抑制性自突触增强Hodgkin-Huxley神经元的随机共振

Inhibitory Autapses Enhance Stochastic Resonance of the Hodgkin-Huxley Neuron

摘要: 本文由Hodgkin-Huxley神经元模型研究了抑制性自突触增强随机共振的反常现象。当神经元不含抑制性自突触时，高斯白噪声能诱导神经元产生一次随机共振。当在神经元中引入抑制性自突触后，抑制性自突触中的时滞能诱导神经元产生多次随机共振。更重要的是，当抑制性自突触中的时滞取值合适时，抑制性自突触的电导既能增强随机共振也能削弱随机共振。抑制性自突触增强随机共振的现象与传统的抑制性作用压制神经元的活动形成鲜明的对比，因此抑制性自突触增强随机共振的现象丰富了非线性动力学的内涵。

Abstract: In this paper, the counterintuitive phenomenon that inhibitory autapses enhance stochastic resonance is investigated in the Hodgkin-Huxley neuron. When the neuron does not contain inhibitory autapses, Gaussian white noise can induce stochastic resonance in the neuron. When inhibitory autapses are introduced into the neuron, time delays in inhibitory autapses induce multiple stochastic resonance in the neuron. More importantly, when time delays in inhibitory autapses are appropriate, the conductance of the inhibitory autapses can both enhance stochastic resonance and reduce stochastic resonance. The phenomenon that inhibitory autapses enhance stochastic resonance is in contrast to the traditional viewpoint that inhibitory effects always suppress neuronal activity. The phenomenon that inhibitory autapses enhance stochastic resonance enriches the content of nonlinear dynamics.

1. 引言

长期以来，非线性科学的蓬勃发展打破了人们解决噪声问题的常规。当一个非线性系统与输入信号和噪声之间存在某种匹配时，噪声能够起到积极的创造性的作用，噪声能量会向信号能量转移，使信噪比大大提高，这就是随机共振现象 [1]。随机共振指通过调节噪声强度或系统参数使信号、噪声和非线性系统三者之间达到最佳匹配，从而将噪声的部分能量转移给信号，放大信号，增大输出信噪比，突显弱信号 [2]。随机共振现象存在许多方面，如工业、医学、生物学等。而近些年的研究表明，生物神经系统中普遍存在噪声，同时也存在随机共振现象 [3]。

除噪声外，神经系统中的抑制效应也会诱发反常现象。一般来说，抑制作用压制神经元的活动。例如，施加在Hopf分岔点附近静息态的抑制脉冲可以诱发动作电位，这被称为抑制后反弹峰放电 [4]。对于Hodgkin-Huxley (HH)神经元模型中的兴奋性脉冲诱导的放电活动，兴奋性脉冲之前的额外抑制性脉冲可以通过抑制后反跳效应增大放电频率 [5]，对沙土鼠的听觉神经元的研究也证实了这一点 [6]。在Hindmarsh-Rose神经元模型中引入抑制性电磁感应电流可以增强模型的簇放电 [7]。这些现象对神经系统的抑制作用提出了一个新的认识。

自突触是位于同一个神经元不同部位之间的一种不寻常的突触，其存在于多个大脑区域，如新皮层、海马、视觉皮层、小脑，以及颊神经节 [8]。而信息的处理和传递主要发生在突触的附近，从而就存在时间延迟。在神经系统中，时滞在信息传递过程中都是不可避免和不可忽视的。目前，时滞系统的研究在部分领域已经取得了成就 [9]。此外实验研究表明，自突触可以调节神经系统的动力学行为。例如，新皮质中间神经元的抑制性自突触可以诱导增强放电的精确性 [10]。兴奋性自突触可引起海兔颊神经节中神经元的持续放电活动 [11]，也可促进神经皮质锥体神经元的簇放电和重合检测 [12]。此外，理论研究也表明自突触对神经系统的动力学有重要影响 [13]。例如，在单个神经元中，自突触可以调节随机共振和相干共振 [13] [14] [15]，也可以诱导放电模式 [16] 和神经元兴奋性类型之间的切换 [17]。

近年来，兴奋性和抑制性自突触引起的反常现象越来越受到关注。例如，在神经元网络中，抑制性自突触可以通过振动共振促进信号的传递，而兴奋性自突触则可以抑制信号的传输 [18]。在单个神经元中，兴奋性自突触可以降低神经元放电的规律性，而抑制性自突触可以提高神经元放电的规律性 [19]。兴奋性自突触可以减少簇放电中峰的个数，该现象可以通过快慢变量分离和分岔分析来解释 [20]。抑制性自突触能通过加周期分岔提高平均放电频率 [21] [22]。在Hopf分岔附近，不含时滞的抑制性自突触可以扩大放电活动的参数区域 [23] [24]，含时滞抑制性自突触可以通过抑制性反跳机制将静息状态转变为重复的峰放电 [25]。兴奋性自突触能压制分岔点附近不同的放电活动 [26]。这些结果有助于认识兴奋性和抑制性自突触在神经系统中的作用。然而，迄今为止，抑制性自突触对神经元的随机共振的反常影响关注较少。

根据以上分析，本文基于Hodgkin-Huxley (HH)神经元模型，研究噪声诱导的随机共振现象以及抑制性自突触增强随机共振的反常现象。

2. 模型与方法

HH模型是由Hodgkin和Huxley于1952年通过对枪乌贼巨轴突的生理实验数据建立起来的 [27]。

$\{\begin{array}{l}C\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=-g_{\text{Na}}{m}^{3}h\left(V-E_{\text{Na}}\right)-g_{\text{k}}{n}^4\left(V-E_k\right)-g_L\left(V-E_L\right)+I_{app}\hfill \\ \frac{\text{d}m}{\text{d}t}={\alpha }_m\left(V\right)\left(1-m\right)-{\beta }_m\left(V\right)m\hfill \\ \frac{\text{d}h}{\text{d}t}={\alpha }_h\left(V\right)\left(1-h\right)-{\beta }_h\left(V\right)h\hfill \\ \frac{\text{d}n}{\text{d}t}={\alpha }_n\left(V\right)\left(1-n\right)-{\beta }_n\left(V\right)n\hfill \end{array}$ (1)

其中 ${\alpha }_m\left(V\right)=0.1\left(V+40\right)/\left\{1-\exp \left[-\left(V+40\right)/10\right]\right\}$， ${\beta }_m\left(V\right)=4\exp \left[-\left(V+65\right)/18\right]$， ${\alpha }_h\left(V\right)=0.07\exp \left[-\left(V+65\right)/20\right]$， ${\beta }_h\left(V\right)=1/\left\{1+\exp \left[-\left(V+35\right)/10\right]\right\}$， ${\alpha }_n\left(V\right)=0.01\left(V+55\right)/\left\{1-\exp \left[-\left(V+55\right)/10\right]\right\}$， ${\beta }_n\left(V\right)=0.125\exp \left[-\left(V+65\right)/80\right]$。第一个变量V代表膜电位。第二个变量m、第三个变量h和最后一个变量n描述钠(Na⁺)和钾(K⁺)通道的开放概率。参数C表示膜电容，设置为1 μF/cm²。参数g_Na、g_K和g_L分别表示Na⁺的最大电导、K⁺通道的最大电导和泄漏电流的最大电导，分别设置为120 mS/cm²、36 mS/cm²和0.3 mS/cm²。参数E_Na、E_K和E_L表示相应的反转电位，分别设置为50 mV、−77 mV和−54.4 mV。参数I_app表示外部直流电，其决定了模型的动力学。

(a) (b)

Figure 1. The dynamics near the Hopf bifurcation of the HH model. (a) The bifurcations. The thin solid (dotted) line stands for the stable (unstable) focus. The upper (lower) bold solid line represents the maximal (minimal) value of the stable limit cycle. The upper (lower) dashed line stands for the maximal (minimal) value of the unstable limit cycle. (b) The dependence of the firing period (the black) and the firing frequency (the red) of the HH neuron model on the external direct current I_app

图1. HH模型在Hopf分岔点附近的动力学。(a) 分岔。细实线和点线分别代表稳定和不稳定焦点；上粗实线和下粗实线分别代表稳定极限环的最大值和最小值；上虚线和下虚线分别代表不稳定极限环的最大值和最小值。(b) HH神经元模型的放电周期(黑线)和放电频率(红线)对外部直流电I_app的依赖性

HH模型在I_app ≈ 9.78 μA/cm²处出现亚临界Hopf分岔(SubH)，在I_app ≈ 6.26 μA/cm²处出现极限环鞍结分岔(SNLC)，如图1(a)所示。当I_app < 6.26 μA/cm²时，模型具有稳定的焦点(细实线)。稳定焦点对应于神经元的静息态。当6.26 μA/cm² < I_app < 9.78 μA/cm²时，模型有一个稳定的焦点(细实线)和一个稳定的极限环(上下粗实线)。稳定焦点的吸引域和稳定极限环的吸引域被一个不稳定的极限环(上下虚线)分开。当I_app > 9.78 μA/cm²时，模型有稳定的极限环(粗实线)和不稳定的焦点(点线)。图1(b)描述了放电周期和放电频率随着外部直流电I_app的变化规律。该模型在周期和频率分别约为19.46 ms和约为51.38 Hz时开始放电，这是II型兴奋性的典型特征。在本研究中，外部直流电流I_app设定为5.0，即HH神经元模型处于SNLC和SubH附近的静息态。

为了研究抑制性自突触对高斯白噪声诱导的随机共振的影响，在HH模型中引入抑制性自突触、高斯白噪声和弱周期信号。引入这些因素后，模型的方程如下：

$\{\begin{array}{l}C\frac{dV}{dt}=-g_{\text{Na}}{m}^{3}h\left(V-E_{\text{Na}}\right)-g_{\text{k}}{n}^4\left(V-E_{\text{k}}\right)-g_L\left(V-E_L\right)+I_{app}+I_{aut}+I_s+\xi \left(t\right)\\ \frac{\text{d}m}{\text{d}t}={\alpha }_m\left(V\right)\left(1-m\right)-{\beta }_m\left(V\right)m\\ \frac{\text{d}h}{\text{d}t}={\alpha }_h\left(V\right)\left(1-h\right)-{\beta }_h\left(V\right)h\\ \frac{\text{d}n}{\text{d}t}={\alpha }_n\left(V\right)\left(1-n\right)-{\beta }_n\left(V\right)n\end{array}$ (2)

其中 $I_{aut}=\frac{-g_{aut}\left(v-E_{aut}\right)}{1+\exp \left\{-10\left[v\left(t-{\tau }_{aut}\right)-{\theta }_{aut}\right]\right\}}$ 表示抑制性自突触电流，g_aut表示自突触电导，参数E_aut代表自突

触的逆转电位，参数θ_aut表示自突触阈值，参数τ_aut表示自突触时滞。在本文中，E_aut被设定为−80 mV以保证自突触是抑制性的，θ_aut被设定为−15 mV，g_aut和τ_aut被选为控制参数以研究抑制性自突触对噪声诱导的随机共振的影响。

$I_s=a\sin \left(\omega t\right)$ 表示弱周期信号，a表示弱周期信号的幅值，ω表示弱周期信号的频率。

$\xi \left(t\right)$ 表示高斯白噪声，其统计特征为 $\langle \xi \left(t\right)\rangle =0$ 和 $\langle \xi \left(t\right)\xi \left(t^{\prime }\right)\rangle =2D\delta \left(t-t^{\prime }\right)$。其中D表示噪声强度。在本文中，噪声强度D也被选为控制参数以研究噪声诱导的随机共振。

为了定量刻画神经元对弱周期信号的响应，我们引入谱放大因子η [28]，其定义为

$\eta =4a^{-2}{\left|\langle {\text{e}}^{i\omega t}V\left(t\right)\rangle \right|}^2$ (3)

其中 $V\left(t\right)$ 是神经元在t时刻的膜电位， $\langle \cdot \rangle$ 表示关于时间的平均。谱放大因子η能够有效地反映神经元的

行为与弱周期信号节律的相关性。如果η随着某个关键参数变化的曲线存在峰值，那么神经元出现共振响应。本文采用显式Euler方法求解方程(1)和(2)，计算步长为0.001。

3. 主要结果

在这一部分，我们首先研究当神经元不含抑制性自突触时，高斯白噪声诱导神经元产生的随机共振现象。随后在神经元中引入抑制性自突触，并研究抑制性自突触的时滞和电导对高斯白噪声诱导神经元产生的随机共振现象的影响。

3.1. 噪声诱导无抑制性自突触的神经元产生随机共振

首先，为了定性刻画神经元对弱周期信号的响应，图2描述了噪声强度D取三组不同值时(D = 0.0631 pA/cm²、1.5849 pA/cm²和10 pA/cm²)，神经元的膜电位(黑线)和弱周期信号(红线)随时间的演化规律。由图2可以观察到噪声对神经元的放电有重要影响。当D = 0.0631 pA/cm²时，膜电位与弱周期信号的同步性较差(图2(a))，即神经元对弱周期信号的响应较弱。当D增大至1.5849 pA/cm²时，膜电位与弱周期信号的同步性变强(图2(b))，即神经元对弱周期信号的响应变强。当D进一步增大至10 pA/cm²时，膜电位与弱周期信号的同步性变弱(图2(c))，即神经元对弱周期信号的响应变弱。很明显，图2表明当D取值大小适中时，神经元对弱周期信号的响应达到了最优，即神经元产生随机共振现象。

(a) (b) (c)

Figure 2. Evolution of the membrane potential (the black line) and weak periodic signal (the red line) with time for different D values: (a) D = 0.0631 pA/cm², (b) D = 1.5849 pA/cm², (c) D = 10 pA/cm²

图2. 不同噪声强度D下膜电位(黑线)和弱周期信号(红线)随时间的演化规律：(a) D = 0.0631 pA/cm²，(b) D = 1.5849 pA/cm²，(c) D = 10 pA/cm²

进一步地，下面借助于谱放大因子η (方程(3))来定量刻画神经元对弱周期信号的响应。图3(a)描述了谱放大因子η随着噪声强度D的变化规律：由图3(a)可知，随着噪声强度D的增大，η先增大后减小，并当D ≈ 1.5849 pA/cm²时，η达到最大值，说明神经元对弱周期信号的共振响应达到最优。该现象意味着适中的噪声强度能够诱导神经元产生随机共振，这与图2中定性分析的结果相一致。

3.2. 抑制性自突触的时滞诱导神经元产生多次随机共振

在上一节研究的基础上，在神经元中引入抑制性自突触，进一步研究抑制性自突触的时滞对神经元随机共振的影响。不失一般性，自突触电导g_aut和噪声强度D分别设定为0.4 mS/cm²和1.5849 pA/cm²，图3(b)描述了谱放大因子η随着抑制性自突触的时滞τ_aut的变化规律。由图3(b)可知，谱放大因子η随时滞τ_aut在红色虚线上下波动。η相对于τ_aut的变化表明，时滞可以诱导多次随机共振。η的三个最大值分别出现在τ_aut ≈ 14 ms、34 ms和56 ms处，此时的三个值均大于在没有抑制性自突触的情况下的最大值，表明抑制性自突触增强了随机共振的程度；η的三个最小值分别出现在τ_aut ≈ 10 ms、28 ms和48 ms处，此时的三个值均小于在没有抑制性自突触的情况下的最大值，表明抑制性自突触降低了随机共振的程度。

(a) (b)

Figure 3. The spectral amplification factor η changes with the noise intensity D or the time delay of the inhibitory autapses τ_aut. (a) For the neuron without autapses, the change of the spectral amplification factor η with the noise intensity D. (b) For the neuron with autapses, when the conductance of autapses g_aut = 0.4 mS/cm² and the noise intensity D = 1.5849 pA/cm², the change of the spectral amplification factor η with the time delay of the autapses τ_aut. The red horizontal dotted line in (b) indicates the maximum value of the spectral amplification factor η in (a)

图3. 谱放大因子η随着噪声强度D或抑制性自突触的时滞τ_aut的变化规律：(a) 对于不含抑制性自突触的神经元，谱放大因子η随着噪声强度D的变化；(b) 对于含抑制性自突触的神经元，当抑制性自突触电导g_aut = 0.4 mS/cm²且噪声强度D = 1.5849 pA/cm²时，谱放大因子η随抑制性自突触的时滞τ_aut的变化规律。其中，(b)中的红色水平虚线表示(a)中谱放大因子η的最大值

图4描述了在6个关键的τ_aut值下，分别取值为0 ms、14 ms、28 ms、34 ms、48 ms和56 ms，神经元的膜电位(黑线)和弱周期信号(红线)随时间的演化规律，依次得到图4(a)~(e)和图4(f)。由图4可知，当τ_aut等于14 ms、34 ms和56 ms时，分别如图4(b)、图4(d)和图4(f)所示，膜电位与弱周期信号的同步性较强，神经元对弱周期信号的响应较强。当τ_aut等于0 ms、28 ms和48 ms时，分别如图4(a)、图4(c)和图4(e)所示，膜电位与弱周期信号的同步性较弱，神经元对弱周期信号的响应较弱。图4中的结果与图3(b)中的结果一致，进一步表明抑制性自突触的时滞可以诱导神经元产生多次随机共振。

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

Figure 4. Evolution of the membrane potential (the black line) and weak periodic signal (the red line) with timefor different values of the time delay τ_aut. (a) τ_aut = 0 ms, (b) τ_aut = 14 ms, (c) τ_aut = 28 ms, (d) τ_aut = 34 ms, (e) τ_aut = 48 ms, (f) τ_aut = 56 ms. The conductance of autapses g_aut = 0.4 mS/cm² and the noise intensity D = 1.5849 pA/cm²

图4. 抑制性自突触的时滞τ_aut取不同值时膜电位(黑线)和弱周期信号(红线)随时间的演化规律：(a) τ_aut = 0 ms，(b) τ_aut = 14ms，(c) τ_aut = 28 ms，(d) τ_aut = 34 ms，(e) τ_aut = 48 ms，(f) τ_aut = 56 ms。抑制性自突触电导g_aut = 0.4 mS/cm²且噪声强度D = 1.5849 pA/cm²

(a) (b)

Figure 5. Changes of η with D when g_aut = 0 mS/cm² (the black circle), g_aut = 0.2 mS/cm² (the red square) and g_aut = 0.4 mS/cm² (the blue triangle) for different τ_aut values. (a) τ_aut = 14 ms; (b) τ_aut = 28 ms

图5. 对于不同的τ_aut值，当g_aut = 0 mS/cm² (黑色圆圈)、g_aut = 0.2 mS/cm² (红色正方形)和g_aut = 0.4 mS/cm² (蓝色三角形)时，η随着D的变化。(a) τ_aut = 14 ms；(b) τ_aut = 28 ms

3.3. 抑制性自突触的电导能增强或削弱噪声诱导的随机共振

当抑制性自突触的时滞τ_aut等于14 ms时，图5(a)描述了不同抑制性自突触电导下谱放大因子η随着噪声强度D的变化规律。由图5(a)可知，当抑制性自突触电导g_aut取不同值时，谱放大因子η都随噪声强度D的增大先增大后减小。这表明，当抑制性自突触电导g_aut取不同值时，噪声都能诱导神经元产生随机共振。此外，随着抑制性自突触电导g_aut的增大，η曲线抬升。这表明，抑制性自突触电导增强噪声诱导的随机共振。

当抑制性自突触的时滞τ_aut等于28 ms时，图5(b)描述了不同抑制性自突触电导下谱放大因子η随着噪声强度D的变化规律。由图5(b)可知，当抑制性自突触电导g_aut取不同值时，谱放大因子η都随噪声强度D的增大先增大后减小。这表明，当抑制性自突触电导g_aut取不同值时，噪声都能诱导神经元产生随机共振。此外，随着抑制性自突触电导g_aut的增大，η曲线下降。这表明，抑制性自突触电导削弱噪声诱导的随机共振。

3.4. 谱放大因子η在(τ_aut, g_aut)平面上的分布

为了深入描述抑制性自突触对随机共振的影响，图6描述了当噪声强度D = 1.5849 pA/cm²时谱放大因子η随着时滞τ_aut和自突触电导g_aut的变化规律。由图6可知，红色区域、黄色区域和绿色区域主要分布在τ_aut = 14 ms、34 ms和56 ms附近，这表明当τ_aut = 14 ms、34 ms和56 ms时，η较大；深蓝色区域和浅蓝色区域主要分布在τ_aut = 10 ms、28 ms和48 ms附近，这表明当τ_aut = 10 ms、28 ms和48 ms时，η较小。图6表明，当g_aut稍大于0时，对于固定的g_aut，时滞τ_aut能够诱导多次随机共振。此外，当τ_aut = 14 ms、34 ms和56 ms时，颜色逐渐变红(即η逐渐变大)，这表明谱放大因子η随着自突触电导g_aut的增大而增大，随机共振增强；当τ_aut = 10 ms、28 ms和48 ms时，颜色逐渐变蓝(即η逐渐变小)，这表明谱放大因子η随着自突触电导g_aut的增大而减小，随机共振减弱。这与图5中的结果一致。

Figure 6. Changes of the spectral amplification factor η with the time delay τ_aut and the conductance of autapses g_aut. The noise intensity D = 1.5849 pA/cm²

图6. 谱放大因子η随着时滞τ_aut和自突触电导g_aut的变化规律。噪声强度D = 1.5849 pA/cm²

为了解释自突触增强或减弱随机共振现象，图7刻画了当g_aut = 0.4 mS/cm²时，不同τ_aut值下神经元接受到的自突触电流(黑线)和弱周期信号(红线)，τ_aut分别取值为10 ms、14 ms、28 ms、34 ms、48 ms和56 ms，依次得到图7(a)~(e)和图7(f)。由图7(b)、图7(d)和图7(f)可知，当τ_aut = 14 ms、34 ms和56 ms时，自突触电流与弱周期信号的同步性较强，这会导致在自突触电流的作用下神经元对弱周期信号的响应增强。由图7(a)、图7(c)和图7(e)可知，当τ_aut = 10 ms、28 ms和48 ms时，自突触电流与弱周期信号的同步性较弱，这会导致在自突触电流的作用下神经元对弱周期信号的响应变弱。

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

Figure 7. Evolution of the autaptic current (the black line) and weak periodic signal (the red line) with time for different values of the time delay τ_aut. (a) τ_aut = 10 ms, (b) τ_aut = 14 ms, (c) τ_aut = 28 ms, (d) τ_aut = 34 ms, (e) τ_aut = 48 ms, (f) τ_aut = 56 ms. The conductance of autapses g_aut = 0.4 mS/cm² and the noise intensity D = 1.5849 pA/cm²

图7. 抑制性自突触的时滞τ_aut取不同值时自突触电流(黑线)和弱周期信号(红线)随时间的演化规律：(a) τ_aut = 10 ms，(b) τ_aut = 14 ms，(c) τ_aut = 28 ms，(d) τ_aut = 34 ms，(e) τ_aut = 48 ms，(f) τ_aut = 56 ms。抑制性自突触电导g_aut = 0.4 mS/cm²且噪声强度D = 1.5849 pA/cm²

4. 结论

随机共振现象在神经系统中普遍存在且对神经信息的传导与编码有重要意义。本文研究了神经元系统中普遍存在的抑制性自突触对单个神经元中随机共振现象的影响。当单个神经元不含抑制性自突触时，噪声能诱导一次随机共振。当单个神经元含抑制性自突触时，抑制性自突触中的时滞能诱导多重随机共振现象。抑制性自突触的电导对随机共振现象也有重要影响，当抑制性自突触中的时滞取值合适时，抑制性自突触的电导既能增强随机共振也能减弱随机共振。抑制性自突触增强随机共振的现象不仅丰富了非线性动力学的内涵，还为调控神经系统中的随机共振提供了一种有效的方法。

尽管前人也研究了自突触对HH神经元中随机共振现象的影响，但是前人的研究中都采用的是兴奋性自突触且发现兴奋性自突触能增强HH神经元中的随机共振现象。本研究则揭示抑制性自突触能增强HH神经元中的随机共振现象，进一步丰富了HH神经元的随机动力学。由于神经系统中的神经元相互耦合构成神经元网络，今后将进一步研究抑制性自突触对神经元网络中随机共振的积极影响。