在 [1] 中我们知道若群G中元素a的阶是m,而b的阶是n,则当
,且
时,有
。
这个定理对于求群中元素乘积的阶起着非常重要的作用。当然,也存在一定的局限性,如果
或
时,ab的阶就不一定等于nm。这时我们可以思考,a和b之间满足什么条件时,乘积ab的阶与元素a,b的阶之间也存在着某些联系。
引理1 [1]. 设a是群G的元素,a的阶是n,则
。
引理2 [2]. 设a,b为群G中两个元素,
,且存在
,使得
,那么
。
引理3 [2]. 设a,b为群G中的两个元素,
,若存在
使得
,则当
时,
有
。
引理4 [3]. 设a,b为群G中的两个元素,
,则当
时一定存在
,
,其中
是m与n的最小公倍数。
引理5 [4]. 设a,b为群G中的两个元素,
,那么当
,而且
或者
成立时,有
。
根据引理4,我们可知当
时,可设
,其中
,且
,即在引理5的条件下可求出
的这种情况。接下来我们可以思考a,b之间存在什么关系时,可以求出
。
定理1. 设a,b为群G中的两个元素,
且
,其中
,那么
。
证明:不妨设
,则
,因为
,所以
因为
由引理1得
由
,所以
(1)
又因为
且
,所以
(2)
由(1)和(2)式,
(3)
另一方面,已知
由
,不妨设
,所以
根据引理1得
(4)
所以,由(3)与(4)得
,即
特别的,当
,其中
为不相等的奇素数,那么
。
例如,在模30的剩余类加群
中, [3] 的阶为10,[5]的阶为6,且
,则
的阶为
。
我们知道若群G中
,且
时,有
。如果
不可以交换或者这两个元素的阶不互素时,ab乘积的阶就不能直接求出等于nm。此时,我们可以思考当
时,如果两个元素a,b之间满足
,元素a,b乘积的阶的问题。定理2就是对这一问题的研究。
定理2. 设a,b为群G的两个元素,
,且
,那么
。
证明:首先,当
(5)
不妨设
,由
是偶数
由(5)式得
根据引理1得
(6)
接下来证:
若p为偶数:
,由引理1得
若p为奇数:
,从而
由引理1得
因为
分析
的奇偶性,可知
只能为奇数,且n为偶数,不能整除奇数;矛盾
从而
(7)
由(6)与(7)得
即
定理3. 设a,b为群G的两个元素
,存在
,使
,则
。
证:设
,则
(8)
又因为
(9)
由(8)与(9)得:
定理4. 设a,b为群G的两个元素
,若存在
,使得
,且
,那么
。
证:因为
,且
是整数
由定理3得
例如,在模36的剩余类加群
中,[24]的阶为3,[3]的阶为12,且
。所以,
的阶
。[9]和[27]的阶都为4,且
及
。所以,
的阶为
成立。
定理3,定理4是对引理2,引理3的结论进行了推广。引理2,3中元素a,b的阶一定要满足相等,但定理3,4不止可以解决元素a,b的阶相等的情形,还可以解决部分元素a,b的阶不相等时,元素a,b乘积的阶的计算问题。