left(u\left(t\right)-c\left(t\right)u\left(t-\sigma \left(t\right)\right)\right)}^{\prime \text{}\prime }+a\left(t\right)u\left(t\right)=f\left(t,u\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)$ (1.4)

T-周期正解的存在性，其中 $c\left(t\right)\in \left(-\frac{m}{M+m},\frac{m}{M+m}\right)$，此处 $M:=\underset{t\in \left[0,T\right]}{\max }a\left(t\right)$， $m:=\underset{t\in \left[0,T\right]}{\min }a\left(t\right)$。利用Leray-Schauder型不动点定理，结合中立型算子 $\left(Au\right)\left(t\right):=u\left(t\right)-c\left(t\right)u\left(t-\sigma \left(t\right)\right)$ 的性质，他们得到了在超线性条件下方程(1.4)T-周期正解的存在性，其非线性项 $f\left(t,u\right)$ 满足次线性、半线性和超线性条件。

关于一阶和二阶中立型微分方程T-周期正解的存在性已经有了大量工作(见 [3] - [11])，但对三阶中立型微分方程的研究相对较少。同时，由于中立项的存在，许多理论难以应用，对中立型微分方程T-周期正解存在性的研究具有一定的难度，并且方程(1.1)在零点处具有排斥型奇性。本

文利用Leray-Schauder型不动点定理，我们证明了当 $c\left(t\right)\in \left(0,\frac{m}{M+m}\right)$ 时方程(1.1) T-周期正解的存在性，其非线性项 $f\left(t,u\right)$ 满足次线性、半线性和超线性条件。

2. 预备知识

本文中，我们定义

$C_T:=\left\{u\in C\left(ℝ,ℝ\right):u\left(t+T\right)=u\left(t\right),对任意t\in ℝ\right\},$

其范数记为 $\Vert u\Vert :=\underset{t\in ℝ}{\max }\left|u\left(t\right)\right|$。显然， $\left(C_T,\Vert \cdot \Vert \right)$ 是一个Banach空间。定义

$c_{\infty }:=\underset{t\in \left[0,T\right]}{\max }\left|c\left(t\right)\right|,c_0:=\underset{t\in \left[0,T\right]}{\min }\left|c\left(t\right)\right|,$

和

${c^{\prime }}_{\infty }:=\underset{t\in \left[0,T\right]}{\max }\left|c^{\prime }\left(t\right)\right|,{c^{″}}_{\infty }:=\underset{t\in \left[0,T\right]}{\max }\left|c^{″}\left(t\right)\right|.$

首先，我们给出Leray-Schauder型不动点定理，这将用于我们下面的证明中。

引理2.1 (见 [12]，定理 5)令 $X=\left(X,\Vert \cdot \Vert \right)$ 是一个Banach空间，假设 $B\left(0,r\right)$ 是X上以0为球心，r为半径的开球(或闭球)。若算子 ${\rm A},\text{}{\rm B}:X\to X$ 满足以下条件：

(a) A一个压缩算子；

(b) B是一个全连续算子。

那么

(i) 存在 $u\in B\left[0,r\right]$ 使得 $u={\rm A}u+{\rm B}u$ 成立；或者

(ii) 存在 $u\in \partial B\left[0,r\right]$ 和 $\lambda \in \left(0,1\right)$ 使得 $u=\lambda {\rm A}\left(\frac{u}{\lambda }\right)+\lambda {\rm B}u$ 成立。

接下来，我们考虑非齐次线性微分方程

$\{\begin{array}{l}{u}^{‴}\left(t\right)+a\left(t\right)u\left(t\right)=h\left(t\right),\\ u^{\left(i\right)}\left(0\right)=u^{\left(i\right)}\left(T\right),i=0,1,2,\end{array}$ (2.1)

其中 $h\in C_T^{+}:=\left\{h\in C\left(ℝ,\left(0,+\infty \right)\right):h\left(t+T\right)=h\left(t\right),对任意t\in ℝ\right\}$。方程(2.1)可转化为

$u^{‴}\left(t\right)+Mu\left(t\right)=\left(M-a\left(t\right)\right)u\left(t\right)+h\left(t\right),$ (2.2)

则方程(2.2)存在唯一一个T-周期解

$u\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{T}G\left(t,s\right)}\left(\left(M-a\left(s\right)\right)u\left(s\right)+h\left(s\right)\right)\text{d}s,$

其中 $G\left(t,s\right)$ 是方程(2.2) 的格林函数。

下面我们考虑格林函数 $G\left(t,s\right)$ 的符号和中立型算子 $\left(Au\right)\left(t\right)=u\left(t\right)-c\left(t\right)u\left(t-\sigma \left(t\right)\right)$ 的性质。

引理2.2 (见 [13]，引理2.1)方程(2.1)存在唯一一个T-周期解

$u\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{T}G\left(t,s\right)}\left(\left(M-a\left(s\right)\right)u\left(s\right)+h\left(s\right)\right)\text{d}s,$

其中

$G\left(t,s\right)=\{\begin{array}{l}\frac{2\exp \left(\frac{1}{2}{M}^{\frac{1}{3}}\left(t-s\right)\right)\left[\sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}{M}^{\frac{1}{3}}\left(t-s\right)-\frac{\pi }{6}\right)-\exp \left(\frac{1}{2}{M}^{\frac{1}{3}}T\right)\sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}{M}^{\frac{1}{3}}\left(t-s-T\right)-\frac{\pi }{6}\right)\right]}{3M^{\frac{2}{3}}\left(1+\exp \left(M^{\frac{1}{3}}T\right)-2\exp \left(\frac{1}{2}{M}^{\frac{1}{3}}T\right)\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}{M}^{\frac{1}{3}}T\right)\right)}\\ +\frac{\exp \left(M^{\frac{1}{3}}\left(s-t\right)\right)}{3M^{\frac{2}{3}}\left(1-\exp \left(-M^{\frac{1}{3}}T\right)\right)},0\le s<t\le T,\\ \frac{2\exp \left(\frac{1}{2}{M}^{\frac{1}{3}}\left(t+T-s\right)\right)\left[\sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}{M}^{\frac{1}{3}}\left(t+T-s\right)-\frac{\pi }{6}\right)-\exp \left(\frac{1}{2}{M}^{\frac{1}{3}}T\right)\sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}{M}^{\frac{1}{3}}\left(t-s\right)-\frac{\pi }{6}\right)\right]}{3M^{\frac{2}{3}}\left(1+\exp \left(M^{\frac{1}{3}}T\right)-2\exp \left(\frac{1}{2}{M}^{\frac{1}{3}}T\right)\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}{M}^{\frac{1}{3}}T\right)\right)}\\ +\frac{\exp \left(M^{\frac{1}{3}}\left(s-t-T\right)\right)}{3M^{\frac{2}{3}}\left(1-\exp \left(-M^{\frac{1}{3}}T\right)\right)},0\le t\le s\le T.\end{array}$

根据引理2.2，我们定义

$l:=\underset{0\le s,t\le T}{\min }G\left(t,s\right)=\frac{1}{3M^{\frac{2}{3}}\left(\exp \left(M^{\frac{1}{3}}T\right)-1\right)},L:=\underset{0\le s,t\le T}{\max }G\left(t,s\right)=\frac{3+2\exp \left(-\frac{M^{\frac{1}{3}}T}{2}\right)}{3M^{\frac{2}{3}}{\left(1-\exp \left(-\frac{M^{\frac{1}{3}}T}{2}\right)\right)}^2},\mu :=\frac{l}{L}.$

显然， $0<\mu \le 1$。

引理2.3 (见 [13]，引理4.2) 若 $M<\frac{64{\pi }^3}{81\sqrt{3}{T}^3}$，则对任意 $\left(t,s\right)\in \left[0,T\right]\times \left[0,T\right]$，有 $0<A\le G\left(t,s\right)\le B$。进一步，我们得到 ${\displaystyle {\int }_0^{T}G\left(t,s\right)\text{d}s}=\frac{1}{M}$。

引理2.4 (见 [14]，引理 2.1)若对任意 $t\in ℝ$，有 $\left|c\left(t\right)\right|\ne 1$，则算子A在 $C_T$ 上存在一个逆算子 $A^{-1}$ 满足

1) $\left|\left(A^{-1}u\right)\left(t\right)\right|\le \frac{\Vert u\Vert }{1-c_{\infty }}$，对任意 $u\in C_T$ 且 $\left|c\left(t\right)\right|<1$ ；

2) $\left|\left(A^{-1}u\right)\left(t\right)\right|\le \frac{\Vert u\Vert }{c_0-1}$，对任意 $u\in C_T$ 且 $\left|c\left(t\right)\right|>1$。

3. 主要结论

在本节，我们证明对任意 $t\in ℝ$，当 $c\left(t\right)\in \left(0,\frac{m}{M+m}\right)$ 时方程(1.1)存在T-周期正解。

定理 3.1假设对任意 $t\in ℝ$，有 $c\left(t\right)\in \left(0,\frac{m}{M+m}\right)$ 且 $M<\frac{64{\pi }^3}{81\sqrt{3}{T}^3}$ 成立。进一步，存在常数 $r_1>0$ 使得

下列条件成立：

(H₁) 存在连续函数 ${\varphi }_1\left(t\right)>0$ 使得对任意 $t\in \left[0,T\right]$ 和 $u\in \left(0,r_1\right]$，有 $f\left(t,u\right)\ge {\varphi }_1\left(t\right)$ ；

(H₂) 存在连续正函数 $q\left(u\right)$，非负函数 $h\left(u\right)$ 和 $k\left(t\right)$ 使得对任意 $t\in \left[0,T\right]$ 和 $u\in \left(0,r_1\right]$，有

$0\le f\left(t,u\right)\le k\left(t\right)\left(q\left(u\right)+h\left(u\right)\right),$

其中 $q\left(u\right)$ 非增， $\frac{h\left(u\right)}{q\left(u\right)}$ 在 $\left(0,r_1\right]$ 上非减；

(H₃) 下列不等式成立

$K^{*}<\frac{r_1\left[m-\left(M+m\right)c_{\infty }\right]}{Mq\left({\beta }_1{r}_1\right)\left(1+\frac{h\left(r_1\right)}{q\left(r_1\right)}\right)},$

其中 ${\beta }_1:=\mu {\left(\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\right)}^2\left(1-c_{\infty }\right)$， $K\left(t\right):={\displaystyle {\int }_0^{T}G\left(t,s\right)k\left(s\right)\text{d}s}$ 且 $K^{*}:=\underset{t\in \left[0,T\right]}{\max }K\left(t\right)$。

则方程(1.1)至少存在一个T-周期正解u且 $u\in \left(0,r_1\right)$。

证明：首先，令 $v\left(t\right)=\left(Au\right)\left(t\right)$，根据引理2.4，便有 $u\left(t\right)=\left(A^{-1}v\right)\left(t\right)$。由此方程(1.1)可转化为

$v^{‴}\left(t\right)+a\left(t\right)v\left(t\right)-a\left(t\right)H\left(v\left(t\right)\right)=f\left(t,u\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right),$ (3.1)

其中 $H\left(v\left(t\right)\right)=-c\left(t\right)\left(A^{-1}v\right)\left(t-\sigma \left(t\right)\right)=-c\left(t\right)u\left(t-\sigma \left(t\right)\right)$。因此方程(3.1) 可写为

$v^{‴}\left(t\right)+Mv\left(t\right)=f\left(t,u\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)+\left(M-a\left(t\right)\right)v\left(t\right)+a\left(t\right)H\left(v\left(t\right)\right).$ (3.2)

定义算子T和 $\text{N}:C_T\to C_T$ 为

$\left({\rm T}f\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{T}G\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s-\delta \left(s\right)\right)\right)\text{d}s}和\left({\rm N}v\right)\left(t\right)=a\left(t\right)H\left(v\left(t\right)\right)+\left(M-a\left(t\right)\right)v\left(t\right).$

因此，方程(3.2)的解可写成

$v\left(t\right)=\left({\rm T}f\right)\left(t\right)+\left({\rm T}{\rm N}v\right)\left(t\right)$.

由于对任意 $t\in ℝ$，有 $c\left(t\right)\in \left(0,\frac{m}{m+M}\right)$ 且 $\Vert {\rm T}\Vert <\frac{1}{M}$ (见 [4]，引理3.2)，利用引理2.4，得

$\Vert {\rm T}{\rm N}\Vert \le \Vert {\rm T}\Vert \Vert {\rm N}\Vert \le \frac{1}{M}\left(M-m+\frac{M{c}_{\infty }}{1-c_{\infty }}\right)\le \frac{M-m\left(1-c_{\infty }\right)}{M\left(1-c_{\infty }\right)}<1.$ (3.3)

从而有

$v\left(t\right)={\left(I-{\rm T}{\rm N}\right)}^{-1}\left({\rm T}f\right)\left(t\right).$

定义算子 ${\rm P}:C_T\to C_T$ 为

$\left({\rm P}f\right)\left(t\right)={\left(I-{\rm T}{\rm N}\right)}^{-1}\left({\rm T}f\right)\left(t\right)$. (3.4)

不难看出，若 $M<\frac{64{\pi }^3}{81\sqrt{3}{T}^3}$ 成立，则 $v\left(t\right)=\left({\rm P}f\right)\left(t\right)$ 是方程(3.2)唯一的T-周期正解。更进一步，根据( [9]，引理3.2)和 $\Vert {\rm T}\Vert <\frac{1}{M}$，有

$\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\left({\rm T}f\right)\left(t\right)\le \left({\rm P}f\right)\left(t\right)\le \frac{M\left(1-c_{\infty }\right)}{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}\Vert {\rm T}f\Vert .$ (3.5)

再定义算子A和 ${\rm B}:C_T\to C_T$ 为

$\left({\rm A}u\right)\left(t\right)=c\left(t\right)u\left(t-\sigma \left(t\right)\right)和\left({\rm B}u\right)\left(t\right)={\rm P}\left(f\left(t,u\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)\right).$

从上面的论述可知，方程(1.1)的T-周期正解的存在性等价于下列算子方程

$u={\rm B}u+{\rm A}u$ (3.6)

在 $C_T$ 上周期正解的存在性。

接下来，因为(H₂)成立，我们选择 $n_0\in \left\{1,2,\cdots \right\}$ 使得 $\frac{1}{n_0}<{\beta }_1{r}_1$，而且

$\frac{M\left(1-c_{\infty }\right)}{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{K}^{*}q\left({\beta }_1{r}_1\right)\left(1+\frac{h\left(r_1\right)}{q\left(r_1\right)}\right)+c_{\infty }{r}_1+\frac{M\left(1-c_{\infty }\right)}{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}\frac{1}{n_0}<r_1,$

其中 ${\beta }_1$ 和 $r_1$ 在定理3.1中已定义。令 $N_0=\left\{n_0,n_0+1,n_0+2,\cdots \right\}$，固定 $n\in N_0$，考虑下列方程簇

$v^{‴}\left(t\right)+Mv\left(t\right)=\lambda \left(f_n\left(t,u\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)+\left(M-a\left(t\right)\right)v\left(t\right)+a\left(t\right)H\left(v\left(t\right)\right)\right)+{\left(I-{\rm T}{\rm N}\right)}^{-1}\frac{a\left(t\right)}{n},$ (3.7)

其中 $\lambda \in \left(0,1\right)$，且

$f_n\left(t,u\right)=\{\begin{array}{l}f\left(t,u\right)若u\ge \frac{1}{n},\\ f\left(t,\frac{1}{n}\right)若u\le \frac{1}{n}.\end{array}$

下面我们证明方程(3.7)对每一个 $n\in N_0$ 存在一个T-周期正解。

定义 $B\left[0,r\right]:=\left\{u\in X:\left|u\right|\le r\right\}$，由于当 $u\to 0^{+}$ 时，非线性项 $f\left(t,u\right)\to +\infty$，则当 $u=0$ 时u是奇点，于是对任意 $t\in ℝ$，我们得到 $u>0$ 或者 $u<0$。不失一般性，考虑 $u>0$ 且符合方程(1.1)中u的定义，所以我们有 $u>0$。

令

$B_1\left[0,r_1\right]:=\left\{u\in C_T:0\le u\le r_1,对任意t\in ℝ\right\}.$

显然， $B_1\left[0,r_1\right]$ 在 $C_T$ 中是有界闭凸子集。对任意 $t\in ℝ$ 和 $u\in B_1\left[0,r_1\right]$，有

$\left({\rm A}u\right)\left(t+T\right)=c\left(t+T\right)u\left(t+T-\sigma \left(t+T\right)\right)=c\left(t\right)u\left(t-\sigma \left(t\right)\right)=\left({\rm A}u\right)(\; t\; )$

和

$\left({\rm B}u\right)\left(t+T\right)={\rm P}\left(f_n\left(t+T,u\left(t+T-\delta \left(t+T\right)\right)\right)\right)={\rm P}\left(f_n\left(t,u\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)\right)=\left({\rm B}u\right)\left(t\right),$

这表示 $\left({\rm A}u\right)\left(t\right)$ 和 $\left({\rm B}u\right)\left(t\right)$ 是T-周期的。对任意的 $u_1,u_2\in B_1\left[0,r_1\right]$，有

$\begin{array}{c}\left|\left({\rm A}{u}_1\right)\left(t\right)-\left({\rm A}{u}_2\right)\left(t\right)\right|=\left|c\left(t\right)u_1\left(t-\sigma \left(t\right)\right)-c\left(t\right)u_2\left(t-\sigma \left(t\right)\right)\right|\\ =\left|c\left(t\right)\right|\left|u_1\left(t-\sigma \left(t\right)\right)-u_2\left(t-\sigma \left(t\right)\right)\right|\\ \le c_{\infty }\left|u_1-u_2\right|.\end{array}$

根据对任意 $t\in ℝ$，由 $c\left(t\right)\in \left(0,\frac{m}{M+m}\right)$，可知A是压缩算子。显然，B是全连续算子(见 [8]，定理 3.1)。

另一方面，我们证明对任意 $\lambda \in \left(0,1\right)$，方程(3.6)中的任何解u必须满足 $\left|u\right|\ne r_1$。利用反证法，假设对任意的 $\lambda \in \left(0,1\right)$，存在方程(3.6)中的任何解u满足 $\left|u\right|=r_1$。由(3.5)可得

$\begin{array}{l}u\left(t\right)-\lambda {\rm A}\left(\frac{u}{\lambda }\right)\left(t\right)-{\left(I-TN\right)}^{-1}\frac{1}{n}\\ =\lambda {\rm B}u\left(t\right)=\lambda {\rm P}\left(f_n\left(t,u\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)\right)\\ \ge \frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\lambda \left({\rm T}{f}_n\right)\left(t\right)\\ \ge \frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\lambda {\displaystyle {\int }_0^{T}G\left(t,s\right)f_n\left(s,u\left(s-\delta \left(s\right)\right)\right)\text{d}s}\\ \ge \frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\lambda l{\displaystyle {\int }_0^T{f}_n\left(s,u\left(s-\delta \left(s\right)\right)\right)\text{d}s}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\lambda \mu L{\displaystyle {\int }_0^T{f}_n\left(s,u\left(s-\delta \left(s\right)\right)\right)\text{d}s}\\ \ge \frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\mu \lambda \underset{t\in ℝ}{\max }{\displaystyle {\int }_0^{T}G\left(t,s\right)f_n\left(s,u\left(s-\delta \left(s\right)\right)\right)\text{d}s}\\ =\mu \lambda \frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\frac{M\left(1-c_{\infty }\right)}{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}\Vert {\rm T}{f}_n\Vert \\ \ge \mu {\left(\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\right)}^2\lambda \Vert {\rm P}{f}_n\Vert \\ =\mu {\left(\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\right)}^2\Vert u-\lambda {\rm A}\left(\frac{u}{\lambda }\right)-{\left(I-TN\right)}^{-1}\frac{1}{n}\Vert .\end{array}$

根据 $\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}<1$ 可得

$\begin{array}{c}u\left(t\right)\ge \mu {\left(\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\right)}^2\Vert u-\lambda {\rm A}\left(\frac{u}{\lambda }\right)-{\left(I-TN\right)}^{-1}\frac{1}{n}\Vert +\lambda {\rm A}\left(\frac{u}{\lambda }\right)\left(t\right)+{\left(I-TN\right)}^{-1}\frac{1}{n}\\ \ge \mu {\left(\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\right)}^2\Vert u\Vert -\mu {\left(\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\right)}^2\Vert \lambda {\rm A}\left(\frac{u}{\lambda }\right)\Vert +\lambda {\rm A}\left(\frac{u}{\lambda }\right)\left(t\right)\\ -\mu {\left(\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\right)}^2\Vert {\left(I-TN\right)}^{-1}\frac{1}{n}\Vert +{\left(I-TN\right)}^{-1}\frac{1}{n}\\ \ge \mu {\left(\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\right)}^2\Vert u\Vert -\mu {\left(\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\right)}^2\Vert \lambda {\rm A}\left(\frac{u}{\lambda }\right)\Vert +\lambda {\rm A}\left(\frac{u}{\lambda }\right)\left(t\right)\\ -\mu {\left(\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\right)}^2\Vert \frac{M\left(1-c_{\infty }\right)}{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}\Vert \Vert \frac{1}{n}\Vert +\frac{M\left(1-c_{\infty }\right)}{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}\frac{1}{n}\end{array}$

$\begin{array}{l}\ge \mu {\left(\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\right)}^2\Vert u\Vert -\mu {\left(\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\right)}^2\Vert \lambda {\rm A}\left(\frac{u}{\lambda }\right)\Vert +\lambda {\rm A}\left(\frac{u}{\lambda }\right)\left(t\right)\\ \ge \mu {\left(\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\right)}^2\Vert u\Vert -\mu {\left(\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\right)}^2{c}_{\infty }\Vert u\Vert \\ \ge \mu {\left(\frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\right)}^2\left(1-c_{\infty }\right)r_1:={\beta }_1{r}_1,\end{array}$

由于 $\frac{1}{n}\le \frac{1}{n_0}\le {\beta }_1{r}_1$，则

$u\left(t\right)\ge {\beta }_1{r}_1>\frac{1}{n}.$

结合(3.3)，(3.5)，条件(H₂)和(H₃)，有

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=\lambda {\rm B}u\left(t\right)+\lambda {\rm A}\left(\frac{u}{\lambda }\right)\left(t\right)+{\left(I-TN\right)}^{-1}\frac{1}{n}\\ =\lambda {\rm P}\left(f_n\left(t,u\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)\right)+c\left(t\right)u\left(t-\sigma \left(t\right)\right)+{\left(I-TN\right)}^{-1}\frac{1}{n}\\ \le \frac{M\left(1-c_{\infty }\right)}{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}\Vert {\rm T}{f}_n\Vert +c_{\infty }{r}_1+\frac{M\left(1-c_{\infty }\right)}{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}\frac{1}{n}\\ \le \frac{M\left(1-c_{\infty }\right)}{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{\displaystyle {\int }_0^{T}G\left(t,s\right)f_n\left(s,u\left(s-\delta \left(s\right)\right)\right)\text{d}s}+c_{\infty }{r}_1+\frac{M\left(1-c_{\infty }\right)}{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}\frac{1}{n}\\ \le \frac{M\left(1-c_{\infty }\right)}{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{\displaystyle {\int }_0^{T}G\left(t,s\right)k\left(s\right)q\left(u\left(s-\delta \left(s\right)\right)\right)}\left(1+\frac{h\left(u\left(s-\delta \left(s\right)\right)\right)}{q\left(u\left(s-\delta \left(s\right)\right)\right)}\right)\text{d}s+c_{\infty }{r}_1+\frac{M\left(1-c_{\infty }\right)}{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}\frac{1}{n}\\ \le \frac{M\left(1-c_{\infty }\right)}{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{K}^{*}q\left({\beta }_1{r}_1\right)\left(1+\frac{h\left(r_1\right)}{q\left(r_1\right)}\right)+c_{\infty }{r}_1+\frac{M\left(1-c_{\infty }\right)}{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}\frac{1}{n_0}<r_1.\end{array}$

所以， $r_1=\Vert u\Vert <r_1$ 是矛盾的。因此，利用引理2.1可得到 $u={\rm A}u+{\rm B}u$ 在 ${{\rm B}}_1\left[0,r_1\right]$ 中存在一个不动点，记为 $u_n$，则我们有

$v^{‴}\left(t\right)+a\left(t\right)v\left(t\right)-a\left(t\right)H\left(v\left(t\right)\right)=f_n\left(t,u\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)+{\left(I-TN\right)}^{-1}\frac{a\left(t\right)}{n}$ (3.8)

存在一个T-周期正解 $u_n$ 且 $0<u_n\le r_1$。

最后，我们考虑 $u_n\left(t\right)$ 有一个一致正下界，即存在常数 ${\eta }_1>0$，与 $n\in N_0$ 无关，使得

$\underset{t\in \left[0,T\right]}{\min }\left\{u_n\left(t\right)\right\}\ge {\eta }_1.$

根据条件(H₁)可知存在连续函数 ${\varphi }_1\left(t\right)>0$ 使得对任意 $t\in \left[0,T\right]$ 和 $u_n\in \left(0,r_1\right]$，有 $f_n\left(t,u_n\right)\ge {\varphi }_1\left(t\right)$。由此有

$\begin{array}{c}{u}_n\left(t\right)={\rm B}{u}_n\left(t\right)+{\rm A}{u}_n\left(t\right)+{\left(I-TN\right)}^{-1}\frac{1}{n}\\ ={\rm P}\left(f_n\left(t,u_n\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)\right)+c\left(t\right)u_n\left(t-\sigma \left(t\right)\right)+{\left(I-TN\right)}^{-1}\frac{1}{n}\\ \ge \frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\left({\rm T}{f}_n\right)\left(t\right)+c\left(t\right)u_n\left(t-\sigma \left(t\right)\right)+{\left(I-TN\right)}^{-1}\frac{1}{n}\\ \ge \frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}\left({\rm T}{f}_n\right)(\; t\; )\end{array}$

$\begin{array}{l}\ge \frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}{\displaystyle {\int }_0^{T}G\left(t,s\right)f_n\left(s,u\left(s-\delta \left(s\right)\right)\right)\text{d}s}\\ \ge \frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}{\displaystyle {\int }_0^{T}G\left(t,s\right){\varphi }_1\left(s\right)\text{d}s}\\ \ge \frac{m-\left(M+m\right)c_{\infty }}{M\left(1-c_{\infty }\right)}{\Phi }_{*}:={\eta }_1<r_1,\end{array}$

其中 $\Phi \left(t\right):={\displaystyle {\int }_0^{T}G\left(t,s\right){\varphi }_1\left(s\right)\text{d}s}$， ${\Phi }_{*}:=\underset{t\in \left[0,T\right]}{\min }\Phi \left(t\right)$，于是得到 $u_n\left(t\right)\ge {\eta }_1$。

接下来，我们证明 ${\left\{u_n\right\}}_{n\in N_0}$ 是有界序列。因为 $u_n$ 是方程(3.8)的T-周期正解，所以

${\left(A{u}_n\right)}^{\prime \text{}\prime \text{}\prime }\left(t\right)+a\left(t\right)u_n\left(t\right)=f_n\left(t,u_n\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)+\frac{a\left(t\right)}{n}.$ (3.10)

根据方程(3.10)和Hölder不等式，有

$\begin{array}{c}\Vert {\left(A{u}_n\right)}^{\prime \text{}\prime }\Vert =\underset{s\in R}{\max }\left|{\displaystyle {\int }_{t_0}^t{\left(A{u}_n\right)}^{\prime \text{}\prime \text{}\prime }\left(s\right)\text{d}s}\right|+{\left(A{u}_n\right)}^{\prime \text{}\prime }\left(t_0\right)\\ \le {\displaystyle {\int }_0^T\left|a\left(t\right)\right|\left|u_n\left(t\right)\right|\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^T\left|f_n\left(t,u_n\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)\right|\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^T\frac{\left|a\left(t\right)\right|}{n}\text{d}t}+{\left(A{u}_n\right)}^{\prime \text{}\prime }\left(t_0\right)\\ \le {\displaystyle {\int }_0^T\left|a\left(t\right)\right|\left|u_n\left(t\right)\right|\text{d}t}+T^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\left|f_n\left(t,u_n\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)\right|}^2\text{d}t}\right)}^{\frac{1}{2}}+{\displaystyle {\int }_0^T\frac{\left|a\left(t\right)\right|}{n}\text{d}t}+{\left(A{u}_n\right)}^{\prime \text{}\prime }\left(t_0\right)\\ \le M{r}_{1}T+T^{\frac{1}{2}}{\left|f{r}_1\right|}_2+\frac{MT}{n_0}+{\left(A{u}_n\right)}^{\prime \text{}\prime }\left(t_0\right):={M^{″}}_1,\end{array}$ (3.11)

其中 ${\left|f{r}_1\right|}_2:=\underset{{\eta }_1\le u_n\le r_1}{\max }{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\left|f_n\left(t,u_n\left(t-\delta \left(t\right)\right)\right)\right|}^2\text{d}t}\right)}^{\frac{1}{2}}$。

因为 $\left(A{u}_n\right)\left(0\right)=\left(A{u}_n\right)\left(T\right)$，所以存在一点 $t_1\in \left[0,T\right]$，使得 ${\left(A{u}_n\right)}^{\prime }\left(t_1\right)=0$，则

$\Vert {\left(A{u}_n\right)}^{\prime }\Vert =\underset{s\in ℝ}{\max }\left|{\displaystyle {\int }_{t_1}^t{\left(A{u}_n\right)}^{\prime \text{}\prime }\left(s\right)\text{d}s}\right|\le {\displaystyle {\int }_0^T\left|{\left(A{u}_n\right)}^{\prime \text{}\prime }\left(s\right)\right|\text{d}s}\le {M^{″}}_{1}T:={M^{\prime }}_1.$ (3.12)

通过简单的计算，有

${\left(A{u}_n\right)}^{\prime }\left(t\right)={\left(u\left(t\right)-c\left(t\right)u\left(t-\sigma \left(t\right)\right)\right)}^{\prime }=u^{\prime }\left(t\right)-c^{\prime }\left(t\right)u\left(t-\sigma \left(t\right)\right)-c\left(t\right)u^{\prime }\left(t-\sigma \left(t\right)\right)\left(1-{\sigma }^{\prime }\left(t\right)\right).$

结合(3.12)， $M<\frac{64{\pi }^3}{81\sqrt{3}{T}^3}$ 和上述等式，可得

$\Vert {u^{\prime }}_n\Vert \le \frac{\Vert {\left(A{u}_n\right)}^{\prime }\Vert +{c^{\prime }}_{\infty }{r}_1}{1-c_{\infty }+c_0{{\sigma }^{\prime }}_0}\le \frac{{M^{\prime }}_1+{c^{\prime }}_{\infty }{r}_1}{1-c_{\infty }+c_0{{\sigma }^{\prime }}_0}:=M_1,$ (3.13)

其中 ${{\sigma }^{\prime }}_0:=\underset{t\in \left[0,T\right]}{\min }{\sigma }^{\prime }\left(t\right)$。

由 ${\eta }_1<\Vert u_n\Vert \le r_1$ 和(3.13)，可得 ${\left\{u_n\right\}}_{n\in N_0}$ 在 $ℝ$ 上是一致有界和等度连续的。从而，应用Arzela-Ascoli定理，得到 ${\left\{u_n\right\}}_{n\in N_0}$ 存在子序列 ${\left\{u_{n_k}\right\}}_{k\in N}$ 在 $ℝ$ 上一致收敛到函数 $u\in {{\rm B}}_1\left[0,r_1\right]$。根据 $\Vert u_n\Vert \le r_1$ 和 ${\eta }_1\le u_n\left(t\right)\le r_1$， $u_{n_k}$ 满足下列算子方程

$u_{n_k}\left(t\right)={\rm B}{u}_{n_k}+{\rm A}{u}_{n_k}+{\left(I-{\rm T}{\rm N}\right)}^{-1}\frac{1}{n_k}.$

令 $k\to +\infty$，得

$u\left(t\right)={\rm B}u+{\rm A}u$.

因此，u是方程(1.1)的T-周期正解且满足 $0<\Vert u\Vert <r_1$。

推论 3.1假设对任意 $t\in ℝ$，有 $c\left(t\right)\in \left(0,\frac{m}{M+m}\right)$ 且 $M<\frac{64{\pi }^3}{81\sqrt{3}{T}^3}$ 成立。若非线性项 $f\left(t,u\right)$ 满足以下条件：

(F₁) 对任意的 $t\in \left[0,T\right]$，存在连续函数 $\hat{d}\left(t\right),d\left(t\right)>0$ 和 $\alpha >0$， $\beta \ge 0$， $\rho >0$ 使得

$0<\frac{\hat{d}\left(t\right)}{u^{\alpha }}\le f\left(t,u\right)\le \frac{d\left(t\right)}{u^{\alpha }}+d\left(t\right)\rho u^{\beta }$，对任意 $x>0$ 且 $t\in ℝ$。

(i) 若 $\beta <1$，则方程(1.1)至少存在一个T-周期正解。

(ii) 若 $\beta \ge 1$，则对任意 $0<\rho <{\rho }_1:=\underset{r_1>0}{\sup }\frac{\left[m-\left(m+M\right)c_{\infty }\right]{\beta }_1^{\alpha }{r}_1^{\alpha +1}-D^{*}m}{D^{*}m{r}_1^{\alpha +\beta }}$，方程(1.1)至少存在一个T-周期正解，其中 $D\left(t\right):={\displaystyle {\int }_0^{T}G\left(t,s\right)d\left(s\right)\text{d}s}$ 和 $D^{*}:=\underset{t\in \left[0,T\right]}{\max }D\left(t\right)$。

证明：应用定理3.1。取

${\varphi }_1\left(t\right)=\frac{\hat{d}\left(t\right)}{u^{\alpha }},k\left(t\right)=d\left(t\right),q\left(u\right)=\frac{1}{u^{\alpha }},h\left(u\right)=\rho u^{\beta },$

则条件(H₁)和(H₂)成立。当 $r_1>0$ 时，有

$\rho <\frac{\left[m-\left(m+M\right)c_{\infty }\right]{\beta }_1^{\alpha }{r}_1^{\alpha +1}-D^{*}m}{D^{*}m{r}_1^{\alpha +\beta }},$

则条件(H₃)成立。从而，对任意

$0<\rho <{\rho }_1=\underset{r_1>0}{\sup }\frac{\left[m-\left(m+M\right)c_{\infty }\right]{\beta }_1^{\alpha }{r}_1^{\alpha +1}-D^{*}m}{D^{*}m{r}_1^{\alpha +\beta }},$

方程(1.1)至少存在一个T-周期正解。注意到若 $\beta <1$，有 ${\rho }_1=\infty$ ；若 $\beta \ge 1$，有 ${\rho }_1<\infty$。因此得到(i)和(ii)。

例 3.1考虑下列方程

${\left(u\left(t\right)-\left(\frac{1}{20}\cos 4t+\frac{1}{10}\right)u\left(t-\frac{1}{2}\cos 4t\right)\right)}^{\prime \text{}\prime \text{}\prime }+\left(\sin 4t+2\right)u\left(t\right)=\frac{\cos 4t+6}{u^{\frac{1}{2}}\left(t-\frac{1}{2}\cos 4t\right)}+5\left(\cos 4t+6\right)u^{\frac{1}{3}}\left(t-\frac{1}{2}\cos 4t\right).$ (3.14)

对比方程(3.14)和方程(1.1)，我们有 $T=\frac{\pi }{2}$， $\sigma \left(t\right)={\text{e}}^{\sin 4t}$， $\delta \left(t\right)=\frac{1}{2}\cos 4t$， $c\left(t\right)=\frac{1}{20}\cos 4t+\frac{1}{10}$， $a\left(t\right)=\sin 4t+2$， $m=1$， $M=3<\frac{64{\pi }^3}{81\sqrt{3}{T}^3}$， $c\left(t\right)\in \left[\frac{1}{20},\frac{3}{20}\right]\subset \left(0,\frac{m}{M+m}\right)=\left(0,\frac{1}{4}\right)$， $f\left(t,u\left(t-\sigma \left(t\right)\right)\right)=\frac{\cos 4t+6}{u^{\frac{1}{2}}\left(t-\frac{1}{2}\cos 4t\right)}+5\left(\cos 4t+6\right)u^{\frac{1}{3}}\left(t-\frac{1}{2}\cos 4t\right)$。显然， $c\left(t\right)\in \left(0,\frac{m}{M+m}\right)$ 和 $M<\frac{64{\pi }^3}{81\sqrt{3}{T}^3}$ 成立。另外， $\hat{d}\left(t\right)=\cos 4t+3$， $d\left(t\right)=\cos 4t+7$， $\alpha =\frac{1}{2}$， $\beta =\frac{1}{3}$， $\rho =5$，不难看出条件(F₁)成立。根据推论3.1，方程(3.14)至少存在一个 $\frac{\pi }{2}$ -周期正解。

注3.1本文利用Leray-Schauder型不动点定理和中立型算子的性质，我们证明了对任意 $t\in ℝ$，当 $c\left(t\right)\in \left(0,\frac{m}{M+m}\right)$ 时方程(1.1) T-周期正解的存在性。本文中 $c\left(t\right)$ 的范围仅仅是 $c\left(t\right)\in \left(0,\frac{m}{M+m}\right)$，当 $c\left(t\right)\in \left(-1,1\right)$ 或 $c\left(t\right)\in \left(1,+\infty \right)$ 时，我们还未得出方程(1.1)存在T-周期正解的相应结论。