两个相位的非局部等周问题的基态解的存在性

Existence of Ground States Solutions for a Nonlocal Isoperimetric Problem with Two Phases

摘要: 本文主要研究了具有幂律势的两个相位的非局部等周问题。利用集中紧性原理，证明了具有两个相位的非局部等周问题基态解的存在性。本文是在泛函的极小值的存在性的背景下，研究了两个相位的非局部等周问题的基态解的存在性，主要运用集中紧性方法，证明了紧性成立，从而证明基态解的存在性。

Abstract: A nonlocal isoperimetric problem of two phases with power-law potentials is investigated. Using the concentration-compactness lemma, we prove the existence of ground states for the nonlocal isop-erimetric problem with two phases. In this paper, the existence of the ground state solution of the nonlocal isoperimetric problem with two phases is investigated in the context of the existence of the minimal value of the generalized function, and the existence of the ground state solution is proved by proving that the compactness holds, using the method of concentration-compactness lemma.

1. 引言

两种或两种以上相互作用的物种的模型被广泛应用于许多科学领域，如物理、数学、化学、生物、力学等方向众多分支当中。如物理化学中的纳米粒子自组装、生物菌落的形成、两个物种群体共识问题和行人动力学问题等。所有这些模型的基本特征都是存在相互竞争的力量，目的是推动两个阶段走向不同的形状。结合数学的知识，我们就将其转化为考虑两个受交叉和自吸引相互作用的物种的变分模型。

2015年，Choksi，Fetecau和Topaloglu等人 [1] 建立了由幂律势组成的一类能量函数的全局最小值的存在，即他们考虑如下的能量函数的基态：

$E\left(\rho \right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}K\left(x-y\right)\rho \left(x\right)\rho \left(y\right)\text{d}x\text{d}y$

在限制条件

$\mathcal{A}\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}=\left\{\rho \in L^1\left({ℝ}^N\right)\cap L^{\infty }\left({ℝ}^N\right)\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\rho \ge \mathrm{0,}{\Vert \rho \Vert }_{L^{\infty }}\le M\mathrm{,}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}\rho \left(x\right)\text{d}x=m\right\}$

下的极小值，这里 $K\left(x\right)=\frac{1}{p}{\left|x\right|}^{-p}-\frac{1}{q}{\left|x\right|}^{-q}$，对于 $q<p<N$ 且 $p,q\ne 0$，证明该泛函在 $\mathcal{A}$ 下存在一个极小值。

2019年，Zhang guoqing，Geng xiaoqian [2] 研究了如下形式的泛函：

$E\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|\nabla u\right|}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}K\left(x-y\right)u\left(x\right)u\left(y\right)\text{d}x\text{d}y}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}V\left(x\right)u\left(x\right)\text{d}x}$

在 $\mathcal{A}$ 限制下

$\mathcal{A}\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}=\left\{u:BV\left({ℝ}^N\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}\left\{\mathrm{0,1}\right\}\right),{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}u\text{d}x=m\right\}$

极小值的存在性。其中 $N>2$，幂律势 $K\left(x\right)=\frac{1}{p}{\left|x\right|}^{-p}-\frac{1}{q}{\left|x\right|}^{-q}$， $q<p<N$。

2. 预备知识和基本引理

本文研究了如下泛函的基态

$\begin{array}{c}E\left(f_1\mathrm{,}{f}_2\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}\left|\nabla f_1\right|+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}\left|\nabla f_2\right|+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}K\left(x-y\right)f_1\left(x\right)f_1\left(y\right)\text{d}x\text{d}y\\ +{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}K\left(x-y\right)f_2\left(x\right)f_2\left(y\right)\text{d}x\text{d}y-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V\left(x\right)f_1\left(x\right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V\left(x\right)f_2\left(x\right)\text{d}x\end{array}$ (2.1)

在约束 ${\mathcal{A}}_{m_1\mathrm{,}{m}_2}$

$\begin{array}{l}{\mathcal{A}}_{m_1\mathrm{,}{m}_2}:=\{\left(f_1\mathrm{,}{f}_2\right)\in BV\left({ℝ}^N\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}\left\{\mathrm{0,1}\right\}\right)\times BV\left({ℝ}^N\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}\left\{\mathrm{0,1}\right\}\right)\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\\ {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^{\mathbb{N}}}}{f}_i\left(x\right)\text{d}x=m_i\mathrm{,}i=\mathrm{1,2,}{f}_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)\le \mathrm{1,}\text{for}\text{a}\text{.e}\mathrm{.}x\in {ℝ}^N\}\end{array}$ (2.2)

上极小值的存在性。其中， $N>2$， $K\left(x\right)=\frac{1}{p}{\left|x\right|}^{-p}-\frac{1}{q}{\left|x\right|}^{-q}$， $q<p<N$。外部势能 $V\left(x\right)$ 满足一些适当的条件， $E\left(f_1\mathrm{,}{f}_2\right)$ 中的第一项和第二项是计算函数 $\left(f_1\mathrm{,}{f}_2\right)$ 的总变分，

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}\left|\nabla f_i\right|=\sup \left\{{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{f}_{i}div\varphi \text{d}x\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\varphi \in C_0^1\left({ℝ}^N\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}{ℝ}^N\right)\mathrm{,}\left|\varphi \right|\le \mathrm{1,}i=\mathrm{1,2}\right\}$ (2.3)

因此，由(2.3)，问题(2.1)可以被看作是如下有限周长集合上的最小化问题：

$\begin{array}{l}\min \{P\left(E_1\right)+P\left(E_2\right)+{\displaystyle {\int }_{E_1}}{\displaystyle {\int }_{E_1}}K\left(x-y\right)\text{d}x\text{d}y+{\displaystyle {\int }_{E_2}}{\displaystyle {\int }_{E_2}}K\left(x-y\right)\text{d}x\text{d}y\\ -{\displaystyle {\int }_{E_1}}V\left(x\right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{E_2}}V\left(x\right)\text{d}x:\left|E_i\right|=m_i,\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}i=1,2\}\end{array}$

其中 $\left|E_i\right|$ 表示 $E_i\left(i=1,2\right)$ 的Lebesgue测度， $E_1\cap E_2=\varnothing$，且 $P\left(E_i\right)$ 表示他的周长。

现在，定义如下的 $e\left(m_1\mathrm{,}{m}_2\right)$ ：

$\begin{array}{l}e\left(m_1,m_2\right):=\inf \{E\left(f_1,f_2\right):\left(f_1,f_2\right)\in BV\left({ℝ}^N;\left\{0,1\right\}\right)\times BV\left({ℝ}^N;\left\{0,1\right\}\right)\\ {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{f}_i\text{d}x=m_i,f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)\le 1\}\end{array}$

此外，我们还通过定义了无穷远处的最小值问题 $e_0\left(m_1\mathrm{,}{m}_2\right)$ ：

$\begin{array}{l}{e}_0\left(m_1,m_2\right):=\inf \{E_0\left(f_1,f_2\right):\left(f_1,f_2\right)\in BV\left({ℝ}^N;\left\{0,1\right\}\right)\times BV\left({ℝ}^N;\left\{0,1\right\}\right):\\ {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{f}_i\left(x\right)\text{d}x=m_i,i=1,2,f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)\le 1\}\end{array}$

其中

$\begin{array}{l}{E}_0\left(f_1,f_2\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}\left|\nabla f_1\right|+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}\left|\nabla f_2\right|+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}K\left(x-y\right)f_1\left(x\right)f_1\left(y\right)\text{d}x\text{d}y\\ +{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}K\left(x-y\right)f_2\left(x\right)f_2\left(y\right)\text{d}x\text{d}y\end{array}$

引理2.1

假设 $\left\{F_n\right\}$ 和 $\left\{E_n\right\}$ 是 $R^{\mathbb{N}}$ 中具有一致有界测度的可测集序列，且对所有的n成立 $\left|F_n\cap E_n\right|=0$。我们定义 $F_n\to F$ (全局)，若 $\left|F_n\Delta F\right|\to 0$， $F_n\to F$ (局部)，如果对任一紧集 $K\subset R^{\mathbb{N}}$， $\left|\left(F_n\Delta F\right)\cap K\right|\to 0$。假设对于一些可测集F

$F_n\to F$ (全局的)和 $E_n\to 0$ (局部的)

对于一些可测集F，那么我们有

$I\left(F_n\cup E_n\right)=I\left(F_n\right)+I\left(E_n\right)+o\left(1\right)$ (2.4)

和

$I\left(F_n\right)=I\left(F\right)+o\left(1\right)$ (2.5)

这里 $I\left(A\right)={\displaystyle {\int }_A}{\displaystyle {\int }_A}D\left(x-y\right)\text{d}x\text{d}y$， $D\left(x\right)\in L_{loc}^1\left({ℝ}^N\right)$， ${\lim }_{\left|x\right|\to \infty }D\left(x\right)=0$，A是 ${ℝ}^N$ 的一个可测集。

证明：首先我们注意到

$\left|I\left(F_n,E_n\right)-I\left(F,E_n\right)\right|\le \left|I\left(F_n\Delta F,E_n\right)\right|=\left|{\displaystyle {\int }_{F_n\Delta F}{\displaystyle {\int }_{E_n}D\left(x-y\right)\text{d}x\text{d}y}}\right|\to 0$ (2.6)

当 $n\to \infty$，其中 $F_n\Delta F\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}=\left(F_n\backslash F\right)\cup \left(F\backslash F_n\right)$。现在，我们断言当 $n\to \infty$，

$I\left(F_n\mathrm{,}{E}_n\right)={\displaystyle {\int }_{F_n}}{\displaystyle {\int }_{E_n}}D\left(x-y\right)\text{d}x\text{d}y\to 0$

实际上，对任给 $\epsilon >0$，我们选择 $R>0$，使得

$\left|{\displaystyle {\int }_F}D\left(x-y\right)\text{d}y\right|\le \epsilon$

对任何 $\left|x\right|\ge R$。我们有

$\begin{array}{c}\left|I\left(F\mathrm{,}{E}_n\right)\right|=\left|I\left(F\mathrm{,}{E}_n\cap B_R\right)+I\left(F\mathrm{,}{E}_n\backslash B_R\right)\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_F}{\displaystyle {\int }_{E_n\cap B_R}}D\left(x-y\right)\text{d}x\text{d}y+\epsilon \left|E_n\backslash B_R\right|\end{array}$

这里的 $B_R$ 表示以 $0\in {ℝ}^N$ 为圆心半径为R的开球。因为当 $n\to \infty$， $E_n\to 0$ (局部的)，我们有当 $\left|E_n\cap B_R\right|\to 0$，由(2.6)，我们得到，当 $n\to \infty$

$I\left(F_n\mathrm{,}{E}_n\right)={\displaystyle {\int }_{F_n}}{\displaystyle {\int }_{E_n}}D\left(x-y\right)\text{d}x\text{d}y\to 0$

也就是说，

$I\left(F_n\cup E_n\right)=I\left(F_n\right)+I\left(E_n\right)+o(\; 1\; )$

类似于(2.4)的证明，我们可以得到(2.5)。

引理2.2

若 $0<q<p<N$，

$\begin{array}{l}{E}_0\left(f_1,f_2\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}\left|\nabla f_1\right|+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}K\left(x-y\right)f_1\left(x\right)f_1\left(y\right)\text{d}x\text{d}y\\ +{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}\left|\nabla f_2\right|+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}K\left(x-y\right)f_2\left(x\right)f_2\left(y\right)\text{d}x\text{d}y\end{array}$

那么，我们有

$e\left(m_1,m_2\right)\le e\left(m_{10},m_{20}\right)+e_0\left(m_{11},m_{21}\right)+e_0\left(m_1-m_{10}-m_{11},m_2-m_{20}-m_{21}\right)$ (2.7)

其中 $0\le m_{i0}+m_{i1}\le m\left(i=1,2\right)$。

证明：首先，我们证明下面的不等式

$e\left(m_1,m_2\right)\le e\left(m_{10},m_{20}\right)+e_0\left(m_{11},m_{21}\right),m_i=m_{i0}+m_{i1},\left(i=1,2\right)$ (2.8)

实际上，不等式(8)可以通过以下的过程得到：对任给 $\epsilon >0$，存在一对有界集 ${\Omega }_{i0}$ 和 ${\Omega }_{i1}\left(i=1,2\right)$ 成立

$E_0\left({\chi }_{{\Omega }_{10}},{\chi }_{{\Omega }_{20}}\right)\le e_0\left(m_{10},m_{20}\right)+\epsilon$ 和 $E_0\left({\chi }_{{\Omega }_{11}},{\chi }_{{\Omega }_{21}}\right)\le e_0\left(m_{11},m_{21}\right)+\epsilon$ (2.9)

因此，我们可以选择 $R>0$ 使得 ${\Omega }_{i0},{\Omega }_{i1}\subset B_R\left(0\right)\left(i=1,2\right)$。我们定义 ${\tilde{\Omega }}_i={\Omega }_{i0}+\left(d+{\Omega }_{i1}\right)$，其中d是一个位移矢量，且 $\left|d\right|>2R$，因此， $\left|{\tilde{\Omega }}_i\right|=\left|{\Omega }_{i0}\right|+\left|{\Omega }_{i1}\right|=m_{i0}+m_{i1}\left(i=1,2\right)$。注意到对于 $x\in {\Omega }_{i0}$ 和 $y\in d+{\Omega }_{i1}$，我们有

$0<\left|d\right|-2R\le \left|x-y\right|\le \left|d\right|+2R$ (2.10)

具体来说，我们有

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|\nabla {\chi }_{{\tilde{\Omega }}_i}\right|={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|\nabla {\chi }_{{\Omega }_{i0}}\right|}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|\nabla {\chi }_{{\Omega }_{i1}}\right|}}$ (2.11)

和

$\begin{array}{l}E\left({\chi }_{{\tilde{\Omega }}_1},{\chi }_{{\tilde{\Omega }}_2}\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|\nabla {\chi }_{{\tilde{\Omega }}_1}\right|}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}K\left(x-y\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_1}\left(x\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_1}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y}}\\ +{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|\nabla {\chi }_{{\tilde{\Omega }}_2}\right|}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}K\left(x-y\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_2}\left(x\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_2}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y}}\\ -{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}V\left(x\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_2}\left(x\right)\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}V\left(x\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_1}\left(x\right)\text{d}x}\end{array}$ (2.12)

和

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|\nabla {\chi }_{{\tilde{\Omega }}_1}\right|}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|\nabla {\chi }_{{\tilde{\Omega }}_2}\right|}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|\nabla {\chi }_{{\Omega }_{10}}\right|}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|\nabla {\chi }_{{\Omega }_{11}}\right|}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|\nabla {\chi }_{{\Omega }_{20}}\right|}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|\nabla {\chi }_{{\Omega }_{21}}\right|}$ (2.13)

和

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}K\left(x-y\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_1}\left(x\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_1}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y}}\\ ={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}K\left(x-y\right){\chi }_{{\Omega }_{10}}\left(x\right){\chi }_{{\Omega }_{10}}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y}}\\ +2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}K\left(x-y\right){\chi }_{{\Omega }_{10}}\left(x\right){\chi }_{{\Omega }_{11}+d}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y}}\\ +{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}K\left(x-y\right){\chi }_{{\Omega }_{11}+d}\left(x\right){\chi }_{{\Omega }_{11}+d}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y}}\end{array}$ (2.14)

和

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}K\left(x-y\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_2}\left(x\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_2}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y}}\\ ={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}K\left(x-y\right){\chi }_{{\Omega }_{20}}\left(x\right){\chi }_{{\Omega }_{20}}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y}}\\ +2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}K\left(x-y\right){\chi }_{{\Omega }_{20}}\left(x\right){\chi }_{{\Omega }_{21}+d}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y}}\\ +{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}K\left(x-y\right){\chi }_{{\Omega }_{21}+d}\left(x\right){\chi }_{{\Omega }_{21}+d}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y}}\end{array}$ (2.15)

和

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}V\left(x\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_1}\left(x\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}V\left(x\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_2}\left(x\right)\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}V\left(x\right){\chi }_{{\Omega }_{10}}\left(x\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}V\left(x\right){\chi }_{{\Omega }_{20}}\left(x\right)\text{d}x}\\ +{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}V\left(x\right){\chi }_{{\Omega }_{11}+d}\left(x\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}V\left(x\right){\chi }_{{\Omega }_{21}+d}\left(x\right)\text{d}x}\end{array}$ (2.16)

结合(2.11)~(2.16)，我们得到

$\begin{array}{c}e\left(m_1,m_2\right)\le E\left({\chi }_{{\tilde{\Omega }}_1},{\chi }_{{\tilde{\Omega }}_2}\right)\\ =E\left({\chi }_{{\Omega }_{10}},{\chi }_{{\Omega }_{20}}\right)+E_0\left({\chi }_{{\Omega }_{11}},{\chi }_{{\Omega }_{21}}\right)\\ +2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}K\left(x-y\right){\chi }_{{\Omega }_{10}}\left(x\right){\chi }_{{\Omega }_{11}+d}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y\\ +2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}K\left(x-y\right){\chi }_{{\Omega }_{20}}\left(x\right){\chi }_{{\Omega }_{21}+d}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y\\ -{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V\left(x\right){\chi }_{{\Omega }_{11}+d}\left(x\right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V\left(x\right){\chi }_{{\Omega }_{21}+d}\left(x\right)\text{d}x\end{array}$

由(2.9)和(2.10)，

$\begin{array}{c}e\left(m_1,m_2\right)\le e\left(m_{10},m_{20}\right)+e_0\left(m_{11},m_{21}\right)+2\epsilon +\frac{2}{p}{m}_{10}{m}_{11}{\left(\left|d\right|-2R\right)}^{-p}\\ +\frac{2}{q}{m}_{10}{m}_{11}{\left(\left|d\right|+2R\right)}^{-q}+\frac{2}{p}{m}_{20}{m}_{21}{\left(\left|d\right|-2R\right)}^{-p}+\frac{2}{q}{m}_{20}{m}_{21}{\left(\left|d\right|+2R\right)}^{-q}\\ +{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V\left(x\right){\chi }_{d+{\Omega }_{11}}\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V\left(x\right){\chi }_{d+{\Omega }_{21}}\text{d}x\end{array}$

当 $\left|d\right|\to \infty$ 和 $\epsilon \to 0$，我们得到(2.8).

接下来，我们证明下面的不等式

$e_0\left(m_1,m_2\right)\le e_0\left(m_{10},m_{20}\right)+e_0\left(m_{11},m_{21}\right),m_i=m_{i0}+m_{i1}\left(i=1,2\right)$ (2.17)

同(2.8)的证明一样，假设 ${\Omega }_{i0}$ 和 ${\Omega }_{i1}$ 是有界的集合，且

$E_0\left({\chi }_{{\Omega }_{10}},{\chi }_{{\Omega }_{20}}\right)\le e_0\left(m_{10},m_{20}\right)+\epsilon$ 和 $E_0\left({\chi }_{{\Omega }_{11}},{\chi }_{{\Omega }_{21}}\right)\le e_0\left(m_{11},m_{21}\right)+\epsilon$ (2.18)

通过考虑 ${\tilde{\Omega }}_i={\Omega }_{i0}+\left(d+{\Omega }_{i1}\right)$，其中d是一个位移矢量，我们有

$\begin{array}{l}{E}_0\left({\chi }_{{\tilde{\Omega }}_1},{\chi }_{{\tilde{\Omega }}_2}\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|\nabla {\chi }_{{\tilde{\Omega }}_1}\right|}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|\nabla {\chi }_{{\tilde{\Omega }}_2}\right|}\\ +{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}K\left(x-y\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_1}\left(x\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_1}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y}}\\ +{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}K\left(x-y\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_2}\left(x\right){\chi }_{{\tilde{\Omega }}_2}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y}}\end{array}$ (2.19)

结合(2.19)和(2.12)~(2.15)，我们有

$\begin{array}{c}{e}_0\left(m_1,m_2\right)\le E_0\left({\chi }_{{\tilde{\Omega }}_1},{\chi }_{{\tilde{\Omega }}_2}\right)\\ =E_0\left({\chi }_{{\Omega }_{10}},{\chi }_{{\Omega }_{20}}\right)+E_0\left({\chi }_{{\Omega }_{11}},{\chi }_{{\Omega }_{21}}\right)\\ +\frac{2}{p}{m}_{10}{m}_{11}{\left(\left|d\right|-2R\right)}^{-p}+\frac{2}{q}{m}_{10}{m}_{11}{\left(\left|d\right|+2R\right)}^{-q}\\ +\frac{2}{p}{m}_{20}{m}_{21}{\left(\left|d\right|-2R\right)}^{-p}+\frac{2}{q}{m}_{20}{m}_{21}{\left(\left|d\right|+2R\right)}^{-q}\end{array}$

由(2.10)和(2.18)，我们得到，当 $\left|d\right|\to \infty$ 和 $\epsilon \to 0$，(2.17)仍然成立。

结合(2.8)和(2.17)，我们有

$e\left(m_1\mathrm{,}{m}_2\right)\le e\left(m_{10}\mathrm{,}{m}_{20}\right)+e_0\left(m_{11}\mathrm{,}{m}_{21}\right)+e_0\left(m_1-m_{10}-m_{11}\mathrm{,}{m}_2-m_{20}-m_{21}\right)$

这样就完成了引理2.2的证明。

3. 主要结果及证明

本文的主要结果如下：

定理3.1 [3]

假设 $0<q<p<N$， $K\left(x\right)=\frac{1}{p}{\left|x\right|}^{-p}-\frac{1}{q}{\left|x\right|}^{-q}$， $V\left(x\right)$ 满足(L1)和(L2)，

(L1) $V\ge 0$ 和 $V\in L_{loc}^1\left({ℝ}^N\right)$，

(L2) ${\lim }_{\left|x\right|\to \infty }V\left(x\right)=0$。

那么对任意 $m_i>0\left(i=1,2\right)$，问题(2.1)在 ${\mathcal{A}}_{m_1\mathrm{,}{m}_2}$ 上存在一个基态解。

证明：当 $0<q<p<N$，因为 $\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }K\left(x\right)=0$ 和 $\underset{\left|x\right|\to 0}{\lim }K\left(x\right)=+\infty$，我们得出

$\underset{x\in {ℝ}^N\backslash \left\{0\right\}}{\inf }K\left(x\right)=\frac{1}{p}-\frac{1}{q}$ 和 $K\left(x\right)\ge \frac{1}{p}-\frac{1}{q}$

由(L1)和(L2)，我们选择 $R>0$ 使得 $V\left(x\right)\le 1$，对 $\left|x\right|\ge R$，我们有

$\begin{array}{c}E\left(f_1,f_2\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}\left|\nabla f_1\right|+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}K\left(x-y\right)f_1\left(x\right)f_1\left(y\right)\text{d}x\text{d}y-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V\left(x\right)f_1\left(x\right)\text{d}x\\ +{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}\left|\nabla f_2\right|+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}K\left(x-y\right)f_2\left(x\right)f_2\left(y\right)\text{d}x\text{d}y-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V\left(x\right)f_2\left(x\right)\text{d}x\\ \ge \left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{f}_1\left(x\right)f_1\left(y\right)\text{d}x\text{d}y-{\displaystyle {\int }_{\left\{\left|x\right|\ge R\right\}}}{f}_1\left(x\right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\left\{\left|x\right|<R\right\}}}V\left(x\right)f_2\left(x\right)\text{d}x\\ +\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{f}_2\left(x\right)f_2\left(y\right)\text{d}x\text{d}y-{\displaystyle {\int }_{\left\{\left|x\right|\ge R\right\}}}{f}_2\left(x\right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\left\{\left|x\right|<R\right\}}}V\left(x\right)f_1\left(x\right)\text{d}x\\ \ge \left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right)\left(m_1^2+m_2^2\right)-2{\Vert V\Vert }_{L^1\left(B_R\right)}-\left(m_1+m_2\right)\end{array}$

这表明 $e\left(m_1,m_2\right)$ 是下有界的。

由以上可得问题(2.1)存在一个极小化序列 $\left(f_{1n},f_{2n}\right)$，因为 $\left(f_{1n}\mathrm{,}{f}_{2n}\right)\subset BV\left({ℝ}^N\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}\left\{\mathrm{0,1}\right\}\right)\times BV\left({ℝ}^N\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}\left\{\mathrm{0,1}\right\}\right)$， ${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{f}_{in}\left(x\right)\text{d}x=m_i$，由 [4] 我们得极小化序列有一致有界的周长。为了简化证明，我们定义有限周长集 $\left\{{\Omega }_{in}\right\}\subset {ℝ}^N$ 满足 ${\chi }_{{\Omega }_{in}}=f_{in}$，且对所有的 $n\in N$ 有 $\left|{\Omega }_{in}\right|=m_i$。利用 [5] 中的推论(12.27)，存在一个子序列 $\left\{f_{in}\right\}$ 和有限周长集 ${\Omega }_i^0\subset {ℝ}^N$ 满足在 $L_{loc}^1\left({ℝ}^N\right)$ 中有 $f_{in}\to {\chi }_{{\Omega }_i^0}$。

将证明过程分为如下5步

结论1. 在以下四种情况下：

情况1： $0<m_{10}<m_1$， $0<m_{20}<m_2$。

情况2： $0<m_{10}=m_1$， $0<m_{20}<m_2$。

情况3： $0<m_{10}<m_1$， $0=m_{20}<m_2$。

情况4： $0<m_{10}=m_1$， $0=m_{20}<m_2$。

都成立下面的不等式

$e\left(m_1,m_2\right)\ge e\left(m_{10},m_{20}\right)+e_0\left(m_{11},m_{21}\right)+e_0\left(m_1-m_{10}-m_{11},m_2-m_{20}-m_{21}\right)$ (3.1)

其中 $0<m_{10}+m_{11}\le m_1$ 和 $0<m_{20}+m_{21}\le m_2\left(i=1,2\right)$。

现在，我们将不等式(3.1)分为以下四种情况证明。

情况1： $0<m_{10}<m_1$， $0<m_{20}<m_2$。

第一步：为了证明不等式(3.1)成立，实际上，我们假设 $0<\left|{\Omega }_i^0\right|<m_i\left(i=1,2\right)$。由 [6] 的引理2.2知，存在一个序列 $\left\{r_{in}\right\}\left(i=1,2\right)$，使得有如下的集合

$G_{in}^0={\Omega }_{in}\cap B_{r_n}$ 和 $H_{in}^0={\Omega }_{in}\cap \left({ℝ}^N\backslash \overline{B_{r_n}}\right)$

然后我们令 $r_n=\max \left\{r_{1n},r_{2n}\right\}$，使得

$G_{in}^0={\Omega }_{in}\cap B_{r_n}$ 和 $H_{in}^0={\Omega }_{in}\cap \left({ℝ}^N\backslash \overline{B_{r_n}}\right)$

满足

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(P\left({\Omega }_{in}\right)-P\left(G_{in}^0\right)-P\left(H_{in}^0\right)\right)=0$

和

$G_{in}^0\to {\Omega }_i^0$ (全局的)和 $H_{in}^0\to \varnothing$ (局部的)

特别地，

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|G_{in}^0\right|=\left|{\Omega }_i^0\right|=m_{i0}$ 和 $\underset{n\to \infty }{\lim }\inf P\left(G_{in}^0\right)\ge P\left({\Omega }_i^0\right)$

我们表示 $g_{in}^0={\chi }_{G_{in}^0}$， $g_i^0={\chi }_{{\Omega }_i^0}$， ${\Omega }_{in}^0=H_{in}^0$ 和 $f_{in}^0={\chi }_{{\Omega }_{in}^0}\left(i=1,2\right)$，由 [7]，使得在 $L^1\left({ℝ}^N\right)$ 中 $f_{in}=g_{in}^0+f_{in}^0=g_i^0+f_{in}^0+o\left(1\right)$，在 $L_{loc}^1\left({ℝ}^N\right)$ 中 $f_{in}^0\to 0$。由 [8] 的引理4，我们有

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V{f}_{in}\text{d}x={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V\left(g_{in}^0+f_{in}^0\right)\text{d}x={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V{g}_i^0\text{d}x+o(\; 1\; )$

由引理2.1，我们得到

$\begin{array}{c}E\left(f_{1n},f_{2n}\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}\left|\nabla f_{1n}\right|\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}\left|\nabla f_{2n}\right|\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}K\left(x-y\right)f_{1n}\left(x\right)f_{1n}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y\\ +{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}K\left(x-y\right)f_{2n}\left(x\right)f_{2n}\left(y\right)\text{d}x\text{d}y-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V{f}_{1n}\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V{f}_{2n}\text{d}x\\ \ge E\left(g_{1n}^0,g_{2n}^0\right)+E_0\left(f_{1n}^0,f_{2n}^0\right)+o(\; 1\; )\end{array}$

第二步：正如第一步的证明，我们用 $\left\{f_{in}^0\right\}$ 替代 $\left\{f_{in}\right\}$， $\left\{{\Omega }_{in}^0\right\}$ 替代 $\left\{{\Omega }_{in}\right\}$。由 [9]，很容易知道在 $L_{loc}^1\left({ℝ}^N\right)$ 中 $f_{in}^0={\chi }_{{\Omega }_{in}^0}\to 0$ 和 $\left|{\Omega }_{in}^0\right|=m_i-m_{i0}+o\left(1\right)$，由 [10] 的命题2.1，我们得到存在集合 $\left\{{\Omega }_i^1\right\}$， $0<\left|{\Omega }_i^1\right|<m_i-m_{i0}$ 和序列 $\left\{x_{in}\right\}\subset {ℝ}^N\left(i=1,2\right)$ 使得 ${\chi }_{{\Omega }_{in}^0-x_{in}}\to {\chi }_{{\Omega }_i^1}$ (局部的)。

注意到由 [11]，得在 $L_{loc}^1\left({ℝ}^N\right)$ 中 ${\chi }_{{\Omega }_{in}^0}\to 0$，我们有当 $n\to \infty$ 时， $x_{in}\to \infty$。而且，通过类似的论证， 我们还得到了集合 $\left\{{\Omega }_{in}^0-x_{in}\right\}=\left\{G_{in}^1\right\}\cup \left\{H_{in}^1\right\}$ 满足

在 $L^1\left({ℝ}^N\right)$ 中 ${\chi }_{G_{in}^1}\to {\chi }_{{\Omega }_i^1}$ 和在 $L_{loc}^1\left({ℝ}^N\right)$ 中 ${\chi }_{H_{in}^1}\to 0$

再一次，我们有

$E\left(f_{1n}^0\mathrm{,}{f}_{2n}^0\right)=E_0\left(f_{1n}^0\mathrm{,}{f}_{2n}^0\right)+o\left(1\right)\ge E_0\left(g_1^1\mathrm{,}{g}_2^1\right)+E_0\left(f_{1n}^1\mathrm{,}{f}_{2n}^1\right)+o(\; 1\; )$

其中 $g_i^1={\chi }_{{\Omega }_i^1}$， $f_{in}^1={\chi }_{H_{in}^1+x_{in}}$ 和 $\left|H_{in}^1\right|=\left|H_{in}^0\right|-m_{i1}+o\left(1\right)$，我们令 ${\Omega }_{in}^1=H_{in}^1+x_{in}$， $f_{in}^1\left(x\right)={\chi }_{H_{in}^1+x_{in}}\left(x\right)$。因此，我们有

$\begin{array}{l}E\left(f_{1n}\mathrm{,}{f}_{2n}\right)\ge E\left(g_1^0\mathrm{,}{g}_2^0\right)+E_0\left(f_{1n}^0\mathrm{,}{f}_{2n}^0\right)+o\left(1\right)\\ \ge E\left(g_1^0\mathrm{,}{g}_2^0\right)+E_0\left(g_1^1\mathrm{,}{g}_2^1\right)+E_0\left(f_{1n}^1\mathrm{,}{f}_{2n}^1\right)+o(\; 1\; )\end{array}$

且 $m_i=m_{i0}+m_{i1}+\left|{\Omega }_{in}^1\right|+o\left(1\right)$。由 [12] 的引理4.8得到

$e\left(m_1\mathrm{,}{m}_2\right)\ge e\left(m_{10}\mathrm{,}{m}_{20}\right)+e_0\left(m_{11}\mathrm{,}{m}_{21}\right)+e_0\left(m_1-m_{10}-m_{11}\mathrm{,}{m}_2-m_{20}-m_{21}\right)$

情况2： $0<m_{10}=m_1$， $0<m_{20}<m_2$。由情况1的第一步，有下面的结论

$E\left(f_{1n}\mathrm{,}{f}_{2n}\right)\ge E\left(g_1^0\mathrm{,}{g}_2^0\right)+E_0\left(f_{1n}^0\mathrm{,}{f}_{2n}^0\right)+o(\; 1\; )$

当 $m_{10}=m_1$，则 $m_{11}=m_1-m_{10}=0$。由 $g_{1n}^1={\chi }_{G_{1n}^1}$， $g_1^1={\chi }_{{\Omega }_1^1}$，使得 $g_1^1={\chi }_{{\Omega }_1^1}=\left|{\Omega }_1^1\right|$ 和 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left|G_{1n}^1\right|=\left|{\Omega }_1^1\right|=m_{11}=0$，我们可以得到

$E\left(f_{1n}^0,f_{2n}^0\right)=E_0\left(f_{1n}^0,f_{2n}^0\right)\ge E_0\left(0,g_2^1\right)+E_0\left(f_{1n}^1,f_{2n}^1\right)+o(\; 1\; )$

因此，这表明

$\begin{array}{l}E\left(f_{1n}\mathrm{,}{f}_{2n}\right)\ge E\left(g_1^0\mathrm{,}{g}_2^0\right)+E_0\left(f_{1n}^0\mathrm{,}{f}_{2n}^0\right)+o\left(1\right)\\ \ge E\left(g_1^0\mathrm{,}{g}_2^0\right)+E_0\left(\mathrm{0,}{g}_2^1\right)+E_0\left(f_{1n}^1\mathrm{,}{f}_{2n}^1\right)+o(\; 1\; )\end{array}$

且我们有

$E\left(f_{1n}\mathrm{,}{f}_{2n}\right)\ge E\left(g_1^0\mathrm{,}{g}_2^0\right)+E_0\left(g_1^1\mathrm{,}{g}_2^2\right)+E_0\left(f_{1n}^1\mathrm{,}{f}_{2n}^1\right)+o(\; 1\; )$

所以，我们得到

$e\left(m_1\mathrm{,}{m}_2\right)\ge e\left(m_{10}\mathrm{,}{m}_{20}\right)+e_0\left(m_{11}\mathrm{,}{m}_{21}\right)+e_0\left(m_1-m_{10}-m_{11}\mathrm{,}{m}_2-m_{20}-m_{21}\right)$

情况3与情况4可同理得到。

因此，我们得到

$e\left(m_1\mathrm{,}{m}_2\right)\ge e\left(m_{10}\mathrm{,}{m}_{20}\right)+e_0\left(m_{11}\mathrm{,}{m}_{21}\right)+e_0\left(m_1-m_{10}-m_{11}\mathrm{,}{m}_2-m_{20}-m_{21}\right)$

综上，我们证明了对以上四种情况(3.1)是成立的。

结论2. 我们要证明 $\left|{\Omega }_i^0\right|\ne 0$，即消逝性是不成立的。

事实上，若 $\left\{f_{in}^1\right\}=\left\{f_{in}\right\}$。我们定义一个序列为 $\left\{g_{in}\right\}=\left\{f_{in}\left(x+x_{in}\right)\right\}$，且

在 $L^1\left(R^{\mathbb{N}}\right)$ 中 ${\chi }_{G_{in}^1}\to {\chi }_{{\Omega }_i^1}$ 和在 $L_{loc}^1\left(R^{\mathbb{N}}\right)$ 中 ${\chi }_{H_{in}^1}\to 0$

因此，由 [13] 的引理4和 $E\left(f_1\mathrm{,}{f}_2\right)$ 中前四项的平移不变性，我们推出

$E\left(g_{1n},g_{2n}\right)-E\left(f_{1n},f_{2n}\right)=-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V{\chi }_{{\Omega }_1^1}\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V{\chi }_{{\Omega }_2^1}\text{d}x<0$

又因为 $E\left(g_{1n},g_{2n}\right)-E\left(f_{1n},f_{2n}\right)>0$，这是一个矛盾，所以我们得出 $\left|{\Omega }_i^0\right|\ne 0$。

结论3. 证明 $e\left(m_{10},m_{20}\right)=E\left(g_1^0,g_2^0\right)$ 和 $e_0\left(m_{11},m_{21}\right)=E_0\left(g_1^1,g_2^1\right)$ 成立。实际上，由引理2.2，我们有

$e\left(m_1\mathrm{,}{m}_2\right)\le e\left(m_{10}\mathrm{,}{m}_{20}\right)+e_0\left(m_{11}\mathrm{,}{m}_{21}\right)+e_0\left(m_1-m_{10}-m_{11}\mathrm{,}{m}_2-m_{20}-m_{21}\right)$

且由(3.1)，得出

$\begin{array}{l}e\left(m_{10},m_{20}\right)+e_0\left(m_{11},m_{21}\right)+e_0\left(m_1-m_{10}-m_{11},m_2-m_{20}-m_{21}\right)\\ \ge e\left(m_1,m_2\right)\ge E\left(g_1^0,g_2^0\right)+E_0\left(g_1^1,g_2^1\right)+\underset{n\to \infty }{\lim }\inf E_0\left(f_{1n}^1,f_{2n}^1\right)\\ \ge e\left(m_{10},m_{20}\right)+e_0\left(m_{11},m_{21}\right)+e_0\left(m_1-m_{10}-m_{11},m_2-m_{20}-m_{21}\right)\end{array}$

因此，这表明

$\begin{array}{l}E\left(f_{1n}\mathrm{,}{f}_{2n}\right)\ge E\left(g_1^0\mathrm{,0}\right)+E_0\left(f_{1n}^0\mathrm{,}{f}_{2n}^0\right)+o\left(1\right)\\ \ge E\left(g_1^0\mathrm{,0}\right)+E_0\left(g_1^1\mathrm{,}{g}_2^1\right)+E_0\left(f_{1n}^1\mathrm{,}{f}_{2n}^1\right)+o(\; 1\; )\end{array}$

所以， $E\left(g_1^0,g_2^0\right)=e\left(m_{10},m_{20}\right)$ 和 $E_0\left(g_1^1,g_2^1\right)=e_0\left(m_{11},m_{21}\right)$ 成立。

结论4. 我们断言 $\left|{\Omega }_i^0\right|=m_i\left(i=1,2\right)$

由 [14] 中极小值的正则性，存在 $R>0$ 使得 ${\Omega }_i^0,{\Omega }_i^1\subset B_R\left(0\right)\left(i=1,2\right)$。令 $a\in S^{N-1}$ 是任一单位向量，这里 $S^{N-1}$ 表示 $R^{\mathbb{N}}$ 中的单位球。对充分大的t，有 ${\Omega }_i^0\cap \left({\Omega }_i^1+ta\right)=\varnothing \left(i=1,2\right)$。现在，定义

$h_{i1}\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}\left(\frac{1}{p}{\left|x-y\right|}^{-p}-\frac{1}{q}{\left|x-y\right|}^{-q}\right)g_i^0\left(x\right)g_i^1\left(y-ta\right)\text{d}x\text{d}y$

和

$h_{i2}\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V\left(x\right)g_i^1\left(x-ta\right)\text{d}x$

因为对充分大的 $\left|x\right|$， $K\left(x\right)<0$，所以对充分大的t，

$h_{i1}\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}\left(\frac{1}{p}{\left|x-y\right|}^{-p}-\frac{1}{q}{\left|x-y\right|}^{-q}\right)g_i^0\left(x\right)g_i^1\left(y-ta\right)\text{d}x\text{d}y<0$

和

$h_{i2}\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}V\left(x\right)g_i^1\left(x-ta\right)\text{d}x>0$

因此，对任给 $\epsilon >0$，选择 $t_0>0$ 使得

$h_{i1}\left(t_0\right)-h_{i2}\left(t_0\right)<-\epsilon <0$

且存在一个紧集 $G_i=G_i\left(\epsilon \right)$， $\left|G_i\right|=m_i-m_{i0}-m_{i1}$ 使得

$E_0\left({\chi }_{G_1},{\chi }_{G_2}\right)<e_0\left(m_1-m_{10}-m_{11},m_2-m_{20}-m_{21}\right)+\frac{\epsilon }{3}$

和

$-\frac{\epsilon }{3}<{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_i^1+ta}}{\displaystyle {\int }_{G_{i\tau }}}K\left(x-y\right)\text{d}x\text{d}y<0$

由测试函数 $g_i\left(x\right)=g_i^0\left(x\right)+g_i^1\left(x-t_{0}a\right)+{\chi }_{G_{i\tau }}$，且对 $e\left(m_1\mathrm{,}{m}_2\right)$ 是可容许的，由引理2.1，得

$\begin{array}{c}e\left(m_1,m_2\right)\le E\left(g_1,g_2\right)\\ =E\left(g_1^0,g_2^0\right)+E_0\left(g_1^1,g_2^1\right)+E_0\left({\chi }_{G_{1\tau }},{\chi }_{G_{2\tau }}\right)+2h_{11}\left(t_0\right)\\ +2h_{21}\left(t_0\right)+2{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_1^0}}{\displaystyle {\int }_{G_{1\tau }}}K\left(x-y\right)\text{d}x\text{d}y+2{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_2^0}}{\displaystyle {\int }_{G_{2\tau }}}K\left(x-y\right)\text{d}x\text{d}y\\ +2{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_1^1+ta}}{\displaystyle {\int }_{G_{1\tau }}}K\left(x-y\right)\text{d}x\text{d}y+2{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_2^1+ta}}{\displaystyle {\int }_{G_{2\tau }}}K\left(x-y\right)\text{d}x\text{d}y\\ \le e\left(m_{10},m_{20}\right)+e_0\left(m_{11},m_{21}\right)+e_0\left(m_1-m_{10}-m_{11},m_2-m_{20}-m_{21}\right)-\frac{\epsilon }{3}\end{array}$

所以，它与(3.1)矛盾。即 $\left|{\Omega }_i^0\right|=m_i\left(i=1,2\right)$。

结论5. 问题(2.1)在 ${\mathcal{A}}_{m_1\mathrm{,}{m}_2}$ 上存在基态解。

事实上， ${\left\{f_{in}\right\}}_{n\in N}$ 在 $L^1\left({ℝ}^N\right)$ 中是局部收敛的，即存在一个子序列在 ${ℝ}^N$ 中几乎处处收敛。此外，因为

${\Vert f_{in}\Vert }_{L^1\left({ℝ}^N\right)}={\Vert {\chi }_{{\Omega }_i^0}\Vert }_{L^1\left({ℝ}^N\right)}=m_i\left(i=1,2\right)$

我们得到，在 $L^1\left({ℝ}^N\right)$ 中

$\left(f_{1n}\mathrm{,}{f}_{2n}\right)\to \left({\chi }_{{\Omega }_1^0}\mathrm{,}{\chi }_{{\Omega }_2^0}\right)$

因为 $\left|{\Omega }_i^0\right|=m_i\left(i=1,2\right)$，由Brezis-Lieb引理， [12] 中的命题4.29的弱下半连续性和引理2.1，我们得出问题(2.1)在 ${\mathcal{A}}_{m_1\mathrm{,}{m}_2}$ 上存在一个基态解。

由结论1、结论2、结论3、结论4和结论5，定理3.1得证。

本文得到了非局部等周问题的存在性，我们也可以考虑这个问题在 $q=-2$ 的情况下，该结论是否还是成立的，这是一个很值得我们去思考的问题。