1. 引言
曲轴是汽车发动机中的重要零部件之一，其运动学性能在很大程度上影响了发动机的工作性能和寿命 [1]。在发动机运转时，气缸内的混合可燃气被点燃，可燃混合气对活塞做膨胀功，使发动机活塞上下运动，然后通过活塞接触的连杆带动发动机曲轴，使曲轴做旋转运动，并通过曲轴传递动力 [2]。在工作过程中，曲轴会承受周期性载荷的作用，在发动机额定转速范围内有可能发生强烈的共振，导致曲轴发生扭振失效或断裂现象，进而容易引发安全事故。
有限元方法是一种经典的数值求解方法，可用于解决发动机曲轴各种振动问题。吕端等人 [3] 通过Ansys Workbench对V8发动机曲轴进行有限元分析，得出了曲轴前10阶固有频率和振型。刘洁等人 [4] 对曲轴进行了静强度分析与模态分析，并利用优化设计理论进行发动机曲轴优化。朱宜生等人 [5] 对单曲柄有限元模型进行静力分析，并基于蒙特卡洛抽样法对其进行尺寸优化。陈振等人 [6] 建立了曲轴系在交变载荷作用下的动力学模型，并通过振动测试试验验证了模型的准确性。
本文通过SolidWorks软件建立了一种V型四缸柴油发动机曲轴的三维模型，以曲轴在运动过程中所受约束条件为基础，利用Abaqus软件对曲轴进行了有限元模态分析，计算并分析了曲轴在约束模态条件下的各阶振型和固有频率，之后以曲轴的单拐结构为研究对象，对曲轴进行了结构优化设计，提高了发动机曲轴的工作性能和系统的稳定性。
2. 曲轴的结构与受力分析
本文以某V型四缸柴油发动机曲轴为分析对象，首先根据曲轴实物模型SolidWorks中创建三维模型，之后导入Abaqus仿真软件，通过网格划分，并根据曲轴运行情况添加约束及边界条件后分析其振动特性。如图1为本文所研究曲轴的三维模型。
曲轴模型的主轴颈，连杆轴颈及曲拐半径等主要参数如表1所示。曲轴材料为42 CrMo，材料参数如表2所示。
Figure 1. Three-dimensional model of crankshaft
图1. 曲轴的三维模型
Table 1. Geometric parameters of crankshaft
表1. 曲轴模型的几何参数
Table 2. Crankshaft material properties
表2. 曲轴的材料属性
3. 曲轴的有限元模态分析
3.1. 模态分析概述
模态分析作为一种常见的故障检测和结构分析方法，是工程实践设计过程中的重要一环 [7]。通过计算得出曲轴的固有频率和固有振型是曲轴模态分析中的主要任务。由于曲轴结构阻尼比较小，对其固有振型影响不大，可以忽略该参数，将其简化为无阻尼振动系统，则有振动微方程：
(1)
令
，则式(1)可以转化为：
(2)
设特解为：
(3)
将式(3)代入式(2)，可以得出：
(4)
其中，M为总质量矩阵，K为总刚度矩阵；
为加速度列，x为位移列；
为外激励列。
将特征方程系数项展开，得到一个与
有关的n次多项式，解出该多项式就能得到曲轴的固有频率，再将固有频率带入式，就可解得曲轴特征向量，获得给定振动频率下的曲轴振型图。
3.2. 约束模态的边界条件
根据发动机传动机构的实际运行情况，曲轴受到主轴承以及纵向止推轴承的约束，其中纵向止推轴承可以有效地防止曲轴的纵向位移，保证连杆活塞组正常工作，由于曲轴有滑动轴承与5个主轴颈配合，因此需要在曲轴的5个主轴颈处施加无摩擦约束。为了控制曲轴工作时的轴向窜动，在曲轴上设置有轴向定位装置。同时，由于要保证曲轴在受热膨胀时有一定的自由伸长量，所以只在曲轴后端面施加一处轴向位移约束。
3.3. 有限元网格划分
在Abaqus中利用网格划分模块对曲轴结构的整个计算域进行网格划分。网格划分的精度和质量会对模态分析结果产生较大影响，网格的不规则会导致仿真结果误差较大，同时本文考虑到仿真计算时圆角结构对模态分析的影响，将网格划分四面体网格，网格单元类型为C3D10，网格单元数和节点数分别为236,917及365,394，如图2所示。
Figure 2. Crankshaft structure meshing
图2. 曲轴结构的网格划分
3.4. 曲轴模态的计算结果与分析
根据机械振动的相关理论，任意系统都具有无限阶的固有频率，但在工程实践中影响系统稳定性的只有前几阶固有频率 [8]。曲轴的振动主要是由发动机运行时的低阶频率激励引起的，因此本文应用Abaqus软件对发动机曲轴的前6阶振动模态进行分析，计算得到曲轴的前6阶振型如图3所示。
由图3可以得到发动机曲轴在约束条件下的前6阶固有频率值与各阶振型，如表3所示。发动机曲轴在约束条件下的前6阶固有频率大小为511.28 Hz~1555.4 Hz。从振型图中可以看出，曲轴的变形主要为弯曲变形与扭转变形，其中最大变形表现为曲轴的弯曲变形，最大变形位置出现在曲轴的平衡块末端。由第3，第4以及第6阶振型图中可以看出，曲轴发生扭转变形的节点多位于曲轴单拐部分的连杆轴颈处。
Table 3. The first 6-order natural frequency and mode characteristics of engine crankshaft
表3. 发动机曲轴前6阶固有频率和振型特征
将上表3中发动机曲轴固有频率随阶数变化的柱状图绘制于下图4中。
Figure 4. Histogram of natural frequency with order
图4. 固有频率随阶数变化的柱状图
从图4可知，发动机曲轴在约束条件下从第1阶到第6阶固有频率逐渐增大，第3阶至第4阶增幅最大，第1阶至第2阶以及第4阶至第5阶增幅较小，这与发动机曲轴的结构是有很大关系的。为提高发动机曲轴的安全性，降低曲轴在工作条件下发生共振的风险，需对该曲轴进行优化设计。
4. 曲轴的结构优化
4.1. 曲轴单拐结构的优化设计
由发动机曲轴的模态分析可知，应力集中现象及结构变形主要发生在曲轴轴颈与平衡块位置。在载荷及约束条件不变的情况下，为提高曲轴的刚度与强度，需对该部分进行优化设计。
根据曲轴的结构与受力分布可知，在工作过程中，在曲轴的轴颈过渡圆角处会产生较大的应力集中。由以往的设计经验可知 [9]，随着轴颈过渡圆角半径的增大，圆角处的最大应力会减小，因此需要增大曲轴的轴颈过渡圆角半径。但是，随着圆角半径的增大，曲轴轴颈的有效承压长度将缩短，所以在不影响曲轴的工作要求前提下，将主轴颈处的过渡圆角半径增大为1.5 mm，将连杆轴颈处的过渡圆角半径改进为3 mm。
根据曲轴模态分析的振型图，在各阶振型下，曲轴平衡块处容易产生较大的变形，因此将平衡块的厚度改进为14.25 mm。结构优化后的发动机曲轴的单拐结构模型如图5所示。
Figure 5. Optimized structure model of crankshaft single turn
图5. 优化后的曲轴单拐结构模型
4.2. 优化后的结果分析
将优化后的发动机曲轴整体三维模型导入Abaqus软件中进行模态分析，优化后的部分模态结果如图6所示。
发动机曲轴结构优化前后的前6阶固有频率以及优化后固有频率的增加比率如表4所示。
根据表4中发动机曲轴结构优化前后固有频率的数值，对比曲轴优化前后固有频率的变化趋势，如下图7所示。
Table 4. Natural frequency value and increase ratio before and after optimization
表4. 结构优化前后固有频率值与增加比率
Figure 7. Variation trend of crankshaft natural frequency before and after optimization
图7. 曲轴优化前后固有频率变化趋势
结合表4与图7可以看出，在对发动机曲轴的单拐结构进行优化后，前6阶模态的固有频率均呈现增大趋势，其中，第2与第6阶模态的增大比率较高。在保持相同的工作条件下，曲轴的弯曲变形与扭转变形程度都有所降低。优化后，曲轴在额定工况下运行时发生共振的可能性降低，曲轴发生扭振失效或断裂的可能性降低，使曲轴的安全性有所增高，优化后的结构达到了较为满意的效果。
5. 结论
本文以某V型发动机曲轴为研究对象，基于三维软件SolidWorks建立发动机曲轴的几何模型，并在有限元仿真软件Abaqus中对其进行了约束模态分析，仿真结果表明该发动机曲轴的基频(1阶固有频率)为511.28 Hz，固有频率从1阶至6阶依次增大，第6阶固有频率为1555.4 Hz。本文以发动机曲轴的单拐结构为研究对象，分别对发动机曲轴的平衡块厚度与轴颈过渡圆角进行优化设计。优化后的发动机曲轴的各阶固有频率都有所提高，基频提高3.5%；优化后曲轴轴颈处的最大变形量有所减小，在工作条件下的系统稳定性与结构安全性得到提高，满足结构优化的要求。