取整函数在数列极限应用中的一个常见错误

A Common Mistake of Integer Functions in Application to the Limits of Sequence

摘要: 取整函数在数列极限中有着广泛的应用。本文指出了该函数在应用中的常见错误。同时本文提出了一种基于函数特性的解决方案，并且举例证明了该方法的有效性。

Abstract: The integer function has a wide range of applications in the limits of series. This article points out the common errors in the application of this function. In addition, this article proposes a solution based on function properties and proves the effectiveness of the method with examples.

设x是一个实数，把不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作 $\left[x\right]$。函数 $\left[x\right]$ 的定义域是实数集R，函数 $\left[x\right]$ 通常称为取整函数，这一函数在数论及计算机领域中有着广泛的应用。这一函数在数列极限问题中也经常被用到，但是容易被用错。在证明数列极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$ 时，需要任意取定一个正数 $\epsilon$，然后证明存在一个正整数N，使得当正整数 $n>N$ 时，有 $\left|a_n-a\right|<\epsilon$。在取正整数N时，经常需要用到取整函数。下面我们将先给出取整函数的两个简单性质，即性质1和性质2。然后列举一个例子说明如何应用这性质2证明数列极限，接着列举三个例子，说明一些书刊中存在的错误。

性质1 [1] $\left[x\right]\le x<\left[x\right]+1$。

性质2设x为实数，n为整数，且 $n>\left[x\right]$，则 $n>x$。

证 由性质1得， $\left[x\right]>x-1$。又因n及 $\left[x\right]$ 都为整数，且 $n>\left[x\right]$，故 $n\ge \left[x\right]+1>\left(x-1\right)+1=x$，从而 $n>x$。

例1 证明数列 $\left\{\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}\right\}$ 的极限为零。

证 对任意给定的 $\epsilon >0$，要使

$\left|\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\epsilon$ , (1)

只需 $n>\frac{1}{\epsilon }$ 即可。

由 $N=\max \left\{\left[\frac{1}{\epsilon }\right],1\right\}$ 可得， $N\ge \left[\frac{1}{\epsilon }\right]$， $N\ge 1$，而 $\left[\frac{1}{\epsilon }\right]$ 和1都为整数，故N为正整数，当正整数 $n>N$ 时， $n>\left[\frac{1}{\epsilon }\right]$。于是，由数列极限定义可知，数列 $\left\{\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}\right\}$ 的极限为零。

说明：如果取 $N=\left[\frac{1}{\epsilon }\right]$，这是不妥的，因为当 $\epsilon >1$ 时， $\left[\frac{1}{\epsilon }\right]$ 不是正整数．当然，如果限定 $0<\epsilon <1$，倒是可以取 $N=\left[\frac{1}{\epsilon }\right]$ 的。

例2 [2] 证明：对 $\left|q\right|<1$ 的任何常数q，数列 $\left\{q^n\right\}$ 为无穷小量。

证 当 $q=0$ 时，结论显然正确。下面考虑 $q\ne 0$ 的情形。对任意给定的 $\epsilon >0$，要使

$\left|q^n-0\right|={\left|q\right|}^n<\epsilon$ ,(2)

只需 $n\ln \left|q\right|<\ln \epsilon$，即 $n>\frac{\ln \epsilon }{\ln \left|q\right|}$。

取正整数 $N=\max \left\{\left[\frac{\ln \epsilon }{\ln \left|q\right|}\right],1\right\}$，则当正整数 $n>N$ 时，(2)式成立。这是因为当正整数 $n>N$ 时， $n>\left[\frac{\ln \epsilon }{\ln \left|q\right|}\right]$。由性质(2)得， $n>\frac{\ln \epsilon }{\ln \left|q\right|}$，从而(2)成立。故数列 $\left\{q^n\right\}$ 为无穷小量。

附记：文 [2] 在假定 $0<\epsilon <1$ 时，取正整数 $N=\left[\frac{\ln \epsilon }{\ln \left|q\right|}\right]$。但这种取法欠妥，因为当 $q=e^{-2}$， $\epsilon =e^{-1}$ 时， $\left[\frac{\ln \epsilon }{\ln \left|q\right|}\right]=\left[\frac{\ln e^{-1}}{\ln \left|e^{-2}\right|}\right]=\left[\frac{1}{2}\right]=0$ 不是正整数。

例3 [2] 设q为适合不等式 $\left|q\right|>1$ 的任意常数，则 $\left\{q^n\right\}$ 为无穷大量。

证 对任意给定的 $G>0$，要使

$\left|q^n\right|={\left|q\right|}^n>G$， (3)

只需 $n\ln \left|q\right|>\ln G$，即 $n>\frac{\ln G}{\ln \left|q\right|}$。

取正整数 $N=\max \left\{\left[\frac{\ln G}{\ln \left|q\right|}\right],1\right\}$，则当正整数 $n>N$ 时，(3)式成立。这是因为，当正整数 $n>N$ 时， $n>\left[\frac{\ln G}{\ln \left|q\right|}\right]$。由性质(2)得， $n>\frac{\ln G}{\ln \left|q\right|}$，从而(3)式成立。

附记：文 [2] 在假定 $G>1$ 时，取正整数 $N=\left[\frac{\ln G}{\ln \left|q\right|}\right]$。这也是欠妥的，因为当 $G=e$， $q=e^2$ 时， $\left[\frac{\ln G}{\ln \left|q\right|}\right]=0$ 不是正整数。

例4 [3] 已知 $x_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{{\left(n+1\right)}^2}$，证明 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$。

证 因为

$\left|x_n-0\right|=\left|\frac{{\left(-1\right)}^n}{{\left(n+1\right)}^2}-0\right|=\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}<\frac{1}{n+1}$ ,

所以，对任意给定的 $\epsilon >0$，要使 $\frac{1}{n+1}<\epsilon$，只需 $n>\frac{1}{\epsilon }-1$ 即可。取正整数 $N=\max \left\{\left[\frac{1}{\epsilon }-1\right],1\right\}$，则当正整数 $n>N$ 时， $\left|x_n-0\right|<\epsilon$。故由数列极限定义得， $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$。

附记：文 [3] 在假定 $\epsilon \in \left(0,1\right)$ 下，取正整数 $N=\left[\frac{1}{\epsilon }-1\right]$ 不妥，这是因为，当 $\epsilon =\frac{2}{3}$ 时， $\left[\frac{1}{\epsilon }-1\right]=\left[\frac{1}{\frac{2}{3}}-1\right]=\left[\frac{1}{2}\right]=0$ 不是正整数。

参考文献