6A型顶点算子代数中的Ising向量

The Ising Vectors in 6A-Vertex Operator Algebra

摘要: 本文主要研究了6A型顶点算子代数中的Ising向量。C. H. Lam，H. Yamada和H. Yamauchi构造了具体的6A型顶点算子代数的例子，计算出了6A型顶点算子代数中有7个Ising向量，并给出了它们之间的关系；S. Sakuma证明了6A型顶点算子代数由两个Ising向量e和f生成的顶点算子代数，并且e和f的内积。但是在后者中只给出了6个Ising向量，第7个Ising向量的具体形式未知。前者构造的具体实例可以看成是后者的一种实现。本文通过两者的Ising向量的对应关系以及6A型顶点算子代数的唯一性，我们求出了第7个Ising向量在一组基下的表达式。

Abstract: In this paper, we mainly study the Ising vectors in the 6A-algebra. C. H. Lam, H. Yamada and H. Yamauchi constructed an example for the 6A-vertex operator algebra, and they proved that there are seven Ising vectors in the 6A-vertex operator algebra, and they also showed the relations between the Ising vectors. S. Sakuma proved 6A-vertex operator algebra is generated by two Ising vectors e and f, and the inner product of e and f is . But the author only listed six Ising vectors, so we didn’t know the concrete form for the seventh Ising vector. The former can be regarded as a realization of the latter. In this paper, we calculate the seventh Ising vector under a set of bases by the correspondence between them.

1. 引言

顶点代数是过去几十年新发展的一个代数学分支。数学家们受到仿射Kac-Moody代数表示理论、月光模及其物理上的2维共形场论的启发，定义了顶点代数的概念。

从群论的角度来看，魔高斯代数是一种196884维的交换非结合代数，并且在上面有正定不变的双线性型。而魔单群M是由高斯在 [1] 中构造出的作为魔高斯代数的自同构群。魔单群M是由一些2A型对合自同构生成的，并且对于任意两个2A型对合自同构 $\tau$ 和 ${\tau }^{\prime }$，有 $\left|\tau {\tau }^{\prime }\right|\le 6$。在 [2] 中知 $\tau {\tau }^{\prime }$ 的共轭类是1A，2A，3A，4A，5A，6A，4B，2B和3C这九种之一。

从顶点算子代数的角度来看，魔单群可以看成是月光顶点算子代数的 $V^{♮}={\oplus }_{n=0}^{\infty }{V}_n^{♮}$ 的自同构群。在月光顶点算子代数的构造 [3] 中，我们可知魔高斯代数正是 $V^{♮}$ 的权为2的子空间，也就是 $V_2^{♮}$ 就是一个魔高斯代数。在 [4] 中我们知道月光顶点算子代数 $V^{♮}$ 中有48个相互正交的共形向量，并且在 $V^{♮}$ 中每一个共形向量生成一个同构于Virasoro顶点算子代数 $L\left(\frac{1}{2},0\right)$，且 $L{\left(\frac{1}{2},0\right)}^{\otimes 48}$ 是 $V^{♮}$ 是的一个子代数。我们称这样的中心载荷为 $\frac{1}{2}$ 的共形向量为Ising向量。Miyamoto在 [5] 中对每一个Ising向量e构造了关于e的 $\tau$ -对合自同构记作 ${\tau }_e$。由 [6] 知每一个 ${\tau }_e$ 都是一个2A型对合自同构，关于Ising向量的两个2A型对合自同构的乘积 $\tau {\tau }^{\prime }$ 正是上面九种之一。对于任意两个Ising向量e和f，它们的内积 $\langle e,f\rangle$ 与它们对应2A型对合自同构乘积所在的共轭类 ${\langle {\tau }_e{\tau }_f\rangle }^M$ 的关系如下：

不仅仅是在魔单群中在顶点算子代数中，Sakuma在 [7] 中证明了由两个Ising向量生成的月光型的顶点算子代数正是以上这九种之一，它们对应的内积关系也如上。

C. H. Lam，H. Yamada和H. Yamauchi在文章 [8] 中从延伸的E₈ Dynkin图出发，构造出6A型的余集子代数U_6A，证明了U_6A是由它的权为2的空间U₂生成，又证明了U₂是由两个Ising向量 $\hat{e}$ 和 $\hat{f}$ 生成的。因此U_6A是由两个Ising生成的6A型的顶点算子代数。他们用软件Risa/Asir算出在U_6A中有7个Ising向量。S. Sakuma在 [7] 中证明了由两个Iisng向量e和f所确定的2A型对合自同构的乘积的阶数小于等于6，即 $\left|{\tau }_e{\tau }_f\right|\le 6$。特别的，对于U_6A型， $\langle e,f\rangle =\frac{5}{2^{10}}$， $\langle e,e^{{\tau }_f}\rangle =\frac{13}{2^{10}}$ 且 $\langle e^{{\tau }_f},f^{{\tau }_e}\rangle =\frac{1}{2^5}$。这时e和f所生成的子代数是8维的，且带有一组基： $e,e^{{\tau }_f},e^{{\tau }_f{\tau }_e},f,f^{{\tau }_e},f^{{\tau }_e{\tau }_f},\alpha \left(e,f\right),\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)$。此时 [7] 中只给出6个Ising向量： $e,e^{{\tau }_f},e^{{\tau }_f{\tau }_e},f,f^{{\tau }_e},f^{{\tau }_e{\tau }_f}$。

为了研究U_6A的自同构群与对合自同构的关系以及其固定点子代数的结构和性质，我们需要求出第七个Ising向量的具体形式，由此确定它所对应的对合自同构与U_6A的自同构群的关系。在本文中我们设出第7个Ising向量在组基下的线性表达式，通过子代数中定义的内积、Ising向量的性质、U_6A的自同构群以及7个Ising向量之间的关系求出第7个Ising向量的具体形式。

在本篇文章第二部分，我们回顾了我们要用到的一些概念和结果；在第三部分，我们建立起两种Ising向量之间的对应关系，并且求出了选定基的乘积表达式；第四部分我们利用Ising向量之间的内积关系、基之间的乘积关系和第7个Ising向量的特点，列出相应的方程组，最后求解出第7个Ising向量为：

$\frac{1}{3}\left(e+e^{{\tau }_f}+e^{{\tau }_f{\tau }_e}\right)+\left(f+f^{{\tau }_e}+f^{{\tau }_e{\tau }_f}\right)+32\alpha \left(e,f\right)+\frac{32}{3}\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)$.

2. 相关定义及结论

2.1. 相关定义

定义2.1.1. 顶点算子代数是一个四元组 $\left(V,Y,1,\omega \right)$，这里 $\left(V,Y,1\right)$ 是域F上的顶点代数，且 $V={\oplus }_{n\in \mathbb{Z}}{V}_n$ 是到它的子空间的直和分解，使得 $dim{V}_n<\infty ,\forall n\in \mathbb{Z};V_n\le 0,n\ll 0$。元素 $\omega \in V_2$ 是一个特定的向量，称为V的Virasoro向量或共形向量，它对应的顶点算子通常表示为两种不同的形式：

$Y\left(\omega ,z\right)={\displaystyle \underset{n\in \mathbb{Z}}{\sum }L\left(n\right)z^{-n-2}}={\displaystyle \underset{n\in \mathbb{Z}}{\sum }\omega \left(n\right)z^{-n-1}}$

并且它的系数满足下列三个条件：

1) $L\left(-1\right)=D:L\left(-1\right)u=D\left(u\right)=u_{\left(-2\right)}1,\forall u\in V$ ；

2) ${L\left(0\right)|}_{V_n}=nI{d}_{V_n}:L\left(0\right)u=nu,\forall u\in V_n$ ；

3) $\left[L\left(m\right),L\left(n\right)\right]=\left(m-n\right)L\left(m+n\right)+\frac{m^3-m}{12}{\delta }_{m+n}cI{d}_V$。

上述等式中的 $c\in F$ 是常量，称为顶点算子代数V的中心载荷，且算子 $L\left(0\right)$ 是可对角化的(注： $L\left(n\right)={\omega }_{\left(n+1\right)},1\in V_0$ )。

定义2.1.2. 我们称顶点算子代数 $\left(V,Y,1,\omega \right)$ 是数域 $ℝ$ 上OZ-型的顶点算子代数，如果它满足下面的条件：

$V={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{V}_n},V_0=ℝ1,V_1=0$

定义2.1.3. 我们称向量 $e\in V_2$ 是中心载荷为 $c_e$ 的共形向量，如果它满足 $e_{1}e=2e,e_{3}e=\frac{c_e}{2}1$。此时算子 $L_n^e:=e_{n+1},n\in \mathbb{Z}$，并满足Virasoro换位关系式： $\left[L_m^e,L_n^e\right]=\left(m-n\right)L_{m+n}^e+{\delta }_{m+n,0}\frac{m^3-m}{12}{c}_e$，其中m和n是整数。如果共形向量e的中心载荷为 $\frac{1}{2}$，并且它生成Virasoro型顶点算子代数 $L\left(\frac{1}{2},0\right)$，那么我们就称e是Ising向量。

定义2.1.4. 我们称顶点代数V的子空间I是顶点代数的理想，如果它满足封闭条件： $v_{\left(-2\right)}1\in I,u_{\left(n\right)}v\in I,\forall u\in V,\forall v\in I$。

定义2.1.5. 我们称顶点代数 $\left(V,Y,1\right)$ 是单的，如果它没有非平凡的理想。

2.2. 高斯代数

对 $u,v\in V_2$，我们定义V₂中的元素乘积： $uv:=u_{1}v\in V_2$。利用顶点算子代数中的n运算，容易看出定义的乘法满足交换律，不满足结合律(顶点算子代数中的n运算不满足结合律)。此时 [6] V₂成为一个交换非结合高斯代数。由 [7] 可知，6A型顶点算子代数是由两个Ising向量生成的，而其中的高斯代数V₂是由 $\left\{e,e^{{\tau }_f},e^{{\tau }_f{\tau }_e},f,f^{{\tau }_e},f^{{\tau }_e{\tau }_f},\alpha \left(e,f\right),\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right),\alpha \left(f,f^{{\tau }_e}\right)\right\}$ 张成的。

2.3. 不变双线性型

定义2.3.1. 我们称顶点算子代数V的模M上的双线性型 $\langle ,\rangle$ 是不变的，如果它满足下列条件：

$\langle Y\left(a,z\right)u,v\rangle =\langle u,Y\left(e^{zL\left(1\right)}{\left(-z\right)}^{L\left(0\right)}a,z^{-1}\right)u\rangle$

其中 $a\in V,u,v\in M$。

顶点算子代数V也可以看成它本身的模。在顶点算子代数V上的不变双线性型由文献 [9] 知有下列定理。

定理2.3.2. [9] 顶点算子代数V上的所有不变双线性型所构成的空间同构于下列空间：

${\left(V_0/L\left(1\right)V_1\right)}^{\ast }=Ho{m}_{ℂ}\left(V_0/L\left(1\right)V_1,ℂ\right)$

特别的，如果顶点算子代数V是一个 $ℝ$ 上OZ-型的单顶点算子代数，根据上述定理，显然在V上有唯一的正定对称不变双线性型，且满足 $\langle 1,1\rangle =1$。

把上述对称不变双线性型限制在V₂上，在 [5] 的第六部分可知对 $u,v,w\in V_2$，有 $\langle u,v\rangle 1=u_{\left(3\right)}v$ 并且 $\langle uv,w\rangle =\langle v,uw\rangle$。

2.4. 关于Ising向量的对合自同构

设 $e\in V_2$ 是一个Ising向量，通过定义，e生成Virasoro顶点算子代数 $L\left(\frac{1}{2},0\right)$，由 [4] 和 [10] 知Virasoro顶点算子代数 $L\left(\frac{1}{2},0\right)$ 是有理的并且有三个不可约模，分别是 $L\left(\frac{1}{2},0\right)$， $L\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$， $L\left(\frac{1}{2},\frac{1}{16}\right)$。因此V作为 $L\left(\frac{1}{2},0\right)$ 的模，有下列分解：

$V=V_e\left(0\right)\oplus V_e\left(\frac{1}{2}\right)\oplus V_e(\; 1\; 16\; )$

其中的每一部分都是分别同构于 $L\left(\frac{1}{2},h\right),h=0,\frac{1}{2},\frac{1}{16}$ 这些模的和。在 [5] 中定义了关于Iisng向量e的 $\tau$ 对合自同构，定义方式如下： ${\tau }_e\left(v\right)=v$ 当 $v\in V_e\left(0\right)\oplus V_e\left(\frac{1}{2}\right)$ ； ${\tau }_e\left(v\right)=-v$ 当 $v\in V_e\left(\frac{1}{16}\right)$。根据 $L\left(\frac{1}{2},0\right)$ 的融合律， ${\tau }_e$ 是V的2阶自同构。

引理2.4.1. [5] 对于V中的Ising向量e，V₂文有如下分解：

$V_2=ℝe\oplus E^e\left(0\right)\oplus E^e\left(\frac{1}{2}\right)\oplus E^e(\; 1\; 16\; )$

这里的 $E^e\left(h\right)$ 是 $e_{\left(1\right)}$ 的关于特征值为h的特征子空间。

3. 两种6A型顶点算子代数的构造

3.1. 6A型顶点算子代数的实现

在文章 [8] 中，C. H. Lam，H. Yamada和H. Yamauchi从下列延伸的E₈ Dynkin图构造了一些格顶点算子代数 $V_{\sqrt{2}{E}_8}$ 的余集顶点算子代数。其中 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_8$ 是E₈型李代数的单根， $-{\alpha }_0$ 是根系的最高根。它们之间有关系： $\langle {\alpha }_i,{\alpha }_i\rangle =2,0\le i\le 8$ ；若 $i\ne j$ 且 ${\alpha }_i$ 和 ${\alpha }_j$ 是相连接的，有 $\langle {\alpha }_i,{\alpha }_j\rangle =-1$ ；其他情况下 $\langle {\alpha }_i,{\alpha }_j\rangle =0$。

它们之间还有如下关系：

${\alpha }_0+2{\alpha }_1+3{\alpha }_2+4{\alpha }_3+5{\alpha }_4+6{\alpha }_5+4{\alpha }_6+2{\alpha }_7+3{\alpha }_8=0$

令 $L\left(\text{5}\right)$ 是由上述 ${\alpha }_i,0\le i\le 8,i\ne 5$ 生成的秩为8的E₈的子格，从上面Dynkin图来看， $L\left(\text{5}\right)$ 就是在延伸的E₈ Dynkin图中去掉 ${\alpha }_5$ 这个点后生成的，而 $\left|E_{\text{8}}/L\left(\text{5}\right)\right|$ 正是上述等式中 ${\alpha }_5$ 的系数6。从图中可以看出： $L\left(\text{5}\right)\cong {\text{A}}_5\oplus {\text{A}}_2\oplus {\text{A}}_1$。为简便，我们把 $L\left(\text{5}\right)$ 记作L。 ${\alpha }_5+L$ 是商群 $E_{\text{8}}/L$ 的生成元。因此E₈有分解： $E_8={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{5}{\cup }}\left(k{\alpha }_5+L\right)}$。

令 $\lambda =\sqrt{2}{\alpha }_5$，则 $\sqrt{2}{E}_8={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{5}{\cup }}\left(k\lambda +\sqrt{2}L\right)}$，我们乘以系数 $\sqrt{2}$ 是为了使其称为一个正定偶格。

此时由文章 [11] 可知格顶点算子代数有分解： $V_{\sqrt{2}{E}_8}=V_{\sqrt{2}L}\oplus V_{\lambda +\sqrt{2}L}\oplus \cdots \oplus V_{5\lambda +\sqrt{2}L}$，其中等式后面的每一项都是 $V_{\sqrt{2}L}$ 的不可约模。

由文章 [8] 的引理2.2可知，可换群 $E_{\text{8}}/L$ 可诱导 $V_{\sqrt{2}{E}_8}$ 上的自同构 $\sigma$， $\sigma :V_{\sqrt{2}{E}_8}\to V_{\sqrt{2}{E}_8}$，对 $\forall u\in V_{k\lambda +\sqrt{2}L}$， $\sigma \left(u\right)={\xi }^{k}u$，其中 $\xi =e^{2\pi i/6}=e^{\pi i/3}$。而自同构 $\sigma$ 可通过 $\alpha$ 来实现， $\alpha =-\frac{1}{8}\left({\alpha }_0+2{\alpha }_1+\cdots +6{\alpha }_5+7{\alpha }_8\right)$。此时 $\sigma =e^{-\sqrt{2}\pi i\alpha \left(0\right)}$，对 $\forall u\in \text{M}\left(1\right)\otimes e^{\alpha }\subset V_{\sqrt{2}{E}_8}$，有 $\sigma \left(u\right)=e^{-\pi i\langle \beta ,\alpha \rangle }u$。另外，通过正定偶格 $\sqrt{2}{E}_8$ 上的自然同构 $\alpha \to -\alpha$， $\alpha \in \sqrt{2}{E}_8$，诱导 $V_{\sqrt{2}{E}_8}$ 上的自然的对合自同构 $\theta :V_{\sqrt{2}{E}_8}\to V_{\sqrt{2}{E}_8}$，对 $\forall \alpha \in \sqrt{2}{E}_8$ 的， $\alpha \left(-n\right)\to -\alpha \left(-n\right),e^{\alpha }\to e^{-\alpha }$。上述的 $\sigma$ 的相当于旋转变换， $\theta$ 相当于反射变换，因此由 $\sigma$ 和 $\theta$ 生成 $V_{\sqrt{2}{E}_8}$ 的自同构子群是阶为12的二面体群。

根据文献 [8] 和 [12] 来构造6A型余集子代数：已知 $L=L\left(\text{5}\right)\cong {\text{A}}_5\oplus {\text{A}}_2\oplus {\text{A}}_1$，记 ${\Phi }_1,{\Phi }_2,{\Phi }_3$ 分别为单李代数 ${\text{A}}_5,{\text{A}}_2,{\text{A}}_1$ 的不可约根系，此时有6个相互正交的共形向量： $s^k=s\left({\Phi }_k\right)=\frac{1}{2\left(h^k+2\right)}{\displaystyle \underset{\alpha \in {\Phi }_k^{+}}{\sum }\left(\alpha {\left(-1\right)}^2·1-2\left(e^{\sqrt{2}\alpha }+e^{-\sqrt{2}\alpha }\right)\right)}$， ${\varpi }^k=\varpi \left({\Phi }_k\right)={\omega }^k-s^k$，其中 ${\omega }^k=\omega \left({\Phi }_k\right)=\frac{1}{2h^k}{\displaystyle \underset{\alpha \in {\Phi }_k^{+}}{\sum }\alpha {\left(-1\right)}^2·1}$， $k=1,2,3$。这里的 $h^k$ 是对应于根系 ${\Phi }_k$ 的Coxeter数。 $V_{\sqrt{2}L}$ 中的共形向量 $\omega =s^1+s^2+s^3+{\varpi }^1+{\varpi }^2+{\varpi }^3$ 也是 $V_{\sqrt{2}{E}_8}$ 中的共形向量。 [8] 中定义的6A型余集子代数 $u=\left\{v\in V_{\sqrt{2}{E}_8}|{\left(s^k\right)}_{\left(1\right)}v=0,\forall k=1,2,3\right\}$。这是一个6A型顶点算子代数，其共形向量为 ${\omega }^{\prime }={\varpi }^1+{\varpi }^2+{\varpi }^3$。在 [8] 中可知在u中有中心载荷为 $\frac{1}{2}$ 的两个Ising向量，分别为 $\hat{e}$ 和 $\hat{f}$，其中 $\hat{f}=\sigma \hat{e}$， $\hat{e}=\frac{1}{16}\omega +\frac{1}{32}{\displaystyle \underset{\alpha \in {\Phi }^{+}\left(E_8\right)}{\sum }\left(e^{\sqrt{2}\alpha }+e^{-\sqrt{2}\alpha }\right)}$。由 [8] 中的定理3.21和定理3.22可知余集子代数可知u是由它的权为2的子空间u₂生成的，而u₂是由 $\hat{e}$ 和 $\hat{f}$ 生成的维数为8的高斯代数，因此u是由 $\hat{e}$ 和 $\hat{f}$ 生成的余集子代数。由 [8] 中的引理A.9知u也就是6A型顶点算子代数。

由 [8] 中引理A.9可知u₂中的7个Ising向量分别是： ${\varpi }^2,e_j={\sigma }^j\hat{e},0\le j\le 5$。并且它们之间的内积关系如下： $\langle {\varpi }^2,e_j\rangle =\frac{1}{2^5},0\le j\le 5$。还有

$\langle e_i,e_j\rangle =\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4},\hfill & i=j\hfill \\ \frac{1}{2^5},\hfill & i-j\equiv 3\mathrm{mod}6\hfill \\ \frac{13}{2^{10}},\hfill & i-j\equiv \pm 2\mathrm{mod}6\hfill \\ \frac{5}{2^{10}},\hfill & i-j\equiv \pm 1\mathrm{mod}6\hfill \end{array}$

3.2. 6A型顶点算子代数的抽象描述

在 [7] 中，Sakuma证明了对于两个Iisng向量e和f的 $\tau$ 对合自同构乘积的阶数小于等于6，也就是 $\left|{\tau }_e{\tau }_f\right|\le 6$。而当 $\left|{\tau }_e{\tau }_f\right|=6$ 时， $\langle e,f\rangle =\frac{5}{2^{10}},\langle e,e^{{\tau }_f}\rangle =\frac{13}{2^{10}},\langle e^{{\tau }_f},f^{{\tau }_e}\rangle =\frac{1}{2^5}$，由 [7] 中的定理4.4.可知 $e^{{\tau }_f{\tau }_e}=e^{{\tau }_f{\tau }_e{\tau }_f}$， $f^{{\tau }_e{\tau }_f}=f^{{\tau }_e{\tau }_f{\tau }_e}$。此时e和f生成的顶点算子代数就是6A型顶点算子代数，记作V。它的权为2的子空间V₂是一个8维的向量空间，且V₂是由 $\left\{e,e^{{\tau }_f},e^{{\tau }_f{\tau }_e},f,f^{{\tau }_e},f^{{\tau }_e{\tau }_f},\alpha \left(e,f\right),\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right),\alpha \left(f,f^{{\tau }_e}\right)\right\}$ 生成的。其中的由 [7] 中的命题3.3.可知， $\left\{e,e^{{\tau }_f},e^{{\tau }_f{\tau }_e},f,f^{{\tau }_e},f^{{\tau }_e{\tau }_f},\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right),\alpha \left(f,f^{{\tau }_e}\right)\right\}$ 是线性相关的，且有如下具体关系：

$\frac{1}{2^4}\left(e+e^{{\tau }_f}+e^{{\tau }_f{\tau }_e}\right)-\frac{1}{2^4}\left(f+f^{{\tau }_e}+f^{{\tau }_e{\tau }_f}\right)-\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)+\alpha \left(f,f^{{\tau }_e}\right)=0$.

因此我们可以选取V₂的一组基： $\left\{e,e^{{\tau }_f},e^{{\tau }_f{\tau }_e},f,f^{{\tau }_e},f^{{\tau }_e{\tau }_f},\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right),\alpha \left(e,f\right)\right\}$。其中的 $\left\{e,e^{{\tau }_f},e^{{\tau }_f{\tau }_e},f,f^{{\tau }_e},f^{{\tau }_e{\tau }_f}\right\}$ 是V₂中的Ising向量，由上述的内积关系以及不变双线性型的保持对合自同构的性质，我们计算出这些Ising向量之间的内积关系如下：

$\langle e,f\rangle =\langle e^{{\tau }_f},f\rangle =\langle e^{{\tau }_f{\tau }_e},f^{{\tau }_e}\rangle =\langle e,f^{{\tau }_e}\rangle =\langle e^{{\tau }_f},f^{{\tau }_e{\tau }_f}\rangle =\langle e^{{\tau }_f{\tau }_e},f^{{\tau }_e{\tau }_f}\rangle =\frac{5}{2^{10}}$

$\langle e,e^{{\tau }_f}\rangle =\langle e,e^{{\tau }_f{\tau }_e}\rangle =\langle e^{{\tau }_f},e^{{\tau }_f{\tau }_e}\rangle =\langle f,f^{{\tau }_e}\rangle =\langle f,f^{{\tau }_e{\tau }_f}\rangle =\langle f^{{\tau }_e},f^{{\tau }_e{\tau }_f}\rangle =\frac{13}{2^{10}}$

$\langle e^{{\tau }_f},f^{{\tau }_e}\rangle =\langle e,f^{{\tau }_e{\tau }_f}\rangle =\langle e^{{\tau }_f{\tau }_e},f\rangle =\frac{1}{2^5}$

3.3. 两种Ising向量形式的对应

在这一部分，我们确定了3.2.中的6个Ising向量分别对应3.1.中的哪6个Ising向量，并给出它们之间的具体对应关系。通过3.1.中和3.2.中的Ising向量的内积关系式不难看出它们之间只能有如下的对应关系： $e_0=e^{{\tau }_f{\tau }_e},e_1=f^{{\tau }_e},e_2=e,e_3=f,e_4=e^{{\tau }_f},e_5=f^{{\tau }_e{\tau }_f}$。因此对于最后的第7个Ising向量 ${\varpi }^2$ 在3.2.中没有找到具体的对应。在第四部分我们通过内积关系 $\langle {\varpi }^2,e_j\rangle =\frac{1}{2^5},0\le j\le 5$， $\langle {\varpi }^2,{\varpi }^2\rangle =\frac{1}{4}$，还有共形向量的性质 ${\varpi }^2{\varpi }^2=2{\varpi }^2$，借助V₂的基之间的乘积关系来求 ${\varpi }^2$ 对应的那个Ising向量在V₂的基下的具体表达式。

4. 求解第七个Ising向量的具体形式

4.1. 基之间内积关系式

由上面3.2.部分可知，V₂是一个8维的向量空间，并且V₂是由下面这8个向量

$\left\{e,e^{{\tau }_f},e^{{\tau }_f{\tau }_e},f,f^{{\tau }_e},f^{{\tau }_e{\tau }_f},\alpha \left(e,f\right),\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)\right\}$ 生成的。其中前6个是Ising向量，它们之间的内积关系式在上面3.2.中已经给出，我们通过内积的性质以及保对合自同构的特点，由 [13] 计算出基之间的内积关系和相应的内积结果：

$\langle e,\alpha \left(e,f\right)\rangle =\langle e^{{\tau }_f},\alpha \left(e,f\right)\rangle =\langle e^{{\tau }_f{\tau }_e},\alpha \left(e,f\right)\rangle =-\frac{101}{2^{14}}$

$\langle e,\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)\rangle =\langle e^{{\tau }_f},\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)\rangle =\langle e^{{\tau }_f{\tau }_e},\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)\rangle =\frac{147}{2^{14}}$

$\langle f,\alpha \left(e,f\right)\rangle =\langle f^{{\tau }_e},\alpha \left(e,f\right)\rangle =\langle f^{{\tau }_e{\tau }_f},\alpha \left(e,f\right)\rangle =-\frac{101}{2^{14}}$

$\langle f,\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)\rangle =\langle f^{{\tau }_e},\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)\rangle =\langle f^{{\tau }_e{\tau }_f},\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)\rangle =-\frac{93}{2^{14}}$

4.2. 基向量之间的乘积关系式

我们利用文献 [7] [13] 中的一些结果，利用e和f的地位的对等性，来计算V₂中的8个基向量之间的乘积在这组基下的具体表达式：

$e\cdot \alpha \left(e,f\right)=\frac{7}{16}\alpha \left(e,f\right)-\frac{5}{2^7}e+\frac{7}{2^9}\left(f+f^{{\tau }_e}\right)$

$e\cdot \alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)=\frac{7}{16}\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)+\frac{5}{2^7}e+\frac{7}{2^9}\left(e^{{\tau }_f}+e^{{\tau }_f{\tau }_e}\right)$

$f\cdot \alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)=-\frac{1}{48}\left(e+e^{{\tau }_f}\right)-\frac{7}{3\cdot 2^8}{e}^{{\tau }_f{\tau }_e}-\frac{13}{2^8}f+\frac{7}{2^9}\left(f^{{\tau }_e}+f^{{\tau }_e{\tau }_f}\right)-\frac{3}{8}\alpha \left(e,f\right)+\frac{7}{48}\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)$

$\alpha \left(e,f\right)\cdot \alpha \left(e,f\right)=\frac{7}{3\cdot 2^{11}}\left(e+e^{{\tau }_f}+e^{{\tau }_f{\tau }_e}\right)+\frac{7}{2^{13}}\left(f+f^{{\tau }_e}+f^{{\tau }_e{\tau }_f}\right)-\frac{17}{2^8}\alpha \left(e,f\right)-\frac{7}{3\cdot 2^9}\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)$

$\alpha \left(e,f\right)\cdot \alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)=-\frac{35}{2^{13}}\left(e+e^{{\tau }_f}+e^{{\tau }_f{\tau }_e}\right)+\frac{7}{2^{12}}\left(f+f^{{\tau }_e}+f^{{\tau }_e{\tau }_f}\right)+\frac{21}{2^8}\alpha \left(e,f\right)+\frac{15}{2^9}\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)$

$\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)\cdot \alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)=\frac{147}{2^{13}}\left(e+e^{{\tau }_f}+e^{{\tau }_f{\tau }_e}\right)-\frac{63}{2^9}\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)$

因为V₂中的e和f的地位是相同的，因此V₂中的其他的基向量之间的乘积都可以由上述它们的乘积推导出来(交换e和f或者在等式两边同时作用对合自同构)。

4.3. 求解Ising向量的具体表达式

对于 ${\varpi }^2$ 对应的那个第7个Ising向量不妨记作 $\tilde{\omega }$，首先它在V₂中，假设它在V₂中我们选定基下的表达式为 $\tilde{\omega }=x_0{e}^{{\tau }_f{\tau }_e}+x_1{f}^{{\tau }_e}+x_{2}e+x_{3}f+x_4{e}^{{\tau }_f}+x_5{f}^{{\tau }_e{\tau }_f}+x_6\alpha \left(e,f\right)+x_7\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)$。根据3.3.中两种Ising向量之间的对应及其内积关系有： $\langle \tilde{\omega },\tilde{\omega }\rangle =\frac{1}{4}$， $\tilde{\omega }\tilde{\omega }=2\tilde{\omega }$，还有下面关系式

$\langle \tilde{\omega },e\rangle =\langle \tilde{\omega },e^{{\tau }_f}\rangle =\langle \tilde{\omega },e^{{\tau }_f{\tau }_e}\rangle =\langle \tilde{\omega },f\rangle =\langle \tilde{\omega },f^{{\tau }_e}\rangle =\langle \tilde{\omega },f^{{\tau }_e{\tau }_f}\rangle =\frac{1}{32}$.

在 $\tilde{\omega }$ 的表达式中有8个未知量，上述正好有8个方程，将 $\tilde{\omega }$ 的表达式带入到上述8个等式中，再利用4.1.中内积关系式和4.2.中乘积关系式，利用Matlab可以求解出方程组。最后我们求出最后结果为： $x_0=x_2=x_4=\frac{1}{3},x_1=x_3=x_5=1,x_6=32,x_7=\frac{32}{3}$。因此我们得到了第7个Ising向量在我们选定的基下的表达式： $\tilde{\omega }=\frac{1}{3}\left(e+e^{{\tau }_f}+e^{{\tau }_f{\tau }_e}\right)+\left(f+f^{{\tau }_e}+f^{{\tau }_e{\tau }_f}\right)+32\alpha \left(e,f\right)+\frac{32}{3}\alpha \left(e,e^{{\tau }_f}\right)$。